Ingenieurwesen · Festigkeit/Werkstoffe

Mittlere Normalspannung bei Zug und Druck

Die mittlere Normalspannung ist die innere Normalkraft geteilt durch die belastete Querschnittsfläche; bei gleichmäßiger Verteilung entspricht sie der örtlichen Spannung.

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Formel

Berechnen

σ_{m} = \frac{F}{A}

σ in Pa = N/m²; F in N; A in m²

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$σₘ$	Mittlere Normalspannung im Querschnitt	Pa
$F$	Axiale Normalkraft senkrecht zum Querschnitt	N
$A$	Belastete Querschnittsfläche	m²

LaTeX

\sigma_\mathrm{m} = \frac{F}{A}

QUANTA STUDYquanta-study.de

Gerader Stab mit gleich großen, nach außen gerichteten Zugkräften F an beiden Enden. Ein Schnitt senkrecht zur Achse markiert die Querschnittsfläche A. Vier gleiche Pfeile zeigen schematisch eine gleichmäßige Zugspannungsverteilung. — Zentrischer axialer Zug: F wirkt senkrecht zur Schnittfläche A. Bei gleichmäßiger Verteilung gilt örtlich σ = F/A; der Flächenmittelwert gilt auch ohne Gleichverteilung.

Normalspannung berechnen

Mittlere Normalspannung, Normalkraft oder Querschnittsfläche eines Stabs ausrechnen, dazu Kreisquerschnitt und Längenänderung; Zug zählt positiv, Druck negativ.

Rechenmodell

Gesucht

Normalkraft im Stab N

Innere Normalkraft im Stab, Zug positiv, Druck negativ, z. B. 18 kN Zug in einem Flachstab.

Querschnittsfläche A

Tragende Querschnittsfläche, z. B. 180 mm² für einen Flachstab mit 12 mm × 15 mm.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach σₘ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach σ_m umstellen
$\sigma_{\mathrm m}=N/A$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- N = 18 kN = 18 000 N
- A = 180 mm² = 0,00018 m²
$\frac{18000}{0{,}00018}$
3. Ergebnis
σ_m = 100 MPa

Vorzeichen und Bezugsfläche bleiben erhalten. Eine inverse Fläche aus N=σ_m=0 ist nicht eindeutig.

Ergebnis: Mittlere Normalspannung, Zug positiv σ_m

σ_m = 100 MPa

Mit N = 18 kN und A = 180 mm² ergibt sich σ_m = 100 MPa.

So rechnest du schneller

Formeldreieck: N oben, σ und A unten. Halte die gesuchte Größe zu, der Rest ist die Rechnung, z. B. A = N : σ.
Einheitentrick: 1 MPa = 1 N/mm². Kraft in N durch Fläche in mm² ergibt die Spannung direkt in MPa, z. B. 18 000 N : 180 mm² = 100 MPa.

Annahmen und Grenzen

N am gewählten Schnitt zuvor aus dem Freischnitt bestimmen. Zug positiv, Druck negativ; tatsächlich kraftübertragende positive Fläche. N/A ist nur der Flächenmittelwert und braucht kein Hooke-Gesetz. Nur bei Gleichverteilung auch lokale Spannung. Keine örtliche Spitze, zulässige Materialspannung oder Knicksicherheit berechnet.

Herleitung & Hintergrund

Die Gleichung folgt aus der Definition der Spannung als Kraft pro Fläche. Sie liefert den Flächenmittelwert der Normalspannung. Nur wenn die Verteilung über den Querschnitt annähernd gleichmäßig ist, entspricht dieser Mittelwert auch der örtlichen Spannung. Kerben, Lagerzonen, Exzentrizität, Biegung und lokale Spannungsspitzen werden nicht erfasst. Im elastischen Bereich verbindet das Materialgesetz $\sigma=E\varepsilon$ diese Spannung mit der Dehnung; die Gleichung allein ist kein Festigkeitsnachweis.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

F ist die innere Normalkraft am Schnitt und A > 0 die belastete Querschnittsfläche. F/A ist stets der Flächenmittelwert; für die örtliche Spannung ist zusätzlich annähernde Gleichverteilung erforderlich.

Herleitung in Schritten

Der Flächenmittelwert der örtlichen Normalspannung folgt aus der resultierenden inneren Schnittkraft.

1Schneide den Stab senkrecht zur Achse und trage alle äußeren Kräfte am betrachteten Teil ein.
2Bestimme die innere Normalkraft $N$ aus $\sum F_x=0$ . Die Formelkarte bezeichnet diese Schnittkraft mit $F$ .
3Die Resultierende der örtlichen Normalspannung lautet $N=\int_A\sigma\,\mathrm dA$ .
4Teile durch die positive Fläche: $\sigma_{\mathrm m}=\frac1A\int_A\sigma\,\mathrm dA=\frac NA=\frac FA$ .
5Nur eine gleichmäßige Verteilung erlaubt zusätzlich $\sigma=\sigma_{\mathrm m}=\frac FA$ für die örtliche Spannung.
6Kontrolliere $1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}=1\,\mathrm{MPa}$ und das Vorzeichen. Örtliche Spitzen und Knicken benötigen eigene Modelle.

Umstellen

Mittlere Normalspannung σₘ bestimmen

\sigma_\mathrm{m} = \frac{F}{A}

Bei Umstellungen Vorzeichen, Randbedingungen und Einheiten beibehalten.

Innere Normalkraft bestimmen

F=\sigma_{\mathrm m}A

F ist die am Schnitt bestimmte Normalkraft N, nicht eine beliebige äußere Last. A muss positiv sein; Zug positiv und Druck negativ.

Tragende Fläche bestimmen

A=\frac{F}{\sigma_{\mathrm m}}

Nur für $\sigma_{\mathrm m}\ne0$ und $F/\sigma_{\mathrm m}>0$ . Bei $F=\sigma_{\mathrm m}=0$ ist die positive Fläche aus dieser Bilanz nicht eindeutig bestimmbar.

Aufgabenvariante

Ein zentrisch belasteter Zugstab mit 12 mm × 15 mm Querschnitt trägt 18 kN. Berechne σ_m.

Ansatz: Bestimme zuerst $A=12\cdot15\,\mathrm{mm^2}=180\,\mathrm{mm^2}$ .
Mit $F=18000\,\mathrm N$ ergibt $\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000\,\mathrm N}{180\,\mathrm{mm^2}}=100\,\mathrm{MPa}$ .

Kontrolle: $100\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\cdot180\,\mathrm{mm^2}=18000\,\mathrm N$ . Der Mittelwert bestimmt keine örtliche Kerbspannung.

Typische Fehler

Äußere Einzelkraft ohne Freischnitt als innere Normalkraft einsetzen.

N am ausgewählten Schnitt aus dem Gleichgewicht bestimmen; zusätzliche Lasten und Eigengewicht können N verändern.

1 mm² mit 10⁻³ m² gleichsetzen.

Die Umrechnung wird quadriert: $1\,\mathrm{mm^2}=10^{-6}\,\mathrm{m^2}$ . Direkt gilt $1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}=1\,\mathrm{MPa}$ .

Mittlere Spannung als maximale örtliche Spannung behandeln.

Kerben, exzentrische Kräfte und Biegung können örtlich größere Spannungen erzeugen.

Klausurkontext

Innere Schnittkraft, Querschnittsfläche und Vorzeichen in einer axialen Stabaufgabe bestimmen.
Mittlere Spannung, elastische Dehnung und Stabilitätsnachweis auseinanderhalten.

Formelcluster

Spannung, Dehnung und Balkenmodell

Die innere Schnittkraft und die tragende Fläche bestimmen die mittlere Spannung. Für Dehnung brauchst du zusätzlich das Materialgesetz, für Biegung oder Knicken ein eigenes Bauteilmodell.

E = σ/ε = FL₀/(A₀ΔL)

Young’scher Modul

F = k·x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

M = EIκ ≈ EI·w″

Euler-Bernoulli-Balken: Moment-Krümmungs-Beziehung

Rechenbeispiel

Ein Zugstab mit $A=200\,\mathrm{mm^2}$ trägt eine innere Normalkraft $F=20\,\mathrm{kN}$ . Ansatz: $\sigma_{\mathrm m}=\frac FA$ . Umgerechnet ist $A=2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ , daher $\sigma_{\mathrm m}=\frac{20000\,\mathrm N}{2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}}=100\,\mathrm{MPa}$ . Probe: Spannung mal Fläche ergibt wieder 20 kN.

Anwendungsgebiete

Axiale Zug- und Druckbelastungen idealisierter Stäbe überschlägig einordnen.

Rechenbeispiel: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft (σₘ = F/A).

1
Aufgabe
Ein zentrisch belasteter Zugstab mit 12 mm × 15 mm Querschnitt trägt 18 kN. Berechne σ_m.
Rechenweg
1. Ansatz: Bestimme zuerst $A=12\cdot15\,\mathrm{mm^2}=180\,\mathrm{mm^2}$ .
2. Mit $F=18000\,\mathrm N$ ergibt $\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000\,\mathrm N}{180\,\mathrm{mm^2}}=100\,\mathrm{MPa}$ .
Kontrolle: $100\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\cdot180\,\mathrm{mm^2}=18000\,\mathrm N$ . Der Mittelwert bestimmt keine örtliche Kerbspannung.

Die Formel verstehen und anwenden

Die mittlere Normalspannung verteilt eine innere axiale Kraft rechnerisch auf die belastete Querschnittsfläche. Entscheidend ist, welche Kraft am Schnitt wirkt und ob dieser Mittelwert auch die örtliche Spannung beschreibt. Die folgende Erklärung verbindet den Freischnitt, die Flächenrechnung und eigene Beispiele mit den Grenzen des Stabmodells.

Kraft und Spannung sind unterschiedliche Größen

Die Normalkraft wirkt senkrecht zur betrachteten Schnittfläche. Viele Mechanikbücher nennen die innere Schnittgröße N. In der Quanta-Formel steht dafür F; gemeint ist dieselbe axiale resultierende Kraft am gewählten Schnitt. Sie muss zunächst aus dem Gleichgewicht bestimmt werden.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{F}{A}=\frac{N}{A}

Die mittlere Normalspannung σ_m ist die resultierende Normalkraft je Querschnittsfläche. A muss größer als null sein.[1]

Bei gleichem F hat ein doppelter Querschnitt die halbe mittlere Spannung. Das ist eine Aussage über Last und Geometrie. Ob der Werkstoff diese Spannung elastisch verträgt, wie stark sich der Stab verlängert und ob andere Versagensarten auftreten, sind zusätzliche Fragen.

Diagramm ansehen: Fläche und mittlere Spannung

Doppelte Fläche halbiert die mittlere Spannung

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Gezeigt wird nur der Querschnittsmittelwert bei festem Kraftfluss, keine Festigkeits- oder Stabilitätsgrenze. Der Punkt

A=180\,\mathrm{mm^2}

gehört zum ersten Beispiel.[1]

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Herleitung über Schnitt und Flächenintegral

Ein gedachter Schnitt senkrecht zur Stabachse legt die Kräfte frei, die das entfernte Stück auf das behaltene Stück überträgt. Der Freischnitt muss äußere Lasten, gegebenenfalls Eigengewicht und die innere Normalkraft enthalten. Unter den Annahmen der Statik muss die Summe der axialen Kräfte verschwinden.[3][1]

\begin{aligned}N&=\int_A\sigma\,\mathrm dA\\\sigma_{\mathrm m}&=\frac1A\int_A\sigma\,\mathrm dA\end{aligned}

Die Resultierende ist das Integral der örtlichen Normalspannung; der Flächenmittelwert entsteht durch Division durch A.[1]

\sigma_{\mathrm m}=\frac NA

Der Mittelwert folgt auch bei einer nichtgleichförmigen Spannungsverteilung aus der Definition.

Ist die örtliche Spannung über A annähernd gleich, darf sie vor das Integral gezogen werden: $N=\sigma A$ . Erst mit dieser Zusatzannahme liefert $\frac NA$ auch die lokale Spannung. Sie passt zu einem geeigneten geraden prismatischen Stab unter zentrischer axialer Last fern von Lastangriff und Störungen.[1]

Einheiten und Querschnitte sicher umrechnen

\begin{aligned}1\,\mathrm{Pa}&=1\,\mathrm{N\,m^{-2}}\\1\,\mathrm{MPa}&=1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\end{aligned}

Newton geteilt durch Quadratmillimeter ergibt direkt Megapascal.

\begin{aligned}1\,\mathrm{mm^2}&=10^{-6}\,\mathrm{m^2}\\1\,\mathrm{kN}&=1000\,\mathrm N\end{aligned}

Die Längenumrechnung muss für die Fläche quadriert werden.

\begin{aligned}A_{\mathrm{Kreis}}&=\frac{\pi d^2}{4}\\A_{\mathrm{Rechteck}}&=bh\\A_{\mathrm{Ring}}&=\frac{\pi(D^2-d^2)}4\end{aligned}

Vollkreis mit Durchmesser d, Rechteck mit Breite b und Höhe h sowie Kreisring mit D > d ≥ 0.

Die relevante Fläche ist die tatsächlich kraftübertragende Schnittfläche. Ein Hohlquerschnitt braucht die Ringfläche; ein geometrisch offener Bereich überträgt keine Normalkraft. Ein Loch kann zusätzlich örtliche Spannungsspitzen erzeugen, die die reine Flächenkorrektur nicht beschreibt.

Für eine bekannte positive Fläche lautet die Kraftumstellung $N=\sigma_{\mathrm m}A$ ; das Vorzeichen unterscheidet Zug und Druck. Die Umstellung $A=\frac{N}{\sigma_{\mathrm m}}$ setzt $\sigma_{\mathrm m}\ne0$ und einen positiven Quotienten voraus. Eine nichtnullige Normalkraft und die zugehörige mittlere Spannung haben deshalb dasselbe Vorzeichen. Bei $N=\sigma_{\mathrm m}=0$ bleibt jede positive Fläche mit dieser Bilanz vereinbar; die Fläche ist daraus nicht eindeutig bestimmbar.[1]

Drei Rechenwege: Spannung, Querschnitt und innerer Kraftfluss

Mittlere Spannung in einem Zugstab

Gegeben: Ein idealisierter Stab trägt $N=18\,\mathrm{kN}$ zentrischen Zug. Die rechteckige Fläche ist 12 mm × 15 mm.
Gesucht: σ_m in MPa bestimmen und mit SI-Einheiten kontrollieren.

Ansatz: Zentrischer Zug verteilt sich im vereinfachten Stabmodell über den angegebenen rechteckigen Querschnitt. Zuerst die Fläche bestimmen, dann die Normalkraft durch diese Fläche teilen.
$\begin{aligned}A&=bh\\{}\sigma_m&=\frac NA\end{aligned}$
Die Fläche berechnen: $A=180\,\mathrm{mm^2}$ .
$A=12\cdot15\,\mathrm{mm^2}=180\,\mathrm{mm^2}$
18 kN in 18 000 N umrechnen und durch die Fläche teilen.
$\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000\,\mathrm N}{180\,\mathrm{mm^2}}=100\,\mathrm{MPa}$
Für die SI-Kontrolle $A=1{,}8\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ verwenden.
$\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000}{1.8\times10^{-4}}\,\mathrm{Pa}=10^8\,\mathrm{Pa}$

Ergebnis: $\sigma_{\mathrm m}=+100\,\mathrm{MPa}$ bei der Konvention Zug positiv.

Kontrolle: $100\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\cdot180\,\mathrm{mm^2}=18000\,\mathrm N$ . Das Ergebnis beschreibt den Flächenmittelwert; lokale Spitzen sind damit nicht nachgewiesen.

Mindestdurchmesser unter einem vorgegebenen Grenzwert

Gegeben: Im vereinfachten zentrischen Zugmodell gilt $N=24\,\mathrm{kN}$ . Für die Aufgabe ist eine zulässige Spannung von 120 MPa vorgegeben.
Gesucht: Rechnerischen Mindestdurchmesser eines Vollkreises bestimmen.

Ansatz: Die vorgegebene zulässige mittlere Zugspannung begrenzt die benötigte Fläche. Die Vollkreisgeometrie übersetzt diese Mindestfläche in einen positiven rechnerischen Mindestdurchmesser.
$\begin{aligned}\sigma_m&=\frac NA\le\sigma_{\mathrm{allow}}\\{}A_{\min}&=\frac N{\sigma_{\mathrm{allow}}}\\{}d_{\min}&=\sqrt{\frac{4A_{\min}}\pi}\end{aligned}$
Aus $\frac NA\le\sigma_{\mathrm{zul}}$ folgt $A\ge\frac N{\sigma_{\mathrm{zul}}}$ .
$A_{\min}=\frac{24000\,\mathrm N}{120\,\mathrm{N/mm^2}}=200\,\mathrm{mm^2}$
$A=\frac{\pi d^2}{4}$ nach dem positiven Durchmesser auflösen.
$d_{\min}=\sqrt{\frac{4A_{\min}}\pi}=\sqrt{\frac{800}{\pi}}\,\mathrm{mm}\approx15.96\,\mathrm{mm}$
Die mögliche Wahl 16 mm zurückrechnen.
$\sigma_{\mathrm m}(16\,\mathrm{mm})=\frac{24000}{\frac{\pi\cdot16^2}{4}}\,\mathrm{MPa}\approx119.37\,\mathrm{MPa}$

Ergebnis: Im gegebenen Lehrmodell erfüllt 16 mm den Grenzwert knapp. Abrunden auf 15 mm ergäbe etwa 135,8 MPa und überschreitet ihn.

Kontrolle: Die Wahl setzt den ausdrücklich vorgegebenen Grenzwert und ideale Geometrie voraus. Toleranzen, zusätzliche Lasten und weitere Nachweise sind keine Ergebnisse dieser Rechnung.

Eine zusätzliche Axiallast verändert den inneren Kraftfluss

Gegeben: Ein gerader Stab ist links gehalten. Rechts wirkt +12 kN nach rechts, an einem Zwischenpunkt −4 kN nach links. Beide betrachteten Abschnitte haben 200 mm². Statische axiale Last, Zug positiv; Schnitte fern von den Lastangriffen, Eigengewicht vernachlässigt.
Gesucht: Die Reaktion, Normalkraft und mittlere Spannung links und rechts der Zwischenlast bestimmen.

Ansatz: Die Stabreaktion folgt aus dem Gleichgewicht des ganzen Körpers. Danach jeweils den rechten Teil freischneiden; die innere Normalkraft ist keine überall festgelegte Kopie der Endlast.
$\begin{aligned}R_x+12\,\mathrm{kN}-4\,\mathrm{kN}&=0\\\sigma_{\mathrm m,j}&=\frac{N_j}{A}\end{aligned}$
Rechts der Zwischenlast enthält das freigeschnittene Teil nur die 12-kN-Endlast. Links davon gehört die entgegengerichtete 4-kN-Zwischenlast zusätzlich zur Bilanz.
$\begin{aligned}R_x&=-8\,\mathrm{kN}\\N_{\mathrm{right}}&=+12\,\mathrm{kN}\\N_{\mathrm{left}}&=12\,\mathrm{kN}-4\,\mathrm{kN}=+8\,\mathrm{kN}\end{aligned}$
Gleiche Fläche, verschiedene innere Normalkraft: die beiden Mittelspannungen einzeln berechnen.
$\sigma_{\mathrm m,left}=\frac{8000\,\mathrm N}{200\,\mathrm{mm^2}}=40\,\mathrm{MPa},\qquad\sigma_{\mathrm m,right}=60\,\mathrm{MPa}$

Ergebnis: Die linke Reaktion beträgt −8 kN. Beide Abschnitte stehen unter Zug, aber ihre mittleren Spannungen sind 40 und 60 MPa.

Kontrolle: Die Normalkraft springt an der konzentrierten Zwischenlast um +4 kN; Gleichgewicht jedes freigeschnittenen Abschnitts bestätigt die Werte. Die Spannungsspitze am Lastangriff ist dadurch nicht bestimmt.

Weiterrechnen: Dehnung und Verlängerung

Bei einem homogenen linear-elastischen Stab verbindet $\sigma=E\varepsilon$ die Spannung mit der Dehnung. E ist der Elastizitätsmodul, $\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}$ die relative Verlängerung. Setzt man die gleichförmige axiale Spannung ein, erhält man die Verlängerung für konstantes N, A und E entlang der Länge.[2]

\begin{aligned}\varepsilon&=\frac\sigma E\\\Delta L&=\frac{NL}{EA}\end{aligned}

Diese Verlängerungsform benötigt zusätzliche Material- und Modellannahmen.

Im ersten Beispiel sei zusätzlich $L=600\,\mathrm{mm}$ und $E=200000\,\mathrm{MPa}$ vorgegeben. Dann gilt $\varepsilon=\frac{100\,\mathrm{MPa}}{200000\,\mathrm{MPa}}=0{,}0005$ und $\Delta L=\varepsilon L=0{,}30\,\mathrm{mm}$ . Ein anderer Elastizitätsmodul verändert bei unveränderter Kraft und Fläche die Dehnung, aber nicht den durch $\frac NA$ bestimmten Spannungsmittelwert.

Vertiefung: technische und wahre Spannung

Bei technischen Zugversuchen wird häufig die ursprüngliche Fläche A₀ verwendet. Die technische Spannung ist dann $\frac{N}{A_0}$ . Die wahre Spannung bezieht sich auf die aktuelle Fläche A. Bei kleiner Verformung unterscheiden sie sich wenig; bei merklicher Einschnürung muss klar sein, welche Definition benutzt wird.[2]

\begin{aligned}\sigma_{\mathrm{tech}}&=\frac N{A_0}\\\sigma_{\mathrm{wahr}}&=\frac NA\end{aligned}

Die gleiche Kraft wird auf unterschiedliche Bezugsflächen bezogen.

Für ein eigenes Zahlenbeispiel sei $N=10000\,\mathrm N$ , $A_0=100\,\mathrm{mm^2}$ und $A=80\,\mathrm{mm^2}$ . Die technische Spannung beträgt 100 MPa, die flächenbezogene wahre Spannung 125 MPa. Eine ungleichmäßige Einschnürzone kann darüber hinaus einen mehrachsigen lokalen Spannungszustand besitzen.

Wann $\frac NA$ allein nicht genügt

Exzentrischer Lastangriff kann zusätzlich Biegung erzeugen. Dann ist die Normalspannung nicht über die Fläche konstant.
Kerben, Bohrungen und Querschnittssprünge können lokale Spitzen erzeugen. Der Mittelwert ist keine obere Schranke.
Bei Druck bleibt die mittlere Spannung berechenbar, aber schlanke Stäbe können knicken. Eine kleine Druckspannung schließt Instabilität nicht aus.
$\frac NA$ benötigt kein Hooke-Gesetz für seine Definition. Die elastische Verlängerungsform benötigt dagegen ein passendes Materialmodell.
Ein vorgegebener zulässiger Wert ist eine Eingangsgröße. Er ist nicht automatisch Streckgrenze, Zugfestigkeit oder ein normgerecht ermittelter Bemessungswert.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Stab trägt 7,5 kN bei $A=250\,\mathrm{mm^2}$ . Berechne die mittlere Zugspannung.

Hinweis anzeigen

Kraft in Newton einsetzen.

Lernziel: Mittlere Zugspannung mit Kilonewton und Quadratmillimetern berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Teile die innere Normalkraft durch die tragende Fläche.
$\begin{aligned}\sigma_m&=\frac{7500}{250}\,\frac{\mathrm N}{\mathrm{mm^2}}\\{}&=30\,\frac{\mathrm N}{\mathrm{mm^2}}\\{}&=30\,\mathrm{MPa}\text{.}\end{aligned}$ Kontrolle: 30 N/mm² mal 250 mm² ergeben wieder 7500 N.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{7500}{250}\,\mathrm{MPa}=30\,\mathrm{MPa}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Hohlstab mit Außendurchmesser 20 mm und Innendurchmesser 16 mm trägt 8 kN. Berechne σ_m.

Hinweis anzeigen

Die Innenkreisfläche von der Außenkreisfläche abziehen.

Lernziel: Bei einem Hohlquerschnitt die tatsächlich tragende Ringfläche verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $A=\frac\pi4(D^2-d^2)$ , danach $\sigma_{\mathrm m}=\frac NA$ .
$A=\frac{\pi(400-256)}4\,\mathrm{mm^2}=36\pi\,\mathrm{mm^2}\approx113{,}10\,\mathrm{mm^2}$ .
$\sigma_m\approx70{,}74\,\mathrm{MPa}$ .

Kontrolle: Die Ringfläche ist kleiner als die Außenkreisfläche; die Spannung deshalb größer als beim Vollstab gleicher Außenmaße.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{8000}{36\pi}\,\mathrm{MPa}\approx70.74\,\mathrm{MPa}

Interpretieren · Anwenden

Eine Druckkraft ist $N=-12\,\mathrm{kN}$ , die Fläche 300 mm². Ist mit σ_m allein auch die Knicksicherheit bestimmt?

Hinweis anzeigen

Vorzeichen beibehalten und Spannung von Stabilität trennen.

Lernziel: Negative mittlere Druckspannung von einer Stabilitätsaussage unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\sigma_{\mathrm m}=\frac{-12000\,\mathrm N}{300\,\mathrm{mm^2}}$ .
$\sigma_{\mathrm m}=-40\,\mathrm{MPa}$ .
Nein: Eine Knickbeurteilung benötigt unter anderem Länge, Lagerung, Steifigkeit und Querschnittsträgheit.

Kontrolle: Das negative Vorzeichen entspricht der vorgegebenen Druckkraft.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{-12000}{300}\,\mathrm{MPa}=-40\,\mathrm{MPa}

Interpretieren · Anwenden

Eine gerade gestufte Stange wird statisch und zentrisch mit 6,0 kN gezogen. Zwischen ihren beiden Abschnitten gibt es keine zusätzliche Axiallast; die Flächen betragen 100 mm² und 300 mm². Berechne die mittlere Normalspannung in jedem Abschnitt fern vom Übergang. Hat der dickere Abschnitt auch eine dreimal größere innere Normalkraft?

Hinweis anzeigen

Bestimme die innere Normalkraft durch einen Schnitt. Ohne zusätzliche Last zwischen den Schnitten ist sie in beiden Abschnitten gleich.

Lernziel: Bei einer gestuften Zugstange gleichen Kraftfluss und unterschiedliche mittlere Spannungen unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gleiche innere Normalkraft von +6000 N durch jede tatsächlich belastete Fläche teilen.
Die mittleren Zugspannungen sind +60 MPa und +20 MPa.
Die Normalkraft ist nicht dreimal größer; nur die Fläche ändert sich.

Kontrolle: Spannung mal Fläche ergibt in beiden Abschnitten 6000 N. Direkt am Übergang kann die lokale Spannungsverteilung von diesen Abschnittsmittelwerten abweichen.

\begin{aligned}N_1=N_2&=+6000\,\mathrm N\\\sigma_{\mathrm m,1}&=\frac{6000\,\mathrm N}{100\,\mathrm{mm^2}}=+60\,\mathrm{MPa}\\\sigma_{\mathrm m,2}&=\frac{6000\,\mathrm N}{300\,\mathrm{mm^2}}=+20\,\mathrm{MPa}\\\sigma_{\mathrm m,1}A_1&=\sigma_{\mathrm m,2}A_2\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Zwei homogene prismatische Stäbe haben dieselbe Fläche 200 mm² und werden jeweils mit 10 kN statisch zentrisch gezogen. Ihre Längen sind gleich, ihre Elastizitätsmodule 200 GPa und 100 GPa. Beide bleiben linear elastisch. Eine Lösung behauptet wegen gleicher Normalspannung auch gleiche Dehnung. Prüfe Spannung und Dehnung beider Stäbe; Lastübergänge werden nicht betrachtet.

Hinweis anzeigen

Die Spannung folgt aus Kraft und Fläche. Erst das Materialgesetz mit E liefert die Dehnung.

Lernziel: Mittlere Normalspannung nicht ohne Materialgesetz als Dehnung interpretieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zuerst die gleiche Spannung von 50 MPa bestimmen; anschließend für jeden Stab durch seinen eigenen Elastizitätsmodul teilen.
Die Dehnungen sind 0,00025 und 0,00050.
Der zweite Stab dehnt sich also doppelt so stark.

Kontrolle: Bei gleicher Länge ist auch sein Längenzuwachs doppelt so groß. Spannung besitzt eine Einheit, Dehnung ist dimensionslos; diese Größen dürfen nicht gleichgesetzt werden.

\begin{aligned}\sigma_1=\sigma_2&=\frac{10\,000\,\mathrm N}{200\,\mathrm{mm^2}}=50\,\mathrm{MPa}\\\varepsilon_1&=\frac{50\,\mathrm{MPa}}{200\,000\,\mathrm{MPa}}=0.00025\\\varepsilon_2&=\frac{50\,\mathrm{MPa}}{100\,000\,\mathrm{MPa}}=0.00050\\\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}&=2\end{aligned}

[2][1]

Ein verlässlicher Rechenablauf

Schnitt wählen und die innere Normalkraft aus einem vollständigen Freischnitt ermitteln.
Kraftübertragende Fläche mit den richtigen Längen und Einheiten berechnen.
$\sigma_{\mathrm m}=\frac NA$ bilden, Vorzeichen benennen und mit $\sigma_{\mathrm m}A=N$ kontrollieren.
Erst danach beurteilen, ob Gleichverteilung, Materialmodell und weitere Nachweise zum betrachteten Fall passen.

Beginne mit dem Schnittgleichgewicht, nicht mit einer beliebigen äußeren Last. Teile die gefundene Normalkraft durch die tatsächlich tragende Fläche und benenne das Vorzeichen. Ein Materialgesetz kommt erst für die Dehnung hinzu; örtliche Spannungsspitzen und Knicken benötigen eigene Modelle.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Kraft- und Flächenumstellungen mit Vorzeichen- und Nullfällen ergänzt; passende Anschlusslinks eingefügt und vorhandene Inhalte erhalten. Die Formel für technische Spannung wurde ohne fachliche Änderung vollständig im mathematischen Satz dargestellt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernverlauf, symbolische Übungsansätze und Modellgrenzen präzisiert; drittes eigenes Beispiel und quantitative Grafik ergänzt, passende Vertiefungen optional dargestellt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/normalspannung-zug

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Welche Kraft gehört in die Spannungsformel?+

Du brauchst die innere Normalkraft am betrachteten Querschnitt. Sie folgt aus dem Gleichgewicht eines freigeschnittenen Stabteils und wird in der Formelkarte mit F bezeichnet; in Schnittgrößendiagrammen heißt sie häufig N. Ohne zusätzliche Axiallast zwischen zwei Schnitten ist sie gleich. Eine Zwischenlast kann sie verändern, selbst wenn die Fläche gleich bleibt. Im dritten Beispiel ergeben 12 kN Endlast und eine entgegengerichtete 4-kN-Zwischenlast deshalb 8 und 12 kN in verschiedenen Abschnitten. Erst danach teilst du durch die jeweils tragende Fläche. Das Vorzeichen unterscheidet Zug und Druck; eine beliebige äußere Last ist kein Ersatz für den Freischnitt.

Wie rechne ich mit Quadratmillimetern?+

Du kannst die gesamte Rechnung in Newton und Quadratmillimetern führen, weil $1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}=1\,\mathrm{MPa}$ gilt. Beispielsweise ergeben 20 kN auf 200 mm² nach Umrechnung der Kraft 100 MPa. In SI sind dieselbe Kraft 20000 N und dieselbe Fläche $2\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ ; das Ergebnis ist $10^8\,\mathrm{Pa}$ . Beide Wege müssen übereinstimmen. Entscheidend ist die quadratische Flächenumrechnung: Ein Quadratmillimeter entspricht einem Millionstel Quadratmeter. Bei einem Hohlstab zählt nur die Ringfläche. Ziehe die Innenkreisfläche von der Außenkreisfläche ab, bevor du die Kraft teilst. Kontrolliere abschließend, ob Spannung mal Fläche die ursprüngliche Schnittkraft ergibt.

Ist der Mittelwert auch die größte örtliche Spannung?+

Nein. Die Formel liefert den Flächenmittelwert, weil die innere Kraft das Integral der örtlichen Spannung über den Querschnitt ist. Bei annähernd gleichmäßiger axialer Beanspruchung eines prismatischen Stabs fern von Lastangriffen kann dieser Mittelwert die örtliche Spannung beschreiben. An einer Kerbe, einem Flächenübergang, einer Lagerzone oder bei exzentrischer Belastung kann die Verteilung deutlich anders aussehen. Ein größerer lokaler Wert ist dann trotz unveränderter Schnittkraft möglich. Im gestuften Stab gelten deshalb die berechneten Abschnittsmittelwerte fern vom Übergang. Für die Übergangszone brauchst du ein passendes örtliches Modell, etwa mit experimentell oder rechnerisch bestimmten Spannungskonzentrationen.

Folgt aus gleicher Spannung auch gleiche Dehnung?+

Nur wenn auch das passende Materialverhalten übereinstimmt. Die mittlere Spannung folgt zunächst aus Kraft und Fläche. Für einen homogen und gleichmäßig beanspruchten, linear elastischen Stab gilt zusätzlich $\varepsilon=\frac\sigma E$ . Zwei Stäbe mit gleicher Spannung von 50 MPa, aber Elastizitätsmodulen von 200 und 100 GPa haben deshalb Dehnungen von 0,00025 und 0,00050. Bei gleicher Ausgangslänge ist die Verlängerung des zweiten doppelt so groß. Die Dehnung ist dimensionslos, die Spannung nicht. Eine Änderung des Elastizitätsmoduls verändert bei vorgegebener Kraft und Fläche die Dehnung; bei vorgegebener Verschiebung kann dagegen auch die Schnittkraft anders ausfallen.

Reicht die Spannungsrechnung für eine sichere Dimensionierung?+

Eine Spannungsrechnung allein bestätigt noch keine sichere Konstruktion. Du brauchst die passenden Lastfälle, zulässige Werkstoffbeanspruchung und einen begründeten Sicherheitsansatz. Örtliche Spannungsspitzen, Ermüdung und weitere Spannungsanteile können zusätzliche Nachweise verlangen. Bei einem schlanken Druckstab ist außerdem Knicken möglich, auch wenn der berechnete Spannungsmittelwert unter einer Werkstoffgrenze liegt. Länge, Lagerung, Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment gehören dann zum Stabilitätsmodell. Für die einfache Zugaufgabe mit vorgegebener zulässiger Spannung kannst du $A_{\min}=\frac F{\sigma_{\mathrm{zul}}}$ berechnen. Der gewählte reale Querschnitt muss mindestens diese Fläche erreichen; diese Rechnung ersetzt die übrigen zur Aufgabe gehörenden Nachweise nicht.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]MIT OpenCourseWare, Unified Engineering: Materials and Structures, axial stress and structural members.

Weitere Formeln: Mechanik, Festigkeit und Werkstoffe

\Delta\vec p=\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{\mathrm{ext}}dt, \qquad \Delta\vec L=\int_{t_1}^{t_2}\vec\tau_{\mathrm{ext}}dt

Impuls- und Drehimpulsbilanz

\sum_i \vec F_i=\vec 0,\quad \sum_i M_{i,O}=0

Gleichgewichtsbedingungen der Statik

\nu=-\frac{\varepsilon_\mathrm{quer}}{\varepsilon_\mathrm{axial}}

Poisson-Zahl

\Delta L=\alpha L_0\Delta T

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Mittlere Normalspannung bei Zug und Druck

Die mittlere Normalspannung ist die innere Normalkraft geteilt durch die belastete Querschnittsfläche; bei gleichmäßiger Verteilung entspricht sie der örtlichen Spannung.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

σₘ

Mittlere Normalspannung im Querschnitt

F

Axiale Normalkraft senkrecht zum Querschnitt

A

Belastete Querschnittsfläche

m²

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Der Flächenmittelwert der örtlichen Normalspannung folgt aus der resultierenden inneren Schnittkraft.

1Schneide den Stab senkrecht zur Achse und trage alle äußeren Kräfte am betrachteten Teil ein.
2Bestimme die innere Normalkraft $N$ aus $\sum F_x=0$ . Die Formelkarte bezeichnet diese Schnittkraft mit $F$ .
3Die Resultierende der örtlichen Normalspannung lautet $N=\int_A\sigma\,\mathrm dA$ .
4Teile durch die positive Fläche: $\sigma_{\mathrm m}=\frac1A\int_A\sigma\,\mathrm dA=\frac NA=\frac FA$ .
5Nur eine gleichmäßige Verteilung erlaubt zusätzlich $\sigma=\sigma_{\mathrm m}=\frac FA$ für die örtliche Spannung.
6Kontrolliere $1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}=1\,\mathrm{MPa}$ und das Vorzeichen. Örtliche Spitzen und Knicken benötigen eigene Modelle.

Rechenbeispiel: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft (σₘ = F/A).

Aufgabe

Ein zentrisch belasteter Zugstab mit 12 mm × 15 mm Querschnitt trägt 18 kN. Berechne σ_m.

Rechenweg

Ansatz: Bestimme zuerst $A=12\cdot15\,\mathrm{mm^2}=180\,\mathrm{mm^2}$ .
Mit $F=18000\,\mathrm N$ ergibt $\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000\,\mathrm N}{180\,\mathrm{mm^2}}=100\,\mathrm{MPa}$ .

Kontrolle: $100\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\cdot180\,\mathrm{mm^2}=18000\,\mathrm N$ . Der Mittelwert bestimmt keine örtliche Kerbspannung.

Die Formel verstehen und anwenden

Kraft und Spannung sind unterschiedliche Größen

\sigma_{\mathrm m}=\frac{F}{A}=\frac{N}{A}

Die mittlere Normalspannung σ_m ist die resultierende Normalkraft je Querschnittsfläche. A muss größer als null sein.[1]

Diagramm ansehen: Fläche und mittlere Spannung

Doppelte Fläche halbiert die mittlere Spannung

QUANTA STUDYquanta-study.de

Gezeigt wird nur der Querschnittsmittelwert bei festem Kraftfluss, keine Festigkeits- oder Stabilitätsgrenze. Der Punkt

A=180\,\mathrm{mm^2}

gehört zum ersten Beispiel.[1]

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Herleitung über Schnitt und Flächenintegral

\begin{aligned}N&=\int_A\sigma\,\mathrm dA\\\sigma_{\mathrm m}&=\frac1A\int_A\sigma\,\mathrm dA\end{aligned}

Die Resultierende ist das Integral der örtlichen Normalspannung; der Flächenmittelwert entsteht durch Division durch A.[1]

\sigma_{\mathrm m}=\frac NA

Der Mittelwert folgt auch bei einer nichtgleichförmigen Spannungsverteilung aus der Definition.

Einheiten und Querschnitte sicher umrechnen

\begin{aligned}1\,\mathrm{Pa}&=1\,\mathrm{N\,m^{-2}}\\1\,\mathrm{MPa}&=1\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\end{aligned}

Newton geteilt durch Quadratmillimeter ergibt direkt Megapascal.

\begin{aligned}1\,\mathrm{mm^2}&=10^{-6}\,\mathrm{m^2}\\1\,\mathrm{kN}&=1000\,\mathrm N\end{aligned}

Die Längenumrechnung muss für die Fläche quadriert werden.

\begin{aligned}A_{\mathrm{Kreis}}&=\frac{\pi d^2}{4}\\A_{\mathrm{Rechteck}}&=bh\\A_{\mathrm{Ring}}&=\frac{\pi(D^2-d^2)}4\end{aligned}

Vollkreis mit Durchmesser d, Rechteck mit Breite b und Höhe h sowie Kreisring mit D > d ≥ 0.

Drei Rechenwege: Spannung, Querschnitt und innerer Kraftfluss

Mittlere Spannung in einem Zugstab

Gegeben: Ein idealisierter Stab trägt $N=18\,\mathrm{kN}$ zentrischen Zug. Die rechteckige Fläche ist 12 mm × 15 mm.
Gesucht: σ_m in MPa bestimmen und mit SI-Einheiten kontrollieren.

Ansatz: Zentrischer Zug verteilt sich im vereinfachten Stabmodell über den angegebenen rechteckigen Querschnitt. Zuerst die Fläche bestimmen, dann die Normalkraft durch diese Fläche teilen.
$\begin{aligned}A&=bh\\{}\sigma_m&=\frac NA\end{aligned}$
Die Fläche berechnen: $A=180\,\mathrm{mm^2}$ .
$A=12\cdot15\,\mathrm{mm^2}=180\,\mathrm{mm^2}$
18 kN in 18 000 N umrechnen und durch die Fläche teilen.
$\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000\,\mathrm N}{180\,\mathrm{mm^2}}=100\,\mathrm{MPa}$
Für die SI-Kontrolle $A=1{,}8\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ verwenden.
$\sigma_{\mathrm m}=\frac{18000}{1.8\times10^{-4}}\,\mathrm{Pa}=10^8\,\mathrm{Pa}$

Ergebnis: $\sigma_{\mathrm m}=+100\,\mathrm{MPa}$ bei der Konvention Zug positiv.

Kontrolle: $100\,\mathrm{N\,mm^{-2}}\cdot180\,\mathrm{mm^2}=18000\,\mathrm N$ . Das Ergebnis beschreibt den Flächenmittelwert; lokale Spitzen sind damit nicht nachgewiesen.

Mindestdurchmesser unter einem vorgegebenen Grenzwert

Gegeben: Im vereinfachten zentrischen Zugmodell gilt $N=24\,\mathrm{kN}$ . Für die Aufgabe ist eine zulässige Spannung von 120 MPa vorgegeben.
Gesucht: Rechnerischen Mindestdurchmesser eines Vollkreises bestimmen.

Ansatz: Die vorgegebene zulässige mittlere Zugspannung begrenzt die benötigte Fläche. Die Vollkreisgeometrie übersetzt diese Mindestfläche in einen positiven rechnerischen Mindestdurchmesser.
$\begin{aligned}\sigma_m&=\frac NA\le\sigma_{\mathrm{allow}}\\{}A_{\min}&=\frac N{\sigma_{\mathrm{allow}}}\\{}d_{\min}&=\sqrt{\frac{4A_{\min}}\pi}\end{aligned}$
Aus $\frac NA\le\sigma_{\mathrm{zul}}$ folgt $A\ge\frac N{\sigma_{\mathrm{zul}}}$ .
$A_{\min}=\frac{24000\,\mathrm N}{120\,\mathrm{N/mm^2}}=200\,\mathrm{mm^2}$
$A=\frac{\pi d^2}{4}$ nach dem positiven Durchmesser auflösen.
$d_{\min}=\sqrt{\frac{4A_{\min}}\pi}=\sqrt{\frac{800}{\pi}}\,\mathrm{mm}\approx15.96\,\mathrm{mm}$
Die mögliche Wahl 16 mm zurückrechnen.
$\sigma_{\mathrm m}(16\,\mathrm{mm})=\frac{24000}{\frac{\pi\cdot16^2}{4}}\,\mathrm{MPa}\approx119.37\,\mathrm{MPa}$

Ergebnis: Im gegebenen Lehrmodell erfüllt 16 mm den Grenzwert knapp. Abrunden auf 15 mm ergäbe etwa 135,8 MPa und überschreitet ihn.

Kontrolle: Die Wahl setzt den ausdrücklich vorgegebenen Grenzwert und ideale Geometrie voraus. Toleranzen, zusätzliche Lasten und weitere Nachweise sind keine Ergebnisse dieser Rechnung.

Eine zusätzliche Axiallast verändert den inneren Kraftfluss

Gegeben: Ein gerader Stab ist links gehalten. Rechts wirkt +12 kN nach rechts, an einem Zwischenpunkt −4 kN nach links. Beide betrachteten Abschnitte haben 200 mm². Statische axiale Last, Zug positiv; Schnitte fern von den Lastangriffen, Eigengewicht vernachlässigt.
Gesucht: Die Reaktion, Normalkraft und mittlere Spannung links und rechts der Zwischenlast bestimmen.

Ansatz: Die Stabreaktion folgt aus dem Gleichgewicht des ganzen Körpers. Danach jeweils den rechten Teil freischneiden; die innere Normalkraft ist keine überall festgelegte Kopie der Endlast.
$\begin{aligned}R_x+12\,\mathrm{kN}-4\,\mathrm{kN}&=0\\\sigma_{\mathrm m,j}&=\frac{N_j}{A}\end{aligned}$
Rechts der Zwischenlast enthält das freigeschnittene Teil nur die 12-kN-Endlast. Links davon gehört die entgegengerichtete 4-kN-Zwischenlast zusätzlich zur Bilanz.
$\begin{aligned}R_x&=-8\,\mathrm{kN}\\N_{\mathrm{right}}&=+12\,\mathrm{kN}\\N_{\mathrm{left}}&=12\,\mathrm{kN}-4\,\mathrm{kN}=+8\,\mathrm{kN}\end{aligned}$
Gleiche Fläche, verschiedene innere Normalkraft: die beiden Mittelspannungen einzeln berechnen.
$\sigma_{\mathrm m,left}=\frac{8000\,\mathrm N}{200\,\mathrm{mm^2}}=40\,\mathrm{MPa},\qquad\sigma_{\mathrm m,right}=60\,\mathrm{MPa}$

Ergebnis: Die linke Reaktion beträgt −8 kN. Beide Abschnitte stehen unter Zug, aber ihre mittleren Spannungen sind 40 und 60 MPa.

Weiterrechnen: Dehnung und Verlängerung

\begin{aligned}\varepsilon&=\frac\sigma E\\\Delta L&=\frac{NL}{EA}\end{aligned}

Diese Verlängerungsform benötigt zusätzliche Material- und Modellannahmen.

Vertiefung: technische und wahre Spannung

\begin{aligned}\sigma_{\mathrm{tech}}&=\frac N{A_0}\\\sigma_{\mathrm{wahr}}&=\frac NA\end{aligned}

Die gleiche Kraft wird auf unterschiedliche Bezugsflächen bezogen.

Wann $\frac NA$ allein nicht genügt

Exzentrischer Lastangriff kann zusätzlich Biegung erzeugen. Dann ist die Normalspannung nicht über die Fläche konstant.
Kerben, Bohrungen und Querschnittssprünge können lokale Spitzen erzeugen. Der Mittelwert ist keine obere Schranke.
Bei Druck bleibt die mittlere Spannung berechenbar, aber schlanke Stäbe können knicken. Eine kleine Druckspannung schließt Instabilität nicht aus.
$\frac NA$ benötigt kein Hooke-Gesetz für seine Definition. Die elastische Verlängerungsform benötigt dagegen ein passendes Materialmodell.
Ein vorgegebener zulässiger Wert ist eine Eingangsgröße. Er ist nicht automatisch Streckgrenze, Zugfestigkeit oder ein normgerecht ermittelter Bemessungswert.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Stab trägt 7,5 kN bei $A=250\,\mathrm{mm^2}$ . Berechne die mittlere Zugspannung.

Hinweis anzeigen

Kraft in Newton einsetzen.

Lernziel: Mittlere Zugspannung mit Kilonewton und Quadratmillimetern berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Teile die innere Normalkraft durch die tragende Fläche.
$\begin{aligned}\sigma_m&=\frac{7500}{250}\,\frac{\mathrm N}{\mathrm{mm^2}}\\{}&=30\,\frac{\mathrm N}{\mathrm{mm^2}}\\{}&=30\,\mathrm{MPa}\text{.}\end{aligned}$ Kontrolle: 30 N/mm² mal 250 mm² ergeben wieder 7500 N.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{7500}{250}\,\mathrm{MPa}=30\,\mathrm{MPa}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Hohlstab mit Außendurchmesser 20 mm und Innendurchmesser 16 mm trägt 8 kN. Berechne σ_m.

Hinweis anzeigen

Die Innenkreisfläche von der Außenkreisfläche abziehen.

Lernziel: Bei einem Hohlquerschnitt die tatsächlich tragende Ringfläche verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $A=\frac\pi4(D^2-d^2)$ , danach $\sigma_{\mathrm m}=\frac NA$ .
$A=\frac{\pi(400-256)}4\,\mathrm{mm^2}=36\pi\,\mathrm{mm^2}\approx113{,}10\,\mathrm{mm^2}$ .
$\sigma_m\approx70{,}74\,\mathrm{MPa}$ .

Kontrolle: Die Ringfläche ist kleiner als die Außenkreisfläche; die Spannung deshalb größer als beim Vollstab gleicher Außenmaße.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{8000}{36\pi}\,\mathrm{MPa}\approx70.74\,\mathrm{MPa}

Interpretieren · Anwenden

Eine Druckkraft ist $N=-12\,\mathrm{kN}$ , die Fläche 300 mm². Ist mit σ_m allein auch die Knicksicherheit bestimmt?

Hinweis anzeigen

Vorzeichen beibehalten und Spannung von Stabilität trennen.

Lernziel: Negative mittlere Druckspannung von einer Stabilitätsaussage unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\sigma_{\mathrm m}=\frac{-12000\,\mathrm N}{300\,\mathrm{mm^2}}$ .
$\sigma_{\mathrm m}=-40\,\mathrm{MPa}$ .
Nein: Eine Knickbeurteilung benötigt unter anderem Länge, Lagerung, Steifigkeit und Querschnittsträgheit.

Kontrolle: Das negative Vorzeichen entspricht der vorgegebenen Druckkraft.

\sigma_{\mathrm m}=\frac{-12000}{300}\,\mathrm{MPa}=-40\,\mathrm{MPa}

Interpretieren · Anwenden

Eine gerade gestufte Stange wird statisch und zentrisch mit 6,0 kN gezogen. Zwischen ihren beiden Abschnitten gibt es keine zusätzliche Axiallast; die Flächen betragen 100 mm² und 300 mm². Berechne die mittlere Normalspannung in jedem Abschnitt fern vom Übergang. Hat der dickere Abschnitt auch eine dreimal größere innere Normalkraft?

Hinweis anzeigen

Bestimme die innere Normalkraft durch einen Schnitt. Ohne zusätzliche Last zwischen den Schnitten ist sie in beiden Abschnitten gleich.

Lernziel: Bei einer gestuften Zugstange gleichen Kraftfluss und unterschiedliche mittlere Spannungen unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gleiche innere Normalkraft von +6000 N durch jede tatsächlich belastete Fläche teilen.
Die mittleren Zugspannungen sind +60 MPa und +20 MPa.
Die Normalkraft ist nicht dreimal größer; nur die Fläche ändert sich.

Kontrolle: Spannung mal Fläche ergibt in beiden Abschnitten 6000 N. Direkt am Übergang kann die lokale Spannungsverteilung von diesen Abschnittsmittelwerten abweichen.

\begin{aligned}N_1=N_2&=+6000\,\mathrm N\\\sigma_{\mathrm m,1}&=\frac{6000\,\mathrm N}{100\,\mathrm{mm^2}}=+60\,\mathrm{MPa}\\\sigma_{\mathrm m,2}&=\frac{6000\,\mathrm N}{300\,\mathrm{mm^2}}=+20\,\mathrm{MPa}\\\sigma_{\mathrm m,1}A_1&=\sigma_{\mathrm m,2}A_2\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Zwei homogene prismatische Stäbe haben dieselbe Fläche 200 mm² und werden jeweils mit 10 kN statisch zentrisch gezogen. Ihre Längen sind gleich, ihre Elastizitätsmodule 200 GPa und 100 GPa. Beide bleiben linear elastisch. Eine Lösung behauptet wegen gleicher Normalspannung auch gleiche Dehnung. Prüfe Spannung und Dehnung beider Stäbe; Lastübergänge werden nicht betrachtet.

Hinweis anzeigen

Die Spannung folgt aus Kraft und Fläche. Erst das Materialgesetz mit E liefert die Dehnung.

Lernziel: Mittlere Normalspannung nicht ohne Materialgesetz als Dehnung interpretieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zuerst die gleiche Spannung von 50 MPa bestimmen; anschließend für jeden Stab durch seinen eigenen Elastizitätsmodul teilen.
Die Dehnungen sind 0,00025 und 0,00050.
Der zweite Stab dehnt sich also doppelt so stark.

Kontrolle: Bei gleicher Länge ist auch sein Längenzuwachs doppelt so groß. Spannung besitzt eine Einheit, Dehnung ist dimensionslos; diese Größen dürfen nicht gleichgesetzt werden.

\begin{aligned}\sigma_1=\sigma_2&=\frac{10\,000\,\mathrm N}{200\,\mathrm{mm^2}}=50\,\mathrm{MPa}\\\varepsilon_1&=\frac{50\,\mathrm{MPa}}{200\,000\,\mathrm{MPa}}=0.00025\\\varepsilon_2&=\frac{50\,\mathrm{MPa}}{100\,000\,\mathrm{MPa}}=0.00050\\\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}&=2\end{aligned}

[2][1]

Ein verlässlicher Rechenablauf

Schnitt wählen und die innere Normalkraft aus einem vollständigen Freischnitt ermitteln.
Kraftübertragende Fläche mit den richtigen Längen und Einheiten berechnen.
$\sigma_{\mathrm m}=\frac NA$ bilden, Vorzeichen benennen und mit $\sigma_{\mathrm m}A=N$ kontrollieren.
Erst danach beurteilen, ob Gleichverteilung, Materialmodell und weitere Nachweise zum betrachteten Fall passen.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Kraft- und Flächenumstellungen mit Vorzeichen- und Nullfällen ergänzt; passende Anschlusslinks eingefügt und vorhandene Inhalte erhalten. Die Formel für technische Spannung wurde ohne fachliche Änderung vollständig im mathematischen Satz dargestellt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernverlauf, symbolische Übungsansätze und Modellgrenzen präzisiert; drittes eigenes Beispiel und quantitative Grafik ergänzt, passende Vertiefungen optional dargestellt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/normalspannung-zug

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Welche Kraft gehört in die Spannungsformel?+

Wie rechne ich mit Quadratmillimetern?+

Ist der Mittelwert auch die größte örtliche Spannung?+

Folgt aus gleicher Spannung auch gleiche Dehnung?+

Reicht die Spannungsrechnung für eine sichere Dimensionierung?+

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Mittlere Normalspannung bei Zug und Druck

Variablen & Einheiten

Normalspannung berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Spannung, Dehnung und Balkenmodell

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Kraft und Spannung sind unterschiedliche Größen

Doppelte Fläche halbiert die mittlere Spannung

Herleitung über Schnitt und Flächenintegral

Einheiten und Querschnitte sicher umrechnen

Drei Rechenwege: Spannung, Querschnitt und innerer Kraftfluss

Mittlere Spannung in einem Zugstab

Mindestdurchmesser unter einem vorgegebenen Grenzwert

Eine zusätzliche Axiallast verändert den inneren Kraftfluss

Weiterrechnen: Dehnung und Verlängerung

Vertiefung: technische und wahre Spannung

Wann NA\frac NAAN​ allein nicht genügt

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Stab trägt 7,5 kN bei A=250 mm2A=250\,\mathrm{mm^2}A=250mm2. Berechne die mittlere Zugspannung.

Ein Hohlstab mit Außendurchmesser 20 mm und Innendurchmesser 16 mm trägt 8 kN. Berechne σm.

Eine Druckkraft ist N=−12 kNN=-12\,\mathrm{kN}N=−12kN, die Fläche 300 mm2. Ist mit σm allein auch die Knicksicherheit bestimmt?

Ein verlässlicher Rechenablauf

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Fachquellen und weiterführende Literatur

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Typische Fehler

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Spannung, Dehnung und Balkenmodell

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft

Kraft und Spannung sind unterschiedliche Größen

Doppelte Fläche halbiert die mittlere Spannung

Herleitung über Schnitt und Flächenintegral

Einheiten und Querschnitte sicher umrechnen

Drei Rechenwege: Spannung, Querschnitt und innerer Kraftfluss

Mittlere Spannung in einem Zugstab

Mindestdurchmesser unter einem vorgegebenen Grenzwert

Eine zusätzliche Axiallast verändert den inneren Kraftfluss

Weiterrechnen: Dehnung und Verlängerung

Vertiefung: technische und wahre Spannung

Wann NA\frac NAAN​ allein nicht genügt

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Stab trägt 7,5 kN bei A=250 mm2A=250\,\mathrm{mm^2}A=250mm2. Berechne die mittlere Zugspannung.

Ein Hohlstab mit Außendurchmesser 20 mm und Innendurchmesser 16 mm trägt 8 kN. Berechne σm.

Eine Druckkraft ist N=−12 kNN=-12\,\mathrm{kN}N=−12kN, die Fläche 300 mm2. Ist mit σm allein auch die Knicksicherheit bestimmt?

Ein verlässlicher Rechenablauf

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Wann $\frac NA$ allein nicht genügt

Ein Stab trägt 7,5 kN bei $A=250\,\mathrm{mm^2}$ . Berechne die mittlere Zugspannung.

Ein Hohlstab mit Außendurchmesser 20 mm und Innendurchmesser 16 mm trägt 8 kN. Berechne σ_m.

Eine Druckkraft ist $N=-12\,\mathrm{kN}$ , die Fläche 300 mm². Ist mit σ_m allein auch die Knicksicherheit bestimmt?

Wann $\frac NA$ allein nicht genügt

Ein Stab trägt 7,5 kN bei $A=250\,\mathrm{mm^2}$ . Berechne die mittlere Zugspannung.

Ein Hohlstab mit Außendurchmesser 20 mm und Innendurchmesser 16 mm trägt 8 kN. Berechne σ_m.

Eine Druckkraft ist $N=-12\,\mathrm{kN}$ , die Fläche 300 mm². Ist mit σ_m allein auch die Knicksicherheit bestimmt?