Physik · Wärmestrahlung

Plancksches Strahlungsgesetz

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zum Planckschen Spektralgesetz?

Wandle λ zuerst in Meter um und bilde $x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}$. Dieser Exponent muss dimensionslos sein. Für 5800 K und 500 nm erhältst du $x\approx4{,}96130$ und $B_\lambda\approx2{,}68822\cdot10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$. Prüfe anschließend, ob dein Ergebnis pro Meter, Nanometer oder Mikrometer gelten soll; pro Nanometer ist der Zahlenwert um 10⁻⁹ kleiner. Bei kleinen x verhindert eine geeignete expm1-Auswertung die ungenaue Subtraktion zweier fast gleicher Zahlen. Ein gemessener Leistungswert braucht außerdem das Wellenlängenband, die projizierte Fläche und den angenommenen Raumwinkel. Der Faktor π ersetzt nicht den kleinen Öffnungswinkel eines Detektors.

Q: Wann kombiniere ich das Plancksche Spektralgesetz mit einer weiteren Beziehung?

Die vollständige Integration liefert mit $M_\lambda=\pi B_\lambda$ das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Die Maximierung von Bλ liefert dagegen $\lambda_{\max}T\approx2{,}89777\cdot10^{-3}\,\mathrm{m\,K}$. Bei 3600 K liegt dieses Maximum bei etwa 0,80494 µm. Für Bν liegt das Maximum bei etwa 211,641 THz; die daraus umgerechnete Wellenlänge 1,41651 µm ist nicht das Bλ-Maximum. Der Wechsel braucht $B_\lambda=B_\nu\frac c{\lambda^2}$, nicht allein $\nu=\frac c\lambda$. Für einen Detektor kombiniere das Spektrum mit seiner Bandbreite, Fläche, Winkelannahme und Transmission. Für einen Stern kommen Oberfläche, Entfernung und gegebenenfalls Absorption hinzu; ein Spektrum allein liefert nicht automatisch seine gesamte Leuchtkraft.

Plancks Gesetz beschreibt die spektrale Strahldichte eines schwarzen Gleichgewichtsstrahlers pro Wellenlängenintervall. Eine Leistung entsteht erst durch passende Flächen-, Winkel- und Bandintegration.

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Formel

Berechnen

B_{λ} (T) = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{exp ( \frac{h c}{λ k _{B} T} ) - 1}

Bλ in W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹, äquivalent W·m⁻³·sr⁻¹; λ in m; T in K; h in J·s; c in m/s; kB in J/K. Das letzte m⁻¹ bezeichnet die Spektralbreite.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$Bλ$	Spektrale Strahldichte pro Vakuumwellenlängenintervall	W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
$λ$	Positive Vakuumwellenlänge	m
$T$	Absolute Gleichgewichtstemperatur des schwarzen Strahlers	K
$h$	Planck-Konstante: exakt 6,62607015×10⁻³⁴ J·s	J·s
$c$	Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: exakt 299792458 m/s	m/s
$kB$	Boltzmann-Konstante: exakt 1,380649×10⁻²³ J/K	J/K

LaTeX

B_\lambda(T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\!\left(\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\right)-1}

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Qualitative Planck-Kurve mit markiertem Maximum bei λmax; die normierte Wellenlänge ist λ geteilt durch λmax. — Die spektrale Strahldichte pro Wellenlängenintervall besitzt ein Maximum; mit steigender Temperatur verschiebt es sich zu kürzeren Wellenlängen.

Plancksches Strahlungsgesetz berechnen

Spektrale Strahldichte eines idealen schwarzen Strahlers bei einer Wellenlänge oder Frequenz ausrechnen, die Temperatur daraus oder die Leistung in einem schmalen Messkanal.

Rechenmodell

Gesucht

Wellenlänge λ

Wellenlänge, bei der du rechnest, z. B. 500 nm für grünes Licht.

Absolute Gleichgewichtstemperatur T

Absolute Temperatur des Strahlers, z. B. 5800 K für die Sonnenoberfläche.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach Bλ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach Bλ umstellen
$B_\lambda=\frac{2hc^2}{\lambda^5[\exp(\frac{hc}{\lambda k_{\rm B}T})-1]}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- λ = 500 nm = 5 · 10⁻⁷ m
$\frac{2\cdot 6{,}62607\times10^{-34}\cdot 299792458\cdot 299792458}{5\times10^{-7}^5\cdot[\exp(\frac{6{,}62607\times10^{-34}\cdot 299792458}{5\times10^{-7}\cdot 1{,}38065\times10^{-23}\cdot 5800})-1]}=26882199625900$
3. Ergebnis
Bλ = 26 880 W/(m²·sr·nm)

Ergebnis: Spektrale Strahldichte Bλ

Bλ = 26 880 W/(m²·sr·nm)

Mit λ = 500 nm und T = 5800 K ergibt sich Bλ = 26 880 W/(m²·sr·nm).

So rechnest du schneller

Wien als Kontrolle: Das Maximum von Bλ liegt bei λ ≈ 2898 μm·K geteilt durch T, für einen 5800-K-Strahler wie die Sonne also bei rund 500 nm.
Bλ und Bν lassen sich nicht durch bloßes Einsetzen von λ = c/ν ineinander umrechnen: Es gilt Bλ = Bν · c/λ², darum liegen ihre Maxima an verschiedenen Stellen.

Annahmen und Grenzen

Idealer schwarzer thermischer Gleichgewichtsstrahler im Vakuum, T>0 und positive Spektralkoordinate. Strahldichte pro projizierter Fläche, Raumwinkel und eigenem Spektralintervall, keine Leistung in Watt. Wellenlängen- und Frequenzdichten haben verschiedene Jacobifaktoren und Maxima. Temperaturinversion gilt nur für bekannte schwarze kalibrierte Strahldichte, nicht unkalibriertes Licht mit unbekannter Emissivität oder Hintergrund.

Herleitung & Hintergrund

Quantisierte Modenenergie und thermische Besetzungswahrscheinlichkeit liefern das Planck-Spektrum. Diese Form ist pro Wellenlängenintervall. Zur Frequenzdarstellung gehört der Jacobifaktor $B_\lambda=B_\nu\frac c{\lambda^2}$ ; die beiden Maxima entsprechen einander nicht durch bloße Koordinatenumrechnung. Für die schwarze diffuse Oberfläche ist $M_\lambda=\pi B_\lambda$ . Integration von Mλ über alle Wellenlängen ergibt σT⁴. Reale Oberflächen benötigen spektrale Emissivität; gemessene Signale zusätzlich Bandbreite, Winkel, Projektionsfläche, Transmission und Hintergrund.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Schwarze thermische Gleichgewichtsstrahlung im Vakuum mit absoluter Temperatur T > 0 und λ > 0. Bλ zählt Strahldichte pro Wellenlängenintervall, projizierter Fläche und Raumwinkel; die Ausstrahlung der schwarzen Oberfläche ist $M_\lambda=\pi B_\lambda$ . Reale thermische Oberflächen benötigen spektrale und gegebenenfalls gerichtete Emissivität sowie Gegenstrahlungs- und Gerätebeiträge. Nichtthermische Strahlung folgt nicht automatisch diesem Gesetz. Bν und Bλ sind über einen Jacobifaktor verbunden; ihre Maxima werden getrennt berechnet.

Herleitung in Schritten

Die thermische mittlere Energie quantisierter Strahlungsmoden mit ihrer Modendichte verbinden und anschließend die Spektralkoordinate korrekt wechseln.

1Betrachte Gleichgewichtsstrahlung in einem großen idealen Hohlraum. Eine Mode mit Frequenz $\nu$ hat Anregungsenergien $E_n=nh\nu$ , mit $n=0,1,2,\ldots$ .
2Bei absoluter Temperatur $T$ ergeben die Boltzmanngewichte $Z=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{nh\nu}{k_{\mathrm B}T}}=\frac1{1-e^{-\frac{h\nu}{k_{\mathrm B}T}}}$ .
3Die mittlere Besetzung ist $\bar n=\frac1{e^{\frac{h\nu}{k_{\mathrm B}T}}-1}$ . Somit beträgt die mittlere thermische Modeenergie $\bar E=h\nu\bar n$ .
4Die Modendichte einschließlich zweier Polarisationen lautet $g_\nu=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}$ . Ihr Produkt mit $\bar E$ liefert die spektrale Energiedichte $u_\nu$ .
5Für isotrope Vakuumstrahlung gilt $B_\nu=\frac{cu_\nu}{4\pi}=\frac{2h\nu^3}{c^2\left(e^{\frac{h\nu}{k_{\mathrm B}T}}-1\right)}$ . Das ist Strahldichte pro Frequenzintervall.
6Wechsle mit $\nu=\frac c\lambda$ und $B_\lambda=B_\nu\left|\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\lambda}\right|=B_\nu\frac c{\lambda^2}$ . Daraus folgt $B_\lambda=\frac{2hc^2}{\lambda^5\left(e^{\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}}-1\right)}$ . Der Jacobifaktor verändert auch den Ort des Maximums.

Umstellen

Spektrale Strahldichte berechnen

B_\lambda=\frac{2hc^2}{\lambda^5\left[\exp\!\left(\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\right)-1\right]}

Wellenlänge in Meter und die Konvention pro λ-Intervall verwenden.

Aufgabenvariante

Berechne die schwarze spektrale Strahldichte bei 5800 K und 500 nm. Gib sie sowohl pro Meter als auch pro Nanometer Wellenlängenintervall an. Welche zusätzliche Information wäre für eine Detektorleistung nötig?

Ansatz: Wandle zuerst $\lambda=5{,}00\cdot10^{-7}\,\mathrm m$ um und berechne den dimensionslosen Exponenten $x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\approx4{,}96130$ .
Das vollständige Planck-Gesetz liefert $B_\lambda\approx2{,}68822\cdot10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ .
Pro Nanometer sind es $2{,}68822\cdot10^4\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,nm^{-1}}$ .

Kontrolle: Zugeordnete Bandintegrale stimmen überein. Für eine Leistung fehlen Fläche, Blickwinkel beziehungsweise Raumwinkel, spektrales Messband und Transmission.

Typische Fehler

Spektrale Strahldichte direkt als Leistung ablesen.

Integriere über Messband und projizierte Fläche mit dem erfassten Raumwinkel. Die Kurvenhöhe allein enthält diese Faktoren nicht.

Wellenlängen- und Frequenzmaximum durch einfaches Umrechnen gleichsetzen.

Die Dichten sind durch $B_\nu=B_\lambda\frac{\lambda^2}c$ verbunden. Der veränderliche Jacobifaktor verändert das Maximum.

Nanometerwerte in eine SI-Formel einsetzen oder die Dichteeinheit unverändert lassen.

Verwende Meter im Exponenten und Vorfaktor. Beim Wechsel zu Strahldichte pro Nanometer wird der Zahlenwert zusätzlich mit 10⁻⁹ multipliziert.

Klausurkontext

Thermische Labor- und Sternspektren modellieren, Temperatur aus geeigneten Spektralmessungen abschätzen und Detektorbandleistungen mit passender Geometrie berechnen.

Formelcluster

Wärmestrahlung

Verwandte Beziehungen: stefan-boltzmann-strahlung, bohr-energieniveaus-wasserstoff.

P = σ·A·T⁴

Stefan-Boltzmann-Gesetz

En = −13,6 eV/n²; hν = |Ef − Ei|

Bohr-Energieniveaus und Übergänge im Wasserstoffatom

Rechenbeispiel

Bei $T=5800\,\mathrm K$ und $\lambda=500\,\mathrm{nm}=5{,}00\cdot10^{-7}\,\mathrm m$ ist $B_\lambda\approx2{,}68822\cdot10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ . Kontrolle: $\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\approx4{,}96130$ ist dimensionslos. Pro Nanometer sind es 2,68822×10⁴ W·m⁻²·sr⁻¹·nm⁻¹; der Faktor 10⁻⁹ gehört zur Spektralbreite.

Anwendungsgebiete

Thermische Labor- und Sternspektren modellieren, Temperatur aus geeigneten Spektralmessungen abschätzen und Detektorbandleistungen mit passender Geometrie berechnen.

Rechenbeispiel: Plancksches Spektralgesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Plancksches Spektralgesetz (Bλ = (2hc²/λ⁵)/(e^(hc/λkBT)−1)).

1
Aufgabe
Berechne die schwarze spektrale Strahldichte bei 5800 K und 500 nm. Gib sie sowohl pro Meter als auch pro Nanometer Wellenlängenintervall an. Welche zusätzliche Information wäre für eine Detektorleistung nötig?
Rechenweg
1. Ansatz: Wandle zuerst $\lambda=5{,}00\cdot10^{-7}\,\mathrm m$ um und berechne den dimensionslosen Exponenten $x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\approx4{,}96130$ .
2. Das vollständige Planck-Gesetz liefert $B_\lambda\approx2{,}68822\cdot10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ .
3. Pro Nanometer sind es $2{,}68822\cdot10^4\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,nm^{-1}}$ .
Kontrolle: Zugeordnete Bandintegrale stimmen überein. Für eine Leistung fehlen Fläche, Blickwinkel beziehungsweise Raumwinkel, spektrales Messband und Transmission.

Die Formel verstehen und anwenden

Wärmestrahlung verteilt sich über viele Wellenlängen. Das Plancksche Gesetz beschreibt, wie viel davon ein schwarzer Strahler bei einer bestimmten Temperatur in jede Richtung aussendet. Für eine Messleistung kommen Bandbreite, Fläche und Blickwinkel hinzu. Die Rechnungen unterscheiden deshalb ein Spektrum, einen Messkanal und eine Temperaturbestimmung aus zwei Kanälen.

Welche Größe beschreibt das Plancksche Strahlungsgesetz?

B_\lambda(T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac1{\exp[\frac{hc}{\lambda k_BT}]-1}

λ ist hier Vakuumwellenlänge; T ist absolute Temperatur.[2]

Die spektrale Strahldichte zählt Leistung pro projizierter Quellenfläche, Raumwinkel und Wellenlängenintervall. In W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹ ist das letzte m⁻¹ ein Spektralintervall, keine Volumendichte. Ein einzelner Wert Bλ ist deshalb keine Leistung in Watt. Für eine Messung braucht man Bandbreite, erfasste Fläche, Blickrichtung und erfassten Raumwinkel; optische Verluste können die registrierte Leistung weiter verringern.[2]

Der ideale schwarze Hohlraumstrahler befindet sich im thermischen Gleichgewicht. Seine Strahldichte hängt nicht von der Wandfarbe oder dem Wandmaterial ab, solange das schwarze Modell erfüllt ist. Eine reale strahlende Oberfläche benötigt eine passende spektrale und gegebenenfalls richtungsabhängige Emissivität. Reflektierte Strahlung und nichtthermische Quellen gehören nicht einfach als neue Temperatur in diese Formel.[1]

Spektren vergleichen: 1400 und 2000 Kelvin

Temperatur verändert Höhe und Lage des Spektrums

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Beide Kurven verwenden dieselbe Dichte pro Mikrometer und denselben Maßstab. Ein Messband entspricht einer Fläche unter der Kurve; seine Höhe allein ist noch keine Leistung.[1][2]

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Vertiefung: mittlere Energie einer quantisierten Mode

Als Modell betrachten wir eine elektromagnetische Mode mit Besetzungen $n=0,1,2,\ldots$ und thermischen Energiebeiträgen $nh\nu$ . Im Gleichgewicht gewichtet der Boltzmann-Faktor jede Besetzung mit $e^{-nx}$ , $x=\frac{h\nu}{k_{\mathrm B}T}$ . Eine gemeinsame Nullpunktsenergie beeinflusst diese mittlere thermische Anregung nicht. Aus der geometrischen Reihe erhält man die mittlere Besetzung und damit die mittlere thermisch transportierte Energie pro Mode.[1]

\begin{aligned}Z&=\sum_{n=0}^\infty e^{-nx}=\frac1{1-e^{-x}}\\{} \langle n\rangle&=-\frac{d\ln Z}{dx}=\frac1{e^x-1}\\{} \overline E_\nu&=\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1}\end{aligned}

Die quantisierte Energie hν und das thermische Gewicht sind Modellannahmen; die anschließende Algebra ist eine geometrische Reihe.

Für hν≪kBT ist eˣ−1≈x und die mittlere Energie nähert sich kBT. Für hν≫kBT unterdrückt dagegen der exponentielle Nenner hochfrequente Anregungen. Eine rein klassische Gleichverteilung würde diese Unterdrückung weglassen und beim Integrieren über hohe Frequenzen unbegrenzt anwachsen. Die Quantenannahme ist deshalb ein physikalischer Inhalt, kein Einheitenkorrekturfaktor. Die Äquipartition der Energie beschreibt damit nur den klassischen Grenzfall der hier quantisierten Mode.[1]

Vom Modenzählen zur Strahldichte

Im großen Hohlraum liefert das Zählen der beiden elektromagnetischen Polarisationen eine Modenzahl pro Volumen und Frequenzintervall von 8πν²/c³. Multipliziert mit der mittleren thermischen Energie ergibt das die spektrale Energiedichte uν. Für ein isotropes Strahlungsfeld hängt die Strahldichte mit uν über c/(4π) zusammen; Energiefluss durch eine Fläche braucht die zusätzliche Winkelprojektion.

\begin{aligned}u_\nu&=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3(e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1)}\\{} B_\nu&=\frac{c}{4\pi}u_\nu=\frac{2h\nu^3}{c^2(e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1)}\end{aligned}

Bν hat W·m⁻²·sr⁻¹·Hz⁻¹; uν hat J·m⁻³·Hz⁻¹.[2]

\begin{aligned}B_\lambda&=B_\nu\left|\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\lambda}\right|=B_\nu\frac c{\lambda^2}\\\nu&=\frac c\lambda\end{aligned}

Gleiche physikalische Bandenergie verlangt den Jacobi-Faktor, nicht bloß Ersetzen von ν durch c/λ.[2]

Ein gleich breites Wellenlängenintervall entspricht an verschiedenen Stellen unterschiedlichen Frequenzbreiten. Darum ändern sich Zahlenwerte und Kurvenform bei diesem Darstellungswechsel. Über zugehörige Bänder bleiben die Integrale gleich: $\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}B_\lambda\,\mathrm d\lambda=\int_{c/\lambda_2}^{c/\lambda_1}B_\nu\,\mathrm d\nu$ mit den passenden umgekehrten Grenzen. Die absolute Größe der Strahlung ändert sich nicht durch die Auswahl der Spektralachse.[2]

Welche Einheiten und numerischen Grenzen hat das Planck-Spektrum?

Wir verwenden $h=6{,}62607015\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$ , $c=299792458\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $k_{\mathrm B}=1{,}380649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ , die im SI exakt festgelegt sind. Wellenlängen werden vor dem Einsetzen in Meter umgerechnet. Der Exponent $\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}$ ist dimensionslos. Pro Nanometer angegebene Strahldichten sind $10^{-9}$ mal der Zahlenwert pro Meter, pro Mikrometer $10^{-6}$ mal. Die Quellenfläche bleibt dabei in Quadratmetern.[3]

\begin{aligned}x\ll1:\quad B_\lambda&\approx\frac{2ck_{\mathrm B}T}{\lambda^4}\\x\gg1:\quad B_\lambda&\approx\frac{2hc^2}{\lambda^5}e^{-x}\end{aligned}

Rayleigh-Jeans gilt nur bei kleinem x; die Wien-Näherung nur bei großem x.

In einer numerischen Rechnung berechnet expm1(x) den kleinen Unterschied eˣ−1 bei kleinem x zuverlässiger als die direkte Subtraktion exp(x)−1. Bei sehr großem x kann man die exponentielle Unterdrückung verwenden, statt einen überlaufenden Exponentialwert auszuwerten. Diese Rechentechniken verändern das Modell nicht. Ein beobachtetes Signal enthält zusätzlich den Spektralfilter und die Kalibrierung des Instruments.[2]

Beispiel: Strahldichte in eine Messkanalleistung übersetzen

Ein idealer schmaler Infrarotkanal

Gegeben: Schwarze Modellfläche bei 1400 K, $\lambda_0=2{,}00\,\mathrm{\mu m}$ , symmetrisches Band 20,0 nm. Sichtbare Fläche $A=2{,}00\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ , kleiner Raumwinkel $\Omega=0{,}00300\,\mathrm{sr}$ nahe der Flächennormale; ideale Transmission, keine Hintergrundsubtraktion.
Gesucht: Bλ und die angenäherte Band-Leistung bestimmen.

Ansatz: Der schmale Kanal integriert die Strahldichte über sein Wellenlängenband und den kleinen nahezu normalen Raumwinkel. Bei konstanter Transmission und geringer Änderung im Band darf der Integralwert durch das Produkt am Bandmittelpunkt angenähert werden.
$\begin{aligned}P_{\mathrm{band}}&=A\int_{\Delta\Omega}\int_{\Delta\lambda} B_\lambda(T)\cos\theta\,\mathrm d\lambda\,\mathrm d\Omega\\&\approx A\Omega\Delta\lambda\,B_{\lambda_0}(T)\\x&=\frac{hc}{\lambda_0 k_{\mathrm B}T}\end{aligned}$
Den Planckwert pro Meter Spektralintervall auswerten.
$B_{\lambda_0}=2.19642012\times10^{10}\,\mathrm{W\,m^{-2}sr^{-1}m^{-1}}$
Für das schmale Band und kleine nahezu normale Winkelgebiet die Faktoren multiplizieren.
$P_{\mathrm{band}}\approx B_{\lambda_0}A\Omega\Delta\lambda=2.63570414\times10^{-4}\,\mathrm W$

Ergebnis: Der ideale Kanal empfängt ungefähr 0,26357 mW. Das ist nicht die gesamte Abstrahlung der Quelle.

Kontrolle: Der Einheitencheck entfernt m⁻² durch A, sr⁻¹ durch Ω und m⁻¹ durch Δλ. Eine separate Integration von Bλ über 1,99–2,01 μm kontrolliert die Bandnäherung; der Wert weicht um weniger als 0,003% ab. cosθ wurde wegen kleiner normaler Akzeptanz zu 1 angenähert, nicht über eine Halbkugel ersetzt.

Beispiel: zwei Spektralmaxima desselben Strahlers

Wellenlängen- und Frequenzdarstellung bei 3600 K

Gegeben: Idealer schwarzer Strahler $T=3600\,\mathrm K$ . Bλ und Bν jeweils pro gleich breitem eigenem Spektralintervall.
Gesucht: Beide Maxima bestimmen und die Frequenzstelle in Wellenlänge umrechnen.

Ansatz: Das Maximum der Wellenlängendichte bestimmen; Frequenz- und Wellenlängendichte haben unterschiedliche Maxima. $5(1-e^{-x_\lambda})=x_\lambda,\quad\lambda_{\max}=\frac{hc}{k_{\mathrm B}Tx_\lambda}$ . Bλ proportional zu $\frac{x^5}{e^x-1}$ differenzieren; die positive innere Lösung erfüllt $5(1-e^{-x})=x$ .
$x_\lambda=4.96511423,\quad\lambda_{\mathrm{peak}}=\frac{hc}{k_BT x_\lambda}=0.80493665\,\mathrm{\mu m}$
Bν proportional zu $\frac{y^3}{e^y-1}$ liefert $3(1-e^{-y})=y$ .
$y_\nu=2.82143937,\quad\nu_{\mathrm{peak}}=\frac{k_BT y_\nu}{h}=2.11641327\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$
Nur die Frequenzkoordinate in Wellenlänge übersetzen; kein Bλ-Maximum daraus behaupten.
$\frac{c}{\nu_{\mathrm{peak}}}=1.41651190\,\mathrm{\mu m}$

Ergebnis: Bλ ist bei 0,80494 μm maximal, Bν bei 211,641 THz. Dessen Koordinatenwert entspricht 1,41651 μm und damit nicht dem Bλ-Maximum.

Kontrolle: An beiden Stellen erfüllen die dimensionslosen Wurzeln ihre verschiedenen Maximumgleichungen. Das Verhältnis $\frac{1{,}41651}{0{,}80494}\approx1{,}75978$ ist unabhängig von T. Die Gesamtbandenergie bleibt trotz unterschiedlicher Maximalstellen konsistent.

Beispiel: eine Temperatur aus zwei Spektraldichten

Zwei ideale Spektralkanäle bestimmen dieselbe Temperatur

Gegeben: Ein schwarzer Strahler wird in ideal schmalen Kanälen bei 2,00 und 3,00 μm gemessen. Beide Messungen sind als Strahldichte pro demselben Wellenlängenmaß kalibriert. Ihr Verhältnis ist 1,63005. Kein unbekannter spektraler Filter, keine reflektierte Hintergrundstrahlung.
Gesucht: Die gemeinsame Temperatur aus dem Dichteverhältnis bestimmen und die Wien-Näherung kontrollieren.

Ansatz: Der Planck-Vorfaktor und beide Exponentialnenner müssen im Verhältnis erhalten bleiben. Das Verhältnis zweier roher Detektorleistungen wäre bei unterschiedlichen Kanalbreiten nicht dieselbe Größe.
$R(T)=\frac{B_{\lambda_1}(T)}{B_{\lambda_2}(T)}=\left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^5\frac{e^{\frac{hc}{\lambda_2k_{\mathrm B}T}}-1}{e^{\frac{hc}{\lambda_1k_{\mathrm B}T}}-1}$
Für 2 μm ist die thermische Besetzung bei kleiner Temperatur stärker unterdrückt. Eine numerische Nullstellensuche im angegebenen Bereich 1200–2000 K setzt das vollständige Verhältnis gleich dem Messwert.
$R(1200\,\mathrm K)\approx1.01305,\quad R(2000\,\mathrm K)\approx2.14005,\quad T\approx1600\,\mathrm K$
Die beiden Strahldichten zurückrechnen und nur danach die Kurzwellennäherung ausprobieren.
$B_{\lambda_1}\approx41.9742\,\mathrm{kW\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m^{-1}},\quad B_{\lambda_2}\approx25.7503\,\mathrm{kW\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m^{-1}}$

Ergebnis: Unter dem schwarzen kalibrierten Modell folgt ungefähr 1600 K. Ein unbekannter wellenlängenabhängiger Emissionsgrad macht diese Temperaturbestimmung ohne zusätzliche Information uneindeutig.

Kontrolle: Das vollständige zurückgerechnete Verhältnis ist 1,63005. Der Wien-Ausdruck lässt beide −1 weg und ergibt bei 1600 K ein etwas größeres Verhältnis. Er ist hier eine überprüfbare Näherung, keine gleichwertige exakte Umformung.

Strahldichte, Ausstrahlung und Gesamtleistung verbinden

\begin{aligned}M_\lambda&=\int_{\mathrm{hem}}B_\lambda\cos\theta\,\mathrm d\Omega=\pi B_\lambda\\M&=\pi\int_0^\infty B_\lambda\,\mathrm d\lambda=\sigma T^4\end{aligned}

Der π-Faktor gilt für richtungsunabhängige schwarze beziehungsweise diffuse Strahldichte.[1][2]

Ein Detektor, der nur einen kleinen Raumwinkel sieht, verwendet nicht automatisch π. Der Faktor π entsteht ausschließlich bei vollständiger ausgehender Halbkugel mit Projektion. Ebenso braucht die Leistung einer Kugeloberfläche 4πR² als emittierende Fläche; ihr projiziertes Bild πR² ist eine andere geometrische Größe. Ein kontinuierliches Spektrum setzt diskrete Photonenenergien nicht außer Kraft: Frequenz und Wellenlänge können kontinuierliche Werte annehmen. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz fasst diese vollständige schwarze Flächen- und Spektralauswertung zusammen, nicht die Leistung eines einzelnen schmalen Detektorkanals.

Temperatur aus Licht ist eine Modellentscheidung

Für den Vergleich $T=5800\,\mathrm K$ bei 500 nm ergibt sich $B_\lambda\approx2{,}68822\cdot10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ und $x\approx4{,}9613$ . Das beschreibt einen schwarzen Modellstrahler. Bei realen Sternen beeinflussen spektrale Linien und Absorption das beobachtete Spektrum; bei Oberflächen sind Emissivität und reflektierte Umgebung wichtig. Ein Bandwert allein bestimmt T daher erst mit zusätzlichen bekannten Faktoren.

Die thermische Form gilt nicht als vollständige Beschreibung eines Lasers, einer Leuchtdiode oder eines durch äußeres Licht angeregten fluoreszierenden Materials. Für Medien mit Brechungsindex verschieden 1 muss die verwendete Wellenlängen- und Strahldichtekonvention ausdrücklich ergänzt werden. Die hier verfassten Formeln verwenden Vakuum und ändern keine Brechungsindexkonvention stillschweigend.[2]

Wähle zuerst die Spektralgröße und ihre Einheit. Für eine Kanalrechnung integrierst du danach Band und Blickwinkel; für eine Temperaturbestimmung prüfst du zusätzlich Emissionsgrad und Kalibrierung. Spektralmaximum, Gesamtleistung und einzelne Messleistung beschreiben unterschiedliche Auswertungen desselben Strahlungsmodells.

Fünf Aufgaben zu Spektraldichte und Messung

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

$B_\lambda=2{,}0\cdot10^{11}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ . Wie groß ist der Zahlenwert pro Nanometer?

Hinweis anzeigen

Ein nm-Intervall ist 10⁻⁹m breit.

Lernziel: Spektraldichte pro Längeneinheit umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ein Intervall von einem Nanometer ist $10^{-9}\,\mathrm m$ breit; die Dichte pro Nanometer ist daher der SI-Zahlenwert mal $10^{-9}$ .
Es folgen $200\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,nm^{-1}}$ .

Kontrolle: Im konstanten 10-nm-Band liefern beide Einheiten dieselbe integrierte Strahldichte von $2000\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}}$ .

B_{\lambda,\mathrm{per\ nm}}=200\,\mathrm{W\,m^{-2}sr^{-1}nm^{-1}}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Die Wellenlänge des Bλ-Maximums eines schwarzen Strahlers ist 1,20 μm. Bestimme T.

Hinweis anzeigen

Nutze $b=\frac{hc}{k_{\mathrm B}x_\lambda}\approx2{,}897771955\cdot10^{-3}\,\mathrm{m\,K}$ .

Lernziel: Wellenlängenmaximum zur Temperatur zuordnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Löse das Wiensche Verschiebungsgesetz nach der absoluten Temperatur auf.
$T=\frac{b}{1{,}20\cdot10^{-6}\,\mathrm m}\approx2414{,}81\,\mathrm K$ .
Die Aufgabe verlangt das Maximum pro Wellenlänge, nicht den umgerechneten Frequenzpeak.

Kontrolle: $\lambda_{\max}T$ ergibt wieder $b$ .

T\approx2414.81\,\mathrm K

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Bei $\lambda=1{,}00\,\mathrm{\mu m}$ sei $B_\lambda=2{,}0\cdot10^{11}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ . Bestimme Bν an derselben Spektralstelle.

Hinweis anzeigen

Verwende $B_\nu=\frac{B_\lambda\lambda^2}{c}$ .

Lernziel: Jacobi-Faktor zwischen Spektraldichten anwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $B_\nu=\frac{B_\lambda\lambda^2}{c}$ .
Bν≈6,67128·10⁻¹⁰ W·m⁻²·sr⁻¹·Hz⁻¹ bei ν≈2,99792·10¹⁴ Hz.
Der Jacobi-Faktor garantiert gleiche Energie in zugeordneten kleinen Bändern.

Kontrolle: $B_\nu\frac c{\lambda^2}$ gibt die ursprüngliche Wellenlängendichte zurück.

B_\nu=\frac{B_\lambda\lambda^2}{c}\approx6.67128\times10^{-10}\,\mathrm{W\,m^{-2}sr^{-1}Hz^{-1}}

Interpretieren · Anwenden

Ein schwarzer Strahler hat über zwei schmale Bänder näherungsweise konstante Bλ: 100 Einheiten pro nm über 2 nm und 60 derselben Einheiten pro nm über 5 nm. Gemeinsame Fläche, Blickrichtung, projizierter Flächenfaktor und Raumwinkel. Welches Band trägt mehr Strahlungsleistung bei und warum reicht die höhere Kurve nicht als Entscheidung?

Hinweis anzeigen

Vergleiche die Fläche aus Dichte mal Bandbreite.

Lernziel: Bandfläche statt bloßer Peakhöhe vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In jedem flachen schmalen Band ersetzt Dichte mal Breite das Integral.
Die Beiträge sind 200 und 300 gemeinsame integrierte Einheiten; das zweite Band liefert das 1,5-Fache.
Die niedrigere Dichte wird durch das breitere Band überkompensiert.
Das gilt unter der genannten Konstantheitsnäherung und gemeinsamen geometrischen Faktoren, nicht für beliebig breite Bänder.

\begin{aligned}J_1&\approx100\cdot2=200\\{}J_2&\approx60\cdot5=300\\{}\frac{J_2}{J_1}&=1.5\end{aligned}

[2]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine Person findet das Maximum von Bλ und behauptet: Die Frequenz c/λmax ist zwangsläufig auch das Maximum von Bν, weil dieselben Photonen beschrieben werden. Analysiere den Fehler ohne numerische Peakberechnung; Vakuum und dieselbe Temperatur gelten.

Hinweis anzeigen

Ein Dichtewechsel erhält Bandintegrale, nicht die Höhe der Kurve.

Lernziel: Koordinatenabhängige Spektralmaxima erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Wandle die Dichte mit dem Jacobi-Faktor um.
Die Frequenzdichte enthält zusätzlich das Quadrat der Wellenlänge geteilt durch c.
Dieser Faktor verändert sich über das Spektrum und verschiebt den Ort eines Maximums.
Zugeordnete kleine Bänder enthalten dieselbe Strahlung, ihre Dichten und Maxima müssen aber nicht übereinstimmen.
Daher ist die behauptete Peakidentität falsch.

B_\nu=B_\lambda\left|\frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm d\nu}\right|=B_\lambda\frac{\lambda^2}{c}

[2]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernverlauf, symbolische Übungsansätze und Modellgrenzen präzisiert; drittes eigenes Beispiel und quantitative Grafik ergänzt, passende Vertiefungen optional dargestellt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Plancksches Spektralgesetz. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/planck-spektralgesetz

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Plancksches Spektralgesetz

Was beschreibt das Plancksche Spektralgesetz physikalisch?+

Bλ beschreibt, wie sich die thermische Strahlung eines idealen schwarzen Gleichgewichtsstrahlers über Wellenlängen verteilt. Sie zählt Leistung pro projizierter Fläche, Raumwinkel und Wellenlängenintervall, noch keine Gesamtleistung. Die Temperatur bestimmt sowohl die Höhe als auch die Verteilung des Spektrums. Der Nenner entsteht aus der mittleren Besetzung quantisierter Strahlungsmoden; hν ist ihre Anregungsenergie je Quant. Reale Oberflächen können spektral verschieden emittieren und einfallende Strahlung reflektieren. Ein heller Laserstrahl oder eine LED folgt deshalb nicht allein wegen ihrer Helligkeit dem schwarzen thermischen Spektrum. Für den Übergang zur schwarzen Ausstrahlung über eine ganze Halbkugel wird die Projektion integriert; daraus folgt der Faktor π.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Planckschen Spektralgesetz?+

Wandle λ zuerst in Meter um und bilde $x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}$ . Dieser Exponent muss dimensionslos sein. Für 5800 K und 500 nm erhältst du $x\approx4{,}96130$ und $B_\lambda\approx2{,}68822\cdot10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ . Prüfe anschließend, ob dein Ergebnis pro Meter, Nanometer oder Mikrometer gelten soll; pro Nanometer ist der Zahlenwert um 10⁻⁹ kleiner. Bei kleinen x verhindert eine geeignete expm1-Auswertung die ungenaue Subtraktion zweier fast gleicher Zahlen. Ein gemessener Leistungswert braucht außerdem das Wellenlängenband, die projizierte Fläche und den angenommenen Raumwinkel. Der Faktor π ersetzt nicht den kleinen Öffnungswinkel eines Detektors.

Welche Annahmen und Grenzen hat das Plancksche Spektralgesetz?+

Die dargestellte Form gilt für thermische Gleichgewichtsstrahlung eines idealen schwarzen Strahlers im Vakuum. T ist positiv und absolut, λ eine positive Vakuumwellenlänge. Bei einer realen thermischen Oberfläche multipliziert eine geeignete spektrale und gegebenenfalls gerichtete Emissivität die schwarze Strahldichte. Reflektierter Hintergrund und Transmission des Messwegs kommen beim beobachteten Signal hinzu. Ein einziges konstantes ε ist daher nicht für jedes Spektrum ausreichend. Nichtthermische Quellen wie Laser benötigen ihr eigenes Modell. Auch ein idealer schwarzer Strahler hat keine universelle „Peak-Wellenlänge“ unabhängig von der Darstellung: Maxima von Bλ und Bν unterscheiden sich, weil ihre Spektralintervalle verschieden gewichtet werden.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Planckschen Spektralgesetz?+

Die Einheit W·m⁻³·sr⁻¹ lässt sich verständlicher als W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹ schreiben. Zwei inverse Meter gehören zur Fläche, der weitere zur Wellenlängenbreite; es ist keine volumetrische Leistungsdichte. Eine Strahldichte von 2,0×10¹¹ pro Meter entspricht 200 pro Nanometer. Über ein 10-nm-Band ergibt eine konstante Näherung dann 2000 W·m⁻²·sr⁻¹. Das ist weiterhin keine Leistung in Watt. Erst passende Fläche und Winkelintegration vervollständigen die Einheit. Als Größenordnungskontrolle muss π∫Bλdλ für die schwarze Oberfläche σT⁴ ergeben. Setze bei einem endlichen Messband nicht automatisch das gesamte Integral ein; Bandbreite und spektrale Variation entscheiden über die erfasste Leistung.

Wann kombiniere ich das Plancksche Spektralgesetz mit einer weiteren Beziehung?+

Die vollständige Integration liefert mit $M_\lambda=\pi B_\lambda$ das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Die Maximierung von Bλ liefert dagegen $\lambda_{\max}T\approx2{,}89777\cdot10^{-3}\,\mathrm{m\,K}$ . Bei 3600 K liegt dieses Maximum bei etwa 0,80494 µm. Für Bν liegt das Maximum bei etwa 211,641 THz; die daraus umgerechnete Wellenlänge 1,41651 µm ist nicht das Bλ-Maximum. Der Wechsel braucht $B_\lambda=B_\nu\frac c{\lambda^2}$ , nicht allein $\nu=\frac c\lambda$ . Für einen Detektor kombiniere das Spektrum mit seiner Bandbreite, Fläche, Winkelannahme und Transmission. Für einen Stern kommen Oberfläche, Entfernung und gegebenenfalls Absorption hinzu; ein Spektrum allein liefert nicht automatisch seine gesamte Leuchtkraft.

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Wie stellst du Bλ = (2hc²/λ⁵)/(e^(hc/λkBT)−1) nach Spektrale Strahldichte berechnen um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei Bλ = (2hc²/λ⁵)/(e^(hc/λkBT)−1)?

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Bλ=2,0⋅1011 W m−2 sr−1 m−1B_\lambda=2{,}0\cdot10^{11}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}Bλ​=2,0⋅1011Wm−2sr−1m−1. Wie groß ist der Zahlenwert pro Nanometer?

Die Wellenlänge des Bλ-Maximums eines schwarzen Strahlers ist 1,20 μm. Bestimme T.

Bei λ=1,00 μm\lambda=1{,}00\,\mathrm{\mu m}λ=1,00μm sei Bλ=2,0⋅1011 W m−2 sr−1 m−1B_\lambda=2{,}0\cdot10^{11}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}Bλ​=2,0⋅1011Wm−2sr−1m−1. Bestimme Bν an derselben Spektralstelle.

Eine Person findet das Maximum von Bλ und behauptet: Die Frequenz c/λmax ist zwangsläufig auch das Maximum von Bν, weil dieselben Photonen beschrieben werden. Analysiere den Fehler ohne numerische Peakberechnung; Vakuum und dieselbe Temperatur gelten.

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$B_\lambda=2{,}0\cdot10^{11}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ . Wie groß ist der Zahlenwert pro Nanometer?

Bei $\lambda=1{,}00\,\mathrm{\mu m}$ sei $B_\lambda=2{,}0\cdot10^{11}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,m^{-1}}$ . Bestimme Bν an derselben Spektralstelle.