Physik · Kinetische Gastheorie

Mittlere kinetische Energie eines Gasmoleküls

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der mittleren translatorischen Energie eines Gasmoleküls?

$k_{\mathrm B}=1{,}380649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ist eine exakte SI-Konstante. Multiplikation mit T in Kelvin ergibt Joule pro Teilchen. Der kleine Zahlenwert ist keine ungewöhnlich geringe Energie einer ganzen Probe: Bei 300 K multipliziert eine Teilchenzahl von 10²³ den Mittelwert zu etwa 621,292 J translatorischer Gesamtenergie. Pro Mol ergibt sich $\frac32RT\simeq3741{,}508\,\mathrm{J\,mol^{-1}}$. Verwende deshalb kB für Einzelteilchen und R für molare Größen. Eine Celsius-Temperatur darf nicht direkt eingesetzt werden. Kontrolliere außerdem die Skalierung: Eine Verdopplung der absoluten Temperatur verdoppelt die mittlere Energie, erhöht die RMS-Geschwindigkeit derselben Gasart aber nur um $\sqrt2$.

Q: Wann kombiniere ich die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls mit einer weiteren Beziehung?

Für eine Geschwindigkeit kombiniere $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ mit $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac12m\langle c^2\rangle$. Daraus folgt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}$, nicht die arithmetische mittlere Geschwindigkeit. Für eine Gasprobe multipliziere mit N oder nutze $N=nN_{\mathrm A}$. Bei einem einatomigen idealen Gas ohne weitere aktive innere Anregungen folgt $U=\frac32nRT$. Druck erhältst du zusätzlich über $pV=Nk_{\mathrm B}T$. In einem mehratomigen Gas beschreibt $\frac32nRT$ dagegen nur den translatorischen Anteil. In einem strömenden Gas gilt $\mathbf c=\mathbf v-\mathbf u$; gemeinsame Bewegung wird getrennt bilanziert und darf nicht ohne Korrektur zur Bestimmung der thermischen Temperatur verwendet werden. Bei gleicher T ändern unterschiedliche Teilchenmassen nur die jeweils benötigten Geschwindigkeitsquadrate.

Die mittlere translatorische kinetische Energie eines idealen Gasmoleküls hängt nur von der absoluten Temperatur ab.

GrundlegendPrüfungsrelevantUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Ansehen kostenlos · Karteikarten oder Multiple-Choice-Test · übernehmen ab Essential

Formel

Berechnen

⟨ E_{kin} ⟩ = \frac{3}{2} k_{B} T

E in J; kB in J/K; T in K.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
⟨Ekin⟩	mittlere translatorische kinetische Energie pro Molekül	J
$kB$	Boltzmann-Konstante	J/K
$T$	absolute Temperatur	K

LaTeX

\langle E_{\mathrm{kin}}\rangle=\frac{3}{2}k_{\mathrm B}T

QUANTA STUDYquanta-study.de

Normierte mittlere translatorische Energie gegen normierte Temperatur. Die Werte 0,5, 1, 1,5 und 2 liegen auf derselben Geraden; T₀ ist 300 Kelvin. Kein gezeichneter Zustand bei null Kelvin. — Bei gleicher Temperatur ist die mittlere translatorische Energie im klassischen Gleichgewicht für leichte und schwere Teilchen gleich. Normierung: T₀ = 300 K und E₀ = 3kBT₀/2; die gezeichnete Linie umfasst 150 bis 600 K.

Mittlere kinetische Energie eines Moleküls berechnen

Mittlere Translationsenergie eines Gasteilchens aus der Temperatur ausrechnen oder umgekehrt, für ein ideales Gas im Gleichgewicht.

Rechenmodell

Gesucht

Absolute Temperatur T

Temperatur des Gases, z. B. 300 K, etwa Raumtemperatur; °C rechnet der Rechner selbst in Kelvin um.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ⟨Etr⟩, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ⟨Etr⟩ umstellen
$\langle E_{\rm tr}\rangle=\frac32k_BT$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$\frac{3\cdot 1{,}38065\times10^{-23}\cdot 300}2=6{,}21292\times10^{-21}$
3. Ergebnis
⟨Etr⟩ = 0,03878 eV

Ergebnis: Mittlere Energie pro Teilchen ⟨Etr⟩

⟨Etr⟩ = 0,03878 eV

Mit T = 300 K ergibt sich ⟨Etr⟩ = 0,03878 eV.

So rechnest du schneller

Die mittlere Translationsenergie hängt nur von T ab, nicht von der Masse: Helium und Stickstoff haben bei gleicher Temperatur dieselbe, schwere Teilchen sind dafür langsamer.
Temperatur immer in Kelvin: Von 20 °C auf 40 °C steigt die Energie nicht aufs Doppelte, sondern nur um rund 7 %, von 293 K auf 313 K.

Annahmen und Grenzen

Verdünntes klassisches nichtrelativistisches ideales Gas im thermischen Gleichgewicht mit positiver absoluter Temperatur; drei translatorische Freiheitsgrade, keine relevante Quantendegeneration oder Wechselwirkungsenergie. Thermische Bewegung relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung. Nicht die gesamte innere Energie mehratomiger Moleküle und keine Temperatur eines einzelnen Teilchens.

Herleitung & Hintergrund

Im klassischen idealen Gleichgewicht trägt jede der drei Translationsrichtungen $\frac12k_{\mathrm B}T$ bei. Gemittelt werden thermische Geschwindigkeiten relativ zur lokalen Gasbewegung. Gemeinsame Schwerpunktbewegung ist ein separater Beitrag. Bei gleicher Temperatur ist der translatorische Energiemittelwert massenunabhängig. Rotation und Schwingung mehratomiger Moleküle liefern zusätzliche Beiträge; relevante Quantendegeneration ist ausgeschlossen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Klassisches nichtrelativistisches ideales Gas im thermischen Gleichgewicht; drei translatorische Freiheitsgrade, vernachlässigbare Wechselwirkung und keine relevante Quantendegeneration. Energie bezieht sich auf ungeordnete Bewegung relativ zum lokalen Gasstrom, nicht auf die gesamte Energie mehratomiger Moleküle.

Herleitung in Schritten

Drei klassische quadratische Translationsanteile liefern je $\frac12k_{\mathrm B}T$ im Gleichgewicht. Gemittelt wird im lokalen Gasruhessystem.

1Definiere thermische Geschwindigkeit relativ zur lokalen Gasbewegung: $\mathbf c=\mathbf v-\mathbf u$ .
2Die Translationsenergie hat drei quadratische Terme: $E_{\mathrm{tr}}=\frac m2(c_x^2+c_y^2+c_z^2)$ .
3Äquipartition liefert $\frac m2\langle c_x^2\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T$ , ebenso für die beiden anderen Komponenten.
4Addiere die Mittelwerte: $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ .
5Bei bekannter mittlerer Energie gilt $T=\frac{2\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle}{3k_{\mathrm B}}$ , in Kelvin.
6Für die Probe addiere $N$ Beiträge. Mit $N=nN_{\mathrm A}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ wird die Summe $\frac32nRT$ .

Umstellen

Absolute Temperatur

T=\frac{2\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle}{3k_{\mathrm B}}

Mittlere thermische Translationsenergie pro Teilchen in Joule verwenden; gemeinsame Gasbewegung und innere Rotations-/Schwingungsbeiträge gehören nicht dazu.

Aufgabenvariante

Ein klassisches ideales Gas im Gleichgewicht bei 300 K. Berechne die mittlere thermische Translationsenergie pro Molekül; gemeinsame Strömung ist abgezogen.

Bei $T=300\,\mathrm K$ ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T=6{,}2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ pro Teilchen im klassischen Gleichgewicht.
Rotation und Schwingung sind nicht in diesem Translationsanteil enthalten.

Typische Fehler

Das Quadrat der mittleren Geschwindigkeit als mittlere kinetische Energie verwenden.

Zuerst jedes Geschwindigkeitsquadrat bilden, dann mitteln: $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac12m\langle c^2\rangle$ . Gemeinsame Strömung vor der thermischen Auswertung abziehen.

Klausurkontext

Mikroskopische Teilchenbewegung mit Temperatur und Wärmelehre verknüpfen.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Der translatorische Energiemittelwert liefert thermischen RMS-Wert und idealen Druck; die gesamte innere Energie kann weitere Beiträge enthalten.

U = 3/2 nRT

Innere Energie eines einatomigen idealen Gases

vrms = √(3kBT/m)

Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

pV = 1/3 Nm⟨v²⟩

Druck aus der kinetischen Gastheorie

⟨E⟩=f kBT/2; U=f nRT/2

Äquipartition der Energie

Rechenbeispiel

Bei $T=300\,\mathrm K$ ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T=6{,}2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ pro Teilchen im klassischen Gleichgewicht. Rotation und Schwingung sind nicht in diesem Translationsanteil enthalten.

Anwendungsgebiete

Mikroskopische Teilchenbewegung mit Temperatur und Wärmelehre verknüpfen.

Rechenbeispiel: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls (⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT).

1
Aufgabe
Ein klassisches ideales Gas im Gleichgewicht bei 300 K. Berechne die mittlere thermische Translationsenergie pro Molekül; gemeinsame Strömung ist abgezogen.
Rechenweg
1. Bei $T=300\,\mathrm K$ ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T=6{,}2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ pro Teilchen im klassischen Gleichgewicht.
2. Rotation und Schwingung sind nicht in diesem Translationsanteil enthalten.

Die Formel verstehen und anwenden

In einem ruhenden Gas bewegen sich die Moleküle ständig. Ihre Richtungen können sich im Mittel aufheben, ihre Bewegungsenergien nicht. Die Temperatur legt im klassischen Gleichgewicht die mittlere Energie dieser ungeordneten Translation fest: $\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ . Das ist ein Mittelwert über die Gasprobe, keine feste Energie jedes Moleküls. Erst wenn diese Unterscheidung klar ist, wird auch verständlich, warum schwere Moleküle bei derselben Temperatur langsamer sein können.

Was bedeutet mittlere translatorische Energie pro Molekül?

\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle=\frac12m\langle c^2\rangle=\frac32 k_{\mathrm B}T

c ist hier der Geschwindigkeitsbetrag relativ zum ruhenden Gas bzw. zur lokalen mittleren Strömung. Das v der oberen Kurzform ist in diesem thermischen Bezug zu verstehen.[1]

Berechne zuerst für jedes Teilchen seine Energie und bilde dann den Mittelwert. Die Klammern stehen für dieses Ensemble- oder geeignete Gleichgewichtsmittel. Unterschiedliche Teilchen sind momentan unterschiedlich schnell. Daher ist $\frac12m\langle c^2\rangle$ nicht allgemein gleich $\frac12m\langle c\rangle^2$ . Schon zwei gleich schwere Teilchen mit entgegengesetzten gleichen Geschwindigkeiten haben zusammen einen mittleren Geschwindigkeitsvektor von null, aber positive mittlere Bewegungsenergie.[3]

Drei quadratische Bewegungsanteile

Der Faktor drei kommt von den drei Raumrichtungen. Jede enthält einen quadratischen Energieanteil, zum Beispiel $\frac12mc_x^2$ . Im klassischen thermischen Gleichgewicht liefert jeder unabhängige Anteil im Mittel $\frac12k_{\mathrm B}T$ . Addiere die Beiträge der drei Richtungen. Erst diese statistische Gleichgewichtsannahme legt den Mittelwert fest; die bekannte Bewegungsenergie eines einzelnen Teilchens allein liefert noch keine Temperaturbeziehung.[2][5]

\begin{aligned}\langle E_x\rangle=\langle E_y\rangle=\langle E_z\rangle&=\frac12k_{\mathrm B}T\\\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle&=\frac32k_{\mathrm B}T\end{aligned}

Die gleiche Temperatur bestimmt die drei Mittelwerte, keine drei getrennten Temperaturen.[2]

Vertiefung: Einzelbeitrag aus der Gaußverteilung

Wer den halben Einzelbeitrag genauer nachvollziehen möchte, kann die Gaußdichte einer Komponente verwenden. Setze $a=\frac{m}{2k_{\mathrm B}T}$ ; dann ist die Dichte proportional zu $e^{-ac_x^2}$ . Partielle Integration verbindet das zweite Moment mit dem Normierungsintegral und ergibt $\langle c_x^2\rangle=\frac1{2a}$ . Der Randterm verschwindet im Unendlichen wegen des Exponentialfaktors. Das Produkt mit $\frac m2$ liefert wiederum den halben Energiebeitrag.[5]

Vertiefung: Einzelbeitrag aus der Gaußverteilung

\frac{\int_{-\infty}^{\infty}c_x^2e^{-ac_x^2}\,dc_x}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ac_x^2}\,dc_x}=\frac1{2a}=\frac{k_{\mathrm B}T}{m}

Mit $\frac m2$ multipliziert ergibt dies den mittleren Energieanteil $\frac12k_{\mathrm B}T$ . Die Gaußform ist eine Gleichgewichtsvoraussetzung, kein Ansatz für jede Nichtgleichgewichtsverteilung.[5]

Wie verwendet man Kelvin und unterscheidet Teilchen- und Probenenergie?

T=\frac{2\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle}{3k_{\mathrm B}},\qquad k_{\mathrm B}=1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}

kB ist im SI exakt definiert. Die Genauigkeit einer gemessenen Energie oder Temperatur folgt trotzdem aus den Eingangsdaten.[7]

Die Formel braucht absolute Temperatur: $T[\mathrm K]=\vartheta[{}^\circ\mathrm C]+273{,}15$ . Bei 20 °C verwendest du 293,15 K. Eine Erwärmung auf 40 °C verdoppelt deshalb nicht die Energie. Nur Temperaturdifferenzen haben in Kelvin und Celsius denselben Zahlenwert. Das Produkt $k_{\mathrm B}T$ liefert Joule pro Teilchen. Für die Energie der ganzen Probe multiplizierst du zusätzlich mit ihrer Teilchenzahl; alternativ verwendest du Stoffmenge und Gaskonstante.[4]

\begin{aligned}N&=nN_{\mathrm A}\\R&=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}=8.31446261815324\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\end{aligned}

NA=6,02214076·10²³ mol⁻¹ ist exakt; R ist damit ebenfalls exakt. Gerundet verwenden wir R≈8,31446.[7]

Temperatur umrechnen und Gasarten vergleichen

Die Energiebeziehung wird zunächst pro Teilchen, anschließend für die gesamte Probe ausgewertet. Die beiden Gasarten zeigen die Massenunabhängigkeit des Energiemittels. Das zusätzliche Strömungsbeispiel trennt davon die Energie relativ zum Labor. Die thermische RMS-Geschwindigkeit verwendet entsprechend das Quadratmittel der Bewegung relativ zum Gasstrom.[1][8]

Thermische Translation bei 20 °C

Gegeben: Klassisches verdünntes Gas im Gleichgewicht bei 20,0 °C; $N=3{,}00\cdot10^{22}$ Teilchen, ohne gemeinsame Strömung.
Gesucht: Mittlere translatorische Energie und translatorische Gesamtenergie finden.

Ansatz: Für drei klassische translatorische Freiheitsgrade ohne gemeinsame Strömung hängt die mittlere Teilchenenergie nur von der absoluten Temperatur ab. Die Teilchenzahl liefert daraus die gesamte translatorische Energie.
$\begin{aligned}\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle&=\frac32k_BT\\{}E_{\mathrm{tr,total}}&=N\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle\end{aligned}$
Zuerst die absolute Temperatur verwenden.
$T=20.0+273.15=293.15\,\mathrm K$
Energie pro Teilchen auswerten.
$\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle=\frac32(1.380649\times10^{-23})(293.15)=6.07105881525\times10^{-21}\,\mathrm J$
Mit der Zahl der Teilchen multiplizieren.
$E_{\mathrm{tr,total}}=N\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle\approx182.132\,\mathrm J$

Ergebnis: Etwa 6,07·10⁻²¹ J pro Teilchen und 182 J translatorische Energie der Probe. Für ein mehratomiges Gas ist das nicht automatisch seine gesamte innere Energie.

Kontrolle: $n=\frac N{N_A}\approx0{,}0498162\,\mathrm{mol}$ ; $\frac32nRT$ liefert dieselben 182,132 J. Joule pro Kelvin mal Kelvin ergeben Joule pro Teilchen, nicht Joule pro Mol.

Gleiche Energie, unterschiedliche Geschwindigkeiten

Gegeben: Zwei klassische ideale Gasarten bei $T=600\,\mathrm K$ , Modell-Molmassen $M_1=0{,}00400\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $M_2=0{,}0400\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ . Beide sind relativ zur mittleren Strömung beschrieben.
Gesucht: Mittlere Translation vergleichen und passende RMS-Geschwindigkeiten bestimmen.

Ansatz: Gleiche Gleichgewichtstemperatur bedeutet gleiche mittlere thermische Translation pro Teilchen. Unterschiedliche Molmassen ergeben trotzdem unterschiedliche RMS-Geschwindigkeiten im lokalen Ruhesystem.
$\begin{aligned}\langle E_1\rangle&=\langle E_2\rangle=\frac32k_BT\\{}c_{\mathrm{rms},i}&=\sqrt{\frac{3RT}{M_i}}\end{aligned}$
Die Energie benötigt keine Masse der Gasart.
$\langle E_1\rangle=\langle E_2\rangle=\frac32k_{\mathrm B}(600)=1.2425841\times10^{-20}\,\mathrm J$
Aus $\frac12m\langle c^2\rangle$ folgt die massenabhängige Geschwindigkeit.
$\begin{aligned}c_{\mathrm{rms},1}&=\sqrt{\frac{3RT}{M_1}}\approx1934.30\,\mathrm{m/s}\\{} c_{\mathrm{rms},2}\approx611.679\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Gasarten haben denselben mittleren translatorischen Energiewert. Die zehnmal schwerere Gasart hat nur $\frac1{\sqrt{10}}$ der RMS-Geschwindigkeit.

Kontrolle: Die molare Energie $\frac12M c_{\mathrm{rms}}^2$ ist für beide $\frac32RT\approx7483{,}01636\,\frac{\mathrm J}{\mathrm{mol}}$ . Zehnfache Masse und zehnmal kleineres Geschwindigkeitsquadrat gleichen sich aus.

Bewegte Probe: Temperatur und Laborenergie trennen

Gegeben: 0,300 mol klassisches ideales Modellgas mit molarer Masse 0,0280 kg/mol bei 300 K. Die Probe bewegt sich als Ganzes gleichförmig mit 200 m/s relativ zum Labor. Keine Rotation der Probe; gesucht ist ausschließlich die translatorische Energie.
Gesucht: Thermische, gemeinsame und gesamte translatorische Laborenergie bestimmen.

Ansatz: Erst die Energie relativ zur mittleren Gasbewegung, dann die gemeinsame Schwerpunktenergie addieren.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{thermal}}&=\frac32nRT\\m_{\mathrm{sample}}&=nM\\E_{\mathrm{bulk}}&=\frac12nMu^2\\E_{\mathrm{lab}}&=E_{\mathrm{thermal}}+E_{\mathrm{bulk}}\end{aligned}$
Thermische Energie und Probenmasse einsetzen.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{thermal}}&=\frac32\cdot0.300\cdot8.31446261815324\cdot300\,\mathrm J\\&\simeq1122.45245\,\mathrm J\\m_{\mathrm{sample}}&=0.300\cdot0.0280\,\mathrm{kg}=0.00840\,\mathrm{kg}\end{aligned}$
Die gemeinsame Bewegung getrennt bilanzieren.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{bulk}}&=\frac12\cdot0.00840\cdot200^2\,\mathrm J=168.0\,\mathrm J\\E_{\mathrm{lab}}&\simeq1290.45245\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Die translatorische Laborenergie beträgt etwa 1,290 kJ. Davon sind 1,122 kJ thermisch und 168 J gemeinsame Bewegung; die Temperatur bleibt 300 K.

Kontrolle: Im mitbewegten Rahmen ist $u=0$ und nur die thermische Energie bleibt. Wer die gesamte Laborenergie als thermisch deutet, erhält fälschlich etwa 344,90 K. Dieser Rahmenwechsel ist keine Erwärmung und kein Prozess, bei dem die 168 J dissipiert werden.

Eine Strömung macht das Gas nicht automatisch heißer

\begin{aligned}\mathbf c_i&=\mathbf v_i-\mathbf u\\\langle\mathbf c\rangle&=0\\\frac12m\langle v^2\rangle&=\frac12mu^2+\frac12m\langle c^2\rangle\end{aligned}

u ist die gemeinsame mittlere Geschwindigkeit im betrachteten gleichförmigen Gasvolumen. Thermische Energie benutzt die Relativbewegung c.[4][8]

Hier bezeichnet $\mathbf u$ die gemeinsame mittlere Gasbewegung und $\mathbf c$ die ungeordnete Bewegung relativ dazu. Beim Quadrieren entsteht zunächst auch ein gemischter Term; im Mittel verschwindet er, weil $\langle\mathbf c\rangle=0$ . Daher addieren sich Strömungsenergie und thermische Translationsenergie. Ein bloßer Wechsel des Beobachtungsrahmens erhöht die thermodynamische Temperatur nicht. Reale Reibung, Kompression oder Stoßwellen können Energie allerdings umverteilen; dann ist eine tatsächliche Energiebilanz nötig.[4][6][8]

Bild ansehen: thermische und gemeinsame Energie

Gemeinsame Bewegung verschiebt die Laborenergie

QUANTA STUDYquanta-study.de

Eigene Modellkurven für molare Masse 0,0280 kg/mol und feste Bulkgeschwindigkeit 200 m/s. Die vertikale Differenz ist gemeinsame Bewegungsenergie, keine zusätzliche Temperatur.[4][8]

Kostenlos mit Quanta-Konto. Dein Download bleibt nach der Registrierung bereit.

Translation von inneren Molekülbewegungen trennen

Die drei translatorischen Beiträge gelten auch für ein mehratomiges ideales Gas im klassischen Gleichgewicht. Molekülrotation und -schwingung können zusätzliche innere Energie tragen; sie ersetzen den Faktor $\frac32$ der Translation nicht. Für die gesamte innere Energie musst du diese weiteren aktiven Beiträge ergänzen. Im einatomigen Modell ohne elektronische Anregung bleibt dagegen nur die Translation übrig. Die innere Energie eines einatomigen idealen Gases summiert unter diesen Bedingungen die translatorischen Einzelbeiträge der ganzen Probe.[2]

Aus einem geeigneten Energiemittel lässt sich eine Gleichgewichtstemperatur bestimmen. Ein einzelnes Teilchen besitzt keine thermodynamische Temperatur in demselben Sinn. Ebenso entscheidet ein Mittelwert nicht allein, ob eine chemische Reaktionsschwelle überschritten wird: Die Verteilung enthält Teilchen oberhalb und unterhalb des Mittelwerts. Für solche Fragen braucht man zusätzlich die Verteilung und ein Reaktionsmodell.[3]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Bei $T=200\,\mathrm K$ : Bestimme die mittlere translatorische Energie eines klassischen idealen Teilchens.

Hinweis anzeigen

Drei Freiheitsgrade, Energie pro Teilchen.

Lernziel: Thermische translatorische Energie pro Teilchen mit kB berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ .
Einsetzen unten ergibt etwa $4{,}142\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ pro Teilchen.

Kontrolle: Die Einheit J/K kürzt sich mit K. Bei derselben Temperatur ändert eine andere Gasart diesen translatorischen Mittelwert im angegebenen klassischen Modell nicht.

\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32\cdot1.380649\cdot10^{-23}\cdot200\,\mathrm J=4.141947\cdot10^{-21}\,\mathrm J

Umstellen · Anwenden

Im passenden klassischen Gleichgewichtsmodell ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . Welche Temperatur gehört dazu?

Hinweis anzeigen

Nach T umstellen, nicht durch R teilen.

Lernziel: Die absolute Temperatur aus einem Teilchen-Energiemittelwert bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die thermische Translationsbeziehung nach absoluter Temperatur umstellen.
$T=\frac{2\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle}{3k_B}=400\,\mathrm K$ .
Rückrechnung gibt denselben Energiewert.
R wäre für Energie pro Mol, nicht für diese Einzelteilchenenergie passend.

T=400\,\mathrm K

Interpretieren · Anwenden

Dieselbe Gasart erwärmt sich von 240 auf 360 K. Wie ändern sich ⟨Etr⟩ und crms?

Hinweis anzeigen

Energie ist proportional T; RMS-Geschwindigkeit proportional √T.

Lernziel: Lineare Energieskalierung und Wurzelskalierung der thermischen Geschwindigkeit trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Energie ist proportional zu $T$ , die RMS-Geschwindigkeit bei fester Masse zu $\sqrt T$ .
Das Temperaturverhältnis ist $\frac{360}{240}=1{,}50$ .
Deshalb steigt die mittlere Energie um 50 %, die RMS-Geschwindigkeit aber nur um etwa 22,5 %.

Kontrolle: Das Quadrat des Geschwindigkeitsfaktors ergibt wieder den Energiefaktor.

\begin{aligned}\frac{\langle E_2\rangle}{\langle E_1\rangle}&=\frac{360}{240}=1.50\\\frac{c_{\mathrm{rms},2}}{c_{\mathrm{rms},1}}&=\sqrt{1.50}\simeq1.224745\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Zwei klassische ideale Gassorten sind im thermischen Gleichgewicht bei derselben Temperatur. Die Molekülmasse von B ist neunmal so groß wie die von A. Vergleiche mittlere translatorische kinetische Energie und RMS-Geschwindigkeit pro Molekül. Eine Skizze zeigt bei B kürzere Geschwindigkeitspfeile; bedeutet das weniger mittlere translatorische Energie?

Hinweis anzeigen

Der thermische Energiemittelwert hängt nur von T und den translatorischen Freiheitsgraden ab. Die Geschwindigkeit hängt zusätzlich von der Molekülmasse ab.

Lernziel: Gleiche translatorische Energie bei unterschiedlichen Molekülmassen erklären.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für beide Gase denselben translatorischen Energiemittelwert verwenden und daraus das Verhältnis der Geschwindigkeitsquadrate ableiten.
Die Energien sind gleich; B hat nur ein Drittel der RMS-Geschwindigkeit.

Kontrolle: Die neunfache Masse mal das neuntel Geschwindigkeitsquadrat liefert dieselbe Energie. Kürzere Geschwindigkeitspfeile bedeuten somit bei anderer Masse nicht automatisch weniger kinetische Energie.

\begin{aligned}\langle E_A\rangle=\langle E_B\rangle&=\frac32k_BT\\\frac{\langle c_B^2\rangle}{\langle c_A^2\rangle}&=\frac{m_A}{m_B}=\frac19\\\frac{c_{\mathrm{rms},B}}{c_{\mathrm{rms},A}}&=\frac13\end{aligned}

[2][1]

Fehleranalyse · Einstieg

Im Ruhesystem eines isotropen Gleichgewichtsgases bei 300 K ist die mittlere Molekülgeschwindigkeit als Vektor null. Jemand setzt diesen Nullvektor in $E=\frac12m|\langle\vec c\rangle|^2$ ein und erklärt die mittlere translatorische Energie für null. Korrigiere die Mittelwertbildung und berechne die Energie pro Molekül mit $k_{\mathrm B}=1{,}380649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .

Hinweis anzeigen

Gegenläufige Geschwindigkeitsvektoren können sich aufheben; ihre Quadrate sind beide positiv. Erst quadrieren, dann mitteln.

Lernziel: Das Quadrat eines Mittelwerts vom Mittelwert eines Quadrats unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die kinetische Energie jedes Teilchens bilden und anschließend mitteln.
Dafür braucht man das mittlere Geschwindigkeitsquadrat, nicht das Quadrat der mittleren Geschwindigkeit.
Bei 300 K ergibt sich rund 6,213·10⁻²¹ J pro Molekül.

Kontrolle: Das Ergebnis ist positiv, obwohl der Gasbulk ruht. Schon zwei Teilchen mit entgegengesetzten gleichen Geschwindigkeiten zeigen den Unterschied der beiden Mittelwertoperationen.

\begin{aligned}\langle\vec c\rangle&=0\\\langle E\rangle&=\frac12m\langle|\vec c|^2\rangle=\frac32k_BT\\&=\frac32(1.380649\cdot10^{-23})(300)\,\mathrm J\\&=6.2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J\end{aligned}

[1][2][7]

Klassischer Gleichgewichtswert mit klaren Grenzen

Die Rechnung nimmt ein ausreichend verdünntes, nicht quantenentartetes Gas im thermischen Gleichgewicht an. Vernachlässigt werden relevante Wechselwirkungsenergie und relativistische Teilchenbewegung. Bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Phasenraumdichte kann eine Quantenstatistik nötig werden; ein idealisiertes wechselwirkungsfreies Gas muss nicht automatisch klassisch sein.[5]

Außerhalb des Gleichgewichts können Richtungen oder Gasarten unterschiedliche Verteilungen haben. Dann beschreibt eine einzige Temperatur nicht unbedingt alle zweiten Geschwindigkeitsmomente. Die formale Fortsetzung zu $T=0$ ist deshalb keine vollständige Aussage über den realen Grundzustand. Das lineare Diagramm ist nur innerhalb des genannten klassischen Bereichs als physikalisches Modell zu lesen.[5]

Kurz zusammengefasst

Mittlere Energie ist der Mittelwert der einzelnen Energien. Die drei klassischen Translationsanteile ergeben denselben Energiemittelwert bei gleicher Temperatur, unabhängig von der Molekülmasse. Größere Masse bedeutet deshalb geringere typische Geschwindigkeit. Verwende Kelvin und unterscheide Energie pro Teilchen, pro Mol und für die ganze Probe. Gemeinsame Gasbewegung wird getrennt von thermischer Bewegung bilanziert.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Energie pro Teilchen, Kelvin und gesamte Probe in Frageüberschriften hervorgehoben; Absatzverbindungen zu einatomiger innerer Energie und thermischer RMS-Geschwindigkeit ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Erklärungen überarbeitet; drittes vollständiges Beispiel, eigene quantitative Grafik und kurze Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Aufgaben, Modelle und Quellen erhalten; Formelsatz und Modellbedingungen präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/mittlere-kinetische-energie-molekuel

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Was beschreibt die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls physikalisch?+

Die Beziehung beschreibt die mittlere translatorische Energie pro Teilchen eines klassischen idealen Gases im thermischen Gleichgewicht: $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ . Jede der drei Raumrichtungen trägt $\frac12k_{\mathrm B}T$ bei. Gemeint ist ungeordnete Bewegung relativ zum ruhenden Gas oder zur lokalen mittleren Strömung. Ein einzelnes Teilchen muss diesen Energiewert nicht besitzen. Bei gleicher Temperatur haben leichte und schwere Gasarten denselben translatorischen Mittelwert, aber unterschiedliche Geschwindigkeiten. Bei 300 K sind es 6,2129205·10⁻²¹ J pro Teilchen. Molekulare Rotation, Schwingung und gemeinsame Schwerpunktbewegung werden nicht in diesen Wert hineingerechnet; sie benötigen eigene Energiebeiträge.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur mittleren translatorischen Energie eines Gasmoleküls?+

Prüfe zuerst die absolute Temperatur und den Energiebezug. Bei 20 °C ist $T=293{,}15\,\mathrm K$ , nicht 20 K. Dann liefert $\frac32k_{\mathrm B}T$ den Wert 6,07105881525·10⁻²¹ J pro Teilchen. Für $N=3{,}00\cdot10^{22}$ Teilchen beträgt die gesamte translatorische Energie 182,131764 J. Als unabhängige Kontrolle rechne mit $n=\frac N{N_{\mathrm A}}$ und $\frac32nRT$ ; das Ergebnis muss identisch sein. Bei einem mehratomigen Gas ist diese Summe noch nicht unbedingt die gesamte innere Energie. Eine gemeinsame Strömung musst du vor der thermischen Auswertung abziehen, statt ihre Laborenergie als Temperaturerhöhung zu zählen.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls?+

Vorausgesetzt sind klassische nichtrelativistische Teilchen im thermischen Gleichgewicht und vernachlässigbare Wechselwirkungsbeiträge. Die statistische Gleichverteilung liefert den Faktor 3/2 für drei translatorische Freiheitsgrade. Ein ideales Gas ist nicht automatisch klassisch: Bei tiefer Temperatur oder hoher Phasenraumdichte können Quanteneffekte wichtig werden. Außerhalb des Gleichgewichts können Richtungen verschiedene zweite Geschwindigkeitsmomente haben; eine einzelne Temperatur beschreibt dann nicht zwingend die ganze Verteilung. Bei Molekülen bleiben Rotation und Schwingung zusätzliche innere Beiträge. Deshalb ist die Gleichung für Translation auch kein pauschales Gesetz für die gesamte Energie beliebiger Stoffe oder für deren realen Grundzustand.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der mittleren translatorischen Energie eines Gasmoleküls?+

$k_{\mathrm B}=1{,}380649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ ist eine exakte SI-Konstante. Multiplikation mit T in Kelvin ergibt Joule pro Teilchen. Der kleine Zahlenwert ist keine ungewöhnlich geringe Energie einer ganzen Probe: Bei 300 K multipliziert eine Teilchenzahl von 10²³ den Mittelwert zu etwa 621,292 J translatorischer Gesamtenergie. Pro Mol ergibt sich $\frac32RT\simeq3741{,}508\,\mathrm{J\,mol^{-1}}$ . Verwende deshalb kB für Einzelteilchen und R für molare Größen. Eine Celsius-Temperatur darf nicht direkt eingesetzt werden. Kontrolliere außerdem die Skalierung: Eine Verdopplung der absoluten Temperatur verdoppelt die mittlere Energie, erhöht die RMS-Geschwindigkeit derselben Gasart aber nur um $\sqrt2$ .

Wann kombiniere ich die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls mit einer weiteren Beziehung?+

Für eine Geschwindigkeit kombiniere $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ mit $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac12m\langle c^2\rangle$ . Daraus folgt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}$ , nicht die arithmetische mittlere Geschwindigkeit. Für eine Gasprobe multipliziere mit N oder nutze $N=nN_{\mathrm A}$ . Bei einem einatomigen idealen Gas ohne weitere aktive innere Anregungen folgt $U=\frac32nRT$ . Druck erhältst du zusätzlich über $pV=Nk_{\mathrm B}T$ . In einem mehratomigen Gas beschreibt $\frac32nRT$ dagegen nur den translatorischen Anteil. In einem strömenden Gas gilt $\mathbf c=\mathbf v-\mathbf u$ ; gemeinsame Bewegung wird getrennt bilanziert und darf nicht ohne Korrektur zur Bestimmung der thermischen Temperatur verwendet werden. Bei gleicher T ändern unterschiedliche Teilchenmassen nur die jeweils benötigten Geschwindigkeitsquadrate.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du ⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT nach Absolute Temperatur um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei ⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT?

Antwort in deinem Set

+ 6 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 9 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §2.2: Pressure, Temperature, and RMS Speed

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für ⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT: Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

Karteikarten oder Test erstellen Schon registriert? Direkt weiter

Kuratiertes Formelset · LaTeX · FSRS Spaced Repetition · übernehmen ab Essential

Quanta Study Redaktion

Mittlere kinetische Energie eines Gasmoleküls

Die mittlere translatorische kinetische Energie eines idealen Gasmoleküls hängt nur von der absoluten Temperatur ab.

GrundlegendPrüfungsrelevantUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

Ansehen kostenlos · Karteikarten oder Multiple-Choice-Test · übernehmen ab Essential

Symbol

Bedeutung

Einheit

⟨Ekin⟩

mittlere translatorische kinetische Energie pro Molekül

kB

Boltzmann-Konstante

J/K

T

absolute Temperatur

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Drei klassische quadratische Translationsanteile liefern je $\frac12k_{\mathrm B}T$ im Gleichgewicht. Gemittelt wird im lokalen Gasruhessystem.

1Definiere thermische Geschwindigkeit relativ zur lokalen Gasbewegung: $\mathbf c=\mathbf v-\mathbf u$ .
2Die Translationsenergie hat drei quadratische Terme: $E_{\mathrm{tr}}=\frac m2(c_x^2+c_y^2+c_z^2)$ .
3Äquipartition liefert $\frac m2\langle c_x^2\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T$ , ebenso für die beiden anderen Komponenten.
4Addiere die Mittelwerte: $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ .
5Bei bekannter mittlerer Energie gilt $T=\frac{2\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle}{3k_{\mathrm B}}$ , in Kelvin.
6Für die Probe addiere $N$ Beiträge. Mit $N=nN_{\mathrm A}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ wird die Summe $\frac32nRT$ .

Rechenbeispiel: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls (⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT).

Aufgabe

Ein klassisches ideales Gas im Gleichgewicht bei 300 K. Berechne die mittlere thermische Translationsenergie pro Molekül; gemeinsame Strömung ist abgezogen.

Rechenweg

Bei $T=300\,\mathrm K$ ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T=6{,}2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ pro Teilchen im klassischen Gleichgewicht.
Rotation und Schwingung sind nicht in diesem Translationsanteil enthalten.

Die Formel verstehen und anwenden

\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T

. Das ist ein Mittelwert über die Gasprobe, keine feste Energie jedes Moleküls. Erst wenn diese Unterscheidung klar ist, wird auch verständlich, warum schwere Moleküle bei derselben Temperatur langsamer sein können.

Was bedeutet mittlere translatorische Energie pro Molekül?

\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle=\frac12m\langle c^2\rangle=\frac32 k_{\mathrm B}T

c ist hier der Geschwindigkeitsbetrag relativ zum ruhenden Gas bzw. zur lokalen mittleren Strömung. Das v der oberen Kurzform ist in diesem thermischen Bezug zu verstehen.[1]

Drei quadratische Bewegungsanteile

\begin{aligned}\langle E_x\rangle=\langle E_y\rangle=\langle E_z\rangle&=\frac12k_{\mathrm B}T\\\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle&=\frac32k_{\mathrm B}T\end{aligned}

Die gleiche Temperatur bestimmt die drei Mittelwerte, keine drei getrennten Temperaturen.[2]

Vertiefung: Einzelbeitrag aus der Gaußverteilung

\frac{\int_{-\infty}^{\infty}c_x^2e^{-ac_x^2}\,dc_x}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ac_x^2}\,dc_x}=\frac1{2a}=\frac{k_{\mathrm B}T}{m}

Wie verwendet man Kelvin und unterscheidet Teilchen- und Probenenergie?

T=\frac{2\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle}{3k_{\mathrm B}},\qquad k_{\mathrm B}=1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}

kB ist im SI exakt definiert. Die Genauigkeit einer gemessenen Energie oder Temperatur folgt trotzdem aus den Eingangsdaten.[7]

\begin{aligned}N&=nN_{\mathrm A}\\R&=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}=8.31446261815324\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\end{aligned}

NA=6,02214076·10²³ mol⁻¹ ist exakt; R ist damit ebenfalls exakt. Gerundet verwenden wir R≈8,31446.[7]

Temperatur umrechnen und Gasarten vergleichen

Thermische Translation bei 20 °C

Gegeben: Klassisches verdünntes Gas im Gleichgewicht bei 20,0 °C; $N=3{,}00\cdot10^{22}$ Teilchen, ohne gemeinsame Strömung.
Gesucht: Mittlere translatorische Energie und translatorische Gesamtenergie finden.

Ansatz: Für drei klassische translatorische Freiheitsgrade ohne gemeinsame Strömung hängt die mittlere Teilchenenergie nur von der absoluten Temperatur ab. Die Teilchenzahl liefert daraus die gesamte translatorische Energie.
$\begin{aligned}\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle&=\frac32k_BT\\{}E_{\mathrm{tr,total}}&=N\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle\end{aligned}$
Zuerst die absolute Temperatur verwenden.
$T=20.0+273.15=293.15\,\mathrm K$
Energie pro Teilchen auswerten.
$\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle=\frac32(1.380649\times10^{-23})(293.15)=6.07105881525\times10^{-21}\,\mathrm J$
Mit der Zahl der Teilchen multiplizieren.
$E_{\mathrm{tr,total}}=N\langle E_{\mathrm{kin,tr}}\rangle\approx182.132\,\mathrm J$

Ergebnis: Etwa 6,07·10⁻²¹ J pro Teilchen und 182 J translatorische Energie der Probe. Für ein mehratomiges Gas ist das nicht automatisch seine gesamte innere Energie.

Kontrolle: $n=\frac N{N_A}\approx0{,}0498162\,\mathrm{mol}$ ; $\frac32nRT$ liefert dieselben 182,132 J. Joule pro Kelvin mal Kelvin ergeben Joule pro Teilchen, nicht Joule pro Mol.

Gleiche Energie, unterschiedliche Geschwindigkeiten

Gegeben: Zwei klassische ideale Gasarten bei $T=600\,\mathrm K$ , Modell-Molmassen $M_1=0{,}00400\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $M_2=0{,}0400\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ . Beide sind relativ zur mittleren Strömung beschrieben.
Gesucht: Mittlere Translation vergleichen und passende RMS-Geschwindigkeiten bestimmen.

Ansatz: Gleiche Gleichgewichtstemperatur bedeutet gleiche mittlere thermische Translation pro Teilchen. Unterschiedliche Molmassen ergeben trotzdem unterschiedliche RMS-Geschwindigkeiten im lokalen Ruhesystem.
$\begin{aligned}\langle E_1\rangle&=\langle E_2\rangle=\frac32k_BT\\{}c_{\mathrm{rms},i}&=\sqrt{\frac{3RT}{M_i}}\end{aligned}$
Die Energie benötigt keine Masse der Gasart.
$\langle E_1\rangle=\langle E_2\rangle=\frac32k_{\mathrm B}(600)=1.2425841\times10^{-20}\,\mathrm J$
Aus $\frac12m\langle c^2\rangle$ folgt die massenabhängige Geschwindigkeit.
$\begin{aligned}c_{\mathrm{rms},1}&=\sqrt{\frac{3RT}{M_1}}\approx1934.30\,\mathrm{m/s}\\{} c_{\mathrm{rms},2}\approx611.679\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Gasarten haben denselben mittleren translatorischen Energiewert. Die zehnmal schwerere Gasart hat nur $\frac1{\sqrt{10}}$ der RMS-Geschwindigkeit.

Bewegte Probe: Temperatur und Laborenergie trennen

Gegeben: 0,300 mol klassisches ideales Modellgas mit molarer Masse 0,0280 kg/mol bei 300 K. Die Probe bewegt sich als Ganzes gleichförmig mit 200 m/s relativ zum Labor. Keine Rotation der Probe; gesucht ist ausschließlich die translatorische Energie.
Gesucht: Thermische, gemeinsame und gesamte translatorische Laborenergie bestimmen.

Ansatz: Erst die Energie relativ zur mittleren Gasbewegung, dann die gemeinsame Schwerpunktenergie addieren.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{thermal}}&=\frac32nRT\\m_{\mathrm{sample}}&=nM\\E_{\mathrm{bulk}}&=\frac12nMu^2\\E_{\mathrm{lab}}&=E_{\mathrm{thermal}}+E_{\mathrm{bulk}}\end{aligned}$
Thermische Energie und Probenmasse einsetzen.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{thermal}}&=\frac32\cdot0.300\cdot8.31446261815324\cdot300\,\mathrm J\\&\simeq1122.45245\,\mathrm J\\m_{\mathrm{sample}}&=0.300\cdot0.0280\,\mathrm{kg}=0.00840\,\mathrm{kg}\end{aligned}$
Die gemeinsame Bewegung getrennt bilanzieren.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{bulk}}&=\frac12\cdot0.00840\cdot200^2\,\mathrm J=168.0\,\mathrm J\\E_{\mathrm{lab}}&\simeq1290.45245\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Die translatorische Laborenergie beträgt etwa 1,290 kJ. Davon sind 1,122 kJ thermisch und 168 J gemeinsame Bewegung; die Temperatur bleibt 300 K.

Eine Strömung macht das Gas nicht automatisch heißer

\begin{aligned}\mathbf c_i&=\mathbf v_i-\mathbf u\\\langle\mathbf c\rangle&=0\\\frac12m\langle v^2\rangle&=\frac12mu^2+\frac12m\langle c^2\rangle\end{aligned}

u ist die gemeinsame mittlere Geschwindigkeit im betrachteten gleichförmigen Gasvolumen. Thermische Energie benutzt die Relativbewegung c.[4][8]

Bild ansehen: thermische und gemeinsame Energie

Gemeinsame Bewegung verschiebt die Laborenergie

QUANTA STUDYquanta-study.de

Eigene Modellkurven für molare Masse 0,0280 kg/mol und feste Bulkgeschwindigkeit 200 m/s. Die vertikale Differenz ist gemeinsame Bewegungsenergie, keine zusätzliche Temperatur.[4][8]

Kostenlos mit Quanta-Konto. Dein Download bleibt nach der Registrierung bereit.

Translation von inneren Molekülbewegungen trennen

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Bei $T=200\,\mathrm K$ : Bestimme die mittlere translatorische Energie eines klassischen idealen Teilchens.

Hinweis anzeigen

Drei Freiheitsgrade, Energie pro Teilchen.

Lernziel: Thermische translatorische Energie pro Teilchen mit kB berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ .
Einsetzen unten ergibt etwa $4{,}142\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ pro Teilchen.

Kontrolle: Die Einheit J/K kürzt sich mit K. Bei derselben Temperatur ändert eine andere Gasart diesen translatorischen Mittelwert im angegebenen klassischen Modell nicht.

\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32\cdot1.380649\cdot10^{-23}\cdot200\,\mathrm J=4.141947\cdot10^{-21}\,\mathrm J

Umstellen · Anwenden

Im passenden klassischen Gleichgewichtsmodell ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . Welche Temperatur gehört dazu?

Hinweis anzeigen

Nach T umstellen, nicht durch R teilen.

Lernziel: Die absolute Temperatur aus einem Teilchen-Energiemittelwert bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die thermische Translationsbeziehung nach absoluter Temperatur umstellen.
$T=\frac{2\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle}{3k_B}=400\,\mathrm K$ .
Rückrechnung gibt denselben Energiewert.
R wäre für Energie pro Mol, nicht für diese Einzelteilchenenergie passend.

T=400\,\mathrm K

Interpretieren · Anwenden

Dieselbe Gasart erwärmt sich von 240 auf 360 K. Wie ändern sich ⟨Etr⟩ und crms?

Hinweis anzeigen

Energie ist proportional T; RMS-Geschwindigkeit proportional √T.

Lernziel: Lineare Energieskalierung und Wurzelskalierung der thermischen Geschwindigkeit trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Energie ist proportional zu $T$ , die RMS-Geschwindigkeit bei fester Masse zu $\sqrt T$ .
Das Temperaturverhältnis ist $\frac{360}{240}=1{,}50$ .
Deshalb steigt die mittlere Energie um 50 %, die RMS-Geschwindigkeit aber nur um etwa 22,5 %.

Kontrolle: Das Quadrat des Geschwindigkeitsfaktors ergibt wieder den Energiefaktor.

\begin{aligned}\frac{\langle E_2\rangle}{\langle E_1\rangle}&=\frac{360}{240}=1.50\\\frac{c_{\mathrm{rms},2}}{c_{\mathrm{rms},1}}&=\sqrt{1.50}\simeq1.224745\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Zwei klassische ideale Gassorten sind im thermischen Gleichgewicht bei derselben Temperatur. Die Molekülmasse von B ist neunmal so groß wie die von A. Vergleiche mittlere translatorische kinetische Energie und RMS-Geschwindigkeit pro Molekül. Eine Skizze zeigt bei B kürzere Geschwindigkeitspfeile; bedeutet das weniger mittlere translatorische Energie?

Hinweis anzeigen

Der thermische Energiemittelwert hängt nur von T und den translatorischen Freiheitsgraden ab. Die Geschwindigkeit hängt zusätzlich von der Molekülmasse ab.

Lernziel: Gleiche translatorische Energie bei unterschiedlichen Molekülmassen erklären.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für beide Gase denselben translatorischen Energiemittelwert verwenden und daraus das Verhältnis der Geschwindigkeitsquadrate ableiten.
Die Energien sind gleich; B hat nur ein Drittel der RMS-Geschwindigkeit.

\begin{aligned}\langle E_A\rangle=\langle E_B\rangle&=\frac32k_BT\\\frac{\langle c_B^2\rangle}{\langle c_A^2\rangle}&=\frac{m_A}{m_B}=\frac19\\\frac{c_{\mathrm{rms},B}}{c_{\mathrm{rms},A}}&=\frac13\end{aligned}

[2][1]

Fehleranalyse · Einstieg

Im Ruhesystem eines isotropen Gleichgewichtsgases bei 300 K ist die mittlere Molekülgeschwindigkeit als Vektor null. Jemand setzt diesen Nullvektor in $E=\frac12m|\langle\vec c\rangle|^2$ ein und erklärt die mittlere translatorische Energie für null. Korrigiere die Mittelwertbildung und berechne die Energie pro Molekül mit $k_{\mathrm B}=1{,}380649\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .

Hinweis anzeigen

Gegenläufige Geschwindigkeitsvektoren können sich aufheben; ihre Quadrate sind beide positiv. Erst quadrieren, dann mitteln.

Lernziel: Das Quadrat eines Mittelwerts vom Mittelwert eines Quadrats unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die kinetische Energie jedes Teilchens bilden und anschließend mitteln.
Dafür braucht man das mittlere Geschwindigkeitsquadrat, nicht das Quadrat der mittleren Geschwindigkeit.
Bei 300 K ergibt sich rund 6,213·10⁻²¹ J pro Molekül.

Kontrolle: Das Ergebnis ist positiv, obwohl der Gasbulk ruht. Schon zwei Teilchen mit entgegengesetzten gleichen Geschwindigkeiten zeigen den Unterschied der beiden Mittelwertoperationen.

\begin{aligned}\langle\vec c\rangle&=0\\\langle E\rangle&=\frac12m\langle|\vec c|^2\rangle=\frac32k_BT\\&=\frac32(1.380649\cdot10^{-23})(300)\,\mathrm J\\&=6.2129205\cdot10^{-21}\,\mathrm J\end{aligned}

[1][2][7]

Klassischer Gleichgewichtswert mit klaren Grenzen

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Energie pro Teilchen, Kelvin und gesamte Probe in Frageüberschriften hervorgehoben; Absatzverbindungen zu einatomiger innerer Energie und thermischer RMS-Geschwindigkeit ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Erklärungen überarbeitet; drittes vollständiges Beispiel, eigene quantitative Grafik und kurze Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Aufgaben, Modelle und Quellen erhalten; Formelsatz und Modellbedingungen präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/mittlere-kinetische-energie-molekuel

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Was beschreibt die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls physikalisch?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zur mittleren translatorischen Energie eines Gasmoleküls?+

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls?+

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der mittleren translatorischen Energie eines Gasmoleküls?+

Wann kombiniere ich die mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls mit einer weiteren Beziehung?+

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für ⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT: Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

Kuratiertes Formelset · LaTeX · FSRS Spaced Repetition · übernehmen ab Essential

Mittlere kinetische Energie eines Gasmoleküls

Variablen & Einheiten

Mittlere kinetische Energie eines Moleküls berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinetische Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Was bedeutet mittlere translatorische Energie pro Molekül?

Drei quadratische Bewegungsanteile

Wie verwendet man Kelvin und unterscheidet Teilchen- und Probenenergie?

Temperatur umrechnen und Gasarten vergleichen

Thermische Translation bei 20 °C

Gleiche Energie, unterschiedliche Geschwindigkeiten

Bewegte Probe: Temperatur und Laborenergie trennen

Eine Strömung macht das Gas nicht automatisch heißer

Gemeinsame Bewegung verschiebt die Laborenergie

Translation von inneren Molekülbewegungen trennen

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Bei T=200 KT=200\,\mathrm KT=200K: Bestimme die mittlere translatorische Energie eines klassischen idealen Teilchens.

Im passenden klassischen Gleichgewichtsmodell ist ⟨Etr⟩=8,283894⋅10−21 J\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J⟨Etr​⟩=8,283894⋅10−21J. Welche Temperatur gehört dazu?

Dieselbe Gasart erwärmt sich von 240 auf 360 K. Wie ändern sich ⟨Etr⟩ und crms?

Klassischer Gleichgewichtswert mit klaren Grenzen

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls prüfungssicher behalten

Mittlere kinetische Energie eines Gasmoleküls

Variablen & Einheiten

Mittlere kinetische Energie eines Moleküls berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinetische Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Was bedeutet mittlere translatorische Energie pro Molekül?

Drei quadratische Bewegungsanteile

Wie verwendet man Kelvin und unterscheidet Teilchen- und Probenenergie?

Temperatur umrechnen und Gasarten vergleichen

Thermische Translation bei 20 °C

Gleiche Energie, unterschiedliche Geschwindigkeiten

Bewegte Probe: Temperatur und Laborenergie trennen

Eine Strömung macht das Gas nicht automatisch heißer

Gemeinsame Bewegung verschiebt die Laborenergie

Translation von inneren Molekülbewegungen trennen

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Bei T=200 KT=200\,\mathrm KT=200K: Bestimme die mittlere translatorische Energie eines klassischen idealen Teilchens.

Im passenden klassischen Gleichgewichtsmodell ist ⟨Etr⟩=8,283894⋅10−21 J\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J⟨Etr​⟩=8,283894⋅10−21J. Welche Temperatur gehört dazu?

Dieselbe Gasart erwärmt sich von 240 auf 360 K. Wie ändern sich ⟨Etr⟩ und crms?

Klassischer Gleichgewichtswert mit klaren Grenzen

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls prüfungssicher behalten

Bei $T=200\,\mathrm K$ : Bestimme die mittlere translatorische Energie eines klassischen idealen Teilchens.

Im passenden klassischen Gleichgewichtsmodell ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . Welche Temperatur gehört dazu?

Bei $T=200\,\mathrm K$ : Bestimme die mittlere translatorische Energie eines klassischen idealen Teilchens.

Im passenden klassischen Gleichgewichtsmodell ist $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . Welche Temperatur gehört dazu?