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Die lineare Euler-Bernoulli-Theorie verbindet Biegemoment und Balkenkrümmung über die Biegesteifigkeit EI.
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Formel
M in N·m; E in Pa; I in m4; κ in 1/m; w in m
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Biegemoment entlang des Balkens | N·m | |
| Young’scher Modul des Materials | Pa | |
| Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Biegeachse | m4 | |
| Krümmung der verformten Balkenachse | 1/m | |
| Querdurchbiegung entlang der Balkenkoordinate x | m |
M(x)=EI\,\kappa(x)\approx EI\frac{d^2w}{dx^2}Für kleine Neigungen ist die Krümmung näherungsweise w″(x); Vorzeichen hängen von Moment- und Durchbiegungskonvention ab. EI heißt Biegesteifigkeit. Euler-Bernoulli nimmt schlanke Balken, kleine Verformungen, lineare Elastizität und vernachlässigbare Querschubverformung an. Kurze oder dicke Balken, große Durchbiegungen, Verbundquerschnitte und anisotrope Materialien können Timoshenko- oder fortgeschrittene Modelle erfordern. Für eine Durchbiegung muss zusätzlich das Momentenfeld aus Lasten und Randbedingungen integriert werden.
Gilt für schlanke Balken, kleine Verformungen, lineare Elastizität und vernachlässigbare Querschubverformung.
Die lineare Biegespannungsverteilung über den Querschnitt integriert zur Beziehung M=EIκ.
Krümmung
I ist das Flächenträgheitsmoment um die Biegeachse.
E=200 GPa, I=8·10−6 m4, M=1,6 kN·m: berechne κ.
κ=1600/(200·109·8·10−6)=0,001 m−1.
I mit Massenträgheitsmoment verwechseln.
I beschreibt die Querschnittsgeometrie und hat die Einheit m4.
Formelcluster
E beschreibt Material und I die Querschnittsform.
Bei E=200 GPa, I=8·10−6 m4 und konstantem M=1,6 kN·m beträgt κ=M/(EI)=0,001 m−1. Das Vorzeichen der Krümmung folgt der festgelegten Konvention.
Balken und Träger unter Querlasten modellieren, Durchbiegung integrieren und Querschnitte nach Steifigkeit dimensionieren.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Euler-Bernoulli-Balken: Moment-Krümmungs-Beziehung (M = EIκ ≈ EI·w″).
Aufgabe
E=200 GPa, I=8·10−6 m4, M=1,6 kN·m: berechne κ.
Rechenweg
κ=1600/(200·109·8·10−6)=0,001 m−1.
E ist der Elastizitätsmodul des Materials, I das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Biegeachse. Ihr Produkt EI heißt Biegesteifigkeit. Ein größeres E oder I bedeutet bei gleichem Moment weniger Krümmung. Material und Querschnittsform beeinflussen die Antwort also gemeinsam, aber auf unterschiedliche Weise. I ist das geometrische Flächenträgheitsmoment um die konkrete Biegeachse, nicht das Massenträgheitsmoment. Die Beziehung liefert lokale Krümmung aus Moment, aber keine vollständige Durchbiegung ohne Last- und Randbedingungen. Kleine Verformung, schlanke Geometrie und linear-elastisches Material sind wesentliche Voraussetzungen. Prüfe die Vorzeichenkonvention deiner Statikaufgabe.
Stelle M=EIκ nach κ um: κ=M/(EI). Verwende M in N·m, E in Pa und I in m4; das Ergebnis hat die Einheit 1/m. Für M=1,6 kN·m, E=200 GPa und I=8·10−6 m4 ist κ=0,001 m−1. Das Vorzeichen folgt der gewählten Konvention. I ist das geometrische Flächenträgheitsmoment um die konkrete Biegeachse, nicht das Massenträgheitsmoment. Die Beziehung liefert lokale Krümmung aus Moment, aber keine vollständige Durchbiegung ohne Last- und Randbedingungen. Kleine Verformung, schlanke Geometrie und linear-elastisches Material sind wesentliche Voraussetzungen. Prüfe die Vorzeichenkonvention deiner Statikaufgabe.
Die Formel verknüpft das lokale Moment mit der lokalen Krümmung. Für die Auslenkung w(x) muss man die Krümmungsbeziehung integrieren und Momentenverlauf sowie Integrationskonstanten bestimmen. Lasten und Lager liefern dazu Randbedingungen. Ohne sie gibt es viele mögliche Balkenformen mit derselben lokalen Moment-Krümmungs-Beziehung. I ist das geometrische Flächenträgheitsmoment um die konkrete Biegeachse, nicht das Massenträgheitsmoment. Die Beziehung liefert lokale Krümmung aus Moment, aber keine vollständige Durchbiegung ohne Last- und Randbedingungen. Kleine Verformung, schlanke Geometrie und linear-elastisches Material sind wesentliche Voraussetzungen. Prüfe die Vorzeichenkonvention deiner Statikaufgabe.
Bei kurzen oder dicken Balken kann Querschub einen merklichen Anteil der Verformung ausmachen, den die Euler-Bernoulli-Annahme vernachlässigt. Auch große Durchbiegung, plastisches Materialverhalten oder Verbund- und anisotrope Querschnitte können die lineare Theorie verlassen. Für schubweiche Balken ist beispielsweise Timoshenko geeigneter; bei Nichtlinearität braucht es entsprechende Modelle. I ist das geometrische Flächenträgheitsmoment um die konkrete Biegeachse, nicht das Massenträgheitsmoment. Die Beziehung liefert lokale Krümmung aus Moment, aber keine vollständige Durchbiegung ohne Last- und Randbedingungen. Kleine Verformung, schlanke Geometrie und linear-elastisches Material sind wesentliche Voraussetzungen. Prüfe die Vorzeichenkonvention deiner Statikaufgabe.
I hängt davon ab, wie weit Querschnittsfläche von der neutralen Achse verteilt ist. Material weit von der Achse trägt wegen des quadrierten Abstands besonders stark bei. Ein höherer Träger kann deshalb bei ähnlicher Materialmenge deutlich steifer gegen Biegung sein als ein flacher. Für I müssen Achse und Querschnittsgeometrie genau angegeben werden. I ist das geometrische Flächenträgheitsmoment um die konkrete Biegeachse, nicht das Massenträgheitsmoment. Die Beziehung liefert lokale Krümmung aus Moment, aber keine vollständige Durchbiegung ohne Last- und Randbedingungen. Kleine Verformung, schlanke Geometrie und linear-elastisches Material sind wesentliche Voraussetzungen. Prüfe die Vorzeichenkonvention deiner Statikaufgabe.
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