Ingenieurwesen · Elektrotechnik

Kirchhoff-Regeln: Knotenregel und Maschenregel

Konzentriertes Netzwerk mit idealen Knoten ohne unberücksichtigte Ladungsansammlung. Die Maschenbilanz muss alle Quellen einschließlich induzierter Spannungen erfassen; räumlich verteilte Hochfrequenzsysteme benötigen weitergehende Modelle.

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Formel

Berechnen

\sum I_{in} = \sum I_{out}, Masche \sum Δ V = 0

I in A; V in V; vorzeichenbehaftete Summen

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$I$	Strom in einem Zweig des Knotens	A
$ΔV$	Spannungsänderung über ein Bauteil in gewählter Umlaufrichtung	V

LaTeX

\sum I_{\mathrm{in}}=\sum I_{\mathrm{out}}, \qquad \sum_{\mathrm{Masche}}\Delta V=0

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Zwei Quellen mit gemeinsamem Rückleiter speisen über 4 und 6 Ohm den oberen Knoten. Von dort führt ein 3-Ohm-Widerstand zum Rückleiter; Pfeile markieren 5/3, 1/9 und 16/9 Ampere. — Bei 12 V links und 6 V rechts liegt der gemeinsame Knoten bei 16/3 V. Beide Quellen liefern Strom; der 3-Ohm-Zweig führt ihre Summe.

Knoten- und Maschenregel berechnen

Fehlenden Strom an einem Knoten oder fehlende Spannung in einer Masche ausrechnen; Strom hinein und Spannungsanstieg zählen positiv.

Rechenmodell

Bekannter orientierter Zweigstrom 1

Bekannter orientierter Zweigstrom 2

Bekannter orientierter Zweigstrom 3

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach Iₓ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach I_x umstellen
$I_x=-\sum_{j=1}^{3}I_j$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$-\left[\left(2\right)+\left(1{,}5\right)+\left(-1\right)\right]$
3. Ergebnis
I_x = -2,5 A

Die eingegebenen Dezimalwerte werden exakt summiert, und nur das Ergebnis wird einmal gerundet. Rundung erzeugt daher keinen Rest. Keine Toleranz wird automatisch als Null ausgegeben; Messunsicherheit und Modellvollständigkeit separat beurteilen.

Ergebnis: Fehlender Strom, hinein positiv I_x

I_x = -2,5 A

Mit 2 A, 1,5 A und -1 A ergibt sich I_x = -2,5 A.

So rechnest du schneller

Knotenregel: Was hineinfließt, fließt auch hinaus. Ströme hinein positiv, hinaus negativ eintragen; ist der gesuchte fehlende Strom negativ, fließt er hinaus.
Maschenregel: Einmal im Kreis herum ist die Summe aller Spannungen 0. An einer idealen 12-V-Quelle mit zwei Widerständen in Reihe fallen zusammen genau 12 V ab.

Annahmen und Grenzen

Ein idealisierter quasistatischer Knoten ohne relevante Nettoladungsspeicherung. Alle bekannten Zweigströme desselben Zeitpunkts mit hinein positiv und hinaus negativ eingeben. Genau ein zusätzlicher unbekannter Zweig wird aus der Nullbilanz berechnet. Sein Ergebnis I_x ist ebenfalls hinein positiv gezählt; ein negativer Wert heißt, dass der Strom tatsächlich hinausfließt. Die Beschränkung auf 1 bis 100 bekannte Zeilen ist nur eine technische Grenze der Oberfläche. Kein allgemeiner Netzwerklöser.

Herleitung & Hintergrund

Zeichne Knoten, Spannungsorientierungen und zunächst frei gewählte Strompfeile. Ladungserhaltung liefert $\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}=\frac{\mathrm dQ_{\mathrm{node}}}{\mathrm dt}$ . Für einen idealen Knoten ohne modellierte Ladungsansammlung ist diese Differenz null; Kondensatorströme zählen als Zweigströme. Gehe eine geschlossene Masche in festgelegter Richtung ab und addiere Spannungsanstiege sowie -abfälle mit Vorzeichen. Im konzentrierten Modell mit vollständig erfassten Quellen ist die Summe null. Unberücksichtigter veränderlicher Magnetfluss verlangt eine induzierte Spannung. Setze Bauteilgesetze ein, löse unabhängige Gleichungen und kontrolliere Knoten, Maschen und Leistungsbilanz; negative Ströme kehren nur den gewählten Pfeil um.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Ladungserhaltung am Knoten und die vollständige Spannungsbilanz einer Masche verbinden die Bauteilgesetze.

1Zeichne Knoten, Spannungsorientierungen und zunächst frei gewählte Strompfeile.
2Ladungserhaltung liefert $\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}=\frac{\mathrm dQ_{\mathrm{node}}}{\mathrm dt}$ .
3Für einen idealen Knoten ohne modellierte Ladungsansammlung ist diese Differenz null; Kondensatorströme zählen als Zweigströme.
4Gehe eine geschlossene Masche in festgelegter Richtung ab und addiere Spannungsanstiege sowie -abfälle mit Vorzeichen.
5Im konzentrierten Modell mit vollständig erfassten Quellen ist die Summe null. Unberücksichtigter veränderlicher Magnetfluss verlangt eine induzierte Spannung.
6Setze Bauteilgesetze ein, löse unabhängige Gleichungen und kontrolliere Knoten, Maschen und Leistungsbilanz; negative Ströme kehren nur den gewählten Pfeil um.

Umstellen

Unbekannter Strom

I_{?}=\sum I_{in}-\sum I_{out}

Negativ bedeutet Gegenrichtung.

Aufgabenvariante

Am Knoten kommen 2 A und 0,5 A an; 1,2 A fließen ab. Finde den zweiten Strom.

1,3 A fließen im zweiten Zweig ab.

Typische Fehler

Vorzeichen innerhalb der Rechnung wechseln.

Einmal gewählte Richtungen beibehalten und negative Werte als Gegenrichtung lesen.

Klausurkontext

Ströme und Spannungen in mehrmaschigen Schaltungen.

Formelcluster

Elektrische Netzwerke

Kirchhoff verbindet Bauteilgesetze zu einem lösbaren Netzwerkmodell.

U = R·I

Ohmsches Gesetz

Rges = R₁+R₂ ; 1/Rges = 1/R₁+1/R₂

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

P = U·I

Elektrische Leistung

Rechenbeispiel

Ein Knoten erhält 2 A und 0,5 A; ein Zweig führt 1,2 A ab. Der zweite abgehende Strom ist 2+0,5−1,2=1,3 A. In einer Masche mit Quelle 12 V und zwei Abfällen 5 V und 7 V ist 12−5−7=0.

Anwendungsgebiete

Unbekannte Ströme und Spannungen in verzweigten Gleichstromnetzen und linearen Schaltungen bestimmen.

Rechenbeispiel: Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln (Σ I hinein = Σ I hinaus; Σ ΔV = 0).

1
Aufgabe
Am Knoten kommen 2 A und 0,5 A an; 1,2 A fließen ab. Finde den zweiten Strom.
Rechenweg
1,3 A fließen im zweiten Zweig ab.

Die Formel verstehen und anwenden

In verzweigten Stromkreisen reicht eine einzige Widerstandsformel oft nicht. Die Kirchhoff-Regeln verbinden die Zweige: Am idealen Knoten geht keine Ladung verloren, in einer vollständig modellierten Masche stimmt die Spannungsbilanz. Mit festgelegten Pfeilen entsteht daraus ein lösbares Gleichungssystem. Ein negatives Ergebnis erklärt eine Richtung und ist kein Anlass, die Bilanz nachträglich umzuschreiben.

Erst Knoten, Pfeile und Polaritäten festlegen

Ein Knoten ist eine Verbindung idealer Leitungen mit gemeinsamem Potential; eine Masche ein geschlossener Weg durch das Schaltbild. Wähle einen Bezugsknoten und zeichne Strompfeile ein, bevor du Zahlen einsetzt. Die Pfeile dürfen zunächst Vermutungen sein. Alle Bauteilgleichungen müssen dieselben Richtungen verwenden, damit positive und negative Ergebnisse anschließend eine eindeutige Bedeutung haben.[1]

\begin{aligned}\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}&=0\\{}\sum_{\mathrm{loop}}\Delta V&=0\end{aligned}

Gewöhnliche konzentrierte Schaltung ohne unmodellierte äußere Flussinduktion; Stromrichtungen und Umlaufsinn vorher festlegen.[1]

Die gewählte positive Stromrichtung muss nicht der tatsächlichen entsprechen. Widerstandsspannungen entlang des Strompfeils sind Abfälle; eine ideale Quelle vom Minus- zum Pluspol durchlaufen ist ein Anstieg. Ein Bezugsknoten fixiert das sonst frei verschiebbare Potentialniveau. Zweigstrom, Maschenstrom und Richtung des Maschenumlaufs sind verschiedene Begriffe.[1]

Was genau erhalten wird

Die Erhaltungsaussagen allein geben noch nicht jeden Strom. Ergänze für jeden Widerstand die passende Spannungs-Strom-Beziehung und für jede Quelle ihre Randbedingung. Wähle unabhängige Gleichungen statt dieselbe Bilanz mehrfach zu zählen. Mit Knotenpotentialen kann ein großer Teil der Rechnung aus Spannungsunterschieden direkt gebildet werden.[1]

\frac{\mathrm dQ_{\mathrm{node}}}{\mathrm dt}=\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}

Die übliche algebraische Knotenregel setzt vernachlässigbare gespeicherte Nettoladung am idealisierten Knoten voraus.[1]

Ein Kondensator in der Schaltung verletzt die Knotenregel nicht: sein Zweigstrom ist mitzuzählen. Wird relevante Ladungsspeicherung am Knoten separat betrachtet, gehört sie als Kapazitäts-/Speicherbeitrag ins Modell. Die konservative elektrostatische Potentialdifferenz summiert sich entlang einer geschlossenen Schleife zu null. Zeitlich veränderter Magnetfluss kann zusätzliche elektromotorische Wirkung liefern, die als Quelle bzw. Kopplung modelliert werden muss.[1][4]

Vertiefung anzeigen: Ein unabhängiges Gleichungssystem aufbauen

In einem zusammenhängenden Netzwerk mit N Knoten sind N−1 unabhängige Knotenbilanzen nötig: die letzte folgt aus den übrigen. Ergänze Bauteilgleichungen und ausreichend unabhängige Schleifen. Für ein planares Widerstandsnetz sind Maschenströme eine Alternative. Ein gemeinsamer Widerstand führt die Differenz benachbarter orientierter Maschenströme, nicht deren Betragssumme. Redundante Gleichungen prüfen die Lösung, erzeugen aber keine zusätzliche Information.[1]

\frac{E_1-V}{R_1}+\frac{E_2-V}{R_2}=\frac{V}{R_3}

Ein gemeinsamer Knoten V erhält zwei gespeiste Zweige und führt über R₃ zum Bezugsknoten 0 V.[1]

Knotenpotentiale, Maschen und gekoppelte Quellen

Zwei Quellen speisen einen gemeinsamen Knoten

Gegeben: Bezugsknoten $0\,\mathrm V$ . Linker Quellenknoten $12\,\mathrm V$ über $R_1=4\,\Omega$ mit V verbunden; rechter Quellenknoten $6\,\mathrm V$ über $R_2=6\,\Omega$ . $R_3=3\,\Omega$ verbindet V mit dem Bezugsknoten.
Gesucht: Knotenspannung und drei Zweigströme bestimmen.

Ansatz: Mit Bezugspotential null genau eine unabhängige Bilanz am gemeinsamen Knoten bilden.
$\begin{aligned}I_1+I_2&=I_3\\{}I_1&=\frac{E_1-V}{R_1}\\{}I_2&=\frac{E_2-V}{R_2}\\{}I_3&=\frac{V}{R_3}\end{aligned}$
Beide gespeisten Zweige als zum Knoten gerichtete Ströme definieren.
$\frac{12-V}{4}+\frac{6-V}{6}=\frac{V}{3}$
Mit 12 multiplizieren und nach V lösen.
$\begin{aligned}36-3V+12-2V&=4V\\{}V&=\frac{16}{3}\,\mathrm V\end{aligned}$
Gewählte Zweigströme aus ihren Spannungsdifferenzen berechnen.
$\begin{aligned}I_1&=\frac{5}{3}\,\mathrm A\\{}I_2&=\frac{1}{9}\,\mathrm A\\{}I_3&=\frac{16}{9}\,\mathrm A\end{aligned}$

Ergebnis: V≈5,333 V; I₁≈1,667 A und I₂≈0,111 A hinein, I₃≈1,778 A hinaus.

Kontrolle: Knoten $\frac{5}{3}+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$ . Linke Schleife $12-4(\frac{5}{3})-3(\frac{16}{9})=0$ . Leistungen der Quellen $(20+\frac{2}{3})\,\mathrm W$ entsprechen Widerstandsverlusten $(20+\frac{2}{3})\,\mathrm W$ .

Die rechte Quelle nimmt nun Energie auf

Gegeben: Gleiches Netzwerk, rechte Quelle jetzt $3\,\mathrm V$ . Beide Maschenströme im Uhrzeigersinn: links $j_1$ , rechts $j_2$ .
Gesucht: Maschen lösen und negativen rechten Einspeisestrom deuten.

Ansatz: Beide Maschen im Uhrzeigersinn orientieren; der gemeinsame Widerstand führt eine Stromdifferenz.
$\begin{aligned}R_1j_1+R_3(j_1-j_2)&=E_1\\{}R_2j_2+R_3(j_2-j_1)&=-E_2\end{aligned}$
Gemeinsamer R₃ führt nach unten j₁−j₂. Rechte Quelle wird im Umlauf von + nach − durchlaufen.
$\begin{aligned}7j_1-3j_2&=12\\{}-3j_1+9j_2&=-3\end{aligned}$
Das unabhängige Zweigleichungssystem lösen.
$\begin{aligned}j_1&=\frac{11}{6}\,\mathrm A\\{}j_2&=\frac{5}{18}\,\mathrm A\\{}V&=3(j_1-j_2)=\frac{14}{3}\,\mathrm V\end{aligned}$
Der rechte Einspeisepfeil liegt entgegengesetzt zum rechten Maschenstrom.
$\begin{aligned}I_2&=-j_2=-\frac{5}{18}\,\mathrm A\\{}I_3&=\frac{14}{9}\,\mathrm A\end{aligned}$

Ergebnis: Der rechte Zweig fließt tatsächlich vom Knoten zur 3-V-Quelle; diese nimmt $(\frac{5}{6})\,\mathrm W$ auf.

Kontrolle: Links werden 22 W geliefert, rechts $(\frac{5}{6})\,\mathrm W$ aufgenommen; Widerstände dissipieren $(\frac{127}{6})\,\mathrm W\approx21.1667\,\mathrm W$ . KCL $\frac{11}{6}-\frac{5}{18}=\frac{14}{9}$ stimmt.

Liegt eine ideale Spannungsquelle zwischen zwei unbekannten Knoten, ist ihr Strom zunächst unbekannt. Fasst man beide Knoten zu einem sogenannten Superknoten zusammen, entfernt dessen gemeinsame Bilanz diesen internen Strom. Die Quellenspannung liefert die zusätzlich benötigte Beziehung.[1]

Zwei Knoten mit einer idealen Spannungsquelle verbinden

Gegeben: Knoten A liegt über 6 Ω, Knoten B über 3 Ω am Bezug 0 V. Eine ideale 3-V-Quelle liegt zwischen A (Plus) und B (Minus). Eine ideale Stromquelle speist 2 A vom Bezug in A. Stationärer Gleichstrom, keine weiteren Zweige.
Gesucht: Knotenpotentiale, Strom durch die Spannungsquelle und Leistungsbilanz bestimmen.

Ansatz: A und B gemeinsam bilanzieren. Der interne Quellenstrom fällt dabei weg; die Spannungsquelle liefert eine zweite Gleichung.
$\begin{aligned}\frac{V_A}{6\,\Omega}+\frac{V_B}{3\,\Omega}&=2\,\mathrm A\\V_A-V_B&=3\,\mathrm V\end{aligned}$
Potentiale lösen, dann die Einzelknotenbilanz an A verwenden.
$\begin{aligned}V_B&=3\,\mathrm V\\V_A&=6\,\mathrm V\\I_A&=I_B=1\,\mathrm A\\I_{AB}&=2-1=1\,\mathrm A\end{aligned}$
Der Strom tritt in die Plusklemme der Spannungsquelle ein: Sie nimmt Energie auf.
$\begin{aligned}P_{R,A}+P_{R,B}&=6+3=9\,\mathrm W\\P_{3\mathrm V}&=3\,\mathrm W\\P_{2\mathrm A}&=-6\cdot2=-12\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Die Potentiale sind 6 V und 3 V, der Quellenstrom fließt mit 1 A von A nach B. Die 3-V-Quelle nimmt 3 W auf.

Kontrolle: An A gilt $2=1+1$ , an B $1=1$ , jeweils in Ampere. Die passive Leistungssumme ist $9+3-12=0\,\mathrm W$ . Die Bezeichnung „Spannungsquelle“ bedeutet daher nicht automatisch Leistungsabgabe.

Negative Lösungen richtig zurückübersetzen

Eine negative Stromlösung sagt, dass der reale Strom dem definierten Pfeil entgegenläuft. Die vorzeichenrichtige Zahl bleibt in allen Spannungs- und Leistungsbilanzen stehen. Erst bei der Beschreibung darfst du Betrag und tatsächlichen Gegenpfeil verwenden. Bei einer idealen Quelle kann die Stromrichtung zu Energieaufnahme führen, ohne dass ihre vorgegebene Spannung sich ändert. Eine reale Batterie ist damit nicht automatisch gefahrlos in jedem Betriebszustand beschreibbar; das Beispiel verwendet ausdrücklich ideale Quellen.[1][3]

Ein Quellenstrom kann seine Richtung wechseln

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Für E1=12 V, R1=4 Ω, R2=6 Ω und R3=3 Ω gilt

I_2=\frac{7E_2-36\,\mathrm V}{54\,\Omega}

, positiv von der rechten Quelle zum Knoten. Die Nullstelle bedeutet gleiche Knoten- und Quellspannung.[1]

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Ohm als Bauteilgleichung, Erhaltung als Netzgleichung

\begin{aligned}[RI]&=\Omega\,\mathrm A=\mathrm V\\{}\sum_k p_k&=0\end{aligned}

Die Leistungsprobe bezieht Quellen und sämtliche modellierten Bauteile mit derselben passiven Vorzeichenkonvention ein.[1][3]

Der obere Bestandsfall bleibt erhalten: Ein Knoten erhält 2 A und 0,5 A; nach 1,2 A im ersten Ausgang bleiben 1,3 A für den zweiten. Der separate 12-V-Maschenfall mit 5 V und 7 V Abfall liefert 12−5−7=0. Diese Kontrollen sind noch keine allgemeine Mehrmaschenlösung. In großen Netzen sollte jedes Gleichungsglied explizit Ampere oder Volt besitzen. Addiert werden keine Ströme zu Spannungen; Knoten- und Maschengleichungen erfüllen unterschiedliche Rollen.[1]

Fünf Aufgaben mit Vorzeichen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

In einen Knoten fließen 0,60 A; aus einem Zweig 0,20 A. Zweiter ausgehender Strom?

Hinweis anzeigen

Ladungserhaltung am idealen Knoten.

Lernziel: Einen fehlenden Zweigstrom durch die Knotenbilanz bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der ideale Knoten speichert keine Ladung; die gerichteten Ströme müssen sich ausgleichen.
I=0,40 A hinaus.
Probe 0,60−0,20−0,40=0.

I=0.60-0.20=0.40\,\mathrm A

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ideale 10-V-Quelle, 2 Ω und 3 Ω in Reihe. Strom und beide Spannungsabfälle?

Hinweis anzeigen

Eine Schleife, ein Strom.

Lernziel: Serienstrom und einzelne Spannungsabfälle gemeinsam bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eine Masche verbindet die Quellspannung mit beiden ohmschen Spannungsabfällen.
I=2 A; Abfälle 4 V und 6 V.
Umlauf 10−4−6=0; Widerstandsleistung 8+12=20 W=10·2.

10-(2+3)I=0\Rightarrow I=2\,\mathrm A

Transfer · Vertiefen

Ein extern vorgegebener Fluss wächst im positiven Schleifensinn mit 0,12 Wb/s. Schleifenwiderstand 8 Ω, Selbstinduktion vernachlässigt. Vorzeichen des stationären Modellstroms?

Hinweis anzeigen

Faraday-emf als Quelle einschließen.

Lernziel: Eine induzierte Spannung mit Umlaufvorzeichen in eine Strombilanz integrieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In der gewählten positiven Umlaufrichtung erzeugt zunehmender positiver Fluss eine negative induzierte Spannung.
Eind=−0,12 V; I=−0,015 A.
Der Strom wirkt dem Flussanstieg entgegen.
Die zusätzliche emf darf nicht aus der Schleifenbilanz weggelassen werden.

\begin{aligned}\mathcal E&=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-0.12\,\mathrm V\\{}I&=\frac{\mathcal E}{8}=-0.015\,\mathrm A\end{aligned}

Interpretieren · Einstieg

An einem idealen Knoten zeigt ein Strompfeil von 0,40 A hinein und ein zweiter von 0,70 A hinaus. Ein unbekannter Strom I hat einen ebenfalls hinaus gerichteten Bezugspfeil. Der Knoten speichert keine relevante Ladung. Bestimme I und beschreibe die tatsächliche Richtung. Muss man ein negatives Ergebnis durch null ersetzen?

Hinweis anzeigen

Schreibe die Knotenbilanz mit den gewählten Pfeilen. Ein negativer Wert kehrt nur die tatsächliche Richtung relativ zum Bezugspfeil um.

Lernziel: Einen negativen Zweigstrom als Richtungsinformation deuten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eingehende Ströme positiv und die beiden ausgehend definierten Ströme negativ zählen.
Es folgt I=−0,30 A.
Tatsächlich fließen also 0,30 A hinein.
Das Ergebnis darf weder auf null gesetzt noch als positiver ausgehender Strom eingesetzt werden.

Kontrolle: Die tatsächlichen Zuflüsse 0,40 A und 0,30 A ergeben zusammen den Abfluss 0,70 A.

\begin{aligned}0&=0.40\,\mathrm A-0.70\,\mathrm A-I\\I&=-0.30\,\mathrm A\\I_{\mathrm{in,actual}}&=0.40\,\mathrm A+0.30\,\mathrm A=0.70\,\mathrm A\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine ideale unverzweigte Schleife enthält zwei Quellen und einen Widerstand von 4 Ω. Im gewählten Umlaufsinn durchläuft man die erste Quelle von minus nach plus (12 V), die zweite von plus nach minus (4 V), anschließend den Widerstand in Richtung des definierten Stroms I. Eine Lösung schreibt $12\,\mathrm V+4\,\mathrm V-(4\,\Omega)I=0$ und erhält 4 A. Korrigiere und prüfe die Leistungsbilanz.

Hinweis anzeigen

Der Umlauf enthält eine Spannungserhöhung und eine Spannungsabnahme an den Quellen. Die zweite ideale Quelle kann dabei Leistung aufnehmen.

Lernziel: Spannungsbilanz einer entgegenwirkenden zweiten Quelle mit konsistentem Umlaufsinn bilden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Jedem Element sein Vorzeichen aus dem angegebenen Umlaufsinn zuordnen.
Die resultierende Quellspannung beträgt 8 V, daher fließen 2 A.
Die 12-V-Quelle liefert 24 W; die 4-V-Quelle nimmt 8 W auf, der Widerstand 16 W.

Kontrolle: 24 W entsprechen genau der Summe der aufgenommenen Leistungen. Die falsche Addition ignoriert die Polung der zweiten Quelle.

\begin{aligned}0&=12\,\mathrm V-4\,\mathrm V-(4\,\Omega)I\\I&=\frac{12-4}{4}\,\mathrm A=2\,\mathrm A\\P_1&=12\cdot2\,\mathrm W=24\,\mathrm W\\P_2+P_R&=4\cdot2\,\mathrm W+2^2\cdot4\,\mathrm W=24\,\mathrm W\end{aligned}

[1][3]

Konzentrierte Schaltungen und Feldgrenzen

\oint\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Für eine räumlich feste Schleife macht ein veränderlicher verketteter Magnetfluss das elektrische Feld nichtkonservativ. Bei einer bewegten Schleife muss für die gesamte elektromotorische Wirkung zusätzlich der Bewegungsbeitrag berücksichtigt werden.[4]

Kirchhoff mit geeigneten Induktivitäten und Quellen bleibt ein nützliches Schaltungsmodell. Unmodellierte Kopplung, Ausbreitungsverzögerung, Strahlung und relevante räumliche Speicherwirkungen machen die schlichte rein ohmsche Maschenbilanz jedoch unvollständig. Vergleiche deshalb die Zeitskala der Anregung mit der Ausbreitungszeit. Ein Konflikt mit einer Nullsummenregel weist dann auf fehlende Modellbeiträge, nicht auf einen Verlust der Ladungserhaltung.[4][1]

Kurz zusammengefasst

Pfeile und Bezug zuerst, Erhaltung und Bauteilgesetze danach. Löse ein unabhängiges Gleichungssystem und setze die Ergebnisse in Knoten-, Maschen- und Leistungsbilanz zurück. Eine Quelle kann je nach Stromrichtung Energie liefern oder aufnehmen.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Fachlich passende Anschlusslinks ergänzt und den Begriff Superknoten an der gemeinsamen Knotenbilanz benannt; vorhandene Erklärungen, Rechnungen, Aufgaben, Figuren und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/kirchhoff-knotenmaschen

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln

Was besagt die Knotenregel?+

Die Knotenregel folgt aus Ladungserhaltung: An einem idealisierten Knoten ohne relevante Nettoladungsspeicherung ist die Summe zufließender Ströme gleich der Summe abfließender Ströme. Lege die Pfeile vorher fest und halte ihre Vorzeichen in allen Gleichungen bei. Ein Kondensatorzweig muss mit seinem zeitabhängigen Strom eingeschlossen werden; er verletzt die Regel nicht. Der erhaltene Bestandsfall mit 2 A und 0,5 A Zufluss sowie 1,2 A in einem Ausgang liefert 1,3 A im zweiten Ausgang. Wenn du relevante Ladungsspeicherung am Knoten selbst modellierst, gehört deren zeitliche Änderung in die Bilanz. Ein redundanter weiterer Knotenansatz liefert keine neue unabhängige Information.

Was besagt die Maschenregel?+

In einer gewöhnlichen konzentrierten Schaltung summieren sich die signierten Spannungsänderungen entlang eines geschlossenen Umlaufs zu null, sofern alle Quellen und Bauteilbeiträge modelliert sind. Ein Widerstand entlang seines definierten Strompfeils liefert einen Abfall; eine ideale Quelle vom Minus- zum Pluspol einen Anstieg. Der Umlaufsinn darf frei gewählt werden, muss aber konsequent bleiben. Im erhaltenen 12-V-Fall gleichen sich 5 V und 7 V Abfall aus. Bei zeitlich verändertem verkettetem Magnetfluss kann zusätzliche elektromotorische Wirkung auftreten. Diese darf nicht als fehlender Nullsummenrest ignoriert werden, sondern muss als Quelle oder induktive Kopplung in das passende Schaltungsmodell eingehen.

Was bedeutet ein negatives Ergebnis für einen Strom?+

Eine negative Lösung bedeutet, dass der reale Strom entgegen deinem vorher festgelegten positiven Pfeil fließt. Sie ist nicht automatisch ein Rechenfehler. Verwende zunächst den signierten Wert unverändert für sämtliche Spannungs- und Leistungsbilanzen. Anschließend kannst du den Betrag nennen und den tatsächlichen Gegenpfeil beschreiben. Im eigenen Zweiquellennetz mit rechter 3-V-Quelle ist der zum gemeinsamen Knoten gerichtete rechte Strom minus fünf Achtzehntel Ampere. Tatsächlich fließt er zur rechten Quelle, die dabei Energie aufnimmt. Quellen können also liefern oder aufnehmen; die vorgegebene ideale Spannung allein entscheidet das nicht. Ein unabhängiger Knoten- und Leistungscheck bestätigt diese Interpretation.

Wie löse ich ein mehrmaschiges Netzwerk?+

Wähle zuerst einen Bezugsknoten und eindeutige Zweigstromrichtungen. Formuliere unabhängige Knotenbilanzen und die Bauteilgleichungen. Alternativ können für ein planares Netz orientierte Maschenströme gewählt werden; ein gemeinsamer Widerstand führt dann die Differenz benachbarter Maschenströme. Im eigenen 12-V-/3-V-Netz ergeben die beiden Gleichungen sieben mal linker Maschenstrom minus drei mal rechter gleich 12 und minus drei mal linker plus neun mal rechter gleich minus 3. Danach werden echte Zweigströme zurückgerechnet. Prüfe mindestens einen Knoten, eine Schleife und die Gesamtleistung mit Quellen. Mehr Gleichungen helfen nur, wenn sie unabhängig sind; doppelt gezählte Bilanzbedingungen lösen keine zusätzliche Unbekannte.

Wann reichen Kirchhoff-Regeln nicht als einfache Schaltungsgleichungen?+

Die einfachen rein ohmschen Gleichungen setzen ein geeignetes konzentriertes Modell voraus. Relevant zeitveränderlicher Magnetfluss, räumliche Ausbreitungsverzögerung, Leitungskapazität, Selbstinduktivität oder Strahlung können zusätzliche Beiträge verlangen. Kirchhoff mit passend modellierten Quellen und Speichern bleibt dabei nützlich; die Erhaltungsgesetze werden nicht aufgehoben. Im eigenen Flussbeispiel erzeugt ein Anstieg 0,12 Wb/s eine elektromotorische Wirkung von minus 0,12 V im gewählten Umlaufsinn. Ohne diese Quelle wäre die rein ohmsche Nullsummenrechnung unvollständig. Ladungsspeicherung wird als Speicherstrom bilanziert. Entscheidend ist, ob das Schaltungsmodell alle wesentlichen Vorgänge auf der Zeit- und Längenskala der Anregung erfasst.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du Σ I hinein = Σ I hinaus; Σ ΔV = 0 nach Unbekannter Strom um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei Σ I hinein = Σ I hinaus; Σ ΔV = 0?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §10.3 “Kirchhoff’s Rules”.

Weitere Formeln: Elektrotechnik und Regelung

C(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_Ds

Idealer PID-Regler (Übertragungsfunktion)

U_\mathrm{out}=U_\mathrm{in}\frac{R_2}{R_1+R_2}

Spannungsteiler aus zwei Serienwiderständen

U_C(t)=U_0(1-e^{-t/(RC)}),\qquad \tau=RC

Zeitverlauf eines RC-Ladevorgangs

i(t)=\frac{U_0}{R}(1-e^{-tR/L}),\qquad \tau=\frac{L}{R}

Stromanstieg im RL-Kreis

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

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Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln prüfungssicher behalten

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Symbol

Bedeutung

Einheit

I

Strom in einem Zweig des Knotens

ΔV

Spannungsänderung über ein Bauteil in gewählter Umlaufrichtung

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

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Ladungserhaltung am Knoten und die vollständige Spannungsbilanz einer Masche verbinden die Bauteilgesetze.

1Zeichne Knoten, Spannungsorientierungen und zunächst frei gewählte Strompfeile.
2Ladungserhaltung liefert $\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}=\frac{\mathrm dQ_{\mathrm{node}}}{\mathrm dt}$ .
3Für einen idealen Knoten ohne modellierte Ladungsansammlung ist diese Differenz null; Kondensatorströme zählen als Zweigströme.
4Gehe eine geschlossene Masche in festgelegter Richtung ab und addiere Spannungsanstiege sowie -abfälle mit Vorzeichen.
5Im konzentrierten Modell mit vollständig erfassten Quellen ist die Summe null. Unberücksichtigter veränderlicher Magnetfluss verlangt eine induzierte Spannung.
6Setze Bauteilgesetze ein, löse unabhängige Gleichungen und kontrolliere Knoten, Maschen und Leistungsbilanz; negative Ströme kehren nur den gewählten Pfeil um.

Die Formel verstehen und anwenden

Erst Knoten, Pfeile und Polaritäten festlegen

\begin{aligned}\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}&=0\\{}\sum_{\mathrm{loop}}\Delta V&=0\end{aligned}

Gewöhnliche konzentrierte Schaltung ohne unmodellierte äußere Flussinduktion; Stromrichtungen und Umlaufsinn vorher festlegen.[1]

Was genau erhalten wird

\frac{\mathrm dQ_{\mathrm{node}}}{\mathrm dt}=\sum I_{\mathrm{in}}-\sum I_{\mathrm{out}}

Die übliche algebraische Knotenregel setzt vernachlässigbare gespeicherte Nettoladung am idealisierten Knoten voraus.[1]

Vertiefung anzeigen: Ein unabhängiges Gleichungssystem aufbauen

\frac{E_1-V}{R_1}+\frac{E_2-V}{R_2}=\frac{V}{R_3}

Ein gemeinsamer Knoten V erhält zwei gespeiste Zweige und führt über R₃ zum Bezugsknoten 0 V.[1]

Knotenpotentiale, Maschen und gekoppelte Quellen

Zwei Quellen speisen einen gemeinsamen Knoten

Gegeben: Bezugsknoten $0\,\mathrm V$ . Linker Quellenknoten $12\,\mathrm V$ über $R_1=4\,\Omega$ mit V verbunden; rechter Quellenknoten $6\,\mathrm V$ über $R_2=6\,\Omega$ . $R_3=3\,\Omega$ verbindet V mit dem Bezugsknoten.
Gesucht: Knotenspannung und drei Zweigströme bestimmen.

Ansatz: Mit Bezugspotential null genau eine unabhängige Bilanz am gemeinsamen Knoten bilden.
$\begin{aligned}I_1+I_2&=I_3\\{}I_1&=\frac{E_1-V}{R_1}\\{}I_2&=\frac{E_2-V}{R_2}\\{}I_3&=\frac{V}{R_3}\end{aligned}$
Beide gespeisten Zweige als zum Knoten gerichtete Ströme definieren.
$\frac{12-V}{4}+\frac{6-V}{6}=\frac{V}{3}$
Mit 12 multiplizieren und nach V lösen.
$\begin{aligned}36-3V+12-2V&=4V\\{}V&=\frac{16}{3}\,\mathrm V\end{aligned}$
Gewählte Zweigströme aus ihren Spannungsdifferenzen berechnen.
$\begin{aligned}I_1&=\frac{5}{3}\,\mathrm A\\{}I_2&=\frac{1}{9}\,\mathrm A\\{}I_3&=\frac{16}{9}\,\mathrm A\end{aligned}$

Ergebnis: V≈5,333 V; I₁≈1,667 A und I₂≈0,111 A hinein, I₃≈1,778 A hinaus.

Die rechte Quelle nimmt nun Energie auf

Gegeben: Gleiches Netzwerk, rechte Quelle jetzt $3\,\mathrm V$ . Beide Maschenströme im Uhrzeigersinn: links $j_1$ , rechts $j_2$ .
Gesucht: Maschen lösen und negativen rechten Einspeisestrom deuten.

Ansatz: Beide Maschen im Uhrzeigersinn orientieren; der gemeinsame Widerstand führt eine Stromdifferenz.
$\begin{aligned}R_1j_1+R_3(j_1-j_2)&=E_1\\{}R_2j_2+R_3(j_2-j_1)&=-E_2\end{aligned}$
Gemeinsamer R₃ führt nach unten j₁−j₂. Rechte Quelle wird im Umlauf von + nach − durchlaufen.
$\begin{aligned}7j_1-3j_2&=12\\{}-3j_1+9j_2&=-3\end{aligned}$
Das unabhängige Zweigleichungssystem lösen.
$\begin{aligned}j_1&=\frac{11}{6}\,\mathrm A\\{}j_2&=\frac{5}{18}\,\mathrm A\\{}V&=3(j_1-j_2)=\frac{14}{3}\,\mathrm V\end{aligned}$
Der rechte Einspeisepfeil liegt entgegengesetzt zum rechten Maschenstrom.
$\begin{aligned}I_2&=-j_2=-\frac{5}{18}\,\mathrm A\\{}I_3&=\frac{14}{9}\,\mathrm A\end{aligned}$

Ergebnis: Der rechte Zweig fließt tatsächlich vom Knoten zur 3-V-Quelle; diese nimmt $(\frac{5}{6})\,\mathrm W$ auf.

Zwei Knoten mit einer idealen Spannungsquelle verbinden

Gegeben: Knoten A liegt über 6 Ω, Knoten B über 3 Ω am Bezug 0 V. Eine ideale 3-V-Quelle liegt zwischen A (Plus) und B (Minus). Eine ideale Stromquelle speist 2 A vom Bezug in A. Stationärer Gleichstrom, keine weiteren Zweige.
Gesucht: Knotenpotentiale, Strom durch die Spannungsquelle und Leistungsbilanz bestimmen.

Ansatz: A und B gemeinsam bilanzieren. Der interne Quellenstrom fällt dabei weg; die Spannungsquelle liefert eine zweite Gleichung.
$\begin{aligned}\frac{V_A}{6\,\Omega}+\frac{V_B}{3\,\Omega}&=2\,\mathrm A\\V_A-V_B&=3\,\mathrm V\end{aligned}$
Potentiale lösen, dann die Einzelknotenbilanz an A verwenden.
$\begin{aligned}V_B&=3\,\mathrm V\\V_A&=6\,\mathrm V\\I_A&=I_B=1\,\mathrm A\\I_{AB}&=2-1=1\,\mathrm A\end{aligned}$
Der Strom tritt in die Plusklemme der Spannungsquelle ein: Sie nimmt Energie auf.
$\begin{aligned}P_{R,A}+P_{R,B}&=6+3=9\,\mathrm W\\P_{3\mathrm V}&=3\,\mathrm W\\P_{2\mathrm A}&=-6\cdot2=-12\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Die Potentiale sind 6 V und 3 V, der Quellenstrom fließt mit 1 A von A nach B. Die 3-V-Quelle nimmt 3 W auf.

Negative Lösungen richtig zurückübersetzen

Ein Quellenstrom kann seine Richtung wechseln

QUANTA STUDYquanta-study.de

Für E1=12 V, R1=4 Ω, R2=6 Ω und R3=3 Ω gilt

I_2=\frac{7E_2-36\,\mathrm V}{54\,\Omega}

, positiv von der rechten Quelle zum Knoten. Die Nullstelle bedeutet gleiche Knoten- und Quellspannung.[1]

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Ohm als Bauteilgleichung, Erhaltung als Netzgleichung

\begin{aligned}[RI]&=\Omega\,\mathrm A=\mathrm V\\{}\sum_k p_k&=0\end{aligned}

Die Leistungsprobe bezieht Quellen und sämtliche modellierten Bauteile mit derselben passiven Vorzeichenkonvention ein.[1][3]

Fünf Aufgaben mit Vorzeichen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

In einen Knoten fließen 0,60 A; aus einem Zweig 0,20 A. Zweiter ausgehender Strom?

Hinweis anzeigen

Ladungserhaltung am idealen Knoten.

Lernziel: Einen fehlenden Zweigstrom durch die Knotenbilanz bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der ideale Knoten speichert keine Ladung; die gerichteten Ströme müssen sich ausgleichen.
I=0,40 A hinaus.
Probe 0,60−0,20−0,40=0.

I=0.60-0.20=0.40\,\mathrm A

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ideale 10-V-Quelle, 2 Ω und 3 Ω in Reihe. Strom und beide Spannungsabfälle?

Hinweis anzeigen

Eine Schleife, ein Strom.

Lernziel: Serienstrom und einzelne Spannungsabfälle gemeinsam bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eine Masche verbindet die Quellspannung mit beiden ohmschen Spannungsabfällen.
I=2 A; Abfälle 4 V und 6 V.
Umlauf 10−4−6=0; Widerstandsleistung 8+12=20 W=10·2.

10-(2+3)I=0\Rightarrow I=2\,\mathrm A

Transfer · Vertiefen

Ein extern vorgegebener Fluss wächst im positiven Schleifensinn mit 0,12 Wb/s. Schleifenwiderstand 8 Ω, Selbstinduktion vernachlässigt. Vorzeichen des stationären Modellstroms?

Hinweis anzeigen

Faraday-emf als Quelle einschließen.

Lernziel: Eine induzierte Spannung mit Umlaufvorzeichen in eine Strombilanz integrieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In der gewählten positiven Umlaufrichtung erzeugt zunehmender positiver Fluss eine negative induzierte Spannung.
Eind=−0,12 V; I=−0,015 A.
Der Strom wirkt dem Flussanstieg entgegen.
Die zusätzliche emf darf nicht aus der Schleifenbilanz weggelassen werden.

\begin{aligned}\mathcal E&=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-0.12\,\mathrm V\\{}I&=\frac{\mathcal E}{8}=-0.015\,\mathrm A\end{aligned}

Interpretieren · Einstieg

An einem idealen Knoten zeigt ein Strompfeil von 0,40 A hinein und ein zweiter von 0,70 A hinaus. Ein unbekannter Strom I hat einen ebenfalls hinaus gerichteten Bezugspfeil. Der Knoten speichert keine relevante Ladung. Bestimme I und beschreibe die tatsächliche Richtung. Muss man ein negatives Ergebnis durch null ersetzen?

Hinweis anzeigen

Schreibe die Knotenbilanz mit den gewählten Pfeilen. Ein negativer Wert kehrt nur die tatsächliche Richtung relativ zum Bezugspfeil um.

Lernziel: Einen negativen Zweigstrom als Richtungsinformation deuten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eingehende Ströme positiv und die beiden ausgehend definierten Ströme negativ zählen.
Es folgt I=−0,30 A.
Tatsächlich fließen also 0,30 A hinein.
Das Ergebnis darf weder auf null gesetzt noch als positiver ausgehender Strom eingesetzt werden.

Kontrolle: Die tatsächlichen Zuflüsse 0,40 A und 0,30 A ergeben zusammen den Abfluss 0,70 A.

\begin{aligned}0&=0.40\,\mathrm A-0.70\,\mathrm A-I\\I&=-0.30\,\mathrm A\\I_{\mathrm{in,actual}}&=0.40\,\mathrm A+0.30\,\mathrm A=0.70\,\mathrm A\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine ideale unverzweigte Schleife enthält zwei Quellen und einen Widerstand von 4 Ω. Im gewählten Umlaufsinn durchläuft man die erste Quelle von minus nach plus (12 V), die zweite von plus nach minus (4 V), anschließend den Widerstand in Richtung des definierten Stroms I. Eine Lösung schreibt $12\,\mathrm V+4\,\mathrm V-(4\,\Omega)I=0$ und erhält 4 A. Korrigiere und prüfe die Leistungsbilanz.

Hinweis anzeigen

Der Umlauf enthält eine Spannungserhöhung und eine Spannungsabnahme an den Quellen. Die zweite ideale Quelle kann dabei Leistung aufnehmen.

Lernziel: Spannungsbilanz einer entgegenwirkenden zweiten Quelle mit konsistentem Umlaufsinn bilden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Jedem Element sein Vorzeichen aus dem angegebenen Umlaufsinn zuordnen.
Die resultierende Quellspannung beträgt 8 V, daher fließen 2 A.
Die 12-V-Quelle liefert 24 W; die 4-V-Quelle nimmt 8 W auf, der Widerstand 16 W.

Kontrolle: 24 W entsprechen genau der Summe der aufgenommenen Leistungen. Die falsche Addition ignoriert die Polung der zweiten Quelle.

\begin{aligned}0&=12\,\mathrm V-4\,\mathrm V-(4\,\Omega)I\\I&=\frac{12-4}{4}\,\mathrm A=2\,\mathrm A\\P_1&=12\cdot2\,\mathrm W=24\,\mathrm W\\P_2+P_R&=4\cdot2\,\mathrm W+2^2\cdot4\,\mathrm W=24\,\mathrm W\end{aligned}

[1][3]

Konzentrierte Schaltungen und Feldgrenzen

\oint\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Fachlich passende Anschlusslinks ergänzt und den Begriff Superknoten an der gemeinsamen Knotenbilanz benannt; vorhandene Erklärungen, Rechnungen, Aufgaben, Figuren und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/kirchhoff-knotenmaschen

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln

Was besagt die Knotenregel?+

Was besagt die Maschenregel?+

Was bedeutet ein negatives Ergebnis für einen Strom?+

Wie löse ich ein mehrmaschiges Netzwerk?+

Wann reichen Kirchhoff-Regeln nicht als einfache Schaltungsgleichungen?+

Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln prüfungssicher behalten

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Kirchhoff-Regeln: Knotenregel und Maschenregel

Variablen & Einheiten

Knoten- und Maschenregel berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Elektrische Netzwerke

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

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Was genau erhalten wird

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