Thermische Spannung eines vollständig behinderten Stabs

Freie Erwärmung würde eine Dehnung αΔT verursachen. Die starre Einspannung erzwingt jedoch die Gesamtdehnung null. Das Material muss deshalb eine gleich große mechanische Gegendehnung aufbauen; über Hookes Gesetz entsteht daraus Druckspannung. Bei nur teilweiser Behinderung fällt der Betrag kleiner aus. This is the fully restrained, uniform-temperature, linear-elastic idealization; the sign denotes compression on heating. Anwendungsbereich: Zwangsspannungen in Schienen, Rohrleitungen und fest eingespannten Bauteilen idealisiert abschätzen. Das Zahlenbeispiel Mit E=200 GPa, α=12·10⁻⁶ K⁻¹ und ΔT=30 K erhält man σth=−72 MPa verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Bei positiver Temperaturänderung will der Stab länger werden. Wird diese Ausdehnung verhindert, wirkt die axiale Reaktion als Druck. Mit der üblichen Vorzeichenkonvention ist Druck negativ, daher σth=−EαΔT. Eine Abkühlung unter derselben idealen Behinderung führt zu Zugspannung. This is the fully restrained, uniform-temperature, linear-elastic idealization; the sign denotes compression on heating. Die Einheiten dazu sind σth in Pa; E in Pa; α in K⁻¹; ΔT in K. Mit E=200 GPa, α=12·10⁻⁶ K⁻¹ und ΔT=30 K erhält man σth=−72 MPa. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Nicht ohne Weiteres. Ein Temperaturgradient führt zu unterschiedlichen freien Dehnungen entlang des Querschnitts oder Stabs und kann zusätzlich Biegung hervorrufen. Die kompakte Formel setzt eine gleichmäßige Temperatur und reine axiale Behinderung voraus. Für reale Gradienten müssen Temperaturfeld, Geometrie und Lagerbedingungen gemeinsam gelöst werden. This is the fully restrained, uniform-temperature, linear-elastic idealization; the sign denotes compression on heating. Geltungsbereich: Die Beziehung kombiniert εgesamt=εmechanisch+αΔT=0 mit σ=Eεmechanisch. Das Minuszeichen bezeichnet Druck bei Erwärmung unter vollständiger Dehnungsbehinderung; Abkühlung kehrt das Vorzeichen um. Sie setzt gleichmäßige Temperatur, konstante Materialwerte, lineare Elastizität und starre axiale Einspannung voraus. Teilbehinderung, Kriechen und Temperaturgradienten erfordern ein anderes Modell. Eine praktische Anwendung ist Zwangsspannungen in Schienen, Rohrleitungen und fest eingespannten Bauteilen idealisiert abschätzen.

Schreibe zuerst neben jeden Zahlenwert die Größe und Einheit aus der Variablenliste: σth in Pa; E in Pa; α in K⁻¹; ΔT in K. Setze erst ein, wenn die Werte in einem konsistenten Einheitensystem vorliegen, und notiere Vorzeichen oder Bezugsrichtung ausdrücklich. Das Beispiel Mit E=200 GPa, α=12·10⁻⁶ K⁻¹ und ΔT=30 K erhält man σth=−72 MPa. bietet eine Rechenprobe: Endgröße, Einheit und Größenordnung müssen zur beschriebenen Situation passen. Runde erst nach den Zwischenrechnungen, damit kleine Beiträge nicht vorzeitig verschwinden. This is the fully restrained, uniform-temperature, linear-elastic idealization; the sign denotes compression on heating.

Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Die Beziehung kombiniert εgesamt=εmechanisch+αΔT=0 mit σ=Eεmechanisch. Das Minuszeichen bezeichnet Druck bei Erwärmung unter vollständiger Dehnungsbehinderung; Abkühlung kehrt das. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. Engineering LibreTexts, Mechanics of Materials, thermal stress and strain. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. This is the fully restrained, uniform-temperature, linear-elastic idealization; the sign denotes compression on heating.