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Das Wilson-Score-Intervall schätzt einen unbekannten binomialen Populationsanteil, etwa eine Prävalenz, aus x beobachteten Ereignissen in n unabhängigen Beobachtungen.
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Formel
p̂, pL, pU und z dimensionslos · x und n Fallzahlen · Anteile in Dezimalform zwischen 0 und 1, für Prozent mit 100 multiplizieren
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Zahl der beobachteten Erfolge oder Ereignisse | Fälle | |
| Zahl der unabhängigen binomialen Beobachtungen | Fälle | |
| p̂ | Beobachteter Stichprobenanteil x/n | dimensionslos |
| Quantil der Standardnormalverteilung für das gewählte zweiseitige Konfidenzniveau | dimensionslos | |
| pL, pU | Untere und obere Grenze des Wilson-Konfidenzintervalls für den Populationsanteil | dimensionslos |
\hat{p}=\frac{x}{n},\quad p_{L,U}=\frac{\hat{p}+\frac{z^2}{2n}\mp z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}}{1+\frac{z^2}{n}}Das Wilson-Score-Intervall entsteht durch Invertieren des z-Tests für einen binomialen Anteil. Für x Erfolge unter n unabhängigen Versuchen ist p̂=x/n; z ist das passende Quantil der Standardnormalverteilung, zum Beispiel 1,96 für ein zweiseitiges 95%-Intervall. Anders als das einfache Wald-Intervall p̂±z√(p̂(1−p̂)/n) berücksichtigt Wilson die Unsicherheit des Anteils im Nenner. Die Grenzen bleiben zwischen 0 und 1 und verhalten sich auch bei x=0 oder x=n sinnvoll. Das Verfahren ist kein exaktes Binomialintervall und garantiert nicht in jedem kleinen Stichprobenfall exakt das nominelle Niveau. Es setzt unabhängige Versuche mit gemeinsamer Ereigniswahrscheinlichkeit voraus; Gewichtung, Cluster und Überdispersion brauchen angepasste Methoden.
Für unabhängige binomiale Beobachtungen mit gemeinsamer Ereigniswahrscheinlichkeit und festem Konfidenzniveau. Bei gewichteten, geclusterten oder überdispersen Daten braucht es ein angepasstes Verfahren.
Wilson invertiert den z-Test für einen binomialen Anteil und berücksichtigt die Unsicherheit von p̂.
Stichprobenanteil
x zählt die beobachteten Ereignisse unter den n unabhängigen Beobachtungen.
Wilson-Mittelpunkt
Der Intervallmittelpunkt muss nicht mit p̂ übereinstimmen.
Wilson-Halbbreite
pL = p̃ − h und pU = p̃ + h.
18 von 100 Personen haben ein Merkmal. Bestimme das Wilson-95%-Intervall mit z=1,96.
p̂=0,18.
Mit 1+z2/n=1,0384 erhält man Mittelpunkt ≈0,1918 und Halbbreite ≈0,0748.
Das Intervall ist [0,117; 0,267], also etwa 11,7 % bis 26,7 %.
In 20 unabhängigen Versuchen tritt kein Ereignis auf. Was ergibt das Wilson-95%-Intervall bei z=1,96?
p̂=0.
Die Wilson-Untergrenze ist 0; die Obergrenze ist z2/(n+z2)=3,8416/23,8416≈0,161.
Anders als das Wald-Intervall entsteht keine scheinbare Gewissheit mit Halbbreite null.
Das Wilson-Intervall mit p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) verwechseln.
Bei Wilson stehen z2-Terme auch im Mittelpunkt und im Nenner; das ist das invertierte Score-Intervall.
Ein 95%-Intervall so deuten, als lägen 95 % der Einzelwerte darin.
Es schätzt den Populationsanteil, nicht die Streuung einzelner Beobachtungen.
Aus einer großen Stichprobe automatisch auf eine repräsentative Auswahl schließen.
Das Intervall quantifiziert Zufallsunsicherheit, behebt aber keine Auswahlverzerrung oder Clusterung.
Formelcluster
Ein Wilson-Intervall schätzt einen einzelnen binomialen Anteil; bei mehreren abhängigen oder gewichteten Anteilen ist ein passendes Designmodell nötig.
Bei n=100 und x=18 ist p̂=0,18; für 95 % setze z=1,96. Mittelpunkt ≈0,1918, Halbbreite ≈0,0748: Intervall [0,117; 0,267] bzw. [11,7 %; 26,7 %].
Unsicherheit von Prävalenzen, Anteilen positiver Diagnostiktests und binomialen Erfolgsraten berichten, besonders wenn Stichprobenanteile nahe 0 oder 1 liegen
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Wilson-Konfidenzintervall für einen Anteil (p̂ = x/n; Wilson-Intervall [p_L, p_U]).
Aufgabe
18 von 100 Personen haben ein Merkmal. Bestimme das Wilson-95%-Intervall mit z=1,96.
Rechenweg
p̂=0,18.
Mit 1+z2/n=1,0384 erhält man Mittelpunkt ≈0,1918 und Halbbreite ≈0,0748.
Das Intervall ist [0,117; 0,267], also etwa 11,7 % bis 26,7 %.
Aufgabe
In 20 unabhängigen Versuchen tritt kein Ereignis auf. Was ergibt das Wilson-95%-Intervall bei z=1,96?
Rechenweg
p̂=0.
Die Wilson-Untergrenze ist 0; die Obergrenze ist z2/(n+z2)=3,8416/23,8416≈0,161.
Anders als das Wald-Intervall entsteht keine scheinbare Gewissheit mit Halbbreite null.
Berechne zuerst p̂=x/n und wähle das z-Quantil, zum Beispiel z=1,96 für ein zweiseitiges 95%-Intervall. Setze beides in die Wilson-Grenzen ein: Der Mittelpunkt lautet (p̂+z2/(2n))/(1+z2/n); die Halbbreite ist z·√(p̂(1−p̂)/n+z2/(4n2))/(1+z2/n). Bei 18 Ereignissen unter 100 Personen gilt p̂=0,18. Mittelpunkt≈0,1918 und Halbbreite≈0,0748, also ergibt sich [0,117; 0,267] oder 11,7 % bis 26,7 %. Das Intervall ist nicht symmetrisch um den beobachteten Anteil. Der Wilson-Mittelpunkt wird Richtung 0,5 korrigiert; der Unterschied fällt besonders bei kleinem n oder Anteilen nahe 0 und 1 auf. Häufig ist die Abdeckung besser als beim Wald-Verfahren, aber Wilson garantiert keine exakt nominelle Abdeckung.
x ist die Zahl der beobachteten Erfolge oder Ereignisse, n die Gesamtzahl unabhängiger Versuche und p̂=x/n der Stichprobenanteil. z ist das Quantil der Standardnormalverteilung, das zum gewählten zweiseitigen Konfidenzniveau gehört: ungefähr 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. Die Anteile und z sind dimensionslos; x und n sind Fallzahlen. Der Wert z hängt nicht von den Messgrößeneinheiten ab. Verwende die Dezimalform, also 0,18 statt 18, wenn du den Anteil in die Gleichung einsetzt; multipliziere erst die fertigen Grenzen mit 100, um Prozent anzugeben.
Das Wald-Intervall p̂±z√(p̂(1−p̂)/n) kann bei kleinen Stichproben oder Anteilen nahe 0 und 1 eine schlechte Abdeckung liefern und sogar Grenzen unter 0 oder über 1 erzeugen. Wilson entsteht durch Invertieren des Anteilstests; dadurch berücksichtigt es die Unsicherheit des unbekannten Anteils auch in der Intervallbreite. Bei x=0 und n=20 bleibt die Untergrenze 0, die Obergrenze ist mit 95 % aber noch ungefähr 0,161. Das zeigt die Unsicherheit, statt fälschlich ein Intervall der Breite null auszugeben. Wilson ist nicht für jedes Design und jede Stichprobe automatisch optimal, aber oft eine robustere Standardwahl als Wald.
Ein 95%-Konfidenzverfahren ist so konstruiert, dass es bei wiederholten vergleichbaren Stichproben den festen Populationsanteil langfristig in ungefähr 95 % der Intervalle abdeckt. Für das eine bereits berechnete Intervall bedeutet das nicht, dass der wahre Anteil mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin liegt; auch enthält es nicht 95 % der untersuchten Personen. Bei einer Prävalenz beschreibt es die Zufallsunsicherheit des Anteils unter dem angenommenen Binomialmodell. Es korrigiert weder systematische Auswahl noch Messfehler. Deshalb können [11,7 %; 26,7 %] bei 18 von 100 Fällen eine passende Intervallschätzung sein, aber eine verzerrte Stichprobe bleibt verzerrt.
Die übliche Wilson-Formel setzt unabhängige binomiale Beobachtungen mit derselben Ereigniswahrscheinlichkeit voraus. Das passt etwa zu einer einfachen Zufallsstichprobe oder zu unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Bei einer Prävalenzstudie mit Gewichtung, geschichteter Auswahl, Clustern wie Haushalten oder wiederholten Messungen ist die effektive Unsicherheit anders; ein einfaches Wilson-Intervall kann dann zu eng sein. Auch fehlende Fälle und eine ungenaue Falldefinition verzerren die Schätzung, ohne dass die Formel das erkennt. Nutze in solchen Fällen ein designbasiertes oder modellbasiertes Intervall, und berichte Stichprobenplan sowie Nenner. Wilson ist außerdem ein Score-Intervall, kein exaktes Binomialintervall.
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