Castiglianos zweiter Satz

Die partielle Ableitung der gespeicherten Verformungsenergie nach einer generalisierten Kraft ergibt die zugehörige Verschiebung in Richtung dieser Kraft. Bei einem Moment erhält man entsprechend eine Verdrehung. Das Ergebnis hängt von der gewählten Lastkoordinate ab; Vorzeichen folgen aus der virtuellen Arbeits- und Vorzeichenkonvention des Modells. Der Energieansatz setzt ein geeignetes elastisches Modell voraus. Verschiebung und generalisierte Kraft müssen am selben Angriffspunkt und in konsistenter Richtung definiert sein. Anwendungsbereich: Verschiebungen und Verdrehungen statisch bestimmter elastischer Tragwerke über die Energie bestimmen. Das Zahlenbeispiel Ein Kragträger mit Endkraft P besitzt U=P²L³/(6EI). Daher δ=∂U/∂P=PL³/(3EI). Für P=100 N, L=0,50 m, E=200 GPa und I=10⁻⁶ m⁴ ergibt sich δ≈2,08·10⁻⁵ m=0,0208 mm. Die Probe entspricht der bekannten Enddurchbiegung des Kragträgers verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Für einen Kragträger mit Endlast ist U=P²L³/(6EI). Ableiten nach P ergibt PL³/(3EI). Mit den angegebenen Zahlen: 100·0,5³/(3·200·10⁹·10⁻⁶)=2,08·10⁻⁵ m, also etwa 0,0208 mm. E·I hat die Einheit N·m²; damit erhält die Verschiebung die Einheit Meter. Der Energieansatz setzt ein geeignetes elastisches Modell voraus. Verschiebung und generalisierte Kraft müssen am selben Angriffspunkt und in konsistenter Richtung definiert sein. Die Einheiten dazu sind δ in m; U in J; F in N; ∂U/∂F in J/N = m. Ein Kragträger mit Endkraft P besitzt U=P²L³/(6EI). Daher δ=∂U/∂P=PL³/(3EI). Für P=100 N, L=0,50 m, E=200 GPa und I=10⁻⁶ m⁴ ergibt sich δ≈2,08·10⁻⁵ m=0,0208 mm. Die Probe entspricht der bekannten Enddurchbiegung des Kragträgers. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Soll eine Verschiebung an einem Punkt ohne reale Last bestimmt werden, fügt man dort eine symbolische Hilfskraft Q in gewünschter Richtung hinzu. Man berechnet U als Funktion von Q und den realen Lasten, leitet nach Q ab und setzt erst danach Q=0. So wird die gesuchte Verschiebung erfasst, ohne das ursprüngliche Belastungsproblem dauerhaft zu verändern. Der Energieansatz setzt ein geeignetes elastisches Modell voraus. Verschiebung und generalisierte Kraft müssen am selben Angriffspunkt und in konsistenter Richtung definiert sein. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Ein Kragträger mit Endkraft P besitzt U=P²L³/(6EI). Daher δ=∂U/∂P=PL³/(3EI). Für P=100 N, L=0,50 m, E=200 GPa und I=10⁻⁶ m⁴ ergibt sich δ≈2,08·10⁻⁵ m=0,0208 mm. Die Probe entspricht der bekannten Enddurchbiegung des Kragträgers. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.

Führe an der gesuchten Stelle und in der gesuchten Richtung eine gedachte generalisierte Kraft ein. Drücke die gesamte elastische Energie als Funktion dieser Kraft und der realen Lasten aus, bilde die partielle Ableitung und setze die gedachte Kraft anschließend auf null. Das Vorzeichen folgt der festgelegten Richtung. So kann der Satz auch unbekannte Verschiebungen liefern, ohne dass das Bauteil tatsächlich dort belastet wird. Der Energieansatz setzt ein geeignetes elastisches Modell voraus. Verschiebung und generalisierte Kraft müssen am selben Angriffspunkt und in konsistenter Richtung definiert sein.

U muss die gespeicherte elastische Deformationsenergie aller relevanten Beanspruchungsarten umfassen. Bei Biegung, Normalkraft, Torsion und Schub können mehrere Beiträge nötig sein; vernachlässigte Schubverformung kann bei kurzen tiefen Trägern merklich sein. Verwende konsistente generalisierte Kräfte und Momente. Dissipation, plastische Arbeit und große Verformungen sind nicht ohne Weiteres in der linearen Standardform enthalten. Der Energieansatz setzt ein geeignetes elastisches Modell voraus. Verschiebung und generalisierte Kraft müssen am selben Angriffspunkt und in konsistenter Richtung definiert sein. Die Beziehung beschreibt Castiglianos zweiter Satz bestimmt die Verschiebung in Richtung einer Kraft durch Ableitung der elastischen Verformungsenergie nach dieser Kraft. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.