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Nach dem Einschalten einer Gleichspannungsquelle steigt der Strom in einem Serien-RL-Kreis exponentiell zum stationären Wert.
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Formel
i in A; U0 in V; R in Ω; L in H; t, τ in s
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Strom zum Zeitpunkt t nach dem Einschalten | A | |
| Konstante DC-Quellspannung | V | |
| Gesamtserienwiderstand | Ω | |
| Induktivität | H | |
| Induktive Zeitkonstante L/R | s |
i(t)=\frac{U_0}{R}(1-e^{-tR/L}),\qquad \tau=\frac{L}{R}Die Sprungantwort setzt eine konstante DC-Quelle, lineare Bauteile, anfänglich stromlose Induktivität und Serienwiderstand R voraus. Die Spule widersetzt sich schneller Stromänderung; nach langer Zeit nähert sich i dem Wert U0/R. Beim Ausschalten kann der Strom über einen geschlossenen Entladepfad exponentiell abklingen. Reale Spulenwiderstände müssen in R einbezogen werden.
Die Sprungantwort setzt eine konstante DC-Quelle, lineare Bauteile, anfänglich stromlose Induktivität und Serienwiderstand R voraus. Die Spule widersetzt sich schneller Stromänderung; nach langer Zeit nähert sich i dem Wert U0/R. Beim Ausschalten kann der Strom über einen geschlossenen Entladepfad exponentiell abklingen. Reale Spulenwiderstände müssen in R einbezogen werden.
Nach dem Einschalten einer Gleichspannungsquelle steigt der Strom in einem Serien-RL-Kreis exponentiell zum stationären Wert.
Grundgleichung für die Zielgröße
Bei Umstellungen Vorzeichen, Randbedingungen und Einheiten beibehalten.
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Stromanstieg im RL-Kreis“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Für U0=12 V, R=6 Ω und L=3 H ist τ=0,5 s und i(τ)=2(1−e−1)≈1,26 A.
Eine verwandte Größe mit gleicher Symbolschreibweise einsetzen.
Nutze Variablendefinitionen und prüfe: i in A; U0 in V; R in Ω; L in H; t, τ in s.
Formelcluster
Nach dem Einschalten einer Gleichspannungsquelle steigt der Strom in einem Serien-RL-Kreis exponentiell zum stationären Wert.
Für U0=12 V, R=6 Ω und L=3 H ist τ=0,5 s und i(τ)=2(1−e−1)≈1,26 A.
Einschaltverhalten von Spulen, Relais und einfachen Aktoren analysieren.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Stromanstieg im RL-Kreis (i(t)=(U₀/R)(1−e⁻ᵗᴿ/ᴸ); τ=L/R).
Aufgabe
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Stromanstieg im RL-Kreis“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Rechenweg
Für U0=12 V, R=6 Ω und L=3 H ist τ=0,5 s und i(τ)=2(1−e−1)≈1,26 A.
Eine Induktivität erzeugt eine Gegenspannung proportional zur Stromänderung. Beim Einschalten ist diese Änderung zunächst groß, sodass die Induktivität den Stromanstieg bremst. Mit wachsendem Strom sinkt die Änderungsrate und der Strom nähert sich asymptotisch U0/R. Im idealen Induktor kann Strom nicht sprunghaft wechseln. This step response requires an idealized linear inductor and a defined current path. The total R includes winding, source and other series resistance. Inductor current cannot jump instantaneously in the ideal model; after switch-off, an actual circuit needs a safe path for stored magnetic energy.
Beim Einschalten erreicht der Strom nach τ=L/R rund 63,2 % des stationären Endwerts. Nach jeder weiteren Zeitkonstante wird derselbe Anteil des noch fehlenden Restes abgebaut. Beim Ausschalten mit geschlossenem Widerstandspfad fällt der Strom auf etwa 36,8 % seines vorherigen Werts. Diese Regel gilt für die erste Ordnung mit konstanten Parametern. This step response requires an idealized linear inductor and a defined current path. The total R includes winding, source and other series resistance. Inductor current cannot jump instantaneously in the ideal model; after switch-off, an actual circuit needs a safe path for stored magnetic energy.
Die Spule speichert Energie U=½Li2 und hält den Strom aufrecht, wenn die Versorgung getrennt wird. Ohne Pfad kann die erforderliche Spannung sehr hoch werden, bis ein unerwünschter Funke oder Bauteildurchbruch entsteht. Eine Freilaufdiode oder ein anderes Schutzglied begrenzt die Spannung, verändert aber auch die Abklingzeit. This step response requires an idealized linear inductor and a defined current path. The total R includes winding, source and other series resistance. Inductor current cannot jump instantaneously in the ideal model; after switch-off, an actual circuit needs a safe path for stored magnetic energy.
Schreibe zuerst neben jeden Zahlenwert die Größe und Einheit aus der Variablenliste: i in A; U0 in V; R in Ω; L in H; t, τ in s. Setze erst ein, wenn die Werte in einem konsistenten Einheitensystem vorliegen, und notiere Vorzeichen oder Bezugsrichtung ausdrücklich. Das Beispiel Für U0=12 V, R=6 Ω und L=3 H ist τ=0,5 s und i(τ)=2(1−e−1)≈1,26 A. bietet eine Rechenprobe: Endgröße, Einheit und Größenordnung müssen zur beschriebenen Situation passen. Runde erst nach den Zwischenrechnungen, damit kleine Beiträge nicht vorzeitig verschwinden. This step response requires an idealized linear inductor and a defined current path. The total R includes winding, source and other series resistance. Inductor current cannot jump instantaneously in the ideal model; after switch-off, an actual circuit needs a safe path for stored magnetic energy.
Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Die Sprungantwort setzt eine konstante DC-Quelle, lineare Bauteile, anfänglich stromlose Induktivität und Serienwiderstand R voraus. Die Spule widersetzt. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. OpenStax, University Physics Volume 2, §14.4 “RL Circuits”. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. This step response requires an idealized linear inductor and a defined current path. The total R includes winding, source and other series resistance. Inductor current cannot jump instantaneously in the ideal model; after switch-off, an actual circuit needs a safe path for stored magnetic energy.
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Wie stellst du i(t)=(U₀/R)(1−e⁻ᵗᴿ/ᴸ); τ=L/R nach Grundgleichung für die Zielgröße um?
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