Zylindrischer Wärmeleitwiderstand

Die Wärme fließt durch Zylinderflächen, deren Fläche 2πrL mit dem Radius zunimmt. Daher nimmt der Temperaturgradient bei konstantem Wärmestrom radial nicht gleichmäßig zu. Integration des Fourier-Gesetzes von r1 bis r2 ergibt das Integral von dr/r und damit ln(r2/r1). Bei einer ebenen Wand bleibt die Fläche konstant und es entsteht eine lineare Dicke. Das Widerstandsmodell behandelt den stationären radialen Wärmestrom durch die Schicht. Zylinderlänge, Radiusverhältnis und konstante Wärmeleitfähigkeit gehören zur Modellwahl. Anwendungsbereich: Wärmeverlust durch Rohre, Isolierungen und zylindrische Wände als Widerstandsnetzwerk berechnen. Das Zahlenbeispiel Für r1=0,02 m, r2=0,04 m, L=1 m und k=0,5 W/(m·K) ist Rth=ln(2)/(π)≈0,2206 K/W. Bei ΔT=40 K folgt Q=ΔT/R≈181,3 W. Probe: kL hat W/K, daher besitzt R die Einheit K/W verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Bei konzentrischen Schichten fließt im stationären Zustand derselbe Wärmestrom durch jede Lage. Deshalb liegen die thermischen Widerstände in Reihe und addieren sich: Rgesamt=ΣRi. Kontaktwiderstände zwischen Schichten sowie innere oder äußere Konvektion kommen als weitere Elemente hinzu. Für jede Lage werden ihre eigenen Radien und Wärmeleitfähigkeit verwendet. Das Widerstandsmodell behandelt den stationären radialen Wärmestrom durch die Schicht. Zylinderlänge, Radiusverhältnis und konstante Wärmeleitfähigkeit gehören zur Modellwahl. Die Einheiten dazu sind Rth in K/W; r1,r2,L in m; k in W/(m·K). Für r1=0,02 m, r2=0,04 m, L=1 m und k=0,5 W/(m·K) ist Rth=ln(2)/(π)≈0,2206 K/W. Bei ΔT=40 K folgt Q=ΔT/R≈181,3 W. Probe: kL hat W/K, daher besitzt R die Einheit K/W. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Ein Logarithmus ist nur für eine dimensionslose Zahl definiert. Der Quotient r2/r1 ist dimensionslos, während ln(r2) allein von der gewählten Längeneinheit abhängen würde. Verwendest du beide Radien in Metern oder beide in Millimetern, bleibt das Verhältnis gleich. Für eine reale Schicht muss außerdem r2>r1 gelten. Das Widerstandsmodell behandelt den stationären radialen Wärmestrom durch die Schicht. Zylinderlänge, Radiusverhältnis und konstante Wärmeleitfähigkeit gehören zur Modellwahl. Geltungsbereich: Integration des Fourier-Gesetzes über zylindrische Flächen A(r)=2πrL ergibt Rth=ΔT/Q=ln(r2/r1)/(2πkL). Voraussetzung sind stationärer eindimensionaler radialer Wärmestrom, konstantes k, keine Wärmeerzeugung und vernachlässigbare Endeffekte. Mehrere konzentrische Schichten addieren ihre Widerstände; Kontakt- und Konvektionswiderstände kommen separat hinzu. Der Logarithmus benötigt ein dimensionsloses Radiusverhältnis. Eine praktische Anwendung ist Wärmeverlust durch Rohre, Isolierungen und zylindrische Wände als Widerstandsnetzwerk berechnen.

Die Wärme fließt radial durch eine Fläche 2πrL, die mit dem Radius wächst. Beim Integrieren des Fourier-Gesetzes über die Wand wird daher ∫dr/r zu ln(r₂/r₁). Das Verhältnis ist dimensionslos und die Reihenfolge muss Außenradius größer Innenradius sein. Eine ebene Wandformel Δr/(kA) ist für einen Zylinder nur eine Näherung bei sehr kleiner Wanddicke gegenüber dem Radius. Das Widerstandsmodell behandelt den stationären radialen Wärmestrom durch die Schicht. Zylinderlänge, Radiusverhältnis und konstante Wärmeleitfähigkeit gehören zur Modellwahl. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Für r1=0,02 m, r2=0,04 m, L=1 m und k=0,5 W/(m·K) ist Rth=ln(2)/(π)≈0,2206 K/W. Bei ΔT=40 K folgt Q=ΔT/R≈181,3 W. Probe: kL hat W/K, daher besitzt R die Einheit K/W. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.

Bei stationärem radialem Wärmestrom durch konzentrische Schichten liegt derselbe Wärmestrom in Reihe durch jede Schicht. Berechne für jede Lage ln(r außen/r innen)/(2πkL) und addiere die Widerstände. Kontaktwiderstände an Grenzflächen und innere oder äußere Konvektion kommen als separate Widerstände hinzu. Prüfe, dass jede Schicht dieselbe Länge hat und die Radien lückenlos aufeinander folgen. Das Widerstandsmodell behandelt den stationären radialen Wärmestrom durch die Schicht. Zylinderlänge, Radiusverhältnis und konstante Wärmeleitfähigkeit gehören zur Modellwahl. Die Beziehung beschreibt Bei stationärer radialer Wärmeleitung durch eine zylindrische Schicht ist der Wärmewiderstand proportional zum logarithmischen Radiusverhältnis. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.