Bogenmaß, Bogenlänge und Kreissektor

Ein Radiant ist der Zentriwinkel, der einen Kreisbogen mit derselben Länge wie der Radius einschließt. Weil ein Vollkreis 2π Radiant umfasst, entsprechen 180° genau π Radiant. Das Bogenmaß ist deshalb das Verhältnis s/r und nicht eine unabhängige physikalische Einheit. Achte darauf, dass Bogenlänge und Radius dieselbe Längeneinheit verwenden und die Winkel stets als Radiant in den Kurzformeln stehen. Ein Einheitencheck deckt die meisten Verwechslungen auf. Bei gleichem Winkel wächst die Bogenlänge mit r, die Sektorfläche dagegen mit r². Darum entspricht ein Viertelkreis π/2 rad; die Zahl ist dimensionslos, obwohl rad als SI-Einheit notiert wird.

Multipliziere den Gradwert mit π/180. Zum Beispiel werden 60° zu 60π/180=π/3 rad. Für die Gegenrichtung multiplizierst du Radiant mit 180/π. Diese Umrechnung ist nötig, bevor du s=rθ oder A=½r²θ verwendest, weil diese Beziehungen den Winkel im Bogenmaß voraussetzen. Achte darauf, dass Bogenlänge und Radius dieselbe Längeneinheit verwenden und die Winkel stets als Radiant in den Kurzformeln stehen. Ein Einheitencheck deckt die meisten Verwechslungen auf. Bei gleichem Winkel wächst die Bogenlänge mit r, die Sektorfläche dagegen mit r². Die Gegenprobe lautet 180°=π rad und 360°=2π rad; so lässt sich das Ergebnis schnell plausibilisieren. Kürze den Faktor vor dem Rechnen.

Der Winkel θ ist als Bogenlänge pro Radius definiert: θ=s/r. Bei festem Radius wächst die Bogenlänge daher proportional mit dem Winkel. Eine doppelt so große Winkelöffnung umfasst doppelt so viel Kreisrand. Bei festem Winkel verdoppelt ein doppelt so großer Radius ebenfalls die Bogenlänge. Achte darauf, dass Bogenlänge und Radius dieselbe Längeneinheit verwenden und die Winkel stets als Radiant in den Kurzformeln stehen. Ein Einheitencheck deckt die meisten Verwechslungen auf. Bei gleichem Winkel wächst die Bogenlänge mit r, die Sektorfläche dagegen mit r². Die Proportionalität gilt für jeden Winkel im Bogenmaß, auch für mehr als eine volle Umdrehung und für negative Drehrichtung.

Ein Sektor mit Winkel θ ist der Anteil θ/(2π) des Vollkreises. Multipliziere diesen Anteil mit der Gesamtfläche πr²: A=(θ/2π)πr²=½r²θ. Diese Herleitung zeigt zugleich, warum θ im Bogenmaß eingesetzt wird. Für 60° erhält man ein Sechstel des Vollkreises. Achte darauf, dass Bogenlänge und Radius dieselbe Längeneinheit verwenden und die Winkel stets als Radiant in den Kurzformeln stehen. Ein Einheitencheck deckt die meisten Verwechslungen auf. Bei gleichem Winkel wächst die Bogenlänge mit r, die Sektorfläche dagegen mit r². Bei 60° ist θ=π/3 und damit A=πr²/6; der Anteil stimmt mit 60°/360° überein. Die Rechnung gilt entsprechend für jeden Winkel.

Der Kreisbogen ist nur der gekrümmte Randabschnitt; seine Länge wird mit s=rθ berechnet. Der Kreissektor ist die gesamte Fläche zwischen zwei Radien und diesem Bogen; seine Fläche ist A=½r²θ. Beide hängen von demselben Winkel ab, haben aber unterschiedliche Dimensionen: Länge beziehungsweise Flächeneinheit. Achte darauf, dass Bogenlänge und Radius dieselbe Längeneinheit verwenden und die Winkel stets als Radiant in den Kurzformeln stehen. Ein Einheitencheck deckt die meisten Verwechslungen auf. Bei gleichem Winkel wächst die Bogenlänge mit r, die Sektorfläche dagegen mit r². Die Sehne zwischen den Endpunkten ist dagegen eine gerade Strecke und meist kürzer als der Kreisbogen.