Physik · Orbitalmechanik

Kreisbahngeschwindigkeit im Gravitationsfeld

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zu Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn?

Modellwerte: $GM$=4,00×10¹⁴ m³/s², Zentralradius R=6,40×10⁶ m und Höhe h=1,60×10⁶ m. Die Satellitenmasse ist vernachlässigbar; die Bahn liegt außerhalb der Atmosphäre. Addiere Radius und Höhe, bevor du die Wurzel bildest. Teile den vollen Bahnumfang durch den Geschwindigkeitsbetrag. v≈7,07 km/s und T≈118,5 min. Einsetzen von h allein würde eine falsche Kreisbahn innerhalb des Zentralradius beschreiben. $\frac{v^2}r$=6,25 m/s² stimmt mit $\frac{GM}{r^2}$=6,25 m/s² überein. Unabhängig liefert $2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ dieselbe Periode. Für den leichten Satelliten darf $\mu\approx GM$ eingesetzt werden. Alle Größen müssen zu demselben Modell und Abstand gehören.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn?

Für den leichten Satelliten darf $\mu\approx GM$ eingesetzt werden. Alle Größen müssen zu demselben Modell und Abstand gehören. Ein katalogisierter $GM$-Wert ist praktisch, weil man G und die Zentralmasse nicht separat multiplizieren muss. Verwende seine angegebenen Einheiten: km³/s² wird mit 10⁹ in m³/s² umgerechnet. Die im Folgenden verwendeten Parameter sind ausdrücklich gerundete Modellwerte, keine behaupteten Präzisionsmessungen. Für feste μ gilt $v\propto r^{-1/2}$, aber $T\propto r^{3/2}$. Weiter draußen bewegt sich ein Kreisbahnkörper langsamer und braucht für die längere Bahn zusätzlich mehr Zeit. μ ist hier der Gravitationsparameter, nicht die reduzierte Masse. r ist die konstante Trennung der Körper; rm und rM sind ihre Schwerpunktabstände.

Für einen leichten Satelliten um eine dominierende Zentralmasse liefert Gravitation die Kreisbahnbeschleunigung; $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ ist der erforderliche Geschwindigkeitsbetrag.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

v_{orb} = \frac{GM}{r}

v in $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; G in $\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ ; M in kg; r in m.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
vorb	Kreisbahngeschwindigkeitsbetrag des leichten Satelliten relativ zum dominierenden Zentralkörper	m/s
$G$	Gravitationskonstante	N·m²/kg²
$M$	Masse des dominierenden Zentralkörpers bei m≪M	kg
$r$	Mittelpunktabstand der Körper; für Höhe h über Radius R gilt r=R+h	m

LaTeX

v_{\mathrm{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}

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Zwei Körper auf konzentrischen Kreisbahnen mit gemeinsamem Schwerpunkt O: M links im Radius rM, m rechts im dreifachen Radius rm. Tangentialgeschwindigkeiten zeigen entgegengesetzt und haben ebenfalls Betragsverhältnis 1:3; r ist die Summe der Radien. — Zweikörper-Kreisbahn um den gemeinsamen Schwerpunkt O, hier M = 3m. Die Radien und Geschwindigkeitsbeträge stehen im Verhältnis 1:3; vrel = √(G(M+m)/r) ist die relative Geschwindigkeit, nicht die Geschwindigkeit jedes Körpers.

Kreisbahngeschwindigkeit berechnen

Bahngeschwindigkeit, Bahnradius oder Umlaufzeit eines Satelliten auf einer Kreisbahn ausrechnen, auch für zwei ähnlich schwere Körper um ihren Schwerpunkt.

Rechenmodell

Gesucht

Gravitationsparameter μ = G · M

μ = G · M des Zentralkörpers, für die Erde 398 600 km³/s², für die Sonne 1,327 · 10¹¹ km³/s².

Bahnradius r (ab Mittelpunkt)

Abstand zum Mittelpunkt, nicht die Höhe: bei der ISS 6371 km + 400 km = 6771 km.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach v, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach v umstellen
$v=\sqrt{\frac\mu r}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- μ = 398 600 km³/s² = 3,986 · 10¹⁴ m³/s²
- r = 6771 km = 6 771 000 m
$\sqrt{\frac{398600000000000}{6771000}}=7672{,}59$
3. Ergebnis
v = 7673 m/s

Ergebnis: Bahngeschwindigkeit v

v = 7673 m/s

Mit μ = 398 600 km³/s² und r = 6771 km ergibt sich v = 7673 m/s.

So rechnest du schneller

Vierfacher Bahnradius, halbe Geschwindigkeit: v ist proportional zu 1/√r. Die Umlaufzeit wächst dagegen mit r hoch 3/2, beim vierfachen Radius also auf das Achtfache.
Der Radius zählt ab dem Erdmittelpunkt: 6371 km plus Höhe. Die ISS in 400 km Höhe hat r ≈ 6771 km und fliegt mit rund 7,7 km/s.

Annahmen und Grenzen

Leichter Probekörper um eine als fest behandelte dominante Zentralmasse, ideale Newtonsche Kreisbahn im kugelsymmetrischen Außenfeld mit r>0 und μ=GM>0. Geschwindigkeit rein tangential, Gravitation die einzige Kraft; keine Atmosphäre, Antrieb oder dritte Körper. Ergebnis ist ein Betrag, kein Bahnrichtungs- oder Startmanövermodell.

Herleitung & Hintergrund

Die ideale Newtonsche Kreisbahn verlangt rein tangentiale Geschwindigkeit und Gravitation als einzige Kraft. Ein leichter Satellit hat $v=\sqrt{\frac{GM}r}$ , wobei $r=R+h$ den Mittelpunktabstand bezeichnet. Für zwei bewegliche Partner gilt $v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{G(M+m)}r}$ ; ihre Schwerpunktgeschwindigkeiten unterscheiden sich davon. Ellipsen brauchen zusätzlich die große Halbachse. Die Fluchtgeschwindigkeit am selben Abstand ist im verlustfreien Modell um den Faktor $\sqrt2$ größer als die Kreisbahngeschwindigkeit.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Ideale Newtonsche Kreisbahn bei konstanter Trennung, rein tangentialer Geschwindigkeit und ohne Widerstand, Antrieb oder dritte Körper. $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ setzt m≪M voraus; allgemein gilt für die Relativgeschwindigkeit √(G(M+m)/r). r ist der Mittelpunktabstand, keine Höhe.

Herleitung in Schritten

Im Testmassenmodell liefert allein die Gravitation die für eine Kreisbahn benötigte radiale Beschleunigung.

1Betrachte einen leichten Satelliten mit $m\ll M$ außerhalb einer kugelsymmetrischen Zentralmasse.
2Messe den Mittelpunktabstand; bei Höhe h über dem Radius R ist $r=R+h$ .
3Die rein tangentiale Kreisbahn verlangt die radiale Beschleunigung $\frac{v^2}r$ .
4Gravitation ist die einzige Kraft: $\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}r$ .
5Kürze die Satellitenmasse und stelle nach $v^2=\frac{GM}r$ um.
6Die positive Wurzel gibt den Betrag. Für zwei bewegliche Partner gilt stattdessen $v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{G(M+m)}r}$ .

Umstellen

Bahnradius

r=\frac{GM}{v_{\mathrm{orb}}^2}

Gilt für eine Kreisbahn.

Aufgabenvariante

Ein leichter Satellit läuft auf einer idealen Kreisbahn im Mittelpunktabstand $r=7{,}0\cdot10^6\,\mathrm m$ . Verwende $G=6{,}674\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ und $M=5{,}97\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ . Bestimme den tangentialen Geschwindigkeitsbetrag.

Ansatz: $v=\sqrt{\frac{GM}r}$ .
Einsetzen liefert etwa $7544{,}51\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , als gerundeten Modellwert 7,54 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: $\frac{v^2}r=\frac{GM}{r^2}$ . Die Zahlenrechnung allein bestimmt noch keine Richtung; die Kreisbahn verlangt Tangentialbewegung.

Typische Fehler

Höhe statt Mittelpunktabstand einsetzen oder Gravitation und Zentripetalkraft als zwei verschiedene Kräfte addieren.

Verwende $r=R+h$ . Gravitation liefert hier die gesamte radiale Kraft; der berechnete Betrag verlangt zusätzlich eine tangentiale Geschwindigkeit.

Klausurkontext

Bahngeschwindigkeiten von Satelliten und Planeten in Kreisbahnnäherung bestimmen.

Formelcluster

Orbitalmechanik

Verwandte Beziehungen: kepler-drittes-gesetz, gravitationsgesetz, zentripetalkraft-kreisbewegung.

T²/a³ = 4π²/[G(M+m)]

Drittes Keplersches Gesetz

F = G·m₁m₂/r²

Newtonsches Gravitationsgesetz

Fz = m·v²/r

Zentripetalkraft (Kreisbewegung)

Rechenbeispiel

Für einen leichten Satelliten in $r=7{,}0\cdot10^{6}\,\mathrm{m}$ mit $G=6{,}674\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ und $M=5{,}97\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ ist $v\approx7544{,}51\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ≈7,54 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ . r ist der Mittelpunktabstand.

Anwendungsgebiete

Bahngeschwindigkeiten von Satelliten und Planeten in Kreisbahnnäherung bestimmen.

Rechenbeispiel: Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn (vorb = √(GM/r)).

1
Aufgabe
Ein leichter Satellit läuft auf einer idealen Kreisbahn im Mittelpunktabstand $r=7{,}0\cdot10^6\,\mathrm m$ . Verwende $G=6{,}674\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ und $M=5{,}97\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ . Bestimme den tangentialen Geschwindigkeitsbetrag.
Rechenweg
1. Ansatz: $v=\sqrt{\frac{GM}r}$ .
2. Einsetzen liefert etwa $7544{,}51\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , als gerundeten Modellwert 7,54 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ .
Kontrolle: $\frac{v^2}r=\frac{GM}{r^2}$ . Die Zahlenrechnung allein bestimmt noch keine Richtung; die Kreisbahn verlangt Tangentialbewegung.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Kreisbahn braucht eine ganz bestimmte tangentiale Geschwindigkeit: Die Gravitation krümmt die Bahn, während der Abstand konstant bleibt. Die bekannte Formel $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ beschreibt den leichten Satelliten um eine dominierende Masse. Bei vergleichbaren Massen bewegen sich beide Körper; dann ist zuerst ihre Relativbewegung zu berechnen.

Warum ein Satellit nicht einfach geradeaus fliegt

Ein Satellit braucht für eine Kreisbahn eine passende tangentiale Geschwindigkeit. Die Gravitation ändert dann fortlaufend seine Bewegungsrichtung, ohne den Geschwindigkeitsbetrag zu ändern. Entscheidend ist der Abstand zum Zentrum, nicht die Höhe über der Oberfläche. Wir beginnen mit einem leichten Satelliten und unterscheiden später die beiden beweglichen Partner einer Doppelbahn.[1]

Vorwissen: Kreisbewegung und Gravitationskraft. „Zentripetal“ bedeutet zum Zentrum gerichtet; es benennt hier die Wirkung der Gravitation, keine zweite Kraft.

Wie berechnet man die tangentiale Kreisbahngeschwindigkeit und den richtigen Radius?

v_{\mathrm{orb}}\simeq\sqrt{\frac{GM}{r}}\qquad(m\ll M)

Hier ist v der Geschwindigkeitsbetrag des leichten Satelliten relativ zum dominierenden Zentralkörper in der Newtonschen Kreisbahnnäherung.[1]

r misst den Abstand zwischen den Massenmittelpunkten. Für eine kugelsymmetrische Zentralmasse mit Radius R und einen Satelliten in Höhe h gilt $r=R+h$ . Die Formel gilt außerhalb des Körpers, wenn dessen Feld durch ein Zentralfeld beschrieben werden kann. Die Bahngeschwindigkeit zeigt tangential, die Beschleunigung radial nach innen. Die Geschwindigkeit hat damit wechselnde Richtung, obwohl ihr Betrag konstant ist.[1]

Bild ansehen: Größere Kreisbahnen verlangen kleineren Geschwindigkeitsbetrag

Größere Kreisbahnen verlangen kleineren Geschwindigkeitsbetrag

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GM

=4,00·10¹⁴

\mathrm{m^3\,s^{-2}}

aus Beispiel 1. Bei r=8 Millionen Metern ist

v\approx7{,}071\,\mathrm{km\,s^{-1}}

, bei vierfachem Radius r=32 Millionen Metern

v\approx3{,}536\,\mathrm{km\,s^{-1}}

. Jeder Punkt beschreibt eine andere Kreisbahn im gleichen idealisierten Außenfeld, keinen spontanen radialen Flug.[1]

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Gravitation liefert die Kreisbahnbeschleunigung

Für einen leichten Satelliten der Masse m ist die notwendige Zentripetalbeschleunigung $\frac{v^2}{r}$ . Die einzige Kraft im idealen Modell ist die Gravitation $\frac{GMm}{r^2}$ . Setze ihre Beträge gleich und kürze die Satellitenmasse. Zentripetalkraft ist hier der Name für die radiale resultierende Kraft, keine zusätzliche Kraft neben der Gravitation.[1]

\begin{aligned}\frac{mv^2}{r}&=\frac{GMm}{r^2}\\v^2&=\frac{GM}{r}\\v&=\sqrt{\frac{GM}{r}}\end{aligned}

Der positive Wurzelzweig liefert einen Betrag. Beide Umlaufrichtungen sind möglich; der Geschwindigkeitsvektor muss zusätzlich tangential gewählt werden.[1]

Dass m verschwindet, bedeutet nur: Im Testmassenmodell haben Satelliten bei gleichem r dieselbe erforderliche Geschwindigkeit. Es bedeutet nicht, dass die Masse eines zweiten schweren Körpers im allgemeinen Zweikörperproblem keinen Einfluss hat. Dort beschleunigt auch die erste Masse merklich.[2]

Vertiefung anzeigen: Zwei bewegliche Körper und ihr gemeinsamer Schwerpunkt

\begin{aligned}&\mu=G(M+m)\\&v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{\mu}{r}}\\&r_m=\frac{M}{M+m}r\\&r_M=\frac{m}{M+m}r\end{aligned}

$\mu$ ist hier der Gravitationsparameter, nicht die reduzierte Masse. r ist die konstante Trennung der Körper; $r_m$ und $r_M$ sind ihre Schwerpunktabstände.[2]

\begin{aligned}&v_m=\frac{M}{M+m}v_{\mathrm{rel}}\\&v_M=\frac{m}{M+m}v_{\mathrm{rel}}\end{aligned}

Die Beträge beziehen sich auf den ruhenden gemeinsamen Schwerpunkt; die Geschwindigkeitsvektoren der Körper zeigen entgegengesetzt.[2]

Die relative Beschleunigung ergibt sich aus der Summe der beiden aufeinander gerichteten Beschleunigungsbeträge: $\frac{G(M+m)}{r^2}$ . Ihre Kreisbewegung hat Radius r. Jeder einzelne Körper dagegen läuft mit demselben $\omega$ um den Schwerpunkt, aber auf seinem eigenen kleineren Radius. Vermische deshalb $v_{\mathrm{rel}}$ nicht mit $r_m$ in der Zentripetalgleichung.[2]

Wie hängen Gravitationsparameter, Bahnradius und Umlaufzeit zusammen?

\begin{aligned}[\mu]&=\mathrm{m^3/s^2}\\{} [\sqrt{\frac{\mu}{r}}]&=\mathrm{m/s}\\{} r&=\frac{\mu}{v_{\mathrm{rel}}^2}\\{} T&=\frac{2\pi r}{v_{\mathrm{rel}}}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu}}\end{aligned}

Für den leichten Satelliten darf $\mu$ ≈ $GM$ eingesetzt werden. Alle Größen müssen zu demselben Modell und Abstand gehören.[1][2]

Ein katalogisierter $GM$ -Wert ist praktisch, weil man G und die Zentralmasse nicht separat multiplizieren muss. Verwende seine angegebenen Einheiten: $\mathrm{km^3\,s^{-2}}$ wird mit 10⁹ in $\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ umgerechnet. Die im Folgenden verwendeten Parameter sind ausdrücklich gerundete Modellwerte, keine behaupteten Präzisionsmessungen. Für feste $\mu$ gilt $v\propto r^{-1/2}$ , aber $T\propto r^{3/2}$ . Weiter draußen bewegt sich ein Kreisbahnkörper langsamer und braucht für die längere Bahn zusätzlich mehr Zeit.[1]

Höhe richtig nutzen und beide Körper verfolgen

Leichter Satellit in einem gerundeten Zentralfeld

Gegeben: Modellwerte: $GM$ =4,00×10¹⁴ $\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ , Zentralradius $R=6{,}40\cdot10^{6}\,\mathrm{m}$ und Höhe $h=1{,}60\cdot10^{6}\,\mathrm{m}$ . Die Satellitenmasse ist vernachlässigbar; die Bahn liegt außerhalb der Atmosphäre.
Gesucht: Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit bestimmen.

Ansatz: Für den leichten Satelliten auf Kreisbahn gilt $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ , $r=R+h$ und $T=\frac{2\pi r}{v}$ . Addiere Radius und Höhe, bevor du die Wurzel bildest.
$\begin{aligned}r&=R+h=8.00\times10^6\,\mathrm m\\{} v&=\sqrt{\frac{4.00\times10^{14}}{8.00\times10^6}}\approx7071.07\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$
Teile den vollen Bahnumfang durch den Geschwindigkeitsbetrag.
$T=\frac{2\pi(8.00\times10^6)}{7071.07}\approx7108.61\,\mathrm s$

Ergebnis: $v\approx7{,}07\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ und T≈118,5 min. Einsetzen von h allein würde eine falsche Kreisbahn innerhalb des Zentralradius beschreiben.

Kontrolle: $\frac{v^2}{r}=6{,}25\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ stimmt mit $\frac{GM}{r^2}=6{,}25\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ überein. Unabhängig liefert $T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ dieselbe Periode.

Zwei vergleichbar schwere Körper

Gegeben: $M=6{,}00\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $m=2{,}00\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ , Trennung $r=2{,}00\cdot10^{8}\,\mathrm{m}$ . Verwende als Modellwert $G=6{,}6743\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ ; die Körper sind gegenüber r kompakt.
Gesucht: Relative Geschwindigkeit und beide Schwerpunktgeschwindigkeiten finden.

Ansatz: Bei zwei vergleichbaren Massen ist $v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{G(M+m)}r}$ ; Schwerpunktfaktoren verteilen diesen Betrag auf beide Körper. Für die Relativbahn zählt die Summe der Massen.
$\begin{aligned}\mu&=6.6743\times10^{-11}(8.00\times10^{24})=5.33944\times10^{14}\,\mathrm{m^3/s^2}\\{} v_{\mathrm{rel}}&=\sqrt{\frac{\mu}{r}}\approx1633.93\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$
Verteile Trennung und Geschwindigkeit nach den Schwerpunktfaktoren.
$\begin{aligned}r_m&=1.50\times10^8\,\mathrm m\\{} r_M&=0.50\times10^8\,\mathrm m\\{} v_m&\approx1225.45\,\mathrm{m/s}\\{} v_M&\approx408.48\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Körper haben relativ zueinander etwa 1,634 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ ; der leichtere bewegt sich im Schwerpunktssystem mit etwa 1,225 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ , der schwerere mit 0,4085 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: Die Geschwindigkeitsbeträge addieren sich zu $v_{\mathrm{rel}}$ ; $Mv_M=mv_m$ . Für den leichteren Körper ergibt $\frac{v_m^2}{r_m}\approx0{,}01001\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ und ebenso $\frac{GM}{r^2}$ . Das prüft den richtigen Einzelradius.

Kreisbahn ist nicht Fluchtbahn

\begin{aligned}&\varepsilon=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}{2}-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2r}\\&v_{\mathrm{esc,rel}}=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}=\sqrt2\,v_{\mathrm{circ,rel}}\end{aligned}

ε ist die relative Bahnenergie pro reduzierter Masse im isolierten Newtonschen Zweikörpersystem. Für die Testmasse ist es die Energie pro Satellitenmasse.[3][2]

Ein Kreisbahnkörper ist gebunden: Seine Energie ist negativ. Die Fluchtgeschwindigkeit am gleichen Abstand ist größer und entspricht im verlustfreien Grenzfall der Energie null. Diese Beziehung liefert keinen vollständigen Raketenstartbedarf: Rotation des Startkörpers, Atmosphäre, Antriebsverlauf und bereits vorhandene Geschwindigkeit gehören zu einer gesonderten Missionsbilanz. Die gravitative potentielle Energie muss dabei mit demselben Unendlichkeitsnullpunkt wie die Gesamtenergie angesetzt werden.[3]

v_{\mathrm{rel}}^2=\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)

Für die Ellipse wird zusätzlich die große Halbachse a benötigt. Nur im Kreisfall $a=r$ vereinfacht sich die rechte Seite zu $\frac\mu r$ .[1][2]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Umstellen · Einstieg

In einem Zentralfeld mit $\mu=3{,}20\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ soll ein leichter Satellit auf einer Kreisbahn mit $v=4{,}00\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ laufen. Bestimme r.

Hinweis anzeigen

Zuerst v in $\mathrm{m\,s^{-1}}$ umrechnen und dann quadrieren.

Lernziel: Den Kreisbahnradius aus Geschwindigkeit und Gravitationsparameter rekonstruieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Stelle die Kreisbahnbedingung nach $r=\frac\mu{v^2}$ um und rechne Kilometer pro Sekunde vor dem Quadrieren in Meter pro Sekunde um.
$r=\frac{\mu}{v^2}=\frac{3{,}20\cdot10^{14}}{4000^2}\,\mathrm m=2{,}00\cdot10^7\,\mathrm m$ .
Das ist der Mittelpunktabstand, keine Höhe; für die Höhe müsste ein Zentralradius bekannt sein.

r=2.00\times10^7\,\mathrm m

Interpretieren · Anwenden

Eine ideale Kreisbahn wird bei gleichem $\mu$ auf den vierfachen Radius geändert. Wie ändern sich Kreisbahngeschwindigkeit und Periode?

Hinweis anzeigen

Vergleiche zwei Kreisbahnzustände; die Übergangsbewegung ist keine Kreisbahn.

Lernziel: Geschwindigkeits- und Periodenskalierung zweier Kreisbahnen unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei gleichem $\mu$ gilt $v\propto r^{-1/2}$ , während $T\propto r^{3/2}$ .
$\frac{v_2}{v_1}=\frac1{\sqrt4}=\frac12$ .
$\frac{T_2}{T_1}=4^{3/2}=8$ .
Die Vergrößerung braucht eine passende Bahnänderung; die Relation beschreibt nicht, dass ein Satellit von selbst radial nach außen driftet.

\begin{aligned}\frac{v_2}{v_1}&=\frac12\\{} \frac{T_2}{T_1}&=8\end{aligned}

Transfer · Vertiefen

Zwei gleich schwere Körper haben eine relative Kreisbahngeschwindigkeit von 2,0 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ . Wie schnell bewegt sich jeder relativ zum Schwerpunkt, und wie groß wäre die relative Fluchtgeschwindigkeit bei derselben Trennung?

Hinweis anzeigen

Bei gleichen Massen teilt sich $v_{\mathrm{rel}}$ in zwei gleiche Beträge.

Lernziel: Relative Bahngeschwindigkeit, Schwerpunktgeschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Gleiche Massen teilen die relative Geschwindigkeit gleichmäßig: $v_M=v_m=\frac12v_{\mathrm{rel}}$ ; die relative Fluchtschwelle ist $\sqrt2\,v_{\mathrm{circ,rel}}$ .
Jeder bewegt sich mit 1,0 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ in entgegengesetzter Richtung.
Die relative Fluchtgeschwindigkeit ist √2·2,0≈2,83 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ ; bei symmetrischer Flucht im Schwerpunktssystem wären es je etwa 1,41 $\mathrm{km\,s^{-1}}$ .

\begin{aligned}v_m&=v_M=1.0\,\mathrm{km/s}\\{} v_{\mathrm{esc,rel}}&\approx2.83\,\mathrm{km/s}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Ein Testkörper umläuft eine Punktmasse auf einer Newtonschen Kreisbahn. Gegeben sind $\mu=4{,}0\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ und $r=1{,}0\cdot10^{7}\,\mathrm{m}$ . Ein Freikörperbild zeigt eine Gravitationskraft nach innen und eine gleich große „Zentripetalkraft“ nach außen. Korrigiere das Bild und bestimme den Beschleunigungsbetrag. Wird der Körper wegen dieser Beschleunigung auf der Kreisbahn schneller?

Hinweis anzeigen

Zentripetalkraft bezeichnet die resultierende Kraft nach innen. Im Inertialsystem ist sie keine zusätzliche Kraft, die Gravitation aufhebt.

Lernziel: Gravitation als notwendige Zentripetalkraft statt als ausgeglichene Gegenkraft verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Gravitationsbeschleunigung am Bahnradius bestimmen.
Sie beträgt 4,0 $\mathrm{m\,s^{-2}}$ nach innen; das korrekte Freikörperbild enthält nur die Gravitationskraft.
Diese ist zugleich die Zentripetalkraft.
Die Geschwindigkeit ändert ihre Richtung, nicht ihren Betrag.

Kontrolle: Bei $v\approx6325\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ liefert $\frac{v^2}r$ denselben Beschleunigungsbetrag; senkrechte Kraft und Geschwindigkeit ergeben keine momentane Leistungsübertragung.

\begin{aligned}a_r&=\frac\mu{r^2}=4.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}\\{}v_{\mathrm{circ}}&=\sqrt{\frac\mu r}\approx6325\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\{}\frac{v_{\mathrm{circ}}^2}{r}&=a_r\\{}\vec F\cdot\vec v&=0\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Vertiefen

Ein Testkörper läuft auf einer Ellipse mit großer Halbachse $a=1{,}0\cdot10^{7}\,\mathrm{m}$ und äußerstem Abstand $r_a=1{,}5\cdot10^{7}\,\mathrm{m}$ bei $\mu=3{,}0\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ . Eine Lösung nennt $\sqrt{\frac\mu{r_a}}$ seine Geschwindigkeit dort. Prüfe mit der Vis-Viva-Gleichung und vergleiche die echte Geschwindigkeit mit der lokalen Kreisbahngeschwindigkeit.

Hinweis anzeigen

Für die Ellipse verwendet man $v^2=\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)$ . Nur bei der Kreisbahn gilt überall $a=r$ .

Lernziel: Die Kreisbahnformel nicht auf einen beliebigen Punkt einer elliptischen Bahn übertragen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Den äußersten Abstand in die elliptische Energiebeziehung einsetzen.
Die tatsächliche Geschwindigkeit beträgt etwa 3162 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ , die lokale Kreisbahngeschwindigkeit etwa 4472 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Ihr Verhältnis ist $\frac1{\sqrt2}$ .

Kontrolle: Die Ellipse hat am äußeren Bahnpunkt weniger Geschwindigkeit als die Kreisbahn desselben Radius. Die momentane Radialbeschleunigung bleibt gravitativ; die Bahnkrümmung ist dort aber nicht die eines Kreises mit Radius r_a.

\begin{aligned}v_a^2&=\mu\left(\frac2{r_a}-\frac1a\right)=1.0\cdot10^7\,\mathrm{m^2/s^2}\\v_a&\approx3162\,\mathrm{m/s}\\v_{\mathrm{circ}}&=\sqrt{\frac\mu{r_a}}\approx4472\,\mathrm{m/s}\\\frac{v_a}{v_{\mathrm{circ}}}&=\sqrt{2-\frac{r_a}{a}}=\frac1{\sqrt2}\end{aligned}

[3][1]

Gültigkeit, Bahnrichtung und reale Abweichungen

Die Kreisbahn braucht konstante Trennung und genau passende rein tangentiale Relativgeschwindigkeit. Eine radiale Komponente oder ein anderer Geschwindigkeitsbetrag liefert im Allgemeinen eine andere Keplerbahn. Allein „die Geschwindigkeit ist $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ “ genügt ohne Richtung nicht. Eine höhere Geschwindigkeit ist nicht automatisch Flucht: Zwischen Kreis- und Fluchtgeschwindigkeit kann eine gebundene Ellipse entstehen.[1][3]

Das Modell vernachlässigt Widerstand, Antrieb, dritte Körper und Abweichungen von Kugelsymmetrie. Innerhalb einer ausgedehnten Masse ist $\frac{GM}{r^2}$ mit deren gesamter Masse im Allgemeinen falsch; in starken relativistischen Feldern ist die Newtonsche Formel ebenfalls nicht ausreichend. Reale Bahnplanung braucht deshalb den passenden Gravitationsparameter, Koordinatenrahmen und gegebenenfalls Störungs- oder Relativitätsmodelle.[1]

Das nimmst du mit

Für den leichten Satelliten setzt du Gravitation und benötigte radiale Kreisbahnkraft gleich. Die Wurzel liefert einen Betrag; die Geschwindigkeit muss zusätzlich tangential sein. Höhe und Mittelpunktabstand auseinanderhalten. Bei vergleichbaren Massen zählt für die relative Geschwindigkeit die Gesamtmasse, für jeden Partner sein eigener Schwerpunktabstand.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Tangentiale Bahnrichtung, Mittelpunktabstand und Umlaufzeit in Frageüberschriften hervorgehoben; Absatzverbindungen zu Zentripetalkraft und Zentralfeldenergie ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Schlussfolgerung individuell erklärt, bestehende Rechnungen geprüft, Formelsatz und Modellbezug präzisiert sowie eine eigene Lernfigur ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/kreisbahn-geschwindigkeit

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn

Was beschreibt Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn physikalisch?+

Hier ist v der Geschwindigkeitsbetrag des leichten Satelliten relativ zum dominierenden Zentralkörper in der Newtonschen Kreisbahnnäherung. r misst den Abstand zwischen den Massenmittelpunkten. Für eine kugelsymmetrische Zentralmasse mit Radius R und einen Satelliten in Höhe h gilt $r=R+h$ . Die Formel gilt außerhalb des Körpers, wenn dessen Feld durch ein Zentralfeld beschrieben werden kann. Die Bahngeschwindigkeit zeigt tangential, die Beschleunigung radial nach innen. Die Geschwindigkeit hat damit wechselnde Richtung, obwohl ihr Betrag konstant ist. Dass m verschwindet, bedeutet nur: Im Testmassenmodell haben Satelliten bei gleichem r dieselbe erforderliche Geschwindigkeit. Es bedeutet nicht, dass die Masse eines zweiten schweren Körpers im allgemeinen Zweikörperproblem keinen Einfluss hat. Dort beschleunigt auch die erste Masse merklich.

Wie prüfe ich eine Rechnung zu Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn?+

Modellwerte: $GM$ =4,00×10¹⁴ m³/s², Zentralradius R=6,40×10⁶ m und Höhe h=1,60×10⁶ m. Die Satellitenmasse ist vernachlässigbar; die Bahn liegt außerhalb der Atmosphäre. Addiere Radius und Höhe, bevor du die Wurzel bildest. Teile den vollen Bahnumfang durch den Geschwindigkeitsbetrag. v≈7,07 km/s und T≈118,5 min. Einsetzen von h allein würde eine falsche Kreisbahn innerhalb des Zentralradius beschreiben. $\frac{v^2}r$ =6,25 m/s² stimmt mit $\frac{GM}{r^2}$ =6,25 m/s² überein. Unabhängig liefert $2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ dieselbe Periode. Für den leichten Satelliten darf $\mu\approx GM$ eingesetzt werden. Alle Größen müssen zu demselben Modell und Abstand gehören.

Welche Annahmen und Grenzen hat Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn?+

Die Kreisbahn braucht konstante Trennung und genau passende rein tangentiale Relativgeschwindigkeit. Eine radiale Komponente oder ein anderer Geschwindigkeitsbetrag liefert im Allgemeinen eine andere Keplerbahn. Allein „die Geschwindigkeit ist $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ “ genügt ohne Richtung nicht. Eine höhere Geschwindigkeit ist nicht automatisch Flucht: Zwischen Kreis- und Fluchtgeschwindigkeit kann eine gebundene Ellipse entstehen. Das Modell vernachlässigt Widerstand, Antrieb, dritte Körper und Abweichungen von Kugelsymmetrie. Innerhalb einer ausgedehnten Masse ist $\frac{GM}{r^2}$ mit deren gesamter Masse im Allgemeinen falsch; in starken relativistischen Feldern ist die Newtonsche Formel ebenfalls nicht ausreichend. Reale Bahnplanung braucht deshalb den passenden Gravitationsparameter, Koordinatenrahmen und gegebenenfalls Störungs- oder Relativitätsmodelle.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn?+

Für den leichten Satelliten darf $\mu\approx GM$ eingesetzt werden. Alle Größen müssen zu demselben Modell und Abstand gehören. Ein katalogisierter $GM$ -Wert ist praktisch, weil man G und die Zentralmasse nicht separat multiplizieren muss. Verwende seine angegebenen Einheiten: km³/s² wird mit 10⁹ in m³/s² umgerechnet. Die im Folgenden verwendeten Parameter sind ausdrücklich gerundete Modellwerte, keine behaupteten Präzisionsmessungen. Für feste μ gilt $v\propto r^{-1/2}$ , aber $T\propto r^{3/2}$ . Weiter draußen bewegt sich ein Kreisbahnkörper langsamer und braucht für die längere Bahn zusätzlich mehr Zeit. μ ist hier der Gravitationsparameter, nicht die reduzierte Masse. r ist die konstante Trennung der Körper; rm und rM sind ihre Schwerpunktabstände.

Wann kombiniere ich Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit einer weiteren Beziehung?+

ε ist die relative Bahnenergie pro reduzierter Masse im isolierten Newtonschen Zweikörpersystem. Dabei gilt $\varepsilon=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}2-\frac\mu r=-\frac\mu{2r}$ auf der Kreisbahn, mit $\mu=G(M+m)$ . Für die Testmasse ist es die Energie pro Satellitenmasse. Ein Kreisbahnkörper ist gebunden: Seine Energie ist negativ. Die Fluchtgeschwindigkeit am gleichen Abstand ist größer und entspricht im verlustfreien Grenzfall der Energie null. Diese Beziehung liefert keinen vollständigen Raketenstartbedarf: Rotation des Startkörpers, Atmosphäre, Antriebsverlauf und bereits vorhandene Geschwindigkeit gehören zu einer gesonderten Missionsbilanz. Für eine elliptische Keplerbahn gilt $v_{\mathrm{rel}}^2=\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)$ mit großer Halbachse a; für $a=r$ folgt $v_{\mathrm{rel}}^2=\frac\mu r$ .

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Hookesches Gesetz (Federkraft)

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Eine ideale Kreisbahn wird bei gleichem μ\muμ auf den vierfachen Radius geändert. Wie ändern sich Kreisbahngeschwindigkeit und Periode?

Zwei gleich schwere Körper haben eine relative Kreisbahngeschwindigkeit von 2,0 km s−1\mathrm{km\,s^{-1}}kms−1. Wie schnell bewegt sich jeder relativ zum Schwerpunkt, und wie groß wäre die relative Fluchtgeschwindigkeit bei derselben Trennung?

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