Physik · Elektrostatik / Feldtheorie

Gaußsches Gesetz für das elektrische Feld

Q: Was sagt das Gaußsche Gesetz über das elektrische Feld aus?

Das Gesetz verknüpft den gesamten elektrischen Fluss durch eine geschlossene Fläche mit der algebraischen Nettoladung im Inneren. Dabei zählt die nach außen gerichtete Normalkomponente des vollständigen Feldes. Eingeschlossene positive und negative Ladungen werden mit Vorzeichen addiert. Auch äußere Ladungen können das Feld auf der Fläche beeinflussen, tragen aber keinen Nettofluss zur gesamten geschlossenen Oberfläche bei. Für 2 nC eingeschlossene Ladung ergibt sich im Vakuum ungefähr 226 N·m²/C. Dieser eine Integralwert bestimmt noch nicht jeden örtlichen Feldvektor. Dazu brauchst du zusätzliche Symmetrie, Randbedingungen oder eine vollständige Lösung der Feldgleichungen.

Q: Wann hilft mir das Gaußsche Gesetz, ein elektrisches Feld zu berechnen?

Eine Feldberechnung wird besonders einfach, wenn die Quellen und Randbedingungen genügend Symmetrie besitzen. Bei einer einzelnen Punktladung im Vakuum ist das Feld auf einer zentrierten Kugel radial und sein Betrag überall gleich. Der Fluss ist deshalb die signierte radiale Komponente mal Kugelfläche: $\Phi_E=E_r\,4\pi r^2$. Daraus folgt das Coulomb-Feld, für eine negative Ladung mit negativem $E_r$. Bei einer gleichmäßig geladenen Kugel muss innen nur die bis zum gewählten Radius eingeschlossene Ladung eingesetzt werden. Ein beliebig gewählter Würfel hat diese Feldkonstanz nicht. Das Gaußgesetz gilt dort weiterhin, erlaubt aber nicht, den Gesamtfluss ohne Begründung durch eine Fläche zu teilen und einen lokalen Feldwert zu behaupten.

Q: Warum muss die Gaußfläche geschlossen sein?

Eine geschlossene Fläche bildet die vollständige Grenze eines Volumens und trennt innen von außen. Nur dann ist die eingeschlossene Ladung eindeutig definiert und jede nach außen gerichtete Flussbilanz vollständig. Eine offene Fläche kann durchaus elektrischen Fluss haben, doch dieser hängt von ihrer Lage und Orientierung ab und ist nicht allein durch eine Ladung hinter ihr bestimmt. Stelle dir ein homogenes Feld durch einen ladungsfreien Würfel vor: Durch eine Seite tritt Fluss ein, durch die gegenüberliegende gleich viel aus. Erst die Summe über alle Seiten ergibt null. Die Gaußfläche bleibt dabei eine gedachte Rechenfläche, keine zusätzliche Metallhülle.

Q: Wie rechne ich den Fluss einer Kugel um eine Punktladung aus?

Wähle die Kugel so, dass die Punktladung im Mittelpunkt liegt und keine Ladung auf der Rechenfläche sitzt. Das radiale Feld hat überall denselben Betrag. Bei positiver Ladung ist es parallel, bei negativer Ladung entgegen der äußeren Normalen gerichtet. Für eine positive Ladung ist der Fluss positiv, für eine negative negativ. Feldbetrag und Kugelfläche besitzen gegenläufige Radiusabhängigkeiten, die sich im Produkt aufheben. Bei 1 nC ergibt jeder solche Kugelradius ungefähr 112,94 N·m²/C. Verdoppelst du den Radius, vervierfacht sich die Fläche und der Feldbetrag sinkt auf ein Viertel. Weitere äußere Ladungen können die lokale Symmetrie zerstören, ohne den eingeschlossenen Gesamtfluss zu ändern.

Q: Bedeutet ein Gesamtfluss von null, dass das elektrische Feld überall null ist?

Nein. Null Gesamtfluss bedeutet nur, dass sich ein- und austretende Normalanteile über die gesamte geschlossene Fläche ausgleichen. Ein homogenes äußeres Feld durch einen ladungsfreien Würfel ist ein einfaches Gegenbeispiel: Das Feld ist überall ungleich null, aber gegenüberliegende Seiten liefern entgegengesetzte Flüsse. Auch eingeschlossene gleich große positive und negative Ladungen haben Nettoladung null und können dennoch ein räumlich veränderliches Feld erzeugen. Um daraus tatsächlich ein Nullfeld abzuleiten, braucht man weitere physikalische Voraussetzungen. Im Inneren eines Leiters im elektrostatischen Gleichgewicht ist das Feld beispielsweise null; diese Aussage folgt zusätzlich aus dem Gleichgewicht beweglicher Ladungen.

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt nur von der insgesamt eingeschlossenen Ladung ab. Bei hoher Symmetrie lässt sich damit das elektrische Feld besonders einfach bestimmen.

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Formel

Berechnen

\oint_{\partial V} E \cdot d A = \frac{Q _{innen}}{ε _{0}}

E in N/C · Fläche in m² · Q in C · elektrischer Fluss in N·m²/C

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$E$	Elektrisches Feld auf der geschlossenen Oberfläche	N/C
$dA$	Nach außen gerichtetes Flächenelement	m²
$Q_{\mathrm{innen}}$	Algebraische Summe der eingeschlossenen Ladungen	C
$ε₀$	Elektrische Feldkonstante im Vakuum	C²/(N·m²)

LaTeX

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

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Gedachte Gaußfläche als Würfel im nach rechts gerichteten homogenen Feld. Links tritt Fluss ein, rechts aus; eingeschlossene Ladung und Nettofluss sind null. — Eine geschlossene gedachte Würfelfläche im homogenen äußeren Feld schließt keine Ladung ein. Die Flüsse durch gegenüberliegende Seiten heben sich auf; das Feld selbst ist nicht null.

Elektrischen Fluss nach Gauß berechnen

Elektrischen Gesamtfluss durch eine geschlossene Fläche aus der eingeschlossenen Ladung ausrechnen oder umgekehrt, im Vakuum.

Gesucht

Eingeschlossene Nettoladung Q

Summe der Ladungen in der Hülle mit Vorzeichen, z. B. +3 nC und −2 nC ergeben 1 nC; außen zählt nichts.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ΦE, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ΦE umstellen
$\Phi_E=\frac{Q}{\varepsilon_0}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- Q = 1 nC = 1 · 10⁻⁹ C
$\Phi_E=\frac{1\times10^{-9}}{8{,}85419\times10^{-12}}=112{,}941$
3. Ergebnis
ΦE = 112,9 N·m²/C

Mit ε₀ ≈ 8,8541878188·10⁻¹² F/m (CODATA 2022, NIST; Messunsicherheit 1,4·10⁻²¹ F/m); k = 1/(4πε₀). Konstante und angezeigtes Ergebnis sind Näherungen.

Ergebnis: Elektrischer Gesamtfluss ΦE

ΦE = 112,9 N·m²/C

Mit Q = 1 nC ergibt sich ΦE = 112,9 N·m²/C.

So rechnest du schneller

Form und Größe der Hülle spielen keine Rolle, nur die eingeschlossene Nettoladung zählt. Ladungen außerhalb liefern zusammen den Fluss null.
Überschlag: 1/ε₀ ≈ 1,13 · 10¹¹ N·m²/C². Jedes Nanocoulomb in der Hülle liefert also rund 113 N·m²/C Fluss.

Annahmen und Grenzen

Gaußsches Gesetz im Vakuum: orientierter Gesamtfluss durch eine geschlossene Fläche aus ihrer eingeschlossenen Nettoladung. Es wird kein lokales elektrisches Feld aus dem Fluss abgeleitet; dafür sind Geometrie und Symmetrie nötig.

Herleitung & Hintergrund

Der Fluss $\Phi_E=\oint\mathbf E\cdot d\mathbf A$ verknüpft die gesamte geschlossene Oberfläche mit der eingeschlossenen Nettoladung. Äußere Quellen beeinflussen das lokale Feld, aber nicht den Nettofluss. Für einen lokalen Feldwert ist zusätzliche Symmetrie erforderlich. In Materie bleibt die E-Feld-Form mit Gesamtladung aus freien und gebundenen Ladungen gültig. Die makroskopische D-Feld-Form verwendet dagegen freie Ladung; bei einem linearen isotropen Material gilt $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$ .

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Die elektrische Gaußbilanz gilt für geschlossene Flächen auch ohne Symmetrie. Das E-Feld verwendet eingeschlossene Gesamtladung, frei plus gebunden; eine D-Feld-Bilanz verwendet freie Ladung. Ladungen auf der Rechenfläche vermeiden.

Herleitung in Schritten

Das Coulomb-Feld und sein orientierter Raumwinkel begründen die geschlossene Flussbilanz; Symmetrie ist eine zusätzliche Hilfe.

1Wähle die vollständige geschlossene Grenze eines Volumens und richte ihre Normalen nach außen.
2Der Fluss integriert nur die Normalkomponente des vollständigen elektrischen Feldes.
3Für eine Punktquelle ist ein kleiner Flussbeitrag proportional zum orientierten Raumwinkel der Fläche.
4Eine eingeschlossene Quelle besitzt insgesamt Raumwinkel 4π; eine äußere Quelle liefert Gesamtbeitrag null.
5Mit der linearen Feldüberlagerung summieren sich eingeschlossene Ladungen algebraisch einschließlich ihrer Vorzeichen.
6So ergibt sich $\Phi_E=\frac{Q_{\mathrm{tot,in}}}{\varepsilon_0}$ ; im Material zählen freie und gebundene Ladung.
7Erst zusätzliche Kugel-, Zylinder- oder Ebenensymmetrie erlaubt, einen lokalen Feldwert aus dem Integral zu gewinnen.

Umstellen

Elektrischen Fluss bestimmen

\Phi_E=\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Die Fläche muss geschlossen sein; dA zeigt nach außen.

Feld einer zentrischen Punktladung

E_r(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}

Eine einzelne Mittelpunktladung im Vakuum, r>0, ohne weitere Quellen. Für $q<0$ ist Er negativ; der Betrag ist |Er|.

Aufgabenvariante

Eine Kugelfläche mit r=0,10 m umschließt als einzige Quelle eine Punktladung q=+2,0 nC im Mittelpunkt, Vakuum. Bestimme Gesamtfluss sowie Feldbetrag und -richtung an der Oberfläche.

Ansatz: $\Phi_E=\frac q{\varepsilon_0}$ .
Die Mittelpunktannahme erlaubt zusätzlich $E_r4\pi r^2=\Phi_E$ .
Damit $\Phi_E\approx225{,}882\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}$ und $E_r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\approx1797{,}51\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ , radial nach außen.

Kontrolle: Feld mal Kugelfläche reproduziert den Fluss. Ohne Mittelpunktannahme wäre nur der Gesamtfluss festgelegt.

Typische Fehler

Aus einem Gesamtfluss von null schließen, das Feld sei überall null, oder eine offene Fläche einsetzen.

Das Gesetz zählt den Nettofluss durch eine geschlossene Fläche. Ein- und austretende Feldlinien können sich aufheben, obwohl E lokal ungleich null ist.

Klausurkontext

Bachelor-Elektrostatik: Kugel-, Zylinder- und Ebenensymmetrie, Leiter im Gleichgewicht und Flussargumente.

Formelcluster

Elektrisches Feld und Fluss

Gauß verbindet das Coulomb-Feld mit einer globalen Flussbilanz und vereinfacht symmetrische Feldaufgaben.

F = ke·|q₁q₂|/r²

Coulombsches Gesetz

E⃗ = F⃗el/q; Ehom = |U|/d

Elektrische Feldstärke

C = Q/U

Kapazität eines Kondensators

Rechenbeispiel

Eine Kugelfläche umschließt $q=2{,}0\,\mathrm{nC}$ : $\Phi_E=\frac q{\varepsilon_0}\approx226\,\mathrm{N\,m^2/C}$ . Bei einer einzigen Mittelpunktladung im Vakuum und $r=0{,}10\,\mathrm m$ folgt $E=\frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0r^2}\approx1{,}80\,\mathrm{kN/C}$ .

Anwendungsgebiete

Elektrische Felder kugel-, zylinder- und ebenensymmetrischer Ladungsverteilungen, Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht und Übergang zur Maxwell-Theorie

Rechenbeispiel: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik (∮ E·dA = Q_innen / ε₀).

1
Aufgabe
Eine Kugelfläche mit r=0,10 m umschließt als einzige Quelle eine Punktladung q=+2,0 nC im Mittelpunkt, Vakuum. Bestimme Gesamtfluss sowie Feldbetrag und -richtung an der Oberfläche.
Rechenweg
1. Ansatz: $\Phi_E=\frac q{\varepsilon_0}$ .
2. Die Mittelpunktannahme erlaubt zusätzlich $E_r4\pi r^2=\Phi_E$ .
3. Damit $\Phi_E\approx225{,}882\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}$ und $E_r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\approx1797{,}51\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ , radial nach außen.
Kontrolle: Feld mal Kugelfläche reproduziert den Fluss. Ohne Mittelpunktannahme wäre nur der Gesamtfluss festgelegt.

Die Formel verstehen und anwenden

Wie viel elektrischer Fluss insgesamt aus einem geschlossenen Volumen austritt, hängt von seiner eingeschlossenen Nettoladung ab. Das Gaußsche Gesetz bilanziert die gesamte Hülle. Einen Feldwert an einem einzelnen Ort bekommst du daraus erst, wenn die Quellenanordnung zusätzlich passende Symmetrie besitzt.

Eine Hülle um die Ladungen denken

Zeichne gedanklich eine geschlossene Hülle um einige Ladungen. An manchen Stellen zeigt das elektrische Feld nach außen, an anderen vielleicht nach innen oder entlang der Fläche. Der Fluss zählt die nach außen gerichtete Normalkomponente positiv und die nach innen gerichtete negativ. Du musst alle Flächenstücke mitnehmen. Die Bilanz hängt von der eingeschlossenen positiven minus negativen Ladung ab; ein einzelnes Flächenstück genügt dafür nicht.[1]

Vorwissen: Elektrische Feldstärke ist ein Vektor. Das Skalarprodukt mit der nach außen gerichteten Flächennormale wählt ihre Normalkomponente.
Eine Gaußfläche wird nur zur Rechnung gewählt. Sie fügt keinen Leiter hinzu und verändert das ursprüngliche Feld nicht.
Trenne die Frage nach dem Gesamtfluss von der Frage nach dem lokalen Feld. Das Gesetz beantwortet die erste ohne Symmetrie.

[1]

Was besagt das Gaußsche Gesetz und welche Einheit hat der Fluss?

Der elektrische Gesamtfluss durch eine geschlossene Fläche ist die eingeschlossene Nettoladung geteilt durch $\varepsilon_0$ . Verwende das vollständige Feld und die nach außen gerichtete Normale. Der elektrische Fluss hat die Einheit $\mathrm{N\,m^2/C}$ ; er ist keine magnetische Flussgröße.[1]

\Phi_E=\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,dA=\frac{Q_{\mathrm{tot,in}}}{\varepsilon_0}

Die Normale zeigt nach außen; eingeschlossene positive und negative Ladungen werden algebraisch summiert.[1]

Die Gaußfläche ist eine Rechenfläche, keine zusätzliche leitende Hülle. Das Feld im Integral ist das vollständige Feld auf ihr, auch wenn ein Teil von äußeren Ladungen stammt. Solche äußeren Quellen beeinflussen lokale Feldwerte, liefern aber keinen Nettobeitrag zum Fluss durch die gesamte geschlossene Fläche. Null eingeschlossene Nettoladung bedeutet daher null Gesamtfluss, nicht notwendigerweise null Feld.[1]

Wie berechnet man den elektrischen Fluss durch eine Fläche?

d\Phi_E=E\cos\theta\,dA

θ ist der Winkel zwischen dem lokalen Feld und der nach außen gerichteten Normalen, nicht zwischen Feld und Fläche.[1]

Ein nach außen gerichteter Beitrag ist positiv, ein nach innen gerichteter negativ und ein tangentialer null. Nur wenn die passende Normalprojektion über einen Flächenteil konstant ist, wird dessen Integral zum Produkt aus Projektion und Fläche. Ein offenes Messrechteck kann durchaus Feldfluss haben; dieser ist aber nicht automatisch $\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}$ , weil seine offene Fläche kein abgeschlossenes Inneres besitzt.[1]

Vertiefung anzeigen: Raumwinkel und lokale Form

\begin{aligned}d\Phi_E&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\Omega\\\oint d\Omega&=4\pi\quad(\mathbf r_q\in V)\end{aligned}

Für eine Punktquelle verbindet die signierte Raumwinkelprojektion das inverse Quadrat mit der Flächenskalierung.[1]

Das Coulombsche Gesetz liefert das hier verwendete Punktladungsfeld. Für eine Ladung im Mittelpunkt einer Kugelfläche ist die Kontrolle direkt: $E_r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ , Fläche $4\pi r^2$ und Normalprojektion 1 ergeben $\frac q{\varepsilon_0}$ . Allgemeiner zählt die orientierte Raumwinkelbilanz einer geschlossenen Fläche 4π für eine eingeschlossene Punktquelle und 0 für eine äußere. Die Vektorüberlagerung summiert alle Quellenbeiträge. Dies begründet das Gesetz innerhalb des Coulomb-Modells; es ist keine allein aus der Flussdefinition bewiesene universelle Naturtatsache. Ladungen direkt auf der gewählten Fläche werden für diese einfache Quellenzählung vermieden.[1]

\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho_{\mathrm{tot}}}{\varepsilon_0}

Die lokale Form folgt aus dem Divergenzsatz für geeignete glatte Felder; idealisierte Punktquellen verlangen eine distributionelle Interpretation.[1]

Wie wählt man eine Gaußfläche für die Feldberechnung?

Eine günstige Fläche allein erzeugt noch keine Symmetrie. Prüfe zuerst die Ladungsverteilung und weitere Quellen. Erst wenn diese beispielsweise kugelsymmetrisch sind, ist das radiale Feld auf einer konzentrischen Kugel überall gleich. Sonst bleibt der Fluss bestimmbar, aber du darfst das veränderliche Feld nicht als einen gemeinsamen Wert vor das Integral ziehen.[2]

Kugelsymmetrie um einen Mittelpunkt liefert ein radiales Feld mit gleichem Betrag auf jeder konzentrischen Kugel. Das elektrische Feld einer unendlichen Linienladung hat Zylindersymmetrie: Es liefert einen radialen Mantelbeitrag, während der Fluss durch die Stirnflächen null ist. Dort liegt das Feld tangential zur Fläche; sein Betrag muss nicht null sein. Ebenensymmetrie einer ideal unendlichen Platte liefert ein normales Feld auf beiden Seiten. Eine hübsch gezeichnete Kugelfläche allein macht eine beliebige Ladungsverteilung jedoch nicht kugelsymmetrisch.[2]

\begin{aligned}E_r(r)\,4\pi r^2&=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{\varepsilon_0}\\E_r(r)&=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\end{aligned}

$E_r$ ist hier eine signierte radiale Komponente. Die eingeschlossene Ladung kann vom Radius abhängen.[2]

Innenfeld einer gleichmäßig geladenen isolierenden Kugel

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Für die negative Kugelladung des zweiten Beispiels ist das Feld nach innen gerichtet. Mit dem Kugelradius R und dem positiven Oberflächenbetrag als Skala bleibt der Verlauf übersichtlich. Die Ladung sitzt gleichmäßig im Volumen; eine leitende Kugel im Gleichgewicht hätte ein anderes Innenfeld.[2]

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Kugel und Würfel: Ladung, Feld und Fluss unterscheiden

Keine eingeschlossene Nettoladung bedeutet nicht zwingend kein Feld: Das dritte Beispiel zeigt ein homogenes Feld mit einander aufhebenden Flussbeiträgen. Die geladene Kugel im zweiten Beispiel ist isolierend mit fester Volumenladung; für einen Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht gilt ein anderes inneres Feldmodell.[1][2]

Fluss durch einen Würfel ohne Feldsymmetrie

Gegeben: Ein Würfel mit Seitenlänge 0,120 m umschließt zwei feste Punktladungen +3,00 nC und −0,500 nC an verschiedenen inneren Positionen. Keine Ladung liegt auf einer Fläche; äußere Quellen dürfen vorhanden sein. Vakuummodell.
Gesucht: Bestimme Gesamtfluss und sage, ob damit E auf jeder Würfelseite bekannt ist.

Ansatz: Für den Gesamtfluss genügt die algebraische eingeschlossene Ladung; die Würfelform liefert ohne Symmetrie keine lokalen Feldwerte.
$\begin{aligned}Q_{\mathrm{in}}&=\sum_iq_i\\\Phi_E&=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}\end{aligned}$
Alle inneren Quellen mit Vorzeichen summieren.
$Q_{\mathrm{in}}=(3.00-0.500)\,\mathrm{nC}=2.50\times10^{-9}\,\mathrm C$
Der Gesamtfluss ist unabhängig von Würfelform und Seitenlänge.
$\Phi_E=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}\approx282.35227\,\mathrm{N\,m^2/C}$

Ergebnis: $\Phi_E$ ≈282,352 N·m²/C. Ohne zusätzliche Symmetrie bestimmt dies keine lokale Feldverteilung oder gleich großen Fluss durch alle sechs Seiten.

Kontrolle: Eine größere geschlossene Fläche mit denselben eingeschlossenen Ladungen hat denselben Gesamtfluss. Feldbeiträge äußerer Quellen ändern diese Summe nicht, obwohl sie die Verteilung über einzelne Seiten verändern können.

Homogen geladene isolierende Modellkugel

Gegeben: Eine nichtleitende Kugel hat feste homogene Volumenladungsdichte, Radius $R=0{,}0800\,\mathrm m$ und Gesamtladung $Q=-6{,}00\,\mathrm{nC}$ . Vakuumumgebung; keine weiteren Quellen. Gesucht sind die Felder bei $r=0{,}0400\,\mathrm m$ und $r=0{,}160\,\mathrm m$ .
Gesucht: Bestimme eingeschlossene Ladung und signierte radiale Felder.

Ansatz: Homogene feste Volumenladung und Kugelsymmetrie erlauben zuerst die eingeschlossene Ladung und dann die signierte radiale Feldkomponente.
$\begin{aligned}Q_{\mathrm{in}}(r<R)&=Q\left(\frac rR\right)^3\\E_r(r)&=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\end{aligned}$
Innen wächst die eingeschlossene Ladung mit dem Kugelvolumen.
$\begin{aligned}Q_{\mathrm{in}}(r)&=Q\left(\frac rR\right)^3\\Q_{\mathrm{in}}(0.0400\,\mathrm m)&=-0.750\,\mathrm{nC}\end{aligned}$
Die innere Gausslösung ist proportional zum Radius.
$\begin{aligned}E_r(r<R)&=\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\\E_r(0.0400\,\mathrm m)&\approx-4212.915\,\mathrm{N/C}\end{aligned}$
Außen ist die gesamte Ladung eingeschlossen.
$\begin{aligned}E_r(r\ge R)&=\frac Q{4\pi\varepsilon_0r^2}\\E_r(0.160\,\mathrm m)&\approx-2106.457\,\mathrm{N/C}\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Felder zeigen zum Mittelpunkt. Innen bei halbem Radius ist nur ein Achtel der Ladung eingeschlossen; außen gilt das inverse Quadrat.

Kontrolle: Bei $r=R$ liefern beide Formen denselben Wert von rund −8425,8298 N/C. Innen ergibt $E_r\,4\pi r^2=\frac{-0{,}750\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}$ . Eine leitende Gleichgewichtskugel wäre ein anderes Modell: Ihr Innenfeld wäre null.

Fluss ohne eingeschlossene Ladung

Gegeben: Ein Würfel mit Kantenlänge 4,00 cm liegt in einem überall homogenen Feld $E=250\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ nach +x. Er enthält keine Ladung; seine Flächen stehen senkrecht zu den Koordinatenachsen.
Gesucht: Berechne die Flüsse durch die rechte und linke Fläche und durch die gesamte Hülle.

Ansatz: Auf jeder ebenen Fläche gilt $\Phi=EA\cos\theta$ . Die äußeren Normalen der beiden x-Flächen sind entgegengesetzt.
$\begin{aligned}\Phi_{+x}&=+EA\\\Phi_{-x}&=-EA\\\Phi_{\mathrm{other}}&=0\\\Phi_{\mathrm{closed}}&=\Phi_{+x}+\Phi_{-x}=0\end{aligned}$
Einsetzen: Erst die Kantenlänge in Meter umrechnen, dann quadrieren.
$\begin{aligned}A&=(0.0400\,\mathrm m)^2=0.00160\,\mathrm{m^2}\\\Phi_{+x}&=250(0.00160)\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}=+0.400\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}\\\Phi_{-x}&=-0.400\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Nettofluss ist null, obwohl das Feld überall 250 N/C beträgt. Die vier übrigen Flächen tragen null bei, weil das Feld dort tangential ist.

Kontrolle: Gauß liefert unabhängig $\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}=0$ . Der gleich große Eintritts- und Austrittsfluss bestätigt die Bilanz; er beweist kein verschwindendes Feld.

Welche Ladung gehört zu E und welche zu D?

Für das tatsächliche elektrische Feld E steht im Gaußgesetz die gesamte eingeschlossene Ladung, also freie und gebundene. Die Vakuumkonstante $\varepsilon_0$ wird nicht pauschal durch $\varepsilon_r\varepsilon_0$ ersetzt, während weiterhin dieselbe Gesamtladung eingesetzt wird. In einer makroskopischen Materialbeschreibung erfüllt das Verschiebungsfeld D die Flussbilanz für freie Ladung. Nur bei passender linearer isotroper Materialbeziehung gilt $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$ .[4][6]

Im Inneren eines Leitermaterials im elektrostatischen Gleichgewicht ist $\mathbf E=\mathbf0$ . Eine darin liegende Gaußfläche hat darum keine eingeschlossene Nettoladung. Das bedeutet nicht, dass jede räumliche Region eines Leiters ladungsfrei wäre: Überschussladungen können auf Oberflächen sitzen, und Hohlräume können eigene Quellen enthalten. Die homogene isolierende Kugel des Beispiels darf nicht mit einem beweglichen Elektronengas im Leiter verwechselt werden.[2]

Fünf Fluss- und Symmetrieaufgaben

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine geschlossene Fläche umschließt +4,00 nC und −7,00 nC. Bestimme den Gesamtfluss.

Hinweis anzeigen

Nettoladung algebraisch, nicht nach Beträgen addieren.

Lernziel: Eingeschlossene Nettoladung in Gesamtfluss umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Alle eingeschlossenen Ladungen algebraisch addieren, nicht ihre Beträge.
$\Phi_E=\frac{Q_++Q_-}{\varepsilon_0}$ $Q_{\mathrm{in}}$ =−3,00 nC.
$\Phi_E$ ≈−338,823 N·m²/C.
Das negative Vorzeichen ist ein Nettofluss nach innen.

Kontrolle: $\varepsilon_0\Phi_E=-3.00\,\mathrm{nC}$ .

\Phi_E=\frac{-3.00\times10^{-9}\,\mathrm C}{\varepsilon_0}\approx-338.823\,\mathrm{N\,m^2/C}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine positive Mittelpunktladung +1,00 nC liegt in zwei konzentrischen Kugelflächen mit Radien 0,0500 m und 0,100 m. Vergleiche Felder und Gesamtflüsse.

Hinweis anzeigen

Feld skaliert mit $\frac1{r^2}$ ; Gesamtfluss zählt Ladung.

Lernziel: Radiusabhängiges Feld von radiusunabhängigem Gesamtfluss trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Die positive Punktladung sitzt im gemeinsamen Mittelpunkt; damit ist das Feld radial.
$\begin{aligned}E(r)&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\\Phi_E&=\frac q{\varepsilon_0}\end{aligned}$ Der Feldbetrag der größeren Kugel ist ein Viertel.
Beide Flüsse betragen ≈112,941 N·m²/C.
Feld und Fluss sind verschiedene Größen.

Kontrolle: $E_1\approx3595.02\,\mathrm{N\,C^{-1}},\quad E_2\approx898.755\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ .

\begin{aligned}\frac{E_2}{E_1}&=\frac14\\\Phi_2&=\Phi_1\end{aligned}

[2]

Interpretieren · Anwenden

Ein homogenes äußeres Feld zeigt durch einen leeren Würfel nach +x. Ist E wegen $Q_{\mathrm{in}}$ =0 null?

Hinweis anzeigen

Vergleiche Ein- und Austrittsflächen.

Lernziel: Null Gesamtfluss trotz nichtverschwindendem Feld erklären.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Äußere Flächennormalen verwenden; sie zeigen auf den beiden x-Flächen entgegengesetzt.
$\Phi_E=\sum_{\mathrm{faces}}\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,A$ Nein.
Die beiden x-Flächen liefern −EA und +EA; die übrigen vier haben tangentiales Feld und Fluss 0.
Der Gesamtfluss ist 0 bei nichtverschwindendem Feld.

\Phi_E=-EA+EA=0

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine Kugelfläche umschließt genau eine Punktladung q. Sie wird vom Kugelmittelpunkt zu einem anderen inneren Punkt verschoben, ohne die Fläche zu überschreiten. Vergleiche Gesamtfluss vorher/nachher. Darf das Feld weiterhin als überall gleich groß und normal zur Kugel eingesetzt werden?

Hinweis anzeigen

Gauß zählt die eingeschlossene Ladung; das Herausziehen von E verlangt zusätzliche Symmetrie.

Lernziel: Flussinvarianz ohne gleichförmiges Oberflächenfeld erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die eingeschlossene Ladung bleibt q, somit bleibt der Gesamtfluss $\frac q{\varepsilon_0}$ .
Außerhalb der Mitte sind Abstände und Winkel jedoch ortsabhängig; E·4πR² mit einem einzigen Feldbetrag ist nicht mehr gerechtfertigt.

Kontrolle: Die Ladung hat die Fläche nicht gekreuzt und die Flussbilanz bleibt gültig. Einzelne Flächenbereiche können andere Beiträge erhalten, während sich die Summe nicht ändert.

\Phi_E^{\mathrm{before}}=\Phi_E^{\mathrm{after}}=\frac q{\varepsilon_0},\qquad\Phi_E=\oint\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,dA

[1][2]

Fehleranalyse · Vertiefen

Eine geschlossene Rechenfläche enthält +2,00 nC freie und −0,50 nC gebundene Nettoladung. Eine Lösung verwendet für ∮E·dA allein $\frac{2{,}00\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}$ . Korrigiere mit ε₀=8,8541878·10⁻¹² F/m. Es wird E-Fluss, nicht D-Fluss gesucht.

Hinweis anzeigen

Im elektrischen Gaußgesetz mit ε₀ steht die gesamte eingeschlossene Ladung.

Lernziel: Gesamtladung in der E-Flussbilanz von freier Ladung unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $Q_{\mathrm{tot}}=Q_{\mathrm{free}}+Q_{\mathrm{bound}}=1{,}50\,\mathrm{nC}$ .
Der E-Fluss ist ungefähr 169,411 N·m²/C, nicht 225,882 N·m²/C.

Kontrolle: $\Phi_E\varepsilon_0$ gibt 1,50 nC zurück. Die Bilanz des Verschiebungsfelds D zählt dagegen freie Ladung; ihre Größe und Einheit dürfen nicht mit E-Fluss gleichgesetzt werden. Diese Nettoladungsangaben bestimmen den Gesamtfluss, aber ohne Symmetrie kein lokales Oberflächenfeld.

\begin{aligned}Q_{\mathrm{tot}}&=Q_{\mathrm{free}}+Q_{\mathrm{bound}}=1.50\,\mathrm{nC}\\\Phi_E&=\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{\varepsilon_0}\\&=\frac{1.50\cdot10^{-9}\,\mathrm C}{8.8541878\cdot10^{-12}\,\mathrm{F/m}}\\&\approx169.411\,\mathrm{N\,m^2/C}\end{aligned}

[1][4]

Elektrisches und magnetisches Gaußgesetz abgrenzen

Auch bei unsymmetrischen oder zeitabhängigen Quellen bleibt die elektrische Gaußbilanz ein Maxwellgesetz; statische Symmetrien liefern nicht automatisch eine zeitabhängige Lösung. Eine eingeschlossene Ladung von 2,0 nC ergibt $\Phi_E=\frac{2{,}0\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}\approx226\,\mathrm{N\,m^2/C}$ . Für die einzige Mittelpunktladung folgt bei 0,10 m ein Feldbetrag von ungefähr 1,80 kN/C. Endliche asymmetrische Systeme benötigen zusätzlich Quellengeometrie, Randbedingungen oder eine Feldlösung; der Nettowert darf nicht gleichmäßig auf eine beliebige Oberfläche verteilt werden. Die Maxwell-Gleichungen in Integralform ergänzen die elektrische Quellenbilanz um die magnetische: Der Nettofluss von $\mathbf B$ durch eine geschlossene Fläche ist null. Das bedeutet auch dort nicht, dass das Feld überall null wäre.[1][2][7]

Das solltest du mitnehmen

Ein geschlossener Fluss zählt eingeschlossene Nettoladung; äußere Quellen können trotzdem das lokale Feld verändern.
Null Nettofluss bedeutet nicht null Feld. Ein- und Austrittsbeiträge können sich aufheben.
Zum Berechnen des örtlichen Feldes braucht die Ladungsanordnung zusätzliche Symmetrie. Im E-Feld zählt freie plus gebundene Ladung.

[1][2][4]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Gesamtfluss, Einheiten und Symmetrie präzisiert; verschwindenden Stirnflächenfluss von verschwindendem Feld abgegrenzt und vorhandene Beispiele sowie Links zu Linienladung, Coulomb und Maxwell erschlossen.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

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Quanta. Gaußsches Gesetz der Elektrostatik. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/gauss-gesetz-elektrisches-feld

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Was sagt das Gaußsche Gesetz über das elektrische Feld aus?+

Das Gesetz verknüpft den gesamten elektrischen Fluss durch eine geschlossene Fläche mit der algebraischen Nettoladung im Inneren. Dabei zählt die nach außen gerichtete Normalkomponente des vollständigen Feldes. Eingeschlossene positive und negative Ladungen werden mit Vorzeichen addiert. Auch äußere Ladungen können das Feld auf der Fläche beeinflussen, tragen aber keinen Nettofluss zur gesamten geschlossenen Oberfläche bei. Für 2 nC eingeschlossene Ladung ergibt sich im Vakuum ungefähr 226 N·m²/C. Dieser eine Integralwert bestimmt noch nicht jeden örtlichen Feldvektor. Dazu brauchst du zusätzliche Symmetrie, Randbedingungen oder eine vollständige Lösung der Feldgleichungen.

Wann hilft mir das Gaußsche Gesetz, ein elektrisches Feld zu berechnen?+

Eine Feldberechnung wird besonders einfach, wenn die Quellen und Randbedingungen genügend Symmetrie besitzen. Bei einer einzelnen Punktladung im Vakuum ist das Feld auf einer zentrierten Kugel radial und sein Betrag überall gleich. Der Fluss ist deshalb die signierte radiale Komponente mal Kugelfläche: $\Phi_E=E_r\,4\pi r^2$ . Daraus folgt das Coulomb-Feld, für eine negative Ladung mit negativem $E_r$ . Bei einer gleichmäßig geladenen Kugel muss innen nur die bis zum gewählten Radius eingeschlossene Ladung eingesetzt werden. Ein beliebig gewählter Würfel hat diese Feldkonstanz nicht. Das Gaußgesetz gilt dort weiterhin, erlaubt aber nicht, den Gesamtfluss ohne Begründung durch eine Fläche zu teilen und einen lokalen Feldwert zu behaupten.

Warum muss die Gaußfläche geschlossen sein?+

Eine geschlossene Fläche bildet die vollständige Grenze eines Volumens und trennt innen von außen. Nur dann ist die eingeschlossene Ladung eindeutig definiert und jede nach außen gerichtete Flussbilanz vollständig. Eine offene Fläche kann durchaus elektrischen Fluss haben, doch dieser hängt von ihrer Lage und Orientierung ab und ist nicht allein durch eine Ladung hinter ihr bestimmt. Stelle dir ein homogenes Feld durch einen ladungsfreien Würfel vor: Durch eine Seite tritt Fluss ein, durch die gegenüberliegende gleich viel aus. Erst die Summe über alle Seiten ergibt null. Die Gaußfläche bleibt dabei eine gedachte Rechenfläche, keine zusätzliche Metallhülle.

Wie rechne ich den Fluss einer Kugel um eine Punktladung aus?+

Wähle die Kugel so, dass die Punktladung im Mittelpunkt liegt und keine Ladung auf der Rechenfläche sitzt. Das radiale Feld hat überall denselben Betrag. Bei positiver Ladung ist es parallel, bei negativer Ladung entgegen der äußeren Normalen gerichtet. Für eine positive Ladung ist der Fluss positiv, für eine negative negativ. Feldbetrag und Kugelfläche besitzen gegenläufige Radiusabhängigkeiten, die sich im Produkt aufheben. Bei 1 nC ergibt jeder solche Kugelradius ungefähr 112,94 N·m²/C. Verdoppelst du den Radius, vervierfacht sich die Fläche und der Feldbetrag sinkt auf ein Viertel. Weitere äußere Ladungen können die lokale Symmetrie zerstören, ohne den eingeschlossenen Gesamtfluss zu ändern.

Bedeutet ein Gesamtfluss von null, dass das elektrische Feld überall null ist?+

Nein. Null Gesamtfluss bedeutet nur, dass sich ein- und austretende Normalanteile über die gesamte geschlossene Fläche ausgleichen. Ein homogenes äußeres Feld durch einen ladungsfreien Würfel ist ein einfaches Gegenbeispiel: Das Feld ist überall ungleich null, aber gegenüberliegende Seiten liefern entgegengesetzte Flüsse. Auch eingeschlossene gleich große positive und negative Ladungen haben Nettoladung null und können dennoch ein räumlich veränderliches Feld erzeugen. Um daraus tatsächlich ein Nullfeld abzuleiten, braucht man weitere physikalische Voraussetzungen. Im Inneren eines Leiters im elektrostatischen Gleichgewicht ist das Feld beispielsweise null; diese Aussage folgt zusätzlich aus dem Gleichgewicht beweglicher Ladungen.

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Wie stellst du ∮ E·dA = Q_innen / ε₀ nach Elektrischen Fluss bestimmen um?

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Welcher typische Fehler passiert bei ∮ E·dA = Q_innen / ε₀?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]Ling, S. J., Sanny, J., & Moebs, W. University Physics Volume 2, §6.2: Explaining Gauss’s Law. OpenStax.

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

P = U \cdot I

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Gaußsches Gesetz für das elektrische Feld

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Symbol

Bedeutung

Einheit

E

Elektrisches Feld auf der geschlossenen Oberfläche

N/C

dA

Nach außen gerichtetes Flächenelement

m²

Q_{\mathrm{innen}}

Algebraische Summe der eingeschlossenen Ladungen

ε₀

Elektrische Feldkonstante im Vakuum

C²/(N·m²)

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Das Coulomb-Feld und sein orientierter Raumwinkel begründen die geschlossene Flussbilanz; Symmetrie ist eine zusätzliche Hilfe.

1Wähle die vollständige geschlossene Grenze eines Volumens und richte ihre Normalen nach außen.
2Der Fluss integriert nur die Normalkomponente des vollständigen elektrischen Feldes.
3Für eine Punktquelle ist ein kleiner Flussbeitrag proportional zum orientierten Raumwinkel der Fläche.
4Eine eingeschlossene Quelle besitzt insgesamt Raumwinkel 4π; eine äußere Quelle liefert Gesamtbeitrag null.
5Mit der linearen Feldüberlagerung summieren sich eingeschlossene Ladungen algebraisch einschließlich ihrer Vorzeichen.
6So ergibt sich $\Phi_E=\frac{Q_{\mathrm{tot,in}}}{\varepsilon_0}$ ; im Material zählen freie und gebundene Ladung.
7Erst zusätzliche Kugel-, Zylinder- oder Ebenensymmetrie erlaubt, einen lokalen Feldwert aus dem Integral zu gewinnen.

Rechenbeispiel: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik (∮ E·dA = Q_innen / ε₀).

Aufgabe

Eine Kugelfläche mit r=0,10 m umschließt als einzige Quelle eine Punktladung q=+2,0 nC im Mittelpunkt, Vakuum. Bestimme Gesamtfluss sowie Feldbetrag und -richtung an der Oberfläche.

Rechenweg

Ansatz: $\Phi_E=\frac q{\varepsilon_0}$ .
Die Mittelpunktannahme erlaubt zusätzlich $E_r4\pi r^2=\Phi_E$ .
Damit $\Phi_E\approx225{,}882\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}$ und $E_r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\approx1797{,}51\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ , radial nach außen.

Kontrolle: Feld mal Kugelfläche reproduziert den Fluss. Ohne Mittelpunktannahme wäre nur der Gesamtfluss festgelegt.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Hülle um die Ladungen denken

Vorwissen: Elektrische Feldstärke ist ein Vektor. Das Skalarprodukt mit der nach außen gerichteten Flächennormale wählt ihre Normalkomponente.
Eine Gaußfläche wird nur zur Rechnung gewählt. Sie fügt keinen Leiter hinzu und verändert das ursprüngliche Feld nicht.
Trenne die Frage nach dem Gesamtfluss von der Frage nach dem lokalen Feld. Das Gesetz beantwortet die erste ohne Symmetrie.

[1]

Was besagt das Gaußsche Gesetz und welche Einheit hat der Fluss?

\Phi_E=\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,dA=\frac{Q_{\mathrm{tot,in}}}{\varepsilon_0}

Die Normale zeigt nach außen; eingeschlossene positive und negative Ladungen werden algebraisch summiert.[1]

Wie berechnet man den elektrischen Fluss durch eine Fläche?

d\Phi_E=E\cos\theta\,dA

θ ist der Winkel zwischen dem lokalen Feld und der nach außen gerichteten Normalen, nicht zwischen Feld und Fläche.[1]

Vertiefung anzeigen: Raumwinkel und lokale Form

\begin{aligned}d\Phi_E&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\Omega\\\oint d\Omega&=4\pi\quad(\mathbf r_q\in V)\end{aligned}

Für eine Punktquelle verbindet die signierte Raumwinkelprojektion das inverse Quadrat mit der Flächenskalierung.[1]

\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho_{\mathrm{tot}}}{\varepsilon_0}

Die lokale Form folgt aus dem Divergenzsatz für geeignete glatte Felder; idealisierte Punktquellen verlangen eine distributionelle Interpretation.[1]

Wie wählt man eine Gaußfläche für die Feldberechnung?

\begin{aligned}E_r(r)\,4\pi r^2&=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{\varepsilon_0}\\E_r(r)&=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\end{aligned}

$E_r$ ist hier eine signierte radiale Komponente. Die eingeschlossene Ladung kann vom Radius abhängen.[2]

Innenfeld einer gleichmäßig geladenen isolierenden Kugel

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Kugel und Würfel: Ladung, Feld und Fluss unterscheiden

Fluss durch einen Würfel ohne Feldsymmetrie

Gegeben: Ein Würfel mit Seitenlänge 0,120 m umschließt zwei feste Punktladungen +3,00 nC und −0,500 nC an verschiedenen inneren Positionen. Keine Ladung liegt auf einer Fläche; äußere Quellen dürfen vorhanden sein. Vakuummodell.
Gesucht: Bestimme Gesamtfluss und sage, ob damit E auf jeder Würfelseite bekannt ist.

Ansatz: Für den Gesamtfluss genügt die algebraische eingeschlossene Ladung; die Würfelform liefert ohne Symmetrie keine lokalen Feldwerte.
$\begin{aligned}Q_{\mathrm{in}}&=\sum_iq_i\\\Phi_E&=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}\end{aligned}$
Alle inneren Quellen mit Vorzeichen summieren.
$Q_{\mathrm{in}}=(3.00-0.500)\,\mathrm{nC}=2.50\times10^{-9}\,\mathrm C$
Der Gesamtfluss ist unabhängig von Würfelform und Seitenlänge.
$\Phi_E=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}\approx282.35227\,\mathrm{N\,m^2/C}$

Ergebnis: $\Phi_E$ ≈282,352 N·m²/C. Ohne zusätzliche Symmetrie bestimmt dies keine lokale Feldverteilung oder gleich großen Fluss durch alle sechs Seiten.

Homogen geladene isolierende Modellkugel

Gegeben: Eine nichtleitende Kugel hat feste homogene Volumenladungsdichte, Radius $R=0{,}0800\,\mathrm m$ und Gesamtladung $Q=-6{,}00\,\mathrm{nC}$ . Vakuumumgebung; keine weiteren Quellen. Gesucht sind die Felder bei $r=0{,}0400\,\mathrm m$ und $r=0{,}160\,\mathrm m$ .
Gesucht: Bestimme eingeschlossene Ladung und signierte radiale Felder.

Ansatz: Homogene feste Volumenladung und Kugelsymmetrie erlauben zuerst die eingeschlossene Ladung und dann die signierte radiale Feldkomponente.
$\begin{aligned}Q_{\mathrm{in}}(r<R)&=Q\left(\frac rR\right)^3\\E_r(r)&=\frac{Q_{\mathrm{in}}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\end{aligned}$
Innen wächst die eingeschlossene Ladung mit dem Kugelvolumen.
$\begin{aligned}Q_{\mathrm{in}}(r)&=Q\left(\frac rR\right)^3\\Q_{\mathrm{in}}(0.0400\,\mathrm m)&=-0.750\,\mathrm{nC}\end{aligned}$
Die innere Gausslösung ist proportional zum Radius.
$\begin{aligned}E_r(r<R)&=\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\\E_r(0.0400\,\mathrm m)&\approx-4212.915\,\mathrm{N/C}\end{aligned}$
Außen ist die gesamte Ladung eingeschlossen.
$\begin{aligned}E_r(r\ge R)&=\frac Q{4\pi\varepsilon_0r^2}\\E_r(0.160\,\mathrm m)&\approx-2106.457\,\mathrm{N/C}\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Felder zeigen zum Mittelpunkt. Innen bei halbem Radius ist nur ein Achtel der Ladung eingeschlossen; außen gilt das inverse Quadrat.

Fluss ohne eingeschlossene Ladung

Gegeben: Ein Würfel mit Kantenlänge 4,00 cm liegt in einem überall homogenen Feld $E=250\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ nach +x. Er enthält keine Ladung; seine Flächen stehen senkrecht zu den Koordinatenachsen.
Gesucht: Berechne die Flüsse durch die rechte und linke Fläche und durch die gesamte Hülle.

Ansatz: Auf jeder ebenen Fläche gilt $\Phi=EA\cos\theta$ . Die äußeren Normalen der beiden x-Flächen sind entgegengesetzt.
$\begin{aligned}\Phi_{+x}&=+EA\\\Phi_{-x}&=-EA\\\Phi_{\mathrm{other}}&=0\\\Phi_{\mathrm{closed}}&=\Phi_{+x}+\Phi_{-x}=0\end{aligned}$
Einsetzen: Erst die Kantenlänge in Meter umrechnen, dann quadrieren.
$\begin{aligned}A&=(0.0400\,\mathrm m)^2=0.00160\,\mathrm{m^2}\\\Phi_{+x}&=250(0.00160)\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}=+0.400\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}\\\Phi_{-x}&=-0.400\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Nettofluss ist null, obwohl das Feld überall 250 N/C beträgt. Die vier übrigen Flächen tragen null bei, weil das Feld dort tangential ist.

Kontrolle: Gauß liefert unabhängig $\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}=0$ . Der gleich große Eintritts- und Austrittsfluss bestätigt die Bilanz; er beweist kein verschwindendes Feld.

Welche Ladung gehört zu E und welche zu D?

Fünf Fluss- und Symmetrieaufgaben

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine geschlossene Fläche umschließt +4,00 nC und −7,00 nC. Bestimme den Gesamtfluss.

Hinweis anzeigen

Nettoladung algebraisch, nicht nach Beträgen addieren.

Lernziel: Eingeschlossene Nettoladung in Gesamtfluss umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Alle eingeschlossenen Ladungen algebraisch addieren, nicht ihre Beträge.
$\Phi_E=\frac{Q_++Q_-}{\varepsilon_0}$ $Q_{\mathrm{in}}$ =−3,00 nC.
$\Phi_E$ ≈−338,823 N·m²/C.
Das negative Vorzeichen ist ein Nettofluss nach innen.

Kontrolle: $\varepsilon_0\Phi_E=-3.00\,\mathrm{nC}$ .

\Phi_E=\frac{-3.00\times10^{-9}\,\mathrm C}{\varepsilon_0}\approx-338.823\,\mathrm{N\,m^2/C}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine positive Mittelpunktladung +1,00 nC liegt in zwei konzentrischen Kugelflächen mit Radien 0,0500 m und 0,100 m. Vergleiche Felder und Gesamtflüsse.

Hinweis anzeigen

Feld skaliert mit $\frac1{r^2}$ ; Gesamtfluss zählt Ladung.

Lernziel: Radiusabhängiges Feld von radiusunabhängigem Gesamtfluss trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Die positive Punktladung sitzt im gemeinsamen Mittelpunkt; damit ist das Feld radial.
$\begin{aligned}E(r)&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\\Phi_E&=\frac q{\varepsilon_0}\end{aligned}$ Der Feldbetrag der größeren Kugel ist ein Viertel.
Beide Flüsse betragen ≈112,941 N·m²/C.
Feld und Fluss sind verschiedene Größen.

Kontrolle: $E_1\approx3595.02\,\mathrm{N\,C^{-1}},\quad E_2\approx898.755\,\mathrm{N\,C^{-1}}$ .

\begin{aligned}\frac{E_2}{E_1}&=\frac14\\\Phi_2&=\Phi_1\end{aligned}

[2]

Interpretieren · Anwenden

Ein homogenes äußeres Feld zeigt durch einen leeren Würfel nach +x. Ist E wegen $Q_{\mathrm{in}}$ =0 null?

Hinweis anzeigen

Vergleiche Ein- und Austrittsflächen.

Lernziel: Null Gesamtfluss trotz nichtverschwindendem Feld erklären.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Äußere Flächennormalen verwenden; sie zeigen auf den beiden x-Flächen entgegengesetzt.
$\Phi_E=\sum_{\mathrm{faces}}\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,A$ Nein.
Die beiden x-Flächen liefern −EA und +EA; die übrigen vier haben tangentiales Feld und Fluss 0.
Der Gesamtfluss ist 0 bei nichtverschwindendem Feld.

\Phi_E=-EA+EA=0

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine Kugelfläche umschließt genau eine Punktladung q. Sie wird vom Kugelmittelpunkt zu einem anderen inneren Punkt verschoben, ohne die Fläche zu überschreiten. Vergleiche Gesamtfluss vorher/nachher. Darf das Feld weiterhin als überall gleich groß und normal zur Kugel eingesetzt werden?

Hinweis anzeigen

Gauß zählt die eingeschlossene Ladung; das Herausziehen von E verlangt zusätzliche Symmetrie.

Lernziel: Flussinvarianz ohne gleichförmiges Oberflächenfeld erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die eingeschlossene Ladung bleibt q, somit bleibt der Gesamtfluss $\frac q{\varepsilon_0}$ .
Außerhalb der Mitte sind Abstände und Winkel jedoch ortsabhängig; E·4πR² mit einem einzigen Feldbetrag ist nicht mehr gerechtfertigt.

Kontrolle: Die Ladung hat die Fläche nicht gekreuzt und die Flussbilanz bleibt gültig. Einzelne Flächenbereiche können andere Beiträge erhalten, während sich die Summe nicht ändert.

\Phi_E^{\mathrm{before}}=\Phi_E^{\mathrm{after}}=\frac q{\varepsilon_0},\qquad\Phi_E=\oint\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,dA

[1][2]

Fehleranalyse · Vertiefen

Eine geschlossene Rechenfläche enthält +2,00 nC freie und −0,50 nC gebundene Nettoladung. Eine Lösung verwendet für ∮E·dA allein $\frac{2{,}00\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}$ . Korrigiere mit ε₀=8,8541878·10⁻¹² F/m. Es wird E-Fluss, nicht D-Fluss gesucht.

Hinweis anzeigen

Im elektrischen Gaußgesetz mit ε₀ steht die gesamte eingeschlossene Ladung.

Lernziel: Gesamtladung in der E-Flussbilanz von freier Ladung unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $Q_{\mathrm{tot}}=Q_{\mathrm{free}}+Q_{\mathrm{bound}}=1{,}50\,\mathrm{nC}$ .
Der E-Fluss ist ungefähr 169,411 N·m²/C, nicht 225,882 N·m²/C.

\begin{aligned}Q_{\mathrm{tot}}&=Q_{\mathrm{free}}+Q_{\mathrm{bound}}=1.50\,\mathrm{nC}\\\Phi_E&=\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{\varepsilon_0}\\&=\frac{1.50\cdot10^{-9}\,\mathrm C}{8.8541878\cdot10^{-12}\,\mathrm{F/m}}\\&\approx169.411\,\mathrm{N\,m^2/C}\end{aligned}

[1][4]

Elektrisches und magnetisches Gaußgesetz abgrenzen

Das solltest du mitnehmen

Ein geschlossener Fluss zählt eingeschlossene Nettoladung; äußere Quellen können trotzdem das lokale Feld verändern.
Null Nettofluss bedeutet nicht null Feld. Ein- und Austrittsbeiträge können sich aufheben.
Zum Berechnen des örtlichen Feldes braucht die Ladungsanordnung zusätzliche Symmetrie. Im E-Feld zählt freie plus gebundene Ladung.

[1][2][4]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Gesamtfluss, Einheiten und Symmetrie präzisiert; verschwindenden Stirnflächenfluss von verschwindendem Feld abgegrenzt und vorhandene Beispiele sowie Links zu Linienladung, Coulomb und Maxwell erschlossen.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Gaußsches Gesetz der Elektrostatik. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/gauss-gesetz-elektrisches-feld

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Was sagt das Gaußsche Gesetz über das elektrische Feld aus?+

Wann hilft mir das Gaußsche Gesetz, ein elektrisches Feld zu berechnen?+

Warum muss die Gaußfläche geschlossen sein?+

Wie rechne ich den Fluss einer Kugel um eine Punktladung aus?+

Bedeutet ein Gesamtfluss von null, dass das elektrische Feld überall null ist?+

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik prüfungssicher behalten

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Gaußsches Gesetz für das elektrische Feld

Variablen & Einheiten

Elektrischen Fluss nach Gauß berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

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Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Elektrisches Feld und Fluss

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Eine Hülle um die Ladungen denken

Was besagt das Gaußsche Gesetz und welche Einheit hat der Fluss?

Wie berechnet man den elektrischen Fluss durch eine Fläche?

Vertiefung anzeigen: Raumwinkel und lokale Form

Wie wählt man eine Gaußfläche für die Feldberechnung?

Innenfeld einer gleichmäßig geladenen isolierenden Kugel

Kugel und Würfel: Ladung, Feld und Fluss unterscheiden

Fluss durch einen Würfel ohne Feldsymmetrie

Homogen geladene isolierende Modellkugel

Fluss ohne eingeschlossene Ladung

Welche Ladung gehört zu E und welche zu D?

Fünf Fluss- und Symmetrieaufgaben

Eine geschlossene Fläche umschließt +4,00 nC und −7,00 nC. Bestimme den Gesamtfluss.

Eine positive Mittelpunktladung +1,00 nC liegt in zwei konzentrischen Kugelflächen mit Radien 0,0500 m und 0,100 m. Vergleiche Felder und Gesamtflüsse.

Ein homogenes äußeres Feld zeigt durch einen leeren Würfel nach +x. Ist E wegen QinQ_{\mathrm{in}}Qin​=0 null?

Eine Kugelfläche umschließt genau eine Punktladung q. Sie wird vom Kugelmittelpunkt zu einem anderen inneren Punkt verschoben, ohne die Fläche zu überschreiten. Vergleiche Gesamtfluss vorher/nachher. Darf das Feld weiterhin als überall gleich groß und normal zur Kugel eingesetzt werden?

Eine geschlossene Rechenfläche enthält +2,00 nC freie und −0,50 nC gebundene Nettoladung. Eine Lösung verwendet für ∮E·dA allein 2,00 nCε0\frac{2{,}00\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}ε0​2,00nC​. Korrigiere mit ε0=8,8541878·10−12 F/m. Es wird E-Fluss, nicht D-Fluss gesucht.

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Typische Fehler

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Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

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Eine Hülle um die Ladungen denken

Was besagt das Gaußsche Gesetz und welche Einheit hat der Fluss?

Wie berechnet man den elektrischen Fluss durch eine Fläche?

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Wie wählt man eine Gaußfläche für die Feldberechnung?

Innenfeld einer gleichmäßig geladenen isolierenden Kugel

Kugel und Würfel: Ladung, Feld und Fluss unterscheiden

Fluss durch einen Würfel ohne Feldsymmetrie

Homogen geladene isolierende Modellkugel

Fluss ohne eingeschlossene Ladung

Welche Ladung gehört zu E und welche zu D?

Fünf Fluss- und Symmetrieaufgaben

Eine geschlossene Fläche umschließt +4,00 nC und −7,00 nC. Bestimme den Gesamtfluss.

Eine positive Mittelpunktladung +1,00 nC liegt in zwei konzentrischen Kugelflächen mit Radien 0,0500 m und 0,100 m. Vergleiche Felder und Gesamtflüsse.

Ein homogenes äußeres Feld zeigt durch einen leeren Würfel nach +x. Ist E wegen QinQ_{\mathrm{in}}Qin​=0 null?

Eine Kugelfläche umschließt genau eine Punktladung q. Sie wird vom Kugelmittelpunkt zu einem anderen inneren Punkt verschoben, ohne die Fläche zu überschreiten. Vergleiche Gesamtfluss vorher/nachher. Darf das Feld weiterhin als überall gleich groß und normal zur Kugel eingesetzt werden?

Eine geschlossene Rechenfläche enthält +2,00 nC freie und −0,50 nC gebundene Nettoladung. Eine Lösung verwendet für ∮E·dA allein 2,00 nCε0\frac{2{,}00\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}ε0​2,00nC​. Korrigiere mit ε0=8,8541878·10−12 F/m. Es wird E-Fluss, nicht D-Fluss gesucht.

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Verwandte Formeln

Ein homogenes äußeres Feld zeigt durch einen leeren Würfel nach +x. Ist E wegen $Q_{\mathrm{in}}$ =0 null?

Eine geschlossene Rechenfläche enthält +2,00 nC freie und −0,50 nC gebundene Nettoladung. Eine Lösung verwendet für ∮E·dA allein $\frac{2{,}00\,\mathrm{nC}}{\varepsilon_0}$ . Korrigiere mit ε₀=8,8541878·10⁻¹² F/m. Es wird E-Fluss, nicht D-Fluss gesucht.

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