Lamé-Gleichungen für dickwandige Zylinder

Die Dünnwandformel setzt voraus, dass die Wanddicke klein gegenüber dem Radius ist und behandelt die Spannung näherungsweise als gleichmäßig. Bei dicken Wänden ändert sich die radiale Spannung deutlich über den Querschnitt; Lamé bildet zusätzlich den Verlauf der Umfangsspannung ab. Beide Beschreibungen beantworten daher unterschiedliche Modellfragen und sind nicht beliebig austauschbar. Lamé setzt einen langen, rotationssymmetrischen linear-elastischen Zylinder voraus. Vorzeichenkonvention: Zug positiv, Druck negativ; die radialen Randwerte müssen den vorgegebenen Drücken entsprechen. Anwendungsbereich: Spannungsverteilung in dickwandigen Druckrohren, Zylindern und Hülsen abschätzen. Das Zahlenbeispiel pi=10 MPa, po=0, a=50 mm, b=100 mm: A=3,333 MPa und B=33 333 MPa·mm². An r=a ist σr=−10 MPa und σθ=3,333+13,333=16,667 MPa. An r=b ist σr=0 und σθ=6,667 MPa. Randprobe: Radialspannung trifft an beiden Oberflächen den vorgegebenen Druck verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Setze σr(a)=−pi an der Innenfläche und σr(b)=−po an der Außenfläche in σr=A−B/r² ein. Die zwei Randbedingungen ergeben zwei lineare Gleichungen für A und B. Das Minuszeichen folgt aus der gewählten Konvention Zug positiv: Ein Druck belastet die radiale Fläche in Druckrichtung. Prüfe beide Randwerte nach dem Einsetzen. Lamé setzt einen langen, rotationssymmetrischen linear-elastischen Zylinder voraus. Vorzeichenkonvention: Zug positiv, Druck negativ; die radialen Randwerte müssen den vorgegebenen Drücken entsprechen. Die Einheiten dazu sind Spannungen und Drücke in Pa; a, b, r in m; A in Pa; B in Pa·m². pi=10 MPa, po=0, a=50 mm, b=100 mm: A=3,333 MPa und B=33 333 MPa·mm². An r=a ist σr=−10 MPa und σθ=3,333+13,333=16,667 MPa. An r=b ist σr=0 und σθ=6,667 MPa. Randprobe: Radialspannung trifft an beiden Oberflächen den vorgegebenen Druck. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Bei Innendruck und druckfreier Außenseite ist B positiv; der Term B/r² wird kleiner, wenn r wächst. Deshalb erreicht σθ=A+B/r² seinen größten Wert an der Innenfläche r=a. Im Beispiel sind es 16,667 MPa. Das gilt für die angegebene Geometrie und Druckrandbedingung, nicht automatisch für zusätzliche thermische oder axiale Lasten. Lamé setzt einen langen, rotationssymmetrischen linear-elastischen Zylinder voraus. Vorzeichenkonvention: Zug positiv, Druck negativ; die radialen Randwerte müssen den vorgegebenen Drücken entsprechen. Geltungsbereich: Für einen langen, rotationssymmetrischen Zylinder aus linear-elastischem Material ohne axiale Variation sind σr=A−B/r² und σθ=A+B/r². Aus σr(a)=−pi und σr(b)=−po folgen A=(pi·a²−po·b²)/(b²−a²), B=(pi−po)a²b²/(b²−a²). Die radiale Spannung ist an der Innenfläche Druck (negativ); bei geschlossenen Enden kommt eine axiale Spannung hinzu. Die Gleichungen sind keine vollständige Bemessung für Enden, Kerben, Plastizität oder Normnachweise. Eine praktische Anwendung ist Spannungsverteilung in dickwandigen Druckrohren, Zylindern und Hülsen abschätzen.

Die Lamé-Lösung enthält einen Term B/r². Sein Betrag wächst, wenn r kleiner wird, deshalb erreicht die Umfangsspannung bei Innendruck typischerweise an der Innenwand ihr Maximum. Die Radialspannung erfüllt dort zugleich die Randbedingung −pi. Prüfe beide Spannungen an r=a und r=b, statt nur die höchste Zahl abzulesen; so erkennst du, ob Druckvorzeichen und Randwerte konsistent eingesetzt wurden. Lamé setzt einen langen, rotationssymmetrischen linear-elastischen Zylinder voraus. Vorzeichenkonvention: Zug positiv, Druck negativ; die radialen Randwerte müssen den vorgegebenen Drücken entsprechen. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: pi=10 MPa, po=0, a=50 mm, b=100 mm: A=3,333 MPa und B=33 333 MPa·mm². An r=a ist σr=−10 MPa und σθ=3,333+13,333=16,667 MPa. An r=b ist σr=0 und σθ=6,667 MPa. Randprobe: Radialspannung trifft an beiden Oberflächen den vorgegebenen Druck. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.

Bei einer dünnen Wand ist die radiale Spannungsänderung klein gegenüber der Umfangsspannung und vereinfachte Membranformeln können genügen. Bei dicker Wand ist die Verteilung über r wesentlich und Lamé berücksichtigt sie explizit. Es gibt keine universelle Wanddickengrenze ohne Norm- und Geometriekontext. Vergleiche die Näherung mit den Randspannungen und nutze für Bauteilfreigaben den einschlägigen Druckgerätenachweis. Lamé setzt einen langen, rotationssymmetrischen linear-elastischen Zylinder voraus. Vorzeichenkonvention: Zug positiv, Druck negativ; die radialen Randwerte müssen den vorgegebenen Drücken entsprechen. Die Beziehung beschreibt Lamés elastische Lösung beschreibt Radial- und Umfangsspannung über die Wand eines dickwandigen Zylinders unter Innen- und Außendruck. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.