Fortpflanzung von Messunsicherheiten

Die Standardunsicherheit eines berechneten Ergebnisses folgt näherungsweise aus Eingangunsicherheiten, Sensitivitäten und Kovarianzen. Die Schreibweise u²c(y) = Σ_i(ciui)² + 2Σ_i<_j cicj u(x_i,x_j) macht sichtbar, welche Größen zusammenhängen. Dabei bedeuten y=f(x₁,…,x_n): aus Messgrößen berechnetes Ergebnis (Ausgabeeinheit); u(x_i): Standardunsicherheit der Eingangsgröße (Einheit von x_i); c_i=∂f/∂x_i: Sensitivitätskoeffizient am Schätzwert (Einheit y / Einheit x_i). u(x_i) hat dieselbe Einheit wie x_i; ∂f/∂x_i·u(x_i) hat die Einheit von y; u_c(y) hat die Einheit von y. Für die Anwendung ist entscheidend, ob die gegebenen Größen dieselbe Bedeutung und Bezugsrichtung wie in der Definition haben. Typische Aufgaben verwenden die Beziehung für Laborberichte, Kalibrierung und metrologische Unsicherheitsbudgets.. Lies daher zuerst die Größen und ihre Dimensionen, bevor du Zahlen einsetzt; so erkennst du zum Beispiel sofort, ob das Ergebnis eine Länge, Rate, Wahrscheinlichkeit oder dimensionslose Kennzahl sein muss.

Beginne mit einer Skizze oder einer Liste der bekannten Größen, ordne jede Größe einem Symbol zu und bringe Einheiten in eine gemeinsame Form. Dann wähle die passende Gleichungsform und setze erst danach Werte ein. Beispiel: Für A=l·b mit l=2,00±0,02 m und b=3,00±0,03 m, unkorreliert, gilt A=6,00 m² und u(A)=√(0,06²+0,06²)=0,0849 m². Probe: unter der Wurzel stehen m⁴, das Ergebnis hat m². Die Probe ist Teil der Rechnung: Die NIST-Form linearisiert das Messmodell erster Ordnung am besten Schätzwert Vergleiche zusätzlich Größenordnung und Einheit mit dem Sachkontext. Runde erst am Schluss, denn vorzeitiges Runden kann bei mehreren Rechenschritten besonders bei kleinen Differenzen oder Summen sichtbar auf das Ergebnis durchschlagen.

Die NIST-Form linearisiert das Messmodell erster Ordnung am besten Schätzwert. Sie setzt kleine Unsicherheiten und ein glattes Modell voraus. Bei unkorrelierten Eingängen entfallen Kovarianzterme und die Beiträge werden quadratisch addiert. Korrelationen können die Unsicherheit erhöhen oder senken. Das Ergebnis ist eine Standardunsicherheit, nicht automatisch ein erweitertes Konfidenzintervall. Das ist keine nebensächliche Fußnote: Bei einer Verletzung der Annahmen kann die Formel ein präzises, aber unpassendes Ergebnis liefern. Kontrolliere deshalb vor dem Rechnen, welche Werte beobachtet, geschätzt oder modelliert sind und ob Sonderfälle die Gleichung ändern. Laborberichte, Kalibrierung und metrologische Unsicherheitsbudgets. Bei numerischen Verfahren prüfe außerdem Schrittweite und Stabilität; bei Statistik Stichprobendesign und Verteilung; bei Analysis Differenzierbarkeit, Rand und Orientierung. Verwende eine alternative Methode, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.

Beide Beziehungen passen in denselben Themenbereich, beantworten aber verschiedene Fragen. „Fortpflanzung von Messunsicherheiten“: Die Standardunsicherheit eines berechneten Ergebnisses folgt näherungsweise aus Eingangunsicherheiten, Sensitivitäten und Kovarianzen. Die Anschlussformel „Stichprobenvarianz“ Die korrigierte Stichprobenvarianz misst die Streuung der Beobachtungen um den Stichprobenmittelwert und schätzt die Varianz der Grundgesamtheit. Wähle zuerst nach der gesuchten Größe und dem Modell: Laborberichte, Kalibrierung und metrologische Unsicherheitsbudgets. Die Beispielrechnung Für A=l·b mit l=2,00±0,02 m und b=3,00±0,03 m, unkorreliert, gilt A=6,00 m² und u(A)=√(0,06²+0,06²)=0,0849 m². Probe: unter der Wurzel stehen m⁴, das Ergebnis hat m². zeigt, welche Größen in dieser Beziehung tatsächlich eingehen. Ein sinnvoller Lernschritt ist, beide Formeln mit denselben Ausgangsdaten zu vergleichen und zu markieren, welche Zusatzannahme die zweite benötigt. So wird aus einer Merkliste eine nachvollziehbare Auswahlregel.

Kovarianzen nur bei Unabhängigkeit weglassen; Sensitivitäten gehören dazu. Zusätzlich müssen die verwendeten Symbole exakt zur Definition passen: y=f(x₁,…,x_n): aus Messgrößen berechnetes Ergebnis (Ausgabeeinheit); u(x_i): Standardunsicherheit der Eingangsgröße (Einheit von x_i); c_i=∂f/∂x_i: Sensitivitätskoeffizient am Schätzwert (Einheit y / Einheit x_i). Rechne nicht nur mechanisch, sondern schreibe die Annahme neben den Ansatz und kontrolliere danach Dimension und Vorzeichen. Für die vorliegende Beziehung gelten außerdem: Die NIST-Form linearisiert das Messmodell erster Ordnung am besten Schätzwert Im Beispiel Für A=l·b mit l=2,00±0,02 m und b=3,00±0,03 m, unkorreliert, gilt A=6,00 m² und u(A)=√(0,06²+0,06²)=0,0849 m². Probe: unter der Wurzel stehen m⁴, das Ergebnis hat m². kannst du diese Prüfungen direkt nachvollziehen. Wenn die Annahme nicht passt, suche eine andere Beziehung aus dem Kapitel statt Werte in eine unpassende Formel zu zwingen.