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Der Young’sche Modul beschreibt im linearen elastischen Bereich das Verhältnis aus Zugspannung und Zugdehnung eines Materials. Zugspannung ist Kraft pro Querschnittsfläche; Zugdehnung die relative Längenänderung.
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Formel
E und σ in Pa (N/m2); ε dimensionslos; F in N; L0 und ΔL in m; A0 in m2
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Young’scher Modul als Maß für die axiale Steifigkeit des Materials | Pa | |
| Zugspannung, hier F/A0 | Pa | |
| Zugdehnung, hier ΔL/L0 | dimensionslos | |
| Axiale Zugkraft senkrecht zum Querschnitt | N | |
| Ausgangsquerschnittsfläche des Prüfkörpers | m2 | |
| Ausgangslänge vor Belastung | m | |
| Längenänderung unter Zugbelastung | m |
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F L_0}{A_0 \Delta L}Die Definitionen lauten σ=F/A0 und ε=ΔL/L0. Im proportional-elastischen Bereich gilt Hookes Materialgesetz σ=Eε; Division liefert E=σ/ε. E ist eine Materialeigenschaft unter bestimmten Bedingungen, keine direkte Geometrieeigenschaft des Bauteils. Das Gesetz gilt nicht unverändert über Fließen, plastische Verformung, starke Nichtlinearität oder viskoelastische Effekte hinweg. Bei Zugversuchen wird häufig die ursprüngliche Querschnittsfläche benutzt; technische und wahre Spannung unterscheiden sich bei größeren Deformationen.
Gilt im einachsigen linearen elastischen Bereich; Dehnung ist klein und Querschnitt sowie Werkstoffverhalten werden mit der angegebenen Konvention ausgewertet.
Youngs Modul ist die Steigung der linearen Beziehung zwischen Zugspannung und Zugdehnung.
Längenänderung
Nur im linearen elastischen Bereich und bei axialer Last.
Zugdehnung und Spannung
Dehnung ist dimensionslos; Spannung wird in Pa angegeben.
Ein Stab mit E=200 GPa, L0=1 m und A0=1 cm2 wird mit 10 kN gezogen. Bestimme ΔL.
ΔL=FL0/(EA0)=104·1/(2·1011·10−4)=5·10−4 m=0,5 mm.
Eine Probe verlängert sich um 0,2 mm bei 0,50 m Ausgangslänge. Wie groß ist ε?
ε=0,0002/0,50=4·10−4.
Die Dehnung hat keine Einheit.
Zugdehnung ΔL ohne Division durch die Ausgangslänge einsetzen.
ε=ΔL/L0 ist eine relative, dimensionslose Längenänderung.
Den berechneten E-Wert auch nach dem Streckgrenzenbereich als konstant annehmen.
E beschreibt hier nur den linearen elastischen Materialbereich.
Formelcluster
Spannung pro Dehnung ist Materialverhalten; die Bauteilgeometrie bestimmt zusätzlich die Gesamtdehnung.
Ein Stab mit L0=2,0 m und A0=3,0·10−4 m2 wird durch F=18 kN um ΔL=0,60 mm gedehnt. σ=60 MPa, ε=3,0·10−4 und E=60 MPa/(3,0·10−4)=200 GPa.
Elastische Dehnung abschätzen, Werkstoffe vergleichen und axiale Bauteile im linearen Bereich dimensionieren.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Young’scher Modul (E = σ/ε = FL₀/(A₀ΔL)).
Aufgabe
Ein Stab mit E=200 GPa, L0=1 m und A0=1 cm2 wird mit 10 kN gezogen. Bestimme ΔL.
Rechenweg
ΔL=FL0/(EA0)=104·1/(2·1011·10−4)=5·10−4 m=0,5 mm.
Aufgabe
Eine Probe verlängert sich um 0,2 mm bei 0,50 m Ausgangslänge. Wie groß ist ε?
Rechenweg
ε=0,0002/0,50=4·10−4.
Die Dehnung hat keine Einheit.
Der Young’sche Modul beschreibt, wie stark ein Material bei axialer Zug- oder Druckbelastung im linearen elastischen Bereich auf eine gegebene Dehnung reagiert. Ein großer E-Wert bedeutet, dass für dieselbe Dehnung eine größere Spannung nötig ist; das Material ist in diesem Sinn steifer. E ist keine Kraft und keine Dehnung, sondern ihr Verhältnis. Der Wert hängt vom Material und den Prüfbedingungen ab. Für reale Bauteile wirken zusätzlich Länge und Querschnitt, sodass ein steifer Werkstoff allein nicht automatisch jedes Bauteil steif macht. Für Bauteile muss deshalb auch die Form berücksichtigt werden, nicht nur die Kennzahl des Werkstoffs.
Bei Zug ist die technische Spannung σ=F/A0, also Kraft geteilt durch ursprüngliche Querschnittsfläche. Die technische Dehnung ε=ΔL/L0 ist die Längenänderung relativ zur Ausgangslänge. Innerhalb des linearen elastischen Bereichs ist σ=Eε; deshalb gilt E=σ/ε. Spannung hat die Einheit Pascal, Dehnung keine Einheit, daher hat E ebenfalls Pascal. Diese lineare Proportionalität endet, wenn das Material nicht mehr proportional-elastisch reagiert. Für größere Deformationen können wahre Spannung und wahre Dehnung andere Definitionen verwenden. Die Fläche gehört zur Spannung, während die Länge in der relativen Dehnung steht.
Die Dehnung vergleicht zwei Längen: die Änderung ΔL und die ursprüngliche Länge L0. Beide werden in derselben Einheit gemessen, sodass sich Meter gegen Meter kürzen. Eine Dehnung von 0,001 bedeutet beispielsweise eine relative Längenänderung von 0,1 Prozent. Diese dimensionslose Größe lässt sich zwischen Proben unterschiedlicher Länge sinnvoll vergleichen. In Tabellen wird sie manchmal als Zahl, Prozent oder Mikrodehnung angegeben. Vor dem Rechnen muss man diese Darstellungen vereinheitlichen, denn 0,1 Prozent entspricht 0,001 und nicht 0,1. Bei einer Zugprobe ist L0 die anfängliche Messlänge zwischen den Markierungen.
Stelle E=FL0/(A0ΔL) nach ΔL um: ΔL=FL0/(EA0). Verwende Kraft in Newton, Länge in Metern, Fläche in Quadratmetern und E in Pascal. Zum Beispiel ergibt sich bei 10 kN, 1 m, 1 cm2 und 200 GPa eine Verlängerung von 0,5 mm. Prüfe anschließend, ob die angenommene Dehnung klein genug ist und die Spannung im linearen elastischen Bereich bleibt. Bei veränderlichem Querschnitt oder Werkstoff entlang des Stabs genügt die einfache konstante Formel nicht. Einheiten und Größenordnungen machen hier einen schnellen Plausibilitätstest besonders nützlich.
Nein. In dieser Formel ist E die Steigung im proportional-elastischen Teil des Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Jenseits der Proportionalitäts- oder Elastizitätsgrenze kann die Kurve nichtlinear werden; nach dem Fließen bleibt oft eine bleibende Verformung zurück. Der Werkstoff kann trotzdem einen in einem bestimmten Bereich definierten Tangenten- oder Sekantenmodul haben, aber das ist eine andere Auswertung. Bei Kunststoffen oder biologischen Materialien kommen Zeit- und Temperaturabhängigkeit hinzu. Deshalb sollte man E stets zusammen mit Werkstoffzustand, Temperatur und gültigem Dehnungsbereich nennen. Die Entlastung sollte im elastischen Bereich die Probe annähernd auf ihre Ausgangslänge zurückbringen.
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