Physik · Kinetische Gastheorie

Gleichverteilungssatz (Äquipartition der Energie)

Q: Wie sieht eine geprüfte Zahlenrechnung aus?

Für $n=0{,}600\,\mathrm{mol}$, $T=360\,\mathrm K$ und konstantem $f=5$ ergibt $U=\frac52nRT\simeq4489{,}809814\,\mathrm J$. Die passende molare Wärmekapazität ist $C_{V,m}=\frac52R\simeq20{,}78615655\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$. Eine Erwärmung um 80 K im selben Modellbereich liefert $\Delta U=nC_{V,m}\Delta T\simeq997{,}7355142\,\mathrm J$. Im starren geschlossenen Gefäß ohne andere Arbeit und ohne äußere Energieänderung ist dies zugleich die Wärmezufuhr. Als unabhängige Kontrolle ergibt $\frac U{nT}$ denselben Cv,m-Wert; außerdem ist $\frac{\Delta U}{U}=\frac{80}{360}$. Wenn sich die thermische Aktivierung während der Erwärmung ändert, musst du eine passende temperaturabhängige Wärmekapazität integrieren. Eine korrekte Zahl allein beweist nicht, dass der Stoff den angenommenen $f=5$-Bereich einhält.

Im klassischen thermischen Gleichgewicht trägt jeder quadratische Freiheitsgrad im Mittel $\frac12k_{\mathrm B}T$ pro Teilchen zur Energie bei.

FortgeschrittenSekundarstufe IIBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

⟨ E ⟩ = \frac{f}{2} k_{B} T, U = \frac{f}{2} n RT

E und U in J; kB in J/K; T in K; n in mol; R in J/(mol·K); f ist dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
⟨E⟩	mittlere Energie pro Teilchen aus quadratischen Freiheitsgraden	J
$f$	Zahl aktiver quadratischer Freiheitsgrade	dimensionslos
$kB$	Boltzmann-Konstante	J/K
$T$	absolute Temperatur	K
$U$	innere Energie der betrachteten idealen Teilchenmenge	J
$n$	Stoffmenge	mol
$R$	universelle Gaskonstante	J/(mol·K)

LaTeX

\langle E\rangle=\frac{f}{2}k_BT,\quad U=\frac{f}{2}nRT

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Drei gestapelte Balken mit Gesamtwerten 1,5, 2,5 und 3,5 RT auf derselben Skala. Der letzte Modus hat getrennte kinetische und potentielle Halbanteile. — Klassische aktive Modellgrenzen pro Mol: drei Translationsterme ergeben 1,5 RT; zwei Rotationen ergänzen RT; ein harmonischer Modus ergänzt zwei halbe RT. Keine universelle Temperaturschwelle.

Energie nach dem Gleichverteilungssatz berechnen

Mittlere Energie pro Teilchen, thermische Energie einer Gasprobe oder molare Wärmekapazität aus der Zahl der Freiheitsgrade ausrechnen, klassisch gerechnet.

Rechenmodell

Gesucht

Freiheitsgrade f (quadratische Terme)

Zahl der Freiheitsgrade, z. B. 3 für ein einatomiges Gas wie Helium; eine Schwingung zählt doppelt.

Absolute Gleichgewichtstemperatur T

Absolute Temperatur, z. B. 300 K bei Raumtemperatur; °C wird in Kelvin umgerechnet.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ⟨E⟩, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ⟨E⟩ umstellen
$\langle E\rangle=\frac f2k_{\rm B}T$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$\frac{3\cdot 1{,}38065\times10^{-23}\cdot 300}2=6{,}21292\times10^{-21}$
3. Ergebnis
⟨E⟩ = 6,213 · 10⁻²¹ J

Ergebnis: Mittlere Energie pro Teilchen ⟨E⟩

⟨E⟩ = 6,213 · 10⁻²¹ J

Mit f = 3 und T = 300 K ergibt sich ⟨E⟩ = 6,213 · 10⁻²¹ J.

So rechnest du schneller

Jeder Freiheitsgrad bringt ½ kT pro Teilchen und ½ RT pro Mol: einatomige Gase haben f = 3, zweiatomige ohne Schwingung f = 5.
Einheitenprobe: kT ist eine Energie pro Teilchen, RT eine Energie pro Mol. Wer k und R verwechselt, liegt um den Faktor 6·10²³ daneben.

Annahmen und Grenzen

Klassisches thermisches Gleichgewicht mit einer ausdrücklich angegebenen konstanten Zahl unabhängiger aktiver quadratischer Energieterme. f zählt Terme, nicht Bewegungsnamen: eine harmonische Mode hat zwei. T>0 absolut; Quanten-Einfrieren, Anregung, Dissoziation und wechselnde Zusammensetzung ausgeschlossen. Keine automatische Stoff-/Temperaturzuordnung; drei Translationsterme gelten unabhängig von weiteren inneren Termen. Energie relativ zum Modellnullpunkt, gemeinsame Bewegung separat.

Herleitung & Hintergrund

Jeder unabhängige zugängliche klassische quadratische Energieterm besitzt im Gleichgewicht den Mittelwert $\frac12k_{\mathrm B}T$ . Translation zählt drei Impulsterme; ein voll klassischer harmonischer Modus zählt einen kinetischen und einen potentiellen Term. Für die ideale feste Probe gilt $U=\frac f2nRT$ zum gewählten Nullpunkt. Gemeinsame Bewegung und weitere Energiebeiträge bleiben getrennt. Nur konstantes $f$ liefert $C_{V,m}=\frac f2R$ . Quantenaktivierung hängt von Stoff und Temperatur ab und verläuft nicht als universelle scharfe Treppe.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Klassisches thermisches Gleichgewicht mit zugänglichen unabhängigen quadratischen Energieanteilen. $U=\frac f2nRT$ verwendet ideales festes Teilchenmodell, festen Nullpunkt und keine weiteren relevanten Beiträge. $C_{V,m}=\frac f2R$ verlangt konstantes f; Quantenaktivierung und wechselnde Zusammensetzung benötigen eine Erweiterung.

Herleitung in Schritten

Äquipartition zählt quadratische Energieterme: drei für Translation, zwei pro harmonischem Schwingungsmodus. Jeder klassisch aktive Term liefert $\frac12k_{\mathrm B}T$ . Dadurch werden Wärmekapazitätsgrenzen verständlich, ohne alle möglichen Bewegungen bei jeder Temperatur als aktiv anzunehmen.

1Lege klassische Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten und unabhängige zugängliche quadratische Energieterme fest.
2Für Energie $aq^2$ mit $a>0$ ist die Dichte proportional zu $e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}$ .
3Das normierte zweite Gaußmoment ergibt $\langle q^2\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{2a}$ .
4Multiplikation mit $a$ liefert $\langle aq^2\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T$ . Addiere die $f$ aktiven Beiträge.
5Mit $N=nN_{\mathrm A}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ folgt $U=\frac f2nRT$ zum festen Nullpunkt.
6Nur bei konstantem $f$ gilt $C_{V,m}=\frac f2R$ . Ein harmonischer Modus zählt zwei Terme; teilweise Quantenaktivierung braucht ein anderes Modell.

Umstellen

Energie pro Teilchen

\langle E\rangle=\frac f2k_{\mathrm B}T

f zählt aktive quadratische Freiheitsgrade.

Aufgabenvariante

Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K. Bestimme die thermische Energie der Probe und kontrolliere mit der Energie pro Teilchen; elektronische Anregungen sind vernachlässigt.

Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K: Ansatz $U=\frac32nRT$ .
Einsetzen ergibt etwa 3,74 kJ.
Pro Teilchen ist $\langle E\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T\simeq6{,}21\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ .
Multiplikation mit der Avogadro-Konstante rekonstruiert die molare Energie.

Typische Fehler

Einen harmonischen Schwingungsmodus nur als einen halben Energiebeitrag zählen.

Ein klassischer harmonischer Modus enthält einen kinetischen und einen potentiellen quadratischen Term; zusammen ist sein Mittelwert $k_{\mathrm B}T$ .

Klausurkontext

Aufgaben in Kinetische Gastheorie prüfen Formelwahl, Einheiten, Modellvoraussetzung und eine kurze Ergebnisprobe.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Verbindet gezählte aktive Energieterme mit innerer Energie und Wärmekapazität; reine Translation bleibt ein eigener Anteil.

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

U = 3/2 nRT

Innere Energie eines einatomigen idealen Gases

Q = m·c·ΔT

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

Rechenbeispiel

Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K: Ansatz $U=\frac32nRT$ . Einsetzen ergibt etwa 3,74 kJ. Pro Teilchen ist $\langle E\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T\simeq6{,}21\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . Multiplikation mit der Avogadro-Konstante rekonstruiert die molare Energie.

Anwendungsgebiete

Wärmekapazitäten und Temperaturabhängigkeit molekularer Freiheitsgrade erklären.

Rechenbeispiel: Äquipartition der Energie

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Äquipartition der Energie (⟨E⟩=f kBT/2; U=f nRT/2).

1
Aufgabe
Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K. Bestimme die thermische Energie der Probe und kontrolliere mit der Energie pro Teilchen; elektronische Anregungen sind vernachlässigt.
Rechenweg
1. Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K: Ansatz $U=\frac32nRT$ .
2. Einsetzen ergibt etwa 3,74 kJ.
3. Pro Teilchen ist $\langle E\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T\simeq6{,}21\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ .
4. Multiplikation mit der Avogadro-Konstante rekonstruiert die molare Energie.

Die Formel verstehen und anwenden

Ein Gasmolekül kann sich als Ganzes bewegen, rotieren und schwingen. Diese Bewegungen speichern Energie auf unterschiedliche Weise. Der Gleichverteilungssatz hilft, ihre mittleren klassischen Beiträge zu zählen: Jeder unabhängige quadratische Energieterm trägt $\frac12 k_{\mathrm B}T$ bei. Entscheidend ist also die Energieform, nicht allein die Zahl benannter Bewegungsarten. Du lernst, welche Beiträge ein Modell enthält und wann die daraus berechnete Wärmekapazität nicht mehr passt.

Energieanteile statt Bewegungsnamen zählen

\begin{aligned}\langle E\rangle&=\frac f2k_{\mathrm B}T\\U&=\frac f2nRT\end{aligned}

f zählt aktive unabhängige quadratische Terme, nicht die Geschwindigkeitsdichte f(v) eines anderen Artikels.[1]

Zähle in der Energieformel. Bewegung entlang einer Raumrichtung enthält $\frac{p_x^2}{2m}$ und liefert im Mittel $\frac12 k_{\mathrm B}T$ . Ein harmonischer Schwingungsmodus enthält dagegen zwei Terme: $\frac{p^2}{2m}$ und $\frac{\kappa q^2}{2}$ . Seine Bewegungs- und Federenergie zusammen liefern $k_{\mathrm B}T$ . Genau hier würde „ein Modus gleich ein halber Beitrag“ einen Faktor zwei verlieren. Die innere Energie $U$ enthält nur die modellierten thermischen Beiträge zum gewählten Energie-Nullpunkt. Gemeinsame Bewegung der Probe ist zusätzliche makroskopische Energie.[2]

Vom Term zur ganzen Probe

Drei translatorische Terme geben zusammen $\frac32k_{\mathrm B}T$ pro Teilchen. Für $N$ gleichartige Teilchen addieren sich diese Mittelwerte. Mit $N=nN_{\mathrm A}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ wird daraus die molare Schreibweise. Erst wenn du weitere thermisch aktive Terme des betrachteten Modells ergänzt, ändert sich der Faktor $f$ . Mehr Stoff vergrößert die Gesamtenergie, nicht die Energie eines einzelnen Teilchens bei derselben Temperatur.[1][2]

Vertiefung: warum jeder quadratische Term den halben Beitrag erhält

Der halbe Beitrag folgt aus dem klassischen Gleichgewichtsmittel, nicht aus einer Momentaufnahme. Betrachte eine unbeschränkte Koordinate $q$ mit Energie $aq^2$ , wobei $a>0$ und die restliche Energie nicht von $q$ abhängt. Ihre Gleichgewichtsdichte ist proportional zu $e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}$ . Im normierten Mittel stehen zweites Moment und Normierungsintegral im Verhältnis. Partielle Integration liefert $\langle q^2\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{2a}$ . Nach Multiplikation mit $a$ bleibt der halbe Temperaturbeitrag, unabhängig von der Steifigkeit dieses Terms.[2]

\begin{aligned}\langle aq^2\rangle&=a\frac{\int_{-\infty}^{\infty}q^2e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}\,dq}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}\,dq}\\&=\frac12k_{\mathrm B}T\end{aligned}

Der Randterm verschwindet, weil die Gaußfunktion schneller abfällt als q wächst.[2]

Wie zählt man aktive quadratische Terme statt bloßer Bewegungsnamen?

Im einatomigen idealen Modell ohne elektronische Anregung bleiben drei translatorische Terme: $f=3$ . Ein lineares Molekül mit klassisch aktiver Rotation ergänzt zwei rotatorische Terme und hat $f=5$ , wenn Schwingungen eingefroren sind. Ein starres nichtlineares Molekül besitzt drei rotatorische Terme, insgesamt also $f=6$ . Jeder vollständig klassisch aktive harmonische Schwingungsmodus ergänzt zwei weitere Terme. „Linear“ beschreibt dabei die Molekülgeometrie und nicht lediglich eine kleine Auslenkung. Die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls enthält weiterhin allein die drei räumlichen Bewegungsanteile, auch wenn das Molekül zusätzliche innere Beiträge besitzt.[1][2]

Welche Beiträge aktiv sind, hängt von den molekülspezifischen Energieniveauabständen und der Temperatur ab. Ein quantenmechanisch eingefrorener Modus liefert nicht automatisch den vollen klassischen Wert. Die Aktivierung geschieht gewöhnlich allmählich. Eine Treppengrafik mit allgemeingültigen Einschalttemperaturen wäre deshalb kein angemessenes Stoffmodell.[1]

Bild ansehen: Beiträge an den Steigungen vergleichen

Mehr aktive Terme ergeben eine steilere Energiegerade

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Eigene Modellgeraden mit jeweils konstantem Termzählwert über das gezeigte Intervall. Sie vergleichen drei Modelle; sie zeigen keine allgemeine Aktivierungsfolge eines konkreten Stoffes.[1]

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Von U zur Wärmekapazität

\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac f2R\\C_{p,m}&=\left(\frac f2+1\right)R\\\gamma&=1+\frac2f\end{aligned}

Konstantes f und feste Zusammensetzung sind nötig; $C_{p,m}-C_{V,m}=R$ verwendet zusätzlich das ideale Gasmodell.[3]

Bei fester Stoffmenge und konstantem $f$ ist die Änderung $\Delta U=\frac f2nR\Delta T$ . Daraus folgt die konstante molare Wärmekapazität bei festem Volumen. Die tatsächlich zugeführte Wärme steht aber erst nach der Arbeitsbilanz fest: Im starren geschlossenen Gefäß ohne andere Arbeit oder Änderung äußerer Energie ist $Q=\Delta U$ . Bei konstantem Druck kommt Expansionsarbeit hinzu. Ändert sich die Modenaktivierung mit der Temperatur, muss $U(T)$ tatsächlich abgeleitet beziehungsweise die gemessene Wärmekapazität integriert werden. Die innere Energie eines einatomigen idealen Gases ist dabei der ausdrücklich begrenzte Spezialfall mit ausschließlich drei translatorischen Termen.[4][1]

Drei vollständige Rechnungen zu Termzahl, Schwingung und Heizmessung

Die folgenden Rechnungen verwenden ausdrücklich festgelegte klassische Modellbereiche. Die ersten beiden zeigen Termzählung und Schwingungsamplitude; die dritte nutzt eine kalorimetrische Messung, um den angenommenen Termzählwert zu prüfen.[1][2][3]

Diatomiger Modellbereich mit $f=5$

Gegeben: $n=0{,}600\,\mathrm{mol}$ , $T=360\,\mathrm K$ , $f=5$ ; ideale feste Zusammensetzung, Translation und zwei Rotationen aktiv, Schwingung vernachlässigt. Für die anschließende Erwärmung um 80 K ist das Gefäß starr und geschlossen; keine weitere Arbeit oder Änderungen äußerer Energie.
Gesucht: Berechne U, Cv,m und die starre Erwärmung um 80 K.

Ansatz: Die fünf angegebenen quadratischen Freiheitsgrade sind klassisch aktiv. $U=\frac f2nRT$ . Beiträge summieren.
$U=\frac52(0.600)R(360)=4489.809814\,\mathrm J$
Kapazität und Änderung bestimmen.
$\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac52R\simeq20.78615655\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\\\Delta U&=nC_{V,m}\Delta T\\&=0.600\cdot20.78615655\cdot80\,\mathrm J\\&\simeq997.7355142\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: U≈4,490 kJ; ohne weitere Arbeit sind für 80 K etwa 997,74 J Wärme nötig.

Kontrolle: $\frac{U}{nT}=20{,}78615655\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ stimmt mit Cv,m. Die Erwärmung muss im selben $f=5$ -Modellbereich bleiben; $\frac{\Delta U}{U}=\frac{80}{360}$ .

Ein klassischer harmonischer Modus

Gegeben: $T=500\,\mathrm K$ , $\kappa=0{,}080\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ ; idealer unbeschränkter harmonischer Modus im klassischen Gleichgewicht.
Gesucht: Finde beide mittleren Energieanteile und die RMS-Auslenkung.

Ansatz: Der harmonische Modus besitzt zwei quadratische Beiträge. $\langle E_{\mathrm{kin}}\rangle=\langle E_{\mathrm{pot}}\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T$ . Je ein halbes kBT für Impuls und Koordinate.
$\langle E_{kin}\rangle=\langle E_{pot}\rangle=3.4516225\times10^{-21}\,\mathrm J$
Federenergie nach dem zweiten Moment umstellen.
$\begin{aligned}\langle q^2\rangle&=\frac{k_{\mathrm B}T}{\kappa}\\q_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\langle q^2\rangle}\simeq2.937525532\cdot10^{-10}\,\mathrm m\end{aligned}$

Ergebnis: Die gesamte mittlere Modusenergie beträgt 6,903245×10⁻²¹ J; $q_{\mathrm{rms}}\simeq0{,}294\,\mathrm{nm}$ .

Kontrolle: $\frac{\kappa q_{\mathrm{rms}}^2}{2}$ liefert den genannten Potentialanteil. Eine Verdopplung κ halbiert das Auslenkungsquadrat, verändert aber bei festem T den Energieanteil nicht.

Aus einer Heizmessung das Modell prüfen

Gegeben: 0,400 mol ideales Gas in einem starren geschlossenen Gefäß. Zwischen 310 K und 350 K gehen netto 332,579 J als Wärme ins Gas. Kein Gefäßbeitrag, keine weitere Arbeit, keine Änderungen äußerer Energie. Die aktiven klassischen Beiträge seien in diesem Intervall konstant.
Gesucht: Aus den Daten die molare Wärmekapazität und den passenden Termzählwert bestimmen.

Ansatz: Im gegebenen starren Modell ist $Q=\Delta U$ . Daraus die molare Wärmekapazität und anschließend $f$ bestimmen.
$\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac{Q}{n\Delta T}\\f&=\frac{2C_{V,m}}R\end{aligned}$
Die Temperaturdifferenz einsetzen; die Daten sind gerundet.
$\begin{aligned}\Delta T&=40\,\mathrm K\\C_{V,m}&=\frac{332.579\,\mathrm J}{0.400\,\mathrm{mol}\cdot40\,\mathrm K}\simeq20.7862\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\\f&\simeq\frac{2\cdot20.7862}{8.314462618}\simeq5.000\end{aligned}$
Ein mögliches Molekülmodell zuordnen, ohne es allein aus der Messung zu beweisen.

Ergebnis: Die Messung passt zu fünf konstant aktiven quadratischen Beiträgen. Ein lineares Molekül mit aktiver Rotation und eingefrorener Schwingung ist ein mögliches Modell.

Kontrolle: Mit $f=5$ ergibt die Rückrechnung $Q=\frac52nR\Delta T\simeq332{,}578505\,\mathrm J$ , passend zur Rundung. Gleiche Wärmekapazität beweist weder die Molekülgeometrie noch, dass dasselbe $f$ außerhalb des Messintervalls gilt.

Umstellen ohne Teilchen und Mol zu mischen

\begin{aligned}T&=\frac{2U}{fnR}\\f&=\frac{2C_{V,m}}R\\R&=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}\end{aligned}

Eine aus Cv gewonnene Zahl f ist im Übergangsbereich nur ein effektiver thermischer Kennwert.[5][1]

Für Energie pro Teilchen verwendest du $k_{\mathrm B}$ , für Energie einer Stoffmenge $nR$ . Ein Mol des einatomigen Modellgases bei 300 K hat etwa 3741,508 J thermische Energie; pro Teilchen sind es etwa $6{,}2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . Die exakten SI-Konstanten beseitigen keine Unsicherheit des Materialzustands oder des Modells. In der Energieformel ist die Temperatur absolut. Nur die Differenz in einer Änderungsrechnung hat in Kelvin und Celsius denselben Zahlenwert.[5]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Modell hat $f=6$ , $n=0{,}20\,\mathrm{mol}$ und $T=250\,\mathrm K$ . Finde U.

Hinweis anzeigen

Sechs halbe Beiträge.

Lernziel: Innere Energie aus aktiven quadratischen Beiträgen berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $U=\frac f2nRT$ .
Mit sechs Beiträgen ist der Faktor drei.
Die unten eingesetzten Werte liefern etwa 1,247 kJ.

Kontrolle: Eine doppelte Stoffmenge hätte bei gleicher Temperatur doppelte Gesamtenergie, aber unveränderte Energie pro Teilchen.

U=3\cdot0.20\cdot8.31446261815324\cdot250\,\mathrm J\simeq1247.169393\,\mathrm J

Interpretieren · Anwenden

Ein harmonischer Schwingungsmodus ist bei 400 K vollständig klassisch aktiv. Welchen Energiebeitrag liefert er pro Mol, und welchen Beitrag zur molaren Wärmekapazität?

Hinweis anzeigen

Kinetischer und potentieller Term.

Lernziel: Zwei quadratische Beiträge eines harmonischen Modus zählen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ein Modus enthält einen kinetischen und einen potentiellen quadratischen Term.
Zusammen liefern sie pro Mol $U_m=RT$ .
Bei 400 K ergibt das etwa 3325,785 J/mol.
Die Temperaturableitung ist $R$ , also etwa 8,31446 J/(mol·K).

Kontrolle: Nur ein halber Beitrag würde die vorhandene Feder- oder Bewegungsenergie übersehen.

\begin{aligned}U_m&=RT=8.31446261815324\cdot400\,\mathrm{J\,mol^{-1}}\\&\simeq3325.785047\,\mathrm{J\,mol^{-1}}\\C_{V,m}^{(\mathrm{mode})}&=R\end{aligned}

Transfer · Anwenden

Ein ideales konstantes-f-Gas hat $C_{V,m}=\frac{5R}{2}$ . Bestimme Cp,m und γ.

Hinweis anzeigen

Mayers Beziehung verwenden.

Lernziel: Cp und γ aus gegebenem Cv bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Mayers Beziehung liefert $C_{p,m}=C_{V,m}+R$ ; anschließend $\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}$ .
$C_{p,m}=\frac{7R}{2}$ ≈29,10061916 J/(mol·K), $\gamma=\frac75=1{,}4$ .
Dies ist keine universelle Kennzahl aller diatomigen Zustände.

\gamma=1.4

Interpretieren · Vertiefen

In einem Übergangsbereich beschreibt ein effektives Modell $U(T)=\frac12nRTf(T)$ , wobei f(T) mit T wächst. Eine Grafik von U gegen T wird steiler. Darf Cv, m weiterhin einfach $\frac12 f(T)R$ gesetzt werden? Leite die Ableitung ab und interpretiere; f muss hier nicht ganzzahlig sein.

Hinweis anzeigen

Produktregel auf T·f(T) anwenden.

Lernziel: Temperaturabhängige Modenaktivierung von konstantem f unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C_{V, m}=\frac1n\frac{dU}{dT}$ ergibt $\frac R2[f(T)+Tf^{\prime}(T)]$ .
Der zusätzliche Term beschreibt die Veränderung der effektiven Modenaktivierung.
Erst in einem Plateau mit konstantem f verschwindet er.

Kontrolle: Für $f'(T)=0$ erhält man die bekannte klassische Kurzform. Die Aufgabe behandelt ein gegebenes effektives Modell; sie behauptet nicht, quantenmechanische Aktivierung durch ein festes ganzzahliges f vollständig zu erklären.

C_{V,m}=\frac1n\frac{dU}{dT}=\frac R2\left[f(T)+T\frac{df}{dT}\right]

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Für ein ideales Gas im konstanten-f-Bereich wird $C_{p, m}=\frac52R$ gemessen. Eine Lösung setzt $f=\frac{2C_{p, m}}R=5$ . Bestimme das korrekte f und γ; die molare Wärmekapazität wurde ausdrücklich bei konstantem Druck gemessen.

Hinweis anzeigen

Mayer: $C_{p,m}-C_{V,m}=R$ .

Lernziel: Cp vor dem Ableiten aktiver quadratischer Beiträge in Cv umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C_{V, m}=C_{p, m}-R=\frac32R$ , daher $f=3$ .
Der Quotient $\gamma=\frac{C_{p, m}}{C_{V, m}}$ ist $\frac53$ .
Die fehlerhafte Rechnung ordnete den zusätzlich für Druckarbeit nötigen R-Beitrag quadratischen inneren Energietermen zu.

Kontrolle: Mit $f=3$ rekonstruiert $\left(\frac f2+1\right)R$ die gegebene Cp, m. Die Auswertung braucht ideale Stoffgleichung und konstant aktivierte klassische Beiträge; sie gilt nicht unverändert in einem Modenübergang.

\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac52R-R=\frac32R\\f&=\frac{2C_{V,m}}R=3\\\gamma&=\frac{\frac52R}{\frac32R}=\frac53\end{aligned}

[3][1]

Das klassische Ergebnis ist ein Grenzwert

Blindes Zählen ersetzt keine Modellprüfung. Nichtquadratische Energie, beschränkte Koordinaten oder starke Kopplung können die einfache Einzeltermherleitung unpassend machen. Das Einfrieren von Rotation oder Schwingung ist ein Quanteneffekt; ein solcher Modus liefert nicht den vollen klassischen Wert. Dissoziation, Ionisation oder wechselnde Zusammensetzung benötigen zusätzliche Energiebeiträge. Äquipartition verteilt nicht allgemein gleiche Energie auf beliebige Teilsysteme, sondern beschreibt passende quadratische Beiträge im klassischen Gleichgewicht.[2]

Die gemessene Wärmekapazität prüft, ob die gewählten Beiträge zum Stoff und Temperaturbereich passen. Ein nichtganzzahliger effektiver Wert kann einen Übergang anzeigen und ist nicht automatisch ein Rechenfehler. Aus einer lokalen Messung darf jedoch kein vollständiges temperaturunabhängiges Molekülmodell abgeleitet werden.[1]

Kurz zusammengefasst

Zähle unabhängige quadratische Energieterme, nicht bloß Bewegungsnamen. Translation hat drei Beiträge; eine harmonische Schwingung bringt zwei weitere pro Modus. Ob sie tatsächlich klassisch aktiv sind, hängt vom Stoff und Temperaturbereich ab. Energie, Wärmekapazität und zugeführte Wärme bleiben verschiedene Größen. Erst die passende Arbeitsbilanz verbindet sie.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Erklärungen überarbeitet; drittes vollständiges Beispiel, eigene quantitative Grafik und kurze Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Aufgaben, Modelle und Quellen erhalten; Formelsatz und Modellbedingungen präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Äquipartition der Energie. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/equipartition-energie

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Äquipartition der Energie

Was beschreibt diese Beziehung?+

Äquipartition verteilt im klassischen thermischen Gleichgewicht den Mittelwert $\frac12k_{\mathrm B}T$ auf jeden unabhängigen quadratischen Energieanteil. f zählt solche Terme, nicht bloß Bewegungsnamen. Translation besitzt drei Impulsterme. Ein harmonischer Schwingungsmodus besitzt dagegen einen kinetischen und einen potentiellen Term, zusammen kBT. Für die ideale feste Probe ergibt Summation $U=\frac f2nRT$ zum gewählten Energienullpunkt. Gemeinsame Bewegung der Probe gehört nicht dazu. Ein lineares Molekül mit zwei aktiven Rotationen und eingefrorener Schwingung hat beispielsweise $f=5$ . Das ist ein Modellbereich, keine Behauptung, dass jede mögliche Molekülbewegung bei jeder Temperatur vollständig angeregt ist. Elektronische Anregungen, Dissoziation und Wechselwirkungsenergie benötigen weitere Beiträge.

Wie entsteht der Zusammenhang und was zeigt die Formelstruktur?+

Betrachte eine unbeschränkte klassische Koordinate q mit quadratischer Energie $aq^2$ und $a>0$ . Ihre Gleichgewichtsdichte ist proportional $e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}$ , sofern der übrige Energieausdruck nicht von q abhängt. Das Verhältnis des zweiten Gaußmoments zur Normierung ist $\frac{k_{\mathrm B}T}{2a}$ ; Multiplikation mit a liefert $\frac12k_{\mathrm B}T$ . Für f unabhängige quadratische Beiträge addierst du dieses Ergebnis. Die Probe mit $N=nN_{\mathrm A}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ besitzt dann $U=\frac f2nRT$ . Die Herleitung betrifft einen statistischen Mittelwert, keine identische Momentanenergie aller Teilchen. Sie verlangt klassische Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten und zugängliche Koordinatenbereiche; eine quantenmechanisch eingefrorene Schwingung lässt sich dadurch nicht automatisch als voll aktiv beweisen.

Wie sieht eine geprüfte Zahlenrechnung aus?+

Für $n=0{,}600\,\mathrm{mol}$ , $T=360\,\mathrm K$ und konstantem $f=5$ ergibt $U=\frac52nRT\simeq4489{,}809814\,\mathrm J$ . Die passende molare Wärmekapazität ist $C_{V,m}=\frac52R\simeq20{,}78615655\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ . Eine Erwärmung um 80 K im selben Modellbereich liefert $\Delta U=nC_{V,m}\Delta T\simeq997{,}7355142\,\mathrm J$ . Im starren geschlossenen Gefäß ohne andere Arbeit und ohne äußere Energieänderung ist dies zugleich die Wärmezufuhr. Als unabhängige Kontrolle ergibt $\frac U{nT}$ denselben Cv,m-Wert; außerdem ist $\frac{\Delta U}{U}=\frac{80}{360}$ . Wenn sich die thermische Aktivierung während der Erwärmung ändert, musst du eine passende temperaturabhängige Wärmekapazität integrieren. Eine korrekte Zahl allein beweist nicht, dass der Stoff den angenommenen $f=5$ -Bereich einhält.

Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Beziehung?+

Das einfache Ergebnis braucht klassische thermische Gleichgewichtsbewegung und die tatsächlich gezählten unabhängigen quadratischen Terme. Für die Gasform $U=\frac f2nRT$ werden zusätzlich ideale feste Zusammensetzung und ein passender Energienullpunkt verwendet. Niedrige Temperaturen können Rotation oder Schwingung quantenmechanisch einfrieren; Übergänge erfolgen gewöhnlich allmählich und hängen vom Molekül ab. Nichtquadratische Energie, eingeschränkte Koordinatenbereiche oder relevante elektronische Anregung verlangen eine andere Beschreibung. $C_{V,m}=\frac f2R$ gilt bei konstantem f. Ein aus gemessener Wärmekapazität bestimmtes effektives f muss im Übergangsbereich nicht ganzzahlig sein. Das bedeutet keine halbe reale Bewegung, sondern eine teilweise thermische Beteiligung am Energieänderungsvermögen.

Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?+

Der häufigste Zählfehler ist, einen harmonischen Schwingungsmodus nur einmal mit $\frac12k_{\mathrm B}T$ zu berücksichtigen. Er besitzt zwei quadratische Energieanteile und liefert vollständig klassisch kBT. Verwechsle außerdem f nicht mit der Geschwindigkeitsdichte f(v), oder Energie pro Teilchen nicht mit Energie pro Mol. Die erste verwendet kB, die zweite R. T muss absolut in Kelvin stehen; nur Temperaturdifferenzen dürfen als Celsius-Differenzen eingesetzt werden. Für Wärme folgt $Q=\Delta U$ nicht allein aus Äquipartition, sondern benötigt eine passende geschlossene Prozessbilanz ohne Nettoarbeit und äußere Energieänderung. Im Übergangsbereich darf ein temperaturabhängiges f beim Ableiten von U nicht als konstante Zahl behandelt werden.

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Welche Formel beschreibt Äquipartition der Energie?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du ⟨E⟩=f kBT/2; U=f nRT/2 nach Energie pro Teilchen um?

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Welcher typische Fehler passiert bei ⟨E⟩=f kBT/2; U=f nRT/2?

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[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §2.3: Heat Capacity and Equipartition of Energy.

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

Stefan-Boltzmann-Gesetz

\Delta L = \alpha L_0 \Delta T

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Physik · Kinetische Gastheorie

Gleichverteilungssatz (Äquipartition der Energie)

Im klassischen thermischen Gleichgewicht trägt jeder quadratische Freiheitsgrad im Mittel $\frac12k_{\mathrm B}T$ pro Teilchen zur Energie bei.

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Formel

Berechnen

⟨ E ⟩ = \frac{f}{2} k_{B} T, U = \frac{f}{2} n RT

E und U in J; kB in J/K; T in K; n in mol; R in J/(mol·K); f ist dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
⟨E⟩	mittlere Energie pro Teilchen aus quadratischen Freiheitsgraden	J
$f$	Zahl aktiver quadratischer Freiheitsgrade	dimensionslos
$kB$	Boltzmann-Konstante	J/K
$T$	absolute Temperatur	K
$U$	innere Energie der betrachteten idealen Teilchenmenge	J
$n$	Stoffmenge	mol
$R$	universelle Gaskonstante	J/(mol·K)

LaTeX

\langle E\rangle=\frac{f}{2}k_BT,\quad U=\frac{f}{2}nRT

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Energie nach dem Gleichverteilungssatz berechnen

Mittlere Energie pro Teilchen, thermische Energie einer Gasprobe oder molare Wärmekapazität aus der Zahl der Freiheitsgrade ausrechnen, klassisch gerechnet.

Rechenmodell

Gesucht

Freiheitsgrade f (quadratische Terme)

Zahl der Freiheitsgrade, z. B. 3 für ein einatomiges Gas wie Helium; eine Schwingung zählt doppelt.

Absolute Gleichgewichtstemperatur T

Absolute Temperatur, z. B. 300 K bei Raumtemperatur; °C wird in Kelvin umgerechnet.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ⟨E⟩, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ⟨E⟩ umstellen
$\langle E\rangle=\frac f2k_{\rm B}T$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$\frac{3\cdot 1{,}38065\times10^{-23}\cdot 300}2=6{,}21292\times10^{-21}$
3. Ergebnis
⟨E⟩ = 6,213 · 10⁻²¹ J

Ergebnis: Mittlere Energie pro Teilchen ⟨E⟩

⟨E⟩ = 6,213 · 10⁻²¹ J

Mit f = 3 und T = 300 K ergibt sich ⟨E⟩ = 6,213 · 10⁻²¹ J.

So rechnest du schneller

Jeder Freiheitsgrad bringt ½ kT pro Teilchen und ½ RT pro Mol: einatomige Gase haben f = 3, zweiatomige ohne Schwingung f = 5.
Einheitenprobe: kT ist eine Energie pro Teilchen, RT eine Energie pro Mol. Wer k und R verwechselt, liegt um den Faktor 6·10²³ daneben.

Annahmen und Grenzen

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

1Lege klassische Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten und unabhängige zugängliche quadratische Energieterme fest.
2Für Energie $aq^2$ mit $a>0$ ist die Dichte proportional zu $e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}$ .
3Das normierte zweite Gaußmoment ergibt $\langle q^2\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{2a}$ .
4Multiplikation mit $a$ liefert $\langle aq^2\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T$ . Addiere die $f$ aktiven Beiträge.
5Mit $N=nN_{\mathrm A}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ folgt $U=\frac f2nRT$ zum festen Nullpunkt.
6Nur bei konstantem $f$ gilt $C_{V,m}=\frac f2R$ . Ein harmonischer Modus zählt zwei Terme; teilweise Quantenaktivierung braucht ein anderes Modell.

Umstellen

Energie pro Teilchen

\langle E\rangle=\frac f2k_{\mathrm B}T

f zählt aktive quadratische Freiheitsgrade.

Aufgabenvariante

Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K. Bestimme die thermische Energie der Probe und kontrolliere mit der Energie pro Teilchen; elektronische Anregungen sind vernachlässigt.

Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K: Ansatz $U=\frac32nRT$ .
Einsetzen ergibt etwa 3,74 kJ.
Pro Teilchen ist $\langle E\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T\simeq6{,}21\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ .
Multiplikation mit der Avogadro-Konstante rekonstruiert die molare Energie.

Typische Fehler

Einen harmonischen Schwingungsmodus nur als einen halben Energiebeitrag zählen.

Ein klassischer harmonischer Modus enthält einen kinetischen und einen potentiellen quadratischen Term; zusammen ist sein Mittelwert $k_{\mathrm B}T$ .

Klausurkontext

Aufgaben in Kinetische Gastheorie prüfen Formelwahl, Einheiten, Modellvoraussetzung und eine kurze Ergebnisprobe.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Verbindet gezählte aktive Energieterme mit innerer Energie und Wärmekapazität; reine Translation bleibt ein eigener Anteil.

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

U = 3/2 nRT

Innere Energie eines einatomigen idealen Gases

Q = m·c·ΔT

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Wärmekapazitäten und Temperaturabhängigkeit molekularer Freiheitsgrade erklären.

Rechenbeispiel: Äquipartition der Energie

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Äquipartition der Energie (⟨E⟩=f kBT/2; U=f nRT/2).

1
Aufgabe
Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K. Bestimme die thermische Energie der Probe und kontrolliere mit der Energie pro Teilchen; elektronische Anregungen sind vernachlässigt.
Rechenweg
1. Ein Mol einatomiges klassisches ideales Gas bei 300 K: Ansatz $U=\frac32nRT$ .
2. Einsetzen ergibt etwa 3,74 kJ.
3. Pro Teilchen ist $\langle E\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T\simeq6{,}21\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ .
4. Multiplikation mit der Avogadro-Konstante rekonstruiert die molare Energie.

Die Formel verstehen und anwenden

Energieanteile statt Bewegungsnamen zählen

\begin{aligned}\langle E\rangle&=\frac f2k_{\mathrm B}T\\U&=\frac f2nRT\end{aligned}

f zählt aktive unabhängige quadratische Terme, nicht die Geschwindigkeitsdichte f(v) eines anderen Artikels.[1]

Vom Term zur ganzen Probe

Vertiefung: warum jeder quadratische Term den halben Beitrag erhält

\begin{aligned}\langle aq^2\rangle&=a\frac{\int_{-\infty}^{\infty}q^2e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}\,dq}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{aq^2}{k_{\mathrm B}T}}\,dq}\\&=\frac12k_{\mathrm B}T\end{aligned}

Der Randterm verschwindet, weil die Gaußfunktion schneller abfällt als q wächst.[2]

Wie zählt man aktive quadratische Terme statt bloßer Bewegungsnamen?

Bild ansehen: Beiträge an den Steigungen vergleichen

Mehr aktive Terme ergeben eine steilere Energiegerade

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Eigene Modellgeraden mit jeweils konstantem Termzählwert über das gezeigte Intervall. Sie vergleichen drei Modelle; sie zeigen keine allgemeine Aktivierungsfolge eines konkreten Stoffes.[1]

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Von U zur Wärmekapazität

\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac f2R\\C_{p,m}&=\left(\frac f2+1\right)R\\\gamma&=1+\frac2f\end{aligned}

Konstantes f und feste Zusammensetzung sind nötig; $C_{p,m}-C_{V,m}=R$ verwendet zusätzlich das ideale Gasmodell.[3]

Drei vollständige Rechnungen zu Termzahl, Schwingung und Heizmessung

Diatomiger Modellbereich mit $f=5$

Gegeben: $n=0{,}600\,\mathrm{mol}$ , $T=360\,\mathrm K$ , $f=5$ ; ideale feste Zusammensetzung, Translation und zwei Rotationen aktiv, Schwingung vernachlässigt. Für die anschließende Erwärmung um 80 K ist das Gefäß starr und geschlossen; keine weitere Arbeit oder Änderungen äußerer Energie.
Gesucht: Berechne U, Cv,m und die starre Erwärmung um 80 K.

Ansatz: Die fünf angegebenen quadratischen Freiheitsgrade sind klassisch aktiv. $U=\frac f2nRT$ . Beiträge summieren.
$U=\frac52(0.600)R(360)=4489.809814\,\mathrm J$
Kapazität und Änderung bestimmen.
$\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac52R\simeq20.78615655\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\\\Delta U&=nC_{V,m}\Delta T\\&=0.600\cdot20.78615655\cdot80\,\mathrm J\\&\simeq997.7355142\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: U≈4,490 kJ; ohne weitere Arbeit sind für 80 K etwa 997,74 J Wärme nötig.

Kontrolle: $\frac{U}{nT}=20{,}78615655\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ stimmt mit Cv,m. Die Erwärmung muss im selben $f=5$ -Modellbereich bleiben; $\frac{\Delta U}{U}=\frac{80}{360}$ .

Ein klassischer harmonischer Modus

Gegeben: $T=500\,\mathrm K$ , $\kappa=0{,}080\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ ; idealer unbeschränkter harmonischer Modus im klassischen Gleichgewicht.
Gesucht: Finde beide mittleren Energieanteile und die RMS-Auslenkung.

Ansatz: Der harmonische Modus besitzt zwei quadratische Beiträge. $\langle E_{\mathrm{kin}}\rangle=\langle E_{\mathrm{pot}}\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T$ . Je ein halbes kBT für Impuls und Koordinate.
$\langle E_{kin}\rangle=\langle E_{pot}\rangle=3.4516225\times10^{-21}\,\mathrm J$
Federenergie nach dem zweiten Moment umstellen.
$\begin{aligned}\langle q^2\rangle&=\frac{k_{\mathrm B}T}{\kappa}\\q_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\langle q^2\rangle}\simeq2.937525532\cdot10^{-10}\,\mathrm m\end{aligned}$

Ergebnis: Die gesamte mittlere Modusenergie beträgt 6,903245×10⁻²¹ J; $q_{\mathrm{rms}}\simeq0{,}294\,\mathrm{nm}$ .

Kontrolle: $\frac{\kappa q_{\mathrm{rms}}^2}{2}$ liefert den genannten Potentialanteil. Eine Verdopplung κ halbiert das Auslenkungsquadrat, verändert aber bei festem T den Energieanteil nicht.

Aus einer Heizmessung das Modell prüfen

Gegeben: 0,400 mol ideales Gas in einem starren geschlossenen Gefäß. Zwischen 310 K und 350 K gehen netto 332,579 J als Wärme ins Gas. Kein Gefäßbeitrag, keine weitere Arbeit, keine Änderungen äußerer Energie. Die aktiven klassischen Beiträge seien in diesem Intervall konstant.
Gesucht: Aus den Daten die molare Wärmekapazität und den passenden Termzählwert bestimmen.

Ansatz: Im gegebenen starren Modell ist $Q=\Delta U$ . Daraus die molare Wärmekapazität und anschließend $f$ bestimmen.
$\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac{Q}{n\Delta T}\\f&=\frac{2C_{V,m}}R\end{aligned}$
Die Temperaturdifferenz einsetzen; die Daten sind gerundet.
$\begin{aligned}\Delta T&=40\,\mathrm K\\C_{V,m}&=\frac{332.579\,\mathrm J}{0.400\,\mathrm{mol}\cdot40\,\mathrm K}\simeq20.7862\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\\f&\simeq\frac{2\cdot20.7862}{8.314462618}\simeq5.000\end{aligned}$
Ein mögliches Molekülmodell zuordnen, ohne es allein aus der Messung zu beweisen.

Ergebnis: Die Messung passt zu fünf konstant aktiven quadratischen Beiträgen. Ein lineares Molekül mit aktiver Rotation und eingefrorener Schwingung ist ein mögliches Modell.

Umstellen ohne Teilchen und Mol zu mischen

\begin{aligned}T&=\frac{2U}{fnR}\\f&=\frac{2C_{V,m}}R\\R&=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}\end{aligned}

Eine aus Cv gewonnene Zahl f ist im Übergangsbereich nur ein effektiver thermischer Kennwert.[5][1]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Modell hat $f=6$ , $n=0{,}20\,\mathrm{mol}$ und $T=250\,\mathrm K$ . Finde U.

Hinweis anzeigen

Sechs halbe Beiträge.

Lernziel: Innere Energie aus aktiven quadratischen Beiträgen berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $U=\frac f2nRT$ .
Mit sechs Beiträgen ist der Faktor drei.
Die unten eingesetzten Werte liefern etwa 1,247 kJ.

Kontrolle: Eine doppelte Stoffmenge hätte bei gleicher Temperatur doppelte Gesamtenergie, aber unveränderte Energie pro Teilchen.

U=3\cdot0.20\cdot8.31446261815324\cdot250\,\mathrm J\simeq1247.169393\,\mathrm J

Interpretieren · Anwenden

Ein harmonischer Schwingungsmodus ist bei 400 K vollständig klassisch aktiv. Welchen Energiebeitrag liefert er pro Mol, und welchen Beitrag zur molaren Wärmekapazität?

Hinweis anzeigen

Kinetischer und potentieller Term.

Lernziel: Zwei quadratische Beiträge eines harmonischen Modus zählen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ein Modus enthält einen kinetischen und einen potentiellen quadratischen Term.
Zusammen liefern sie pro Mol $U_m=RT$ .
Bei 400 K ergibt das etwa 3325,785 J/mol.
Die Temperaturableitung ist $R$ , also etwa 8,31446 J/(mol·K).

Kontrolle: Nur ein halber Beitrag würde die vorhandene Feder- oder Bewegungsenergie übersehen.

\begin{aligned}U_m&=RT=8.31446261815324\cdot400\,\mathrm{J\,mol^{-1}}\\&\simeq3325.785047\,\mathrm{J\,mol^{-1}}\\C_{V,m}^{(\mathrm{mode})}&=R\end{aligned}

Transfer · Anwenden

Ein ideales konstantes-f-Gas hat $C_{V,m}=\frac{5R}{2}$ . Bestimme Cp,m und γ.

Hinweis anzeigen

Mayers Beziehung verwenden.

Lernziel: Cp und γ aus gegebenem Cv bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Mayers Beziehung liefert $C_{p,m}=C_{V,m}+R$ ; anschließend $\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}$ .
$C_{p,m}=\frac{7R}{2}$ ≈29,10061916 J/(mol·K), $\gamma=\frac75=1{,}4$ .
Dies ist keine universelle Kennzahl aller diatomigen Zustände.

\gamma=1.4

Interpretieren · Vertiefen

In einem Übergangsbereich beschreibt ein effektives Modell $U(T)=\frac12nRTf(T)$ , wobei f(T) mit T wächst. Eine Grafik von U gegen T wird steiler. Darf Cv, m weiterhin einfach $\frac12 f(T)R$ gesetzt werden? Leite die Ableitung ab und interpretiere; f muss hier nicht ganzzahlig sein.

Hinweis anzeigen

Produktregel auf T·f(T) anwenden.

Lernziel: Temperaturabhängige Modenaktivierung von konstantem f unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C_{V, m}=\frac1n\frac{dU}{dT}$ ergibt $\frac R2[f(T)+Tf^{\prime}(T)]$ .
Der zusätzliche Term beschreibt die Veränderung der effektiven Modenaktivierung.
Erst in einem Plateau mit konstantem f verschwindet er.

C_{V,m}=\frac1n\frac{dU}{dT}=\frac R2\left[f(T)+T\frac{df}{dT}\right]

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Für ein ideales Gas im konstanten-f-Bereich wird $C_{p, m}=\frac52R$ gemessen. Eine Lösung setzt $f=\frac{2C_{p, m}}R=5$ . Bestimme das korrekte f und γ; die molare Wärmekapazität wurde ausdrücklich bei konstantem Druck gemessen.

Hinweis anzeigen

Mayer: $C_{p,m}-C_{V,m}=R$ .

Lernziel: Cp vor dem Ableiten aktiver quadratischer Beiträge in Cv umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C_{V, m}=C_{p, m}-R=\frac32R$ , daher $f=3$ .
Der Quotient $\gamma=\frac{C_{p, m}}{C_{V, m}}$ ist $\frac53$ .
Die fehlerhafte Rechnung ordnete den zusätzlich für Druckarbeit nötigen R-Beitrag quadratischen inneren Energietermen zu.

\begin{aligned}C_{V,m}&=\frac52R-R=\frac32R\\f&=\frac{2C_{V,m}}R=3\\\gamma&=\frac{\frac52R}{\frac32R}=\frac53\end{aligned}

[3][1]

Das klassische Ergebnis ist ein Grenzwert

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Erklärungen überarbeitet; drittes vollständiges Beispiel, eigene quantitative Grafik und kurze Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Aufgaben, Modelle und Quellen erhalten; Formelsatz und Modellbedingungen präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Äquipartition der Energie. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/equipartition-energie

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Äquipartition der Energie

Was beschreibt diese Beziehung?+

Wie entsteht der Zusammenhang und was zeigt die Formelstruktur?+

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Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?+

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[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §2.3: Heat Capacity and Equipartition of Energy.

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

\Delta U = Q - W

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Gleichverteilungssatz (Äquipartition der Energie)

Variablen & Einheiten

Energie nach dem Gleichverteilungssatz berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

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Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinetische Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Äquipartition der Energie

Energieanteile statt Bewegungsnamen zählen

Vom Term zur ganzen Probe

Vertiefung: warum jeder quadratische Term den halben Beitrag erhält

Wie zählt man aktive quadratische Terme statt bloßer Bewegungsnamen?

Mehr aktive Terme ergeben eine steilere Energiegerade

Von U zur Wärmekapazität

Drei vollständige Rechnungen zu Termzahl, Schwingung und Heizmessung

Diatomiger Modellbereich mit f=5f=5f=5

Ein klassischer harmonischer Modus

Aus einer Heizmessung das Modell prüfen

Umstellen ohne Teilchen und Mol zu mischen

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Modell hat f=6f=6f=6, n=0,20 moln=0{,}20\,\mathrm{mol}n=0,20mol und T=250 KT=250\,\mathrm KT=250K. Finde U.

Ein harmonischer Schwingungsmodus ist bei 400 K vollständig klassisch aktiv. Welchen Energiebeitrag liefert er pro Mol, und welchen Beitrag zur molaren Wärmekapazität?

Ein ideales konstantes-f-Gas hat CV,m=5R2C_{V,m}=\frac{5R}{2}CV,m​=25R​. Bestimme Cp,m und γ.

Für ein ideales Gas im konstanten-f-Bereich wird Cp,m=52RC_{p, m}=\frac52RCp,m​=25​R gemessen. Eine Lösung setzt f=2Cp,mR=5f=\frac{2C_{p, m}}R=5f=R2Cp,m​​=5. Bestimme das korrekte f und γ; die molare Wärmekapazität wurde ausdrücklich bei konstantem Druck gemessen.

Das klassische Ergebnis ist ein Grenzwert

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Äquipartition der Energie

Fachquellen und weiterführende Literatur

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Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinetische Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Äquipartition der Energie

Energieanteile statt Bewegungsnamen zählen

Vom Term zur ganzen Probe

Vertiefung: warum jeder quadratische Term den halben Beitrag erhält

Wie zählt man aktive quadratische Terme statt bloßer Bewegungsnamen?

Mehr aktive Terme ergeben eine steilere Energiegerade

Von U zur Wärmekapazität

Drei vollständige Rechnungen zu Termzahl, Schwingung und Heizmessung

Diatomiger Modellbereich mit f=5f=5f=5

Ein klassischer harmonischer Modus

Aus einer Heizmessung das Modell prüfen

Umstellen ohne Teilchen und Mol zu mischen

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Modell hat f=6f=6f=6, n=0,20 moln=0{,}20\,\mathrm{mol}n=0,20mol und T=250 KT=250\,\mathrm KT=250K. Finde U.

Ein harmonischer Schwingungsmodus ist bei 400 K vollständig klassisch aktiv. Welchen Energiebeitrag liefert er pro Mol, und welchen Beitrag zur molaren Wärmekapazität?

Ein ideales konstantes-f-Gas hat CV,m=5R2C_{V,m}=\frac{5R}{2}CV,m​=25R​. Bestimme Cp,m und γ.

Für ein ideales Gas im konstanten-f-Bereich wird Cp,m=52RC_{p, m}=\frac52RCp,m​=25​R gemessen. Eine Lösung setzt f=2Cp,mR=5f=\frac{2C_{p, m}}R=5f=R2Cp,m​​=5. Bestimme das korrekte f und γ; die molare Wärmekapazität wurde ausdrücklich bei konstantem Druck gemessen.

Das klassische Ergebnis ist ein Grenzwert

Kurz zusammengefasst

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Häufige Fragen: Äquipartition der Energie

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Äquipartition der Energie prüfungssicher behalten

Diatomiger Modellbereich mit $f=5$

Ein Modell hat $f=6$ , $n=0{,}20\,\mathrm{mol}$ und $T=250\,\mathrm K$ . Finde U.

Ein ideales konstantes-f-Gas hat $C_{V,m}=\frac{5R}{2}$ . Bestimme Cp,m und γ.

Für ein ideales Gas im konstanten-f-Bereich wird $C_{p, m}=\frac52R$ gemessen. Eine Lösung setzt $f=\frac{2C_{p, m}}R=5$ . Bestimme das korrekte f und γ; die molare Wärmekapazität wurde ausdrücklich bei konstantem Druck gemessen.

Diatomiger Modellbereich mit $f=5$

Ein Modell hat $f=6$ , $n=0{,}20\,\mathrm{mol}$ und $T=250\,\mathrm K$ . Finde U.

Ein ideales konstantes-f-Gas hat $C_{V,m}=\frac{5R}{2}$ . Bestimme Cp,m und γ.

Für ein ideales Gas im konstanten-f-Bereich wird $C_{p, m}=\frac52R$ gemessen. Eine Lösung setzt $f=\frac{2C_{p, m}}R=5$ . Bestimme das korrekte f und γ; die molare Wärmekapazität wurde ausdrücklich bei konstantem Druck gemessen.