Kirsch-Lösung: Spannungskonzentration am Kreisloch

Wenn θ von der Zugrichtung gemessen wird, liegen die Maxima bei 90° und 270°, also seitlich zum Zug. Dort ist cos(2θ)=−1 und die Randformel wird σθθ=3σ∞. Auf der Zugachse gilt cos(0)=1 und die Umfangsspannung ist −σ∞. Diese Winkelprobe hilft, eine häufige Verwechslung zwischen Lastachse und maximaler Zugspannung zu erkennen. Unendliche isotrope linear-elastische Platte, Kreisloch und einachsige Fernspannung; reale endliche Geometrien weichen ab. Anwendungsbereich: Lokale elastische Spannungsspitzen an Bohrungen als ersten Geometrieeffekt beurteilen. Das Zahlenbeispiel Bei σ∞=80 MPa ist die maximale Umfangsspannung am seitlichen Lochrand σθ,max=3·80=240 MPa. Bei θ=0° ergibt die Randformel σθθ=80(1−2)=−80 MPa, bei θ=90° dagegen 80(1−2·cos180°)=240 MPa. Die Probe zeigt Zug-/Druckverteilung und den Faktor 3 verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Der Wert gilt für die analytische Grenzlösung einer unendlich ausgedehnten Platte mit ideal kreisförmigem Loch und einachsiger Fernspannung. Begrenzte Plattenbreite, nahe Ränder, mehrere Öffnungen, plastisches Fließen oder abweichende Kerbformen ändern die Spannungsverteilung. Für ein reales Bauteil sind Geometrie und gegebenenfalls Norm- oder numerische Faktoren zu verwenden; Kt allein sagt auch nichts über Ermüdungslebensdauer. Unendliche isotrope linear-elastische Platte, Kreisloch und einachsige Fernspannung; reale endliche Geometrien weichen ab. Die Einheiten dazu sind Spannungen in Pa; Kt dimensionslos; a und Koordinaten in m. Bei σ∞=80 MPa ist die maximale Umfangsspannung am seitlichen Lochrand σθ,max=3·80=240 MPa. Bei θ=0° ergibt die Randformel σθθ=80(1−2)=−80 MPa, bei θ=90° dagegen 80(1−2·cos180°)=240 MPa. Die Probe zeigt Zug-/Druckverteilung und den Faktor 3. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

An der freien Lochkante muss die Spannung senkrecht zur Oberfläche verschwinden; die Umfangsspannung wirkt tangential entlang des Randes. Sie ändert sich mit θ und kann sowohl Druck als auch Zug sein. Kirsch beschreibt zusätzlich weitere Spannungsanteile im Feld. Ein einzelner Faktor Kt fasst hier nur das Maximum der tangentialen Randspannung relativ zur Fernspannung zusammen. Unendliche isotrope linear-elastische Platte, Kreisloch und einachsige Fernspannung; reale endliche Geometrien weichen ab. Geltungsbereich: Die klassische Kirsch-Lösung gilt für ein kreisförmiges Loch in einer unendlichen, homogenen, isotropen, linear-elastischen Platte unter einachsiger Fernspannung und ebener Spannung. Der Winkel θ wird von der Zugrichtung gemessen; am Lochrand liegt das Maximum bei θ=90° und 270° mit 3σ∞. Endliche Plattenbreite, weitere Löcher, Plastizität und reale Kerbgeometrien ändern Kt; lokale Spitzen sind kein eigenständiger Ermüdungsnachweis. Eine praktische Anwendung ist Lokale elastische Spannungsspitzen an Bohrungen als ersten Geometrieeffekt beurteilen.

Setze σ∞=80 MPa ein. Bei θ=90° gilt cos(180°)=−1, daher σθθ=80[1−2(−1)]=240 MPa. Bei θ=0° ist cos(0)=1 und σθθ=80(1−2)=−80 MPa. Die gegensätzlichen Vorzeichen zeigen die örtliche Spannungsverteilung; die Peak-to-remote ratio ist 240/80=3. Unendliche isotrope linear-elastische Platte, Kreisloch und einachsige Fernspannung; reale endliche Geometrien weichen ab. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Bei σ∞=80 MPa ist die maximale Umfangsspannung am seitlichen Lochrand σθ,max=3·80=240 MPa. Bei θ=0° ergibt die Randformel σθθ=80(1−2)=−80 MPa, bei θ=90° dagegen 80(1−2·cos180°)=240 MPa. Die Probe zeigt Zug-/Druckverteilung und den Faktor 3. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.

Für ein erstes elastisches Screening zeigt die Umfangsspannung am Lochrand die lokale Spitze. Ein Festigkeitsnachweis muss jedoch den vollständigen Spannungszustand, Werkstoffkennwerte, Lastkombinationen, Sicherheitskonzept und mögliche Plastizität oder Ermüdung berücksichtigen. Bei Kerben kann lokale Plastizität trotz elastischer Spitzen auftreten. Verwende die Lösung daher als Verständnis- und Vorabschätzung, nicht als alleinige Bauteilfreigabe. Unendliche isotrope linear-elastische Platte, Kreisloch und einachsige Fernspannung; reale endliche Geometrien weichen ab. Die Beziehung beschreibt Die Kirsch-Lösung gibt die elastische Umfangsspannung am Rand eines kreisförmigen Lochs in einer unendlichen Platte unter einachsiger Fernzugspannung an. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.