Physik · Magnetismus

Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule?

Das Dipolmoment besitzt die Einheit $\mathrm{A\,m^2}$. Multipliziert mit Tesla ergibt es $\mathrm{N\,m}$, die übliche Drehmomenteinheit. Obwohl diese Dimension auch zur Energie passt, wird ein Moment nicht als geleistete Arbeit bezeichnet. Arbeit benötigt zusätzlich die Drehung und das Integral des signierten Achsmoments über den Winkel. Zwanzig Quadratzentimeter entsprechen $0{,}00200\,\mathrm{m^2}$; ein linearer Zentimeterfaktor wäre falsch. Als Größenkontrolle darf der Momentbetrag im homogenen Modell $N|I|AB$ nicht übersteigen. Bei parallel oder antiparallel stehender Normalen ist er null. Einheitenkontrolle erkennt jedoch weder den Winkel zur Ebene statt zur Normalen noch eine falsch bestimmte Lagerachse.

Ein stromdurchflossener ebener Rahmen kann im homogenen Feld trotz null Gesamtkraft ein Drehmoment erfahren, das seine Dipolachse ausrichtet.

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Formel

Berechnen

τ = N ∣ I ∣ A B sin θ

τ in N·m; N dimensionslose Windungszahl; I in A; A in m² je Windung; B in T; θ zur Normalen in rad oder °.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$τ$	Drehmomentbetrag	N·m
$N$	Windungszahl	dimensionslos
$I$	Nichtnegativer Strombetrag; Normale nach dem tatsächlichen konventionellen Umlaufsinn	A
$A$	Fläche einer Windung	m²
$B$	Betrag der homogenen äußeren magnetischen Flussdichte	T
$θ$	Winkel zwischen tatsächlichem Dipolvektor beziehungsweise stromorientierter Normalen und äußerem Feld	rad oder °

LaTeX

\tau=N|I|AB\sin\theta

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Fester Dipol: normiertes Orientierungspotential minus Kosinus wächst von minus eins bei paralleler bis plus eins bei antiparalleler Lage. Signiertes Moment zur Winkelkoordinate ist minus Sinus und wirkt zwischen null und hundertachtzig Grad zur kleineren Winkelrichtung. — Eigenes Diagramm für festen Dipolbetrag im stationären homogenen Feld, nach OpenStax §11.5. θ ist der Winkel zur stromorientierten Normalen. τθ ist signiert; sein Betrag ist NIAB sinθ. Parallel ist das Potential minimal und stabil, antiparallel maximal und instabil, obwohl beide Momente null sind.

Drehmoment einer Spule berechnen

Magnetisches Moment, Drehmoment und Ausrichtungsenergie einer flachen Spule im homogenen Magnetfeld ausrechnen, alle Windungen mit gleicher Fläche.

Rechenmodell

Gesucht

Windungszahl N

Anzahl der Windungen der Spule, eine ganze Zahl, z. B. 100.

Stromstärke I

Stromstärke durch die Spule; das Vorzeichen ändert den Betrag nicht, z. B. 0,5 A.

Eingeschlossene Fläche einer Windung A

Fläche einer einzigen Windung, nicht aller zusammen, z. B. 20 cm² für 4 cm mal 5 cm.

Betrag des äußeren Magnetfelds B

Flussdichte des äußeren, homogenen Magnetfelds, z. B. 0,2 T zwischen starken Magnetpolen.

Winkel zwischen Normale und Feld θ

Winkel zwischen Flächennormale und Feld, nicht zur Spulenfläche; bei 90° ist das Drehmoment am größten, z. B. 30°.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Drehmoment |τ|

|τ| = 10 mN·m

Mit N = 100, I = 0,5 A, A = 20 cm², B = 0,2 T und θ = 30 ° ergibt sich |τ| = 10 mN·m.

Rechenweg · umstellen nach |τ|, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach |τ| umstellen
$|\tau|=N|I|AB\sin\theta$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- A = 20 cm² = 0,002 m²
- θ = 30 ° = 0,523599 rad
$100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}002\cdot 0{,}2\cdot\sin\left(0{,}523598775598\right)=0{,}01$
3. Ergebnis
|τ| = 10 mN·m

So rechnest du schneller

Winkel prüfen: θ liegt zwischen Flächennormale und Feld. Laufen die Feldlinien längs der Spulenfläche, ist θ = 90° und das Drehmoment am größten; steht die Fläche quer zum Feld, ist es null.
Überschlag in zwei Schritten: erst μ = N · I · A, dann τ = μ · B · sin θ. 100 Windungen, 0,5 A und 20 cm² geben 0,1 A·m², in 0,2 T also höchstens 20 mN·m.

Annahmen und Grenzen

N positive sichere ganze Windungen, jede mit derselben eingeschlossenen Fläche und Orientierung; starre planare Schleife in homogenem äußeren Feld. θ zwischen tatsächlichem Dipolvektor und B, nicht zur Schleifenfläche. Signierter Strom dient nur für |I|; aus Beträgen folgen weder Drehsinn noch Lagermoment. A=0 ist nur formaler Nullflächengrenzfall.

Herleitung & Hintergrund

Mit der stromorientierten Normalen gilt $\vec\mu=NIA\hat{\vec n}$ und $\vec\tau=\vec\mu\times\vec B$ . θ gehört zur Normalen, nicht zur Ebene. Parallel ist ein fester Dipol stabil, antiparallel instabil; beide Momentbeträge sind null. Eine dauernde Motorrotation benötigt weitere Strom-/Feldsteuerung und Energiebilanz. Ein Lager zählt die Komponente entlang seiner Achse.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gleichartige ebene stromdurchflossene Windungen in homogenem äußeren Feld; θ liegt zwischen stromorientierter Normalen und Feld. Die Kurzform ist ein Betrag, ein Lager benötigt die Achskomponente. Nichtuniforme Felder und unterschiedliche Windungen separat behandeln.

Herleitung in Schritten

Gegenüberliegende Leiterkräfte bilden ein Kräftepaar; der gesamte Wirkungslinienabstand führt zur Flächenabhängigkeit.

1Lege gleichartige ebene Windungen und ein homogenes äußeres Feld fest.
2Die rechte Hand zum konventionellen Strom definiert die positive Flächennormale.
3Beim geeigneten Rechteck sind zwei gegenüberliegende Seiten quer zum Feld; ihre Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt.
4Der Betrag jeder Kraft ist $|I|bB$ , der gesamte Hebelarmabstand $a\sin\theta$ .
5Das Kräftepaar liefert $\tau=|I|abB\sin\theta$ ; mit $A=ab$ summieren N Windungen ihre Beiträge.
6Definiere $\vec\mu=NIA\hat{\vec n}$ ; allgemein ist $\vec\tau=\vec\mu\times\vec B$ .
7Prüfe Normalenwinkel, Gesamtkraft null und gegebenenfalls Projektion auf eine erlaubte Drehachse.

Umstellen

Windungszahl

N=\frac{\tau}{|I|AB\sin\theta}

θ liegt zwischen stromorientierter Normalen und Feld; alle Nennerfaktoren müssen nichtnull sein. Ganzzahlige Mindestziele aufrunden.

Aufgabenvariante

100 gleichartige Windungen mit je 0,010 m² führen 0,20 A. Das homogene äußere Feld beträgt 0,50 T; die stromorientierte Normale steht senkrecht zum Feld. Berechne den Momentbetrag.

Ansatz: $\tau=N|I|AB\sin\theta$ ; bei $\theta=90^\circ$ folgt $\tau=0{,}10\,\mathrm{N\,m}$ .

Typische Fehler

Den Winkel zur Schleifenebene verwenden, obwohl die Formel den Winkel zur orientierten Flächennormalen benötigt.

Definiere die Normale mit der Stromrichtung. Bei Stromumkehr nicht zusätzlich den Strombetrag negativ setzen.

Klausurkontext

Schleifenlage, maximale Drehwirkung und stabile Orientierung: Normale, Strombetrag und Feldhomogenität prüfen.

Formelcluster

Magnetismus

Leiterkräfte erzeugen ein Kräftepaar; magnetischer Fluss und Orientierungsenergie verbinden die Schleifenlage mit dem Drehmoment.

M = F·r·sin(θ)

Drehmoment

ΦB = BA cos θ

Magnetischer Fluss durch eine Fläche

F = B|I|ℓ sinθ

Magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Rechenbeispiel

Eine Spule mit $N=100$ , $I=0{,}20\,\mathrm A$ , $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ in $B=0{,}50\,\mathrm T$ bei $\theta=90^\circ$ zur stromorientierten Normalen erfährt $\tau=0{,}10\,\mathrm{N\,m}$ .

Anwendungsgebiete

Gleichstrommotoren und magnetische Dipole quantitativ beschreiben.

Rechenbeispiel: Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule (τ = N|I|AB sinθ).

1
Aufgabe
100 gleichartige Windungen mit je 0,010 m² führen 0,20 A. Das homogene äußere Feld beträgt 0,50 T; die stromorientierte Normale steht senkrecht zum Feld. Berechne den Momentbetrag.
Rechenweg
Ansatz: $\tau=N|I|AB\sin\theta$ ; bei $\theta=90^\circ$ folgt $\tau=0{,}10\,\mathrm{N\,m}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Gegenüberliegende Leiterkräfte können sich als Gesamtkraft aufheben und trotzdem eine Schleife drehen. Der entscheidende Winkel liegt zwischen ihrer stromorientierten Flächennormalen und dem Feld. Wir verfolgen das Kräftepaar, berechnen eine endliche Drehung und unterscheiden einen ausgerichteten Dipol von einem dauerhaft laufenden Motor.

Welcher Winkel und welche Windungsfläche bestimmen das Spulendrehmoment?

Ein Draht kann gedrückt werden; eine ganze Schleife kann sich drehen. Im homogenen Magnetfeld heben sich die Kräfte auf gegenüberliegenden Seiten insgesamt auf. Weil sie an verschiedenen Stellen angreifen, können sie trotzdem eine Drehwirkung erzeugen. Das heißt Drehmoment. Entscheidend ist, wie die Schleifenfläche zum Feld steht. Die Normale ist ein gedachter Pfeil senkrecht zur Fläche; der Stromumlaufsinn legt fest, welche ihrer beiden Richtungen positiv ist.[1]

\begin{aligned}\vec\mu&=NIA\hat{\vec n}\\\vec\tau&=\vec\mu\times\vec B\\|\vec\tau|&=N|I|AB\sin\theta\end{aligned}

Gleichartige ebene Windungen im homogenen äußeren Feld. Hier ist $I\ge0$ der Strombetrag; die Normale folgt der rechten Hand zum tatsächlichen konventionellen Umlaufsinn. Bei einer signierten Stromkoordinate muss stattdessen eine feste Referenznormale verwendet werden.[1]

Die magnetische Dipolachse ist senkrecht zur Schleifenfläche. Schaust du von ihrer positiven Spitze auf die Schleife, läuft der positive Strom gegen den Uhrzeigersinn. Die Fläche ist die von einer Windung eingeschlossene Fläche, nicht Drahtquerschnitt oder gesamte Oberfläche aller Windungen. Der Windungsfaktor zählt deren gleich orientierte Beiträge. Bei unterschiedlichen Flächen oder Orientierungen addierst du stattdessen die einzelnen Momentvektoren. Eine Betragsangabe liefert keine Drehrichtung; dafür wird das Kreuzprodukt benötigt.[1]

Ein Kräftepaar liefert das Drehmoment

\begin{aligned}F&=|I|bB\\d_\perp&=a\sin\theta\\\tau&=Fd_\perp=|I|abB\sin\theta\\A&=ab\end{aligned}

Rechteck mit Seiten a und b; die b-Seiten bleiben quer zum Feld. $d_\perp$ ist der gesamte senkrechte Abstand ihrer Wirkungslinien.[2][1]

Die zwei entgegengesetzten Kräfte liegen an verschiedenen Seiten. Ihr Hebelarmabstand zählt insgesamt, nicht zweimal zusätzlich zur vollen Seitenlänge. Berechnest du um die Mitte, trägt jede Kraft mit dem halben Abstand bei; ihre Momente addieren sich zum selben Ergebnis. Das Kräftepaar besitzt null Gesamtkraft. Sein Drehmomentvektor ist daher unabhängig von einer Verschiebung des Bezugspunkts. Für ein gegebenes Lager zählt trotzdem nur die Komponente entlang der erlaubten Drehachse; die Größe des Gesamtvektors ist nicht automatisch das antreibende Achsmoment. Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter liefert dabei die einzelnen Beiträge des Kräftepaars.[1]

Warum ist das Moment sowohl parallel als auch antiparallel null?

Drehmomentbetrag und Normalenwinkel

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Eigene Modellkurve zur Rechteckspule mit 25 Windungen: gezeigt ist der nichtnegative Betrag, nicht das signierte Achsmoment. Beide Nullstellen haben unterschiedliche Stabilität.[1]

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\begin{aligned}U(\theta)&=-\mu B\cos\theta\\\tau_\theta&=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm d\theta}=-\mu B\sin\theta\end{aligned}

$\mu=|\vec\mu|$ ist der feste Dipolbetrag; θ liegt zwischen dem tatsächlichen Dipolvektor und dem stationären homogenen Feld. Die zweite Zeile ist das signierte Moment zur Koordinate θ, nicht der nichtnegative Betrag.[1]

Parallel zum Feld hat der Dipol minimales Potential und null Moment. Eine kleine Auslenkung erzeugt ein rückstellendes Moment. Antiparallel ist das Moment ebenfalls null, das Potential aber maximal: Kleine Störungen führen von diesem Zustand weg. Ohne Dämpfung bedeutet das ausrichtende Moment nicht, dass die Schleife sofort ruhig parallel stehen bleibt; sie kann um die stabile Lage schwingen. Maximales Drehmoment tritt bei 90° zur Normalen auf, wenn die Schleifenfläche parallel zum Feld steht.[1]

Amperequadratmeter und ein Achsmoment

\begin{aligned}[\mu]&=\mathrm{A\,m^2}\\{}[\tau]&=\mathrm{N\,m}\\N&=\frac{\tau}{|I|AB\sin\theta}\\\tau_{\mathrm{axis}}&=\vec\tau\cdot\hat{\vec e}_{\mathrm{axis}}\end{aligned}

Drehmoment wird in N·m bezeichnet, trotz derselben Dimension wie Energie; die Windungszahl muss ganzzahlig realisierbar sein.[1]

Quadratzentimeter werden mit einem Faktor 10⁻⁴ in Quadratmeter umgerechnet. Eine runde Windung verlangt die Fläche aus ihrem Radius, nicht aus dem Drahtdurchmesser. Eine Umstellung aus dem Betrag funktioniert nur bei von null verschiedenem Strom, Feld, Fläche und Sinus. Bei einem Nullmoment ohne bekannte Orientierung lässt sich der Strom nicht eindeutig bestimmen. Für die Arbeit einer Drehung integrierst du das signierte Achsmoment über den Winkel in Radiant; der bloße Momentanbetrag mal ein beliebiger Winkel ersetzt diese Integration nicht. Das Drehmoment um eine festgelegte Achse bleibt deshalb von seinem Betrag zu unterscheiden, bevor daraus eine Arbeit bestimmt wird.[1]

Mit einem Gewicht den Winkel bestimmen

Gegeben: Eine gehaltene Spule besitzt den festen Dipolbetrag $\mu=0{,}0800\,\mathrm{A\,m^2}$ in homogenem $B=0{,}300\,\mathrm T$ . Ein über einen idealen Hebel mit konstantem senkrechten Arm $a=0{,}0400\,\mathrm m$ wirkendes Gewicht hat $m=0{,}0300\,\mathrm{kg}$ , $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ . Beide Momente wirken um dieselbe Achse, weitere Momente fehlen. Gesucht ist eine Orientierung im ersten Quadranten.
Gesucht: Bestimme den Winkel zur stromorientierten Normalen, bei dem sich die Momente aufheben.

Ansatz: Gleiche magnetisches Achsmoment und entgegenwirkendes Gewichtsmoment aus. Die erste-Quadrant-Vorgabe wählt einen der beiden möglichen Winkel.
$\mu B\sin\theta=mga$
Einsetzen: Zuerst den dimensionslosen Sinus bestimmen, dann den Winkel.
$\begin{aligned}\sin\theta&=\frac{(0.0300)(9.81)(0.0400)}{(0.0800)(0.300)}=0.4905\\\theta&=\arcsin(0.4905)\approx29.37^\circ\end{aligned}$

Ergebnis: Der Winkel beträgt etwa 29,4°. Der zugehörige Momentbetrag ist 11,772 mN·m.

Kontrolle: Kontrolle: Das benötigte Moment ist kleiner als $\mu B=24{,}0\,\mathrm{mN\,m}$ . Der zweite Winkel $150{,}63^\circ$ liegt außerhalb der Vorgabe. Ob ein reales Lager dort stabil ist, verlangt die gesamte Winkelabhängigkeit der Last; die Gleichgewichtsrechnung allein beweist keine Stabilität.

Beispiel: Fläche und Hebelarme kontrollieren

Eine geneigte Rechteckspule

Gegeben: 25 gleichartige Windungen mit $a=0{,}120\,\mathrm m$ und $b=0{,}0800\,\mathrm m$ ; Strom 0,300 A, homogenes äußeres Feld 0,400 T, Winkel zur stromorientierten Normalen 60°. Die b-Seiten stehen quer zum Feld.
Gesucht: Bestimme Dipolbetrag und Drehmoment; prüfe über das Kräftepaar.

Ansatz: Zuerst die Fläche einer Windung bilden, dann Moment und Kreuzproduktbetrag bestimmen.
$\begin{aligned}A&=ab\\\mu&=NIA\\\tau&=\mu B\sin\theta\end{aligned}$
Einsetzen: Jede Windung hat 0,00960 m² Fläche.
$\begin{aligned}\mu&=(25)(0.300)(0.00960)\,\mathrm{A\,m^2}=0.0720\,\mathrm{A\,m^2}\\\tau&=(0.0720)(0.400)\sin60^\circ\,\mathrm{N\,m}\\&\approx0.0249415\,\mathrm{N\,m}\end{aligned}$

Ergebnis: Dipolbetrag 0,0720 A·m²; Drehmomentbetrag etwa 24,9 mN·m.

Kontrolle: Das Kräftepaar besitzt je Seite $NIbB=0{,}240\,\mathrm N$ . Sein Hebelarmabstand ist $a\sin60^\circ\approx0{,}103923\,\mathrm m$ ; deren Produkt liefert dasselbe Moment. Der maximale Betrag bei 90° wäre 28,8 mN·m.

Beispiel: Arbeit über einen endlichen Winkel

Ausrichten ohne konstantes Drehmoment

Gegeben: Fester magnetischer Dipolbetrag 0,120 A·m² in homogenem stationärem Feld 0,250 T. θ sinkt von 120° auf 30°. Strom und Geometrie bleiben geregelt konstant; betrachtet wird die effektive mechanische Dipolpotentialänderung.
Gesucht: Berechne Potentialänderung und Arbeit des magnetischen Moments.

Ansatz: Für den festen Dipol ist Arbeit gleich negativer Änderung seines Orientierungspotentials.
$\begin{aligned}\Delta U&=-\mu B(\cos\theta_f-\cos\theta_i)\\W_{\mathrm{mag}}&=-\Delta U\end{aligned}$
Einsetzen: Die Winkelabhängigkeit bleibt während der ganzen Drehung erhalten.
$\begin{aligned}\Delta U&=-(0.120)(0.250)(\cos30^\circ-\cos120^\circ)\,\mathrm J\\&\approx-0.0409808\,\mathrm J\\W_{\mathrm{mag}}&\approx+0.0409808\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Das Orientierungspotential sinkt um 40,98 mJ; das magnetische Drehmoment leistet entsprechend positive Arbeit.

Kontrolle: Das Integral des signierten Moments von $\frac{2\pi}{3}$ bis $\frac\pi6$ liefert dieselbe Arbeit. Der volle Unterschied zwischen antiparallel und parallel beträgt $2\mu B=60{,}0\,\mathrm{mJ}$ , also mehr. Versorgung, Eigenfeldenergie und Reibung werden dadurch nicht als vollständige Motorbilanz beschrieben.

Warum Ausrichtung allein keinen Dauermotor ergibt

Eine Schleife mit konstantem Strom in unverändertem Feld besitzt ein ausrichtendes, winkelabhängiges Moment. Eine vollständige Drehung kehrt zum gleichen Orientierungspotential zurück; sie liefert keine unbegrenzte mechanische Energie. Ein Motor hält den gewünschten Drehsinn durch passende Kommutierung oder zeitlich gesteuerte Felder aufrecht. Stromquelle, Gegen-EMK, Belastung und Verluste gehören dann in die Bilanz. Dass das Drehmoment zeitweise null ist, bedeutet nicht, dass eine bereits bewegte Schleife in diesem Moment ebenfalls stehen muss.[1]

Bei inhomogenem Feld können eine Nettokraft und ein anders verteiltes Drehmoment auftreten. Große, nicht ebene oder unterschiedlich orientierte Windungen erfordern die Summe ihrer tatsächlichen Beiträge. Ein Eisenkern verändert außerdem das Feld und die Materialantwort; bloß die Luftspulenfläche mit einem beliebigen Verstärkungsfaktor zu multiplizieren ersetzt das Feldmodell nicht. Das Dipolmodell in einem homogenen äußeren Feld bleibt ein klarer Ausgangspunkt, aber keine universelle Aussage über jedes Spulenlager oder jeden Elektromotor.[1]

Fünf Aufgaben: Winkel, Achse und mehrere Momente

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

30 Windungen mit je 20,0 cm², $I=0{,}200\,\mathrm A$ , $B=0{,}500\,\mathrm T$ und Winkel zur Normalen 30°. Bestimme das Drehmoment.

Hinweis anzeigen

Die Umrechnung betrifft eine Fläche, keine Länge.

Lernziel: Fläche und Drehmomentbetrag in SI bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\tau=N|I|AB\sin\theta$ .
Die Fläche ist 0,00200 m².
Die Betragsform liefert 3,00 mN·m.

Kontrolle: Bei 90° wären es 6,00 mN·m.

\tau=(30)(0.200)(0.00200)(0.500)\sin30^\circ\,\mathrm{N\,m}=0.00300\,\mathrm{N\,m}

[1]

Umstellen · Anwenden

Mindestens 0,0120 N·m sind bei $I=0{,}400\,\mathrm A$ , $A=0{,}00300\,\mathrm{m^2}$ , $B=0{,}500\,\mathrm T$ und $\theta=60^\circ$ erforderlich. Wie viele gleichartige Windungen genügen im Modell?

Hinweis anzeigen

Erst den reellen Zielwert berechnen, dann nach oben runden.

Lernziel: Windungszahl für einen Mindestbetrag auslegen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $N_{\min}=\left\lceil\frac{\tau_{\min}}{|I|AB\sin\theta}\right\rceil$ .
Umstellen ergibt etwa 23,094 Windungen; nötig sind 24.

Kontrolle: 23 Windungen liefern nur 11,951 mN·m, 24 dagegen 12,471 mN·m.

\begin{aligned}N_{\min}&=\left\lceil\frac{0.0120}{(0.400)(0.00300)(0.500)\sin60^\circ}\right\rceil\\&=24\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Ein fester Dipol in homogenem Feld steht einmal parallel und einmal antiparallel. Beide Momentbeträge sind null. Sind beide Orientierungen stabil? Begründe mit Potential und kleiner Auslenkung.

Hinweis anzeigen

Null Ableitung kann Minimum oder Maximum bedeuten.

Lernziel: Stabile und instabile Nullmomente trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $U(\theta)=-\mu B\cos\theta$ .
Parallel liegt das Minimum, antiparallel das Maximum des Orientierungspotentials.
Parallel ist stabil; eine kleine Abweichung wird zurückgedreht.
Antiparallel ist instabil und eine kleine Störung wächst zunächst.

Kontrolle: Ohne Dämpfung wird damit kein sofortiges Zur-Ruhe-Kommen behauptet.

\begin{aligned}U(0)&=-\mu B\\U(\pi)&=+\mu B\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Feld schließt mit der Schleifenebene 20° ein. Eine Lösung setzt $\sin20^\circ$ in den Drehmomentbetrag ein. Korrigiere den Winkel und bestimme das Verhältnis richtiger zu falschem Betrag.

Hinweis anzeigen

Die Flächennormale steht senkrecht zur Ebene.

Lernziel: Winkel zur Fläche in Normalenwinkel übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\theta=90^\circ-\beta$ .
Der passende Normalenwinkel ist 70°, daher zählt $\cos20^\circ$ statt $\sin20^\circ$ .
Der richtige Betrag ist etwa 2,747-mal so groß.

Kontrolle: Bei Feld parallel zur Ebene muss das Drehmoment maximal sein, nicht null.

\frac{\tau_{\mathrm{right}}}{\tau_{\mathrm{wrong}}}=\frac{\sin70^\circ}{\sin20^\circ}\approx2.74748

[1]

Transfer · Vertiefen

Zwei am selben starren Träger befestigte Schleifen besitzen $\mu_1=0{,}0200\,\mathrm{A\,m^2}$ nach +x und $\mu_2=0{,}0300\,\mathrm{A\,m^2}$ nach +y. Homogenes Feld 0,400 T nach +z. Bestimme Gesamtdrehmomentvektor, Betrag und Komponente entlang einer erlaubten +x-Drehachse.

Hinweis anzeigen

Das Kreuzprodukt verteilt sich über die Summe; das Lager zählt nur eine Komponente.

Lernziel: Momentvektoren mehrerer Schleifen addieren und auf eine Achse projizieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\vec\tau=(\vec\mu_1+\vec\mu_2)\times\vec B$ .
Die x-orientierte Schleife liefert −y-Moment, die y-orientierte liefert +x-Moment.
Gesamtvektor (0,0120;−0,00800;0) N·m, Betrag 14,422 mN·m; das +x-Achsmoment ist +12,0 mN·m.

Kontrolle: Gesamtdrehmomentbetrag und Achsmoment sind verschieden.

\begin{aligned}\vec\tau&=(\vec\mu_1+\vec\mu_2)\times\vec B\\&=(0.0120\hat{\vec x}-0.00800\hat{\vec y})\,\mathrm{N\,m}\\|\vec\tau|&=\sqrt{0.0120^2+0.00800^2}\,\mathrm{N\,m}\end{aligned}

[1]

Was du mitnehmen solltest

Die Fläche einer Windung und ihr Stromumlaufsinn bestimmen den Dipolvektor. Der Winkel zur Normalen bestimmt den Momentbetrag; das Kreuzprodukt bestimmt die Richtung. Null Gesamtkraft schließt ein Drehmoment nicht aus. Für ein Lager zählt die erlaubte Achskomponente, für Arbeit eine endliche Drehung.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Kräftepaar, Normalenwinkel und Achsprojektion erläutert; zwei eigene Beispiele mit Arbeitsbilanz und fünf unterschiedliche DE/EN-Aufgaben verfasst.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernweg überarbeitet, ein drittes Modellbeispiel und quantitative Grafik ergänzt; bestehende Aufgaben, Voraussetzungen und Formelsatz geprüft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/drehmoment-stromschleife

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule

Was beschreibt das Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule?+

Eine stromdurchflossene Schleife besitzt ein magnetisches Dipolmoment $\vec\mu=NIA\hat{\vec n}$ . Seine Richtung folgt der rechten Hand zum konventionellen Strom. Im homogenen äußeren Feld erzeugt $\vec\tau=\vec\mu\times\vec B$ ein ausrichtendes Moment. Gegenüberliegende Leiterkräfte können sich dabei als Gesamtkraft aufheben, obwohl ihr Kräftepaar die Schleife dreht. Der Winkel der Betragsform gehört zwischen Normalen und Feld, nicht zwischen Fläche und Feld. Bei einem festen Lager muss das Drehmoment zusätzlich auf die erlaubte Achse projiziert werden. Eine Flächenangabe bezieht sich auf eine Windung; bei unterschiedlichen Windungen addierst du die einzelnen Momentvektoren statt ungeprüft mit einer gemeinsamen Fläche zu multiplizieren.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule?+

Lege zuerst die positive Normale mit dem Stromumlaufsinn fest und bestimme ihren Winkel zum Feld. Rechne Flächen in Quadratmeter um und verwende die Fläche einer Windung. Das vorhandene Beispiel mit hundert Windungen, 0,20 Ampere, 0,010 Quadratmeter und 0,50 Tesla liefert bei neunzig Grad $0{,}10\,\mathrm{N\,m}$ . Dieser Wert ist zugleich der maximale Betrag für diese Eingaben. Bei sechzig Grad muss das Ergebnis kleiner sein. Prüfe den Richtungspfeil über das Kreuzprodukt und gegebenenfalls die Achsprojektion. Eine Kontrolle über zwei gegenüberliegende Leiterkräfte benutzt den gesamten Abstand ihrer Wirkungslinien, nicht zweimal diesen Abstand. Null Gesamtkraft ist dabei mit einem nichtnullen Drehmoment vereinbar.

Welche Annahmen und Grenzen hat das Drehmomentmodell einer stromdurchflossenen Spule?+

Die kurze Betragsform setzt gleichartige ebene Windungen in einem homogenen äußeren Feld voraus. Die stromorientierte Normale legt den Dipolvektor und damit den Winkel fest. Bei unterschiedlichen Flächen oder Ausrichtungen summierst du die tatsächlichen Momentvektoren. Bei räumlich veränderlichem Feld können eine Nettokraft und eine andere Drehmomentverteilung entstehen; dann genügt eine gemeinsame Feldzahl nicht. Die Formel liefert außerdem nicht automatisch das Moment entlang eines beliebigen Lagers. Dafür benötigst du die Projektion auf die erlaubte Drehachse. Eisenkerne, Rückwirkung auf das Feld und veränderliche Ströme verlangen gegebenenfalls ein erweitertes Modell. Das einfache Schleifenmodell beschreibt deshalb eine klar definierte Wechselwirkung und keinen vollständigen Motorbetrieb.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule?+

Das Dipolmoment besitzt die Einheit $\mathrm{A\,m^2}$ . Multipliziert mit Tesla ergibt es $\mathrm{N\,m}$ , die übliche Drehmomenteinheit. Obwohl diese Dimension auch zur Energie passt, wird ein Moment nicht als geleistete Arbeit bezeichnet. Arbeit benötigt zusätzlich die Drehung und das Integral des signierten Achsmoments über den Winkel. Zwanzig Quadratzentimeter entsprechen $0{,}00200\,\mathrm{m^2}$ ; ein linearer Zentimeterfaktor wäre falsch. Als Größenkontrolle darf der Momentbetrag im homogenen Modell $N|I|AB$ nicht übersteigen. Bei parallel oder antiparallel stehender Normalen ist er null. Einheitenkontrolle erkennt jedoch weder den Winkel zur Ebene statt zur Normalen noch eine falsch bestimmte Lagerachse.

Wann kombiniere ich das Spulendrehmoment mit einer weiteren Beziehung?+

Für eine Drehbewegung ergänzt du das elektromagnetische Moment durch die mechanische Momentenbilanz und die passende Trägheitsbeschreibung. Das gesamte Vektormoment darf nicht ohne Achsenprüfung als skalares Antriebsmoment verwendet werden. Bei festem Dipolbetrag im stationären Feld erklärt $U=-\vec\mu\cdot\vec B$ die stabile parallele und instabile antiparallele Lage. Eine endliche Arbeitsrechnung folgt aus dieser Potentialänderung oder dem Momentenintegral. Dauernde Motorrotation benötigt dagegen passende Stromumkehr oder gesteuerte Felder und eine elektrische Energiebilanz. Gegen-EMK, Versorgung und Verluste gehören dann dazu. Ein konstantes ausrichtendes Momentmodell liefert nicht unbegrenzt Energie und sagt ohne Dämpfung auch kein sofortiges ruhiges Einrasten voraus.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du τ = N|I|AB sinθ nach Windungszahl um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei τ = N|I|AB sinθ?

Antwort in deinem Set

+ 8 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 11 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §11.5: Force and Torque on a Current Loop

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta