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Die Vis-viva-Gleichung bestimmt den Bahngeschwindigkeitsbetrag eines Körpers an einem Ort einer gebundenen Keplerellipse aus Zentralparameter, aktuellem Radius und großer Halbachse.
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Formel
v in km/s oder m/s · μ in km3/s2 oder m3/s2 · r und a in derselben Längeneinheit
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit, nicht ihre Richtung | km/s oder m/s | |
| Gravitationsparameter des Systems, für einen Testkörper nahe einer Zentralmasse μ=GM | km3/s2 oder m3/s2 | |
| Momentaner Abstand zwischen den Körperzentren | km oder m | |
| Große Halbachse der gebundenen elliptischen Bahn | km oder m |
v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)Die Gleichung folgt aus der Erhaltung der spezifischen mechanischen Energie: v2/2−μ/r=−μ/(2a). Für einen Testkörper um eine kugelsymmetrische Zentralmasse ist μ=GM; bei einer relativen Zweikörperbahn ist μ=G(M+m). Sie gilt im idealen Newtonschen Zweikörperproblem ohne Störungen, Widerstand oder Antrieb. Bei der Ellipse ist a>0 und r variiert zwischen Periapsis und Apoapsis. Kreisbahngeschwindigkeit ist der Spezialfall r=a; die Fluchtgeschwindigkeit folgt nicht durch Einsetzen einer Ellipsenbahn, sondern aus der parabolischen Energiegrenze.
Gilt im ungestörten Newtonschen Zweikörperproblem für eine gebundene Ellipse mit a>0. μ ist für einen Testkörper GM der Zentralkörpermasse; in der relativen Bahn zweier Körper gilt μ=G(M+m). r und a müssen dieselbe Längeneinheit verwenden.
Die spezifische Bahnenergie bleibt konstant und hängt auf einer Ellipse nur von der großen Halbachse a ab.
Geschwindigkeit
Bei einer Ellipse muss der Ausdruck unter der Wurzel nichtnegativ sein.
Große Halbachse
Für eine gebundene Ellipse ist a positiv.
Eine Erde-umkreisende Ellipse hat μ=398600 km3/s2, a=10000 km und am Perizentrum r=7000 km. Wie groß ist die Geschwindigkeit?
v2=398600(2/7000−1/10000)=74,0 km2/s2; v≈8,60 km/s.
Die Einheiten kürzen sich zu km2/s2 unter der Wurzel.
Wie ändert sich die Geschwindigkeit zwischen Periapsis und Apoapsis einer gebundenen Ellipse?
Sie ist am Periapsis größer, weil r dort kleiner ist und die Flächensatz-Bewegung am zentrumsnahen Bahnpunkt schneller abläuft.
Die Kreisbahngleichung √(μ/r) auf einen elliptischen Bahnpunkt anwenden.
Nutze den Term 2/r−1/a; nur im Kreisfall r=a vereinfacht er sich zu 1/r.
r und a mit unterschiedlichen Einheiten einsetzen oder a mit dem momentanen Abstand verwechseln.
Rechne beide Längen in dieselbe Einheit um; a bleibt für die gesamte Bahn konstant.
Formelcluster
Die Vis-viva-Gleichung verallgemeinert die Kreisbahngeschwindigkeit auf elliptische Bahnpunkte und ergänzt Kepler III um eine lokale Geschwindigkeitsangabe.
Für eine Erde-umkreisende Ellipse mit μ=398600 km3/s2, a=10000 km und r=7000 km gilt v=√[398600(2/7000−1/10000)]≈8,60 km/s. Am Apozentrum r=13000 km ergibt sich rund 4,63 km/s. Probe: Der Körper ist am erdnäheren Perizentrum schneller.
Geschwindigkeit an Periapsis, Apoapsis oder einem bekannten Bahnpunkt bestimmen und elliptische Transferbahnen energetisch vergleichen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Vis-viva-Gleichung für elliptische Bahnen (v² = μ(2/r − 1/a)).
Aufgabe
Eine Erde-umkreisende Ellipse hat μ=398600 km3/s2, a=10000 km und am Perizentrum r=7000 km. Wie groß ist die Geschwindigkeit?
Rechenweg
v2=398600(2/7000−1/10000)=74,0 km2/s2; v≈8,60 km/s.
Die Einheiten kürzen sich zu km2/s2 unter der Wurzel.
Aufgabe
Wie ändert sich die Geschwindigkeit zwischen Periapsis und Apoapsis einer gebundenen Ellipse?
Rechenweg
Sie ist am Periapsis größer, weil r dort kleiner ist und die Flächensatz-Bewegung am zentrumsnahen Bahnpunkt schneller abläuft.
Sie berechnet den Betrag der Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt einer idealen Keplerbahn. Dafür genügen der Gravitationsparameter μ des Systems, der momentane Abstand r vom Kraftzentrum und die große Halbachse a der gesamten Bahn: v2=μ(2/r−1/a). Die Gleichung folgt aus der Erhaltung der spezifischen mechanischen Energie. Sie gibt keine Bewegungsrichtung an; dafür braucht man zusätzlich Bahnelemente oder Geschwindigkeitskomponenten. Bei einer Ellipse verändert sich r entlang der Bahn, während a konstant bleibt. So erklärt die Formel, warum ein Körper am Periapsis schneller und am Apoapsis langsamer ist.
Die Kreisbahngeschwindigkeit v=√(μ/r) setzt einen konstanten Bahnradius voraus. Die Vis-viva-Gleichung berücksichtigt zusätzlich die große Halbachse a und gilt an unterschiedlichen Punkten einer elliptischen Bahn. Setzt man für den Kreisfall r=a, wird 2/r−1/a zu 1/r; damit entsteht genau die Kreisbahngleichung. Bei einer Ellipse sind r und a im Allgemeinen verschieden. Verwende deshalb nicht einfach den Kreiswert am Periapsis oder Apoapsis: Dort sagt die Vis-viva-Gleichung eine abweichende Geschwindigkeit voraus, abhängig von Exzentrizität und Position. Am Punkt r=a ist der momentane Betrag gleich der Kreisbahngeschwindigkeit desselben Radius; das bedeutet aber nicht, dass die übrige Bahn kreisförmig ist.
Für eine gebundene Ellipse ist die Gesamtenergie negativ und a positiv. Die parabolische Grenzbahn hat gerade die spezifische Gesamtenergie null; formal entspricht das 1/a=0. In diesen Grenzfall wird v2=2μ/r und damit die bekannte lokale Fluchtgeschwindigkeit. Das ist eine Grenzbetrachtung und keine elliptische Bahn mit endlicher Halbachse. Die Fluchtgeschwindigkeit beschreibt den minimalen Startwert, der im idealen Modell bis ins Unendliche reicht; vis-viva beschreibt dagegen die Geschwindigkeit eines Körpers, dessen Bahnform und Energie bereits feststehen. Am jeweiligen Radius ist dies die Grenzgeschwindigkeit, bei der die Bahn nicht mehr geschlossen bleibt und der Körper gerade nicht zurückkehrt.
Verwende μ=398600 km3/s2, a=10000 km und r=7000 km. Zuerst ergibt der Klammerausdruck 2/7000−1/10000≈0,0001857 km−1. Mit μ multipliziert erhältst du v2≈74,0 km2/s2; die Wurzel ist v≈8,60 km/s. Die Einheitenprobe ist wichtig: km3/s2 mal km−1 liefert km2/s2. Am Apozentrum derselben Ellipse ist r=13000 km und v≈4,63 km/s. Der niedrigere Wert passt dazu, dass ein gebundener Körper am weiter entfernten Bahnpunkt langsamer läuft. Die Gegenprobe liefert am gegenüberliegenden Bahnpunkt r=13000 km die Geschwindigkeit 4,63 km/s; beide Apsiden liegen symmetrisch um a=10000 km. Die negative spezifische Energie bestätigt die gebundene Bahn.
Die Herleitung nimmt ein Newtonsches Zweikörperproblem an: eine zentrale, kugelsymmetrische Masse, keine weiteren gravitativen Störungen, kein Luftwiderstand und keinen laufenden Antrieb. Für einen Testkörper ist μ=GM der Zentralmasse; bei der relativen Bahn zweier vergleichbarer Körper muss μ=G(M+m) eingesetzt werden. Bahnparameter müssen dieselbe Bezugsebene und kompatible Längeneinheiten verwenden. Reale Satelliten können durch Abplattung, Monde, Strahlungsdruck oder Atmosphäre abweichen. Für präzise Navigation reicht die Formel allein daher nicht; sie ist eine grundlegende Energiebeziehung und ein guter Plausibilitätscheck. Bei Satelliten um einen Planeten kann die Zentralmasse oft als dominant behandelt werden; bei Doppelsternen ist die Relativbewegung maßgeblich.
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