Konditionszahl einer Matrix

Die Konditionszahl schätzt ab, wie stark relative Eingabefehler bei einem linearen Problem die relative Lösung verändern können. Die Schreibweise κ(A)=||A||·||A⁻¹|| macht sichtbar, welche Größen zusammenhängen. Dabei bedeuten κ(A): Konditionszahl in der gewählten Norm (dimensionslos); A: invertierbare Matrix (je nach Anwendung); ||A||: induzierte Matrixnorm (wie A). Dimensionslos; Norm von A und Norm von A⁻¹ heben sich in den Einheiten auf. Für die Anwendung ist entscheidend, ob die gegebenen Größen dieselbe Bedeutung und Bezugsrichtung wie in der Definition haben. Typische Aufgaben verwenden die Beziehung für Numerische Zuverlässigkeit linearer Gleichungssysteme bewerten und Modellskalierung begründen.. Lies daher zuerst die Größen und ihre Dimensionen, bevor du Zahlen einsetzt; so erkennst du zum Beispiel sofort, ob das Ergebnis eine Länge, Rate, Wahrscheinlichkeit oder dimensionslose Kennzahl sein muss.

Beginne mit einer Skizze oder einer Liste der bekannten Größen, ordne jede Größe einem Symbol zu und bringe Einheiten in eine gemeinsame Form. Dann wähle die passende Gleichungsform und setze erst danach Werte ein. Beispiel: A=diag(1,100), unendliche Norm: ||A||∞=100 und ||A⁻¹||∞=1, also κ∞=100. Probe: κ∞=100·1=100; eine relative Störung kann ungünstigstenfalls hundertfach verstärkt werden. Die Probe ist Teil der Rechnung: Für ein gestörtes lineares System ist die relative Lösungsänderung im ungünstigsten Fall durch κ(A) mal relative Störung kontrolliert Vergleiche zusätzlich Größenordnung und Einheit mit dem Sachkontext. Runde erst am Schluss, denn vorzeitiges Runden kann bei mehreren Rechenschritten besonders bei kleinen Differenzen oder Summen sichtbar auf das Ergebnis durchschlagen.

Für ein gestörtes lineares System ist die relative Lösungsänderung im ungünstigsten Fall durch κ(A) mal relative Störung kontrolliert. Große κ bedeutet Empfindlichkeit, nicht automatisch einen schlechten Algorithmus; Rundungsfehler und Datenfehler sind zu unterscheiden. Bei der 2-Norm gilt κ₂(A)=σ_max/σ_min. Das ist keine nebensächliche Fußnote: Bei einer Verletzung der Annahmen kann die Formel ein präzises, aber unpassendes Ergebnis liefern. Kontrolliere deshalb vor dem Rechnen, welche Werte beobachtet, geschätzt oder modelliert sind und ob Sonderfälle die Gleichung ändern. Numerische Zuverlässigkeit linearer Gleichungssysteme bewerten und Modellskalierung begründen. Bei numerischen Verfahren prüfe außerdem Schrittweite und Stabilität; bei Statistik Stichprobendesign und Verteilung; bei Analysis Differenzierbarkeit, Rand und Orientierung. Verwende eine alternative Methode, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.

Beide Beziehungen passen in denselben Themenbereich, beantworten aber verschiedene Fragen. „Konditionszahl einer Matrix“: Die Konditionszahl schätzt ab, wie stark relative Eingabefehler bei einem linearen Problem die relative Lösung verändern können. Die Anschlussformel „LU-Zerlegung einer Matrix“ Die LU-Zerlegung zerlegt eine Matrix in untere und obere Dreiecksmatrix; P erfasst gegebenenfalls Zeilenvertauschungen. Damit lassen sich Systeme effizient lösen. Wähle zuerst nach der gesuchten Größe und dem Modell: Numerische Zuverlässigkeit linearer Gleichungssysteme bewerten und Modellskalierung begründen. Die Beispielrechnung A=diag(1,100), unendliche Norm: ||A||∞=100 und ||A⁻¹||∞=1, also κ∞=100. Probe: κ∞=100·1=100; eine relative Störung kann ungünstigstenfalls hundertfach verstärkt werden. zeigt, welche Größen in dieser Beziehung tatsächlich eingehen. Ein sinnvoller Lernschritt ist, beide Formeln mit denselben Ausgangsdaten zu vergleichen und zu markieren, welche Zusatzannahme die zweite benötigt. So wird aus einer Merkliste eine nachvollziehbare Auswahlregel.

Matrixdimensionen, Rang und Invertierbarkeit müssen zur gewählten Operation passen; Matrizen lassen sich im Allgemeinen nicht vertauschen. Zusätzlich müssen die verwendeten Symbole exakt zur Definition passen: κ(A): Konditionszahl in der gewählten Norm (dimensionslos); A: invertierbare Matrix (je nach Anwendung); ||A||: induzierte Matrixnorm (wie A). Rechne nicht nur mechanisch, sondern schreibe die Annahme neben den Ansatz und kontrolliere danach Dimension und Vorzeichen. Für die vorliegende Beziehung gelten außerdem: Für ein gestörtes lineares System ist die relative Lösungsänderung im ungünstigsten Fall durch κ(A) mal relative Störung kontrolliert Im Beispiel A=diag(1,100), unendliche Norm: ||A||∞=100 und ||A⁻¹||∞=1, also κ∞=100. Probe: κ∞=100·1=100; eine relative Störung kann ungünstigstenfalls hundertfach verstärkt werden. kannst du diese Prüfungen direkt nachvollziehen. Wenn die Annahme nicht passt, suche eine andere Beziehung aus dem Kapitel statt Werte in eine unpassende Formel zu zwingen.