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Die Shannon-Hartley-Grenze gibt die maximal zuverlässig übertragbare Datenrate eines bandbegrenzten AWGN-Kanals an.
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Formel
C in bit/s; B in Hz; S/N dimensionsloses lineares Leistungsverhältnis, nicht dB
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Theoretische Kanalkapazität | bit/s | |
| Kanalbandbreite | Hz | |
| Empfangsleistungs-Signal-Rausch-Verhältnis | dimensionslos |
C=B\log_2(1+S/N)Die Formel gilt für einen bandbegrenzten Kanal mit additivem weißem gaußschem Rauschen (AWGN) und linear angegebener SNR. Sie ist eine asymptotische Grenze für zuverlässige Kommunikation mit geeigneter Codierung, keine erreichbare Rate jedes praktischen Systems. Ist SNR in Dezibel gegeben, muss zuerst SNRlin=10^(SNRdB/10) berechnet werden. Die Bandbreite erhöht C linear, während zusätzlicher SNR logarithmisch wirkt.
Die Formel gilt für einen bandbegrenzten Kanal mit additivem weißem gaußschem Rauschen (AWGN) und linear angegebener SNR. Sie ist eine asymptotische Grenze für zuverlässige Kommunikation mit geeigneter Codierung, keine erreichbare Rate jedes praktischen Systems. Ist SNR in Dezibel gegeben, muss zuerst SNRlin=10^(SNRdB/10) berechnet werden. Die Bandbreite erhöht C linear, während zusätzlicher SNR logarithmisch wirkt.
Die Shannon-Hartley-Grenze gibt die maximal zuverlässig übertragbare Datenrate eines bandbegrenzten AWGN-Kanals an.
SNR aus Kapazität
SNR in der Gleichung ist linear, nicht in dB.
Erkläre am Beispiel zu Shannon-Hartley-Kanalkapazität, welche Eingabegrößen zur gesuchten Ausgabe führen.
Das Beispiel verknüpft konkrete Eingaben mit dem Ergebnis.
Die Shannon-Hartley-Grenze gibt die maximal zuverlässig übertragbare Datenrate eines bandbegrenzten AWGN-Kanals an.
Gültig ist die Beziehung nur unter den genannten Voraussetzungen.
Die Beziehung ohne ihre angegebenen Voraussetzungen auf einen anderen Fall übertragen.
Prüfe vor dem Einsetzen den Gültigkeitsbereich: Die Formel gilt für einen bandbegrenzten Kanal mit additivem weißem gaußschem Rauschen (AWGN) und linear angegebener SNR. Sie ist eine asymptotische Grenze für zuverlässige Kommunikation mit geeigneter Codierung, keine erreichbare.
Formelcluster
Die Shannon-Hartley-Grenze gibt die maximal zuverlässig übertragbare Datenrate eines bandbegrenzten AWGN-Kanals an.
Bei B=1 MHz und SNR=15 (entspricht etwa 11,76 dB) ist C=106·log2(16)=4 Mbit/s als theoretische Grenze.
Datenraten und Spektraleffizienz von Kommunikationskanälen theoretisch einordnen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Shannon-Hartley-Kanalkapazität (C = B·log₂(1+SNR)).
Aufgabe
Erkläre am Beispiel zu Shannon-Hartley-Kanalkapazität, welche Eingabegrößen zur gesuchten Ausgabe führen.
Rechenweg
Das Beispiel verknüpft konkrete Eingaben mit dem Ergebnis.
Die Shannon-Hartley-Grenze gibt die maximal zuverlässig übertragbare Datenrate eines bandbegrenzten AWGN-Kanals an.
Gültig ist die Beziehung nur unter den genannten Voraussetzungen.
Kanalkapazität ist die theoretische Datenrate, unterhalb derer eine geeignete Codierung Kommunikation mit beliebig kleiner Fehlerwahrscheinlichkeit ermöglichen kann. Sie ist keine Zusage, dass ein konkretes Modem diese Rate erreicht. Für einen AWGN-Kanal hängt die Shannon-Hartley-Grenze von Bandbreite B und linearem SNR ab. Reale Systeme benötigen Abstand zur Grenze und zusätzliche Ressourcen für Protokolle, Synchronisation und Fehlerkorrektur. Die Schranke setzt einen bandbegrenzten AWGN-Kanal und geeignetes Codieren voraus. Praktische Protokolle bleiben wegen endlicher Blocklänge, Hardware und zusätzlicher Übertragungskosten darunter; interpretiere C deshalb als Obergrenze. Sie ist keine direkt garantierte Nutzdatenrate für ein beliebiges WLAN oder Modem. Prüfe auch das angenommene Rauschmodell.
Der Logarithmus erwartet das Leistungsverhältnis selbst, nicht dessen Dezibelangabe. Bei SNRdB=10 dB ist SNRlin=10^(10/10)=10; direkt 10 in dB einzusetzen wäre zufällig falsch skaliert, sobald man dB-Werte als Verhältnis behandelt. Wandle immer zuerst mit 10^(SNRdB/10) um. Spannungverhältnisse haben eine andere Dezibeldefinition und benötigen zusätzliche Sorgfalt. Die Schranke setzt einen bandbegrenzten AWGN-Kanal und geeignetes Codieren voraus. Praktische Protokolle bleiben wegen endlicher Blocklänge, Hardware und zusätzlicher Übertragungskosten darunter; interpretiere C deshalb als Obergrenze. Sie ist keine direkt garantierte Nutzdatenrate für ein beliebiges WLAN oder Modem. Prüfe auch das angenommene Rauschmodell.
Setze B=1 MHz und SNR=15 ein. Weil 1+15=16 und log216=4 gilt C=106·4=4·106 bit/s, also 4 Mbit/s. Prüfe die Einheit: Hz mal dimensionslosem Spektraleffizienzfaktor ergibt bit/s. Der Wert ist idealisiert; ein System mit realem Code und endlicher Verzögerung erreicht ihn nicht exakt. Die Schranke setzt einen bandbegrenzten AWGN-Kanal und geeignetes Codieren voraus. Praktische Protokolle bleiben wegen endlicher Blocklänge, Hardware und zusätzlicher Übertragungskosten darunter; interpretiere C deshalb als Obergrenze. Sie ist keine direkt garantierte Nutzdatenrate für ein beliebiges WLAN oder Modem. Prüfe auch das angenommene Rauschmodell.
Bei konstantem linearem SNR ist C proportional zu B. Eine Verdopplung der Bandbreite verdoppelt daher die Formelkapazität. In realen Kanälen kann die zusätzliche Bandbreite jedoch mehr Rauschen aufnehmen, sodass SNR nicht konstant bleibt. Die einfache Skalierung gilt nur, wenn das Verhältnis S/N für die betrachtete Bandbreite festgehalten wird und das AWGN-Modell passt. Die Schranke setzt einen bandbegrenzten AWGN-Kanal und geeignetes Codieren voraus. Praktische Protokolle bleiben wegen endlicher Blocklänge, Hardware und zusätzlicher Übertragungskosten darunter; interpretiere C deshalb als Obergrenze. Sie ist keine direkt garantierte Nutzdatenrate für ein beliebiges WLAN oder Modem. Prüfe auch das angenommene Rauschmodell.
Die Informationstheorie sagt, dass Raten unterhalb der Kapazität mit passender Codierung und ausreichend langen Codeblöcken beliebig zuverlässig werden können. Das ist eine Existenzgrenze, keine Bauanleitung für einen kurzen Code. Nähe zur Grenze kostet typischerweise Rechenaufwand, Verzögerung und Komplexität. Berücksichtige außerdem Bandbreitenbegrenzung, Kanaländerung und Implementierungsverluste, bevor du eine reale Datenrate planst. Die Schranke setzt einen bandbegrenzten AWGN-Kanal und geeignetes Codieren voraus. Praktische Protokolle bleiben wegen endlicher Blocklänge, Hardware und zusätzlicher Übertragungskosten darunter; interpretiere C deshalb als Obergrenze. Sie ist keine direkt garantierte Nutzdatenrate für ein beliebiges WLAN oder Modem. Prüfe auch das angenommene Rauschmodell.
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