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Der Parallelachsensatz verschiebt das Flächenträgheitsmoment von einer Schwerpunktachse auf eine dazu parallele Achse.
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Formel
I, Ic in m4; A in m2; d in m
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Flächenträgheitsmoment um die verschobene Achse | m4 | |
| Flächenträgheitsmoment um parallele Schwerpunktachse | m4 | |
| Querschnittsfläche | m2 | |
| Abstand der beiden parallelen Achsen | m |
I=I_c+A d^2Für Flächen folgt der Satz durch Zerlegung des Integrals I=∫y2dA um die Schwerpunktachse; der lineare Kreuzterm verschwindet, weil das erste Flächenmoment dort null ist. Die Achsen müssen parallel sein und dieselbe Biegeorientierung haben. Das ist nicht der Massenträgheits-Parallelachsensatz, der mit Masse statt Fläche formuliert wird. Bei zusammengesetzten Profilen wird der Satz für jedes Teilstück angewendet.
Für Flächen folgt der Satz durch Zerlegung des Integrals I=∫y2dA um die Schwerpunktachse; der lineare Kreuzterm verschwindet, weil das erste Flächenmoment dort null ist. Die Achsen müssen parallel sein und dieselbe Biegeorientierung haben. Das ist nicht der Massenträgheits-Parallelachsensatz, der mit Masse statt Fläche formuliert wird. Bei zusammengesetzten Profilen wird der Satz für jedes Teilstück angewendet.
Der Parallelachsensatz verschiebt das Flächenträgheitsmoment von einer Schwerpunktachse auf eine dazu parallele Achse.
Grundgleichung für die Zielgröße
Bei Umstellungen Vorzeichen, Randbedingungen und Einheiten beibehalten.
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Steinerscher Satz für Flächenträgheitsmomente“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Ein Rechteck A=0,02 m2 mit Ic=1,0·10−5 m4 wird um d=0,10 m verschoben: I=10−5+0,02·0,12=2,1·10−4 m4.
Eine verwandte Größe mit gleicher Symbolschreibweise einsetzen.
Nutze Variablendefinitionen und prüfe: I, Ic in m4; A in m2; d in m.
Formelcluster
Der Parallelachsensatz verschiebt das Flächenträgheitsmoment von einer Schwerpunktachse auf eine dazu parallele Achse.
Ein Rechteck A=0,02 m2 mit Ic=1,0·10−5 m4 wird um d=0,10 m verschoben: I=10−5+0,02·0,12=2,1·10−4 m4.
Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Trägerquerschnitte berechnen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Steinerscher Satz für Flächenträgheitsmomente (I = Ic + Ad²).
Aufgabe
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Steinerscher Satz für Flächenträgheitsmomente“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Rechenweg
Ein Rechteck A=0,02 m2 mit Ic=1,0·10−5 m4 wird um d=0,10 m verschoben: I=10−5+0,02·0,12=2,1·10−4 m4.
Beim Verschieben der Integrationskoordinate wird (y+d)2 ausmultipliziert. Der Term mit y verschwindet, weil das erste Flächenmoment um die Schwerpunktachse null ist. Übrig bleiben das Schwerpunkt-Flächenträgheitsmoment Ic und der Zusatz Ad2. Das erklärt zugleich, weshalb eine weiter entfernte Achse ein größeres I besitzt. Use the area version only for parallel axes; d is the perpendicular distance between them. Ic must be evaluated about the centroidal axis with the same orientation. This theorem is especially useful for composite beam sections, but do not confuse it with the mass moment theorem.
Die Zielachse muss parallel zur Schwerpunktachse sein; beide beziehen sich auf dieselbe Flächenorientierung. Ein Wechsel von horizontaler zu vertikaler Achse ist keine Parallelverschiebung. Der Abstand d ist senkrecht zwischen den Achsen zu messen. Bei schiefen Achsen oder Produktträgheitsmomenten brauchst du eine passendere Transformation. Use the area version only for parallel axes; d is the perpendicular distance between them. Ic must be evaluated about the centroidal axis with the same orientation. This theorem is especially useful for composite beam sections, but do not confuse it with the mass moment theorem.
Beim Flächenmoment steht A d2, beim Massenträgheitsmoment m d2. Das erste beschreibt Querschnittsgeometrie mit der Einheit m4 und ist für Biegesteifigkeit relevant; das zweite beschreibt Massenverteilung mit kg·m2 und tritt in Rotationsdynamik auf. Ähnliche Form, aber verschiedene Größen und Anwendungen. Use the area version only for parallel axes; d is the perpendicular distance between them. Ic must be evaluated about the centroidal axis with the same orientation. This theorem is especially useful for composite beam sections, but do not confuse it with the mass moment theorem.
Schreibe zuerst neben jeden Zahlenwert die Größe und Einheit aus der Variablenliste: I, Ic in m4; A in m2; d in m. Setze erst ein, wenn die Werte in einem konsistenten Einheitensystem vorliegen, und notiere Vorzeichen oder Bezugsrichtung ausdrücklich. Das Beispiel Ein Rechteck A=0,02 m2 mit Ic=1,0·10−5 m4 wird um d=0,10 m verschoben: I=10−5+0,02·0,12=2,1·10−4 m4. bietet eine Rechenprobe: Endgröße, Einheit und Größenordnung müssen zur beschriebenen Situation passen. Runde erst nach den Zwischenrechnungen, damit kleine Beiträge nicht vorzeitig verschwinden. Use the area version only for parallel axes; d is the perpendicular distance between them. Ic must be evaluated about the centroidal axis with the same orientation. This theorem is especially useful for composite beam sections, but do not confuse it with the mass moment theorem.
Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Für Flächen folgt der Satz durch Zerlegung des Integrals I=∫y2dA um die Schwerpunktachse; der lineare Kreuzterm verschwindet, weil. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. MIT OpenCourseWare, 1.050 Solid Mechanics, Stresses: Beams in Bending. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. Use the area version only for parallel axes; d is the perpendicular distance between them. Ic must be evaluated about the centroidal axis with the same orientation. This theorem is especially useful for composite beam sections, but do not confuse it with the mass moment theorem.
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