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Für ein prismatisches Kreiswellenstück mit konstantem Drehmoment ergibt sich der Verdrehwinkel aus Torsionsmoment, Länge und Torsionssteifigkeit.
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Formel
φ in rad (dimensionslos); T in N·m; L in m; G in Pa; J in m4
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Relative Verdrehung der Querschnitte | rad | |
| Konstantes Torsionsmoment | N·m | |
| Wellenlänge des betrachteten Abschnitts | m | |
| Schubmodul des Materials | Pa | |
| Polares Flächenträgheitsmoment | m4 |
\varphi=\frac{T L}{GJ}Die Formel folgt aus der gleichmäßigen Verdrehungsrate dφ/dx=T/(GJ), integriert über eine Welle mit konstantem T, G und J. Bei wechselnden Querschnitten oder Werkstoffen ist abschnittsweise zu integrieren. Sie setzt linear-elastische Saint-Venant-Torsion voraus; Lager, Kerben und nichtkreisförmige Profile können zusätzliche Verformungen verursachen. Radiant ist als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius dimensionslos.
Die Formel folgt aus der gleichmäßigen Verdrehungsrate dφ/dx=T/(GJ), integriert über eine Welle mit konstantem T, G und J. Bei wechselnden Querschnitten oder Werkstoffen ist abschnittsweise zu integrieren. Sie setzt linear-elastische Saint-Venant-Torsion voraus; Lager, Kerben und nichtkreisförmige Profile können zusätzliche Verformungen verursachen. Radiant ist als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius dimensionslos.
Für ein prismatisches Kreiswellenstück mit konstantem Drehmoment ergibt sich der Verdrehwinkel aus Torsionsmoment, Länge und Torsionssteifigkeit.
Grundgleichung für die Zielgröße
Bei Umstellungen Vorzeichen, Randbedingungen und Einheiten beibehalten.
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Verdrehwinkel eines Kreisstabs“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
T=100 N·m, L=1 m, G=80 GPa und J=2,51·10−7 m4 liefern φ≈0,00498 rad≈0,285°.
Eine verwandte Größe mit gleicher Symbolschreibweise einsetzen.
Nutze Variablendefinitionen und prüfe: φ in rad (dimensionslos); T in N·m; L in m; G in Pa; J in m4.
Formelcluster
Für ein prismatisches Kreiswellenstück mit konstantem Drehmoment ergibt sich der Verdrehwinkel aus Torsionsmoment, Länge und Torsionssteifigkeit.
T=100 N·m, L=1 m, G=80 GPa und J=2,51·10−7 m4 liefern φ≈0,00498 rad≈0,285°.
Verdrehsteifigkeit von Antriebswellen und elastische Winkelverdrehung abschätzen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Verdrehwinkel eines Kreisstabs (φ = TL/(GJ)).
Aufgabe
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Verdrehwinkel eines Kreisstabs“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Rechenweg
T=100 N·m, L=1 m, G=80 GPa und J=2,51·10−7 m4 liefern φ≈0,00498 rad≈0,285°.
Jeder Abschnitt der Welle trägt eine Verdrehung pro Länge bei. Bei konstantem T, G und J addieren sich diese Beiträge, daher ist φ proportional zu L. Eine längere Welle ist bei sonst gleichen Eigenschaften weniger torsionssteif. Der Zusammenhang ist linear-elastisch; große plastische Verdrehung passt nicht dazu. This relation assumes a circular prismatic shaft, linear elasticity and constant torque, shear modulus and polar area moment over the segment. Use radians for φ. If any property changes along the shaft, add segment twists or integrate T/(GJ); joint and support flexibility are separate effects.
G ist der Schubmodul und beschreibt elastische Schubverformung. Für einen isotropen linear-elastischen Werkstoff gilt G=E/[2(1+ν)], wenn Young-Modul E und Poisson-Zahl ν bekannt sind. Diese Beziehung setzt Isotropie voraus. Nutze für anisotrope Werkstoffe die richtungsabhängigen elastischen Kennwerte statt diese Umrechnung unkritisch anzuwenden. This relation assumes a circular prismatic shaft, linear elasticity and constant torque, shear modulus and polar area moment over the segment. Use radians for φ. If any property changes along the shaft, add segment twists or integrate T/(GJ); joint and support flexibility are separate effects.
Teile die Welle in Abschnitte, in denen T, G und J jeweils konstant angesetzt werden können. Berechne φi=TiLi/(GiJi) für jeden Abschnitt und summiere die Winkel mit Vorzeichen. Da J bei Vollkreisen mit R4 skaliert, beeinflussen dünne Abschnitte den Gesamtwinkel oft stark. Übergangskerben brauchen zusätzliche Prüfung. This relation assumes a circular prismatic shaft, linear elasticity and constant torque, shear modulus and polar area moment over the segment. Use radians for φ. If any property changes along the shaft, add segment twists or integrate T/(GJ); joint and support flexibility are separate effects.
Schreibe zuerst neben jeden Zahlenwert die Größe und Einheit aus der Variablenliste: φ in rad (dimensionslos); T in N·m; L in m; G in Pa; J in m4. Setze erst ein, wenn die Werte in einem konsistenten Einheitensystem vorliegen, und notiere Vorzeichen oder Bezugsrichtung ausdrücklich. Das Beispiel T=100 N·m, L=1 m, G=80 GPa und J=2,51·10−7 m4 liefern φ≈0,00498 rad≈0,285°. bietet eine Rechenprobe: Endgröße, Einheit und Größenordnung müssen zur beschriebenen Situation passen. Runde erst nach den Zwischenrechnungen, damit kleine Beiträge nicht vorzeitig verschwinden. This relation assumes a circular prismatic shaft, linear elasticity and constant torque, shear modulus and polar area moment over the segment. Use radians for φ. If any property changes along the shaft, add segment twists or integrate T/(GJ); joint and support flexibility are separate effects.
Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Die Formel folgt aus der gleichmäßigen Verdrehungsrate dφ/dx=T/(GJ), integriert über eine Welle mit konstantem T, G und J.. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. Engineering LibreTexts, Beam Bending, Buckling, and Torsion, angle of twist. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. This relation assumes a circular prismatic shaft, linear elasticity and constant torque, shear modulus and polar area moment over the segment. Use radians for φ. If any property changes along the shaft, add segment twists or integrate T/(GJ); joint and support flexibility are separate effects.
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