Physik · Drehbewegung

Satz von Steiner für das Massenträgheitsmoment

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?

Alle Trägheitsmomente und $Md^2$ haben die Einheit kg·m². Nutze für d Meter; bei einem Abstand von 30 cm ist $d^2=0{,}090\,\mathrm{m^2}$. Ein Flächenträgheitsmoment wird stattdessen mit $Ad^2$ verschoben und hat m⁴ als Einheit. Es darf nicht in dieselbe Energiebilanz oder in $L=I\omega$ eingesetzt werden. Für zwei parallele Achsen A und B, die beide nicht durch den Schwerpunkt gehen, rechne beide über dieselbe Schwerpunktachse: $I_B-I_A=M(d_B^2-d_A^2)$. Der direkte Abstand zwischen A und B darf nicht einfach als $Md^2$ addiert werden. Auch beim Richtungswechsel, etwa von einer Stablängsachse zu einer Querachse, ist eine andere Ausgangsgröße nötig.

Das Trägheitsmoment um eine Achse parallel zur Schwerpunktachse ist um $Md^2$ größer.

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Formel

Berechnen

I = I_{CM} + M d^{2}

I, $I_{\mathrm{CM}}$ in kg·m²; M in kg; d in m.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$I$	Massenträgheitsmoment um die verschobene Achse	kg·m²
$ICM$	Massenträgheitsmoment um die dazu parallele Schwerpunktachse	kg·m²
$M$	Gesamtmasse derselben Massenverteilung	kg
$d$	Kürzester senkrechter Abstand der parallelen Achsen	m

LaTeX

I=I_{\mathrm{CM}}+Md^2

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Horizontaler homogener Stab der Länge ℓ mit Schwerpunkt in der Mitte. Zwei parallele Achsen normal zur Zeichenebene liegen am linken Ende und am Schwerpunkt; ihr Abstand ist d = ℓ/2. — Homogener dünner Stab: parallele Achsen durch Schwerpunkt und Ende. Mit d = ℓ/2 folgt IEnde = Mℓ²/12 + Mℓ²/4 = Mℓ²/3.

Satz von Steiner berechnen

Trägheitsmoment um eine parallel verschobene Achse aus Schwerpunktmoment, Masse und Achsabstand ausrechnen, oder jede Größe umgekehrt.

Gesucht

Trägheitsmoment um die parallele Schwerpunktachse ICM

Trägheitsmoment um die parallele Achse durch den Schwerpunkt, z. B. 0,16 kg·m² für einen 3-kg-Stab von 80 cm.

Gesamtmasse des Körpers M

Gesamtmasse des Körpers, z. B. 3 kg.

Senkrechter Achsabstand als Betrag d

Senkrechter Abstand der beiden parallelen Achsen, z. B. 0,4 m, die halbe Stablänge.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Trägheitsmoment um die verschobene Achse IA

IA = 0,64 kg·m²

Mit ICM = 0,16 kg·m², M = 3 kg und d = 0,4 m ergibt sich IA = 0,64 kg·m².

Rechenweg · umstellen nach IA, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach IA umstellen
$I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$0{,}16+3\cdot0{,}4^2$
3. Ergebnis
IA = 0,64 kg·m²

So rechnest du schneller

Steiner geht immer vom Schwerpunkt aus: Liegen beide Achsen neben dem Schwerpunkt, rechnest du erst auf I_CM zurück und dann zur neuen Achse.
Doppelter Achsabstand, vierfacher Zusatz Md². Die Schwerpunktachse hat von allen parallelen Achsen das kleinste Trägheitsmoment.

Annahmen und Grenzen

Gleicher Körper und dieselbe Massenverteilung: parallele Achsen, die Referenzachse durch den Schwerpunkt. Positive Gesamtmasse, nichtnegatives Schwerpunktmoment, kürzester senkrechter Achsabstand d≥0. Kein Flächenträgheitsmoment und keine Änderung der Achsenrichtung. Die Abstandsinverse bestimmt keine Verschiebungsrichtung.

Herleitung & Hintergrund

Beide Achsen müssen parallel sein; eine davon verläuft durch den Schwerpunkt. Das ist der Massensatz mit $Md^2$ und nicht der Flächen-Parallelachsensatz $I_A=I_{A,c}+Ad^2$ aus der Festigkeitslehre.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Dieselbe Massenverteilung und zwei parallele Achsen, die Ausgangsachse durch den Schwerpunkt. Der Abstand ist senkrecht zwischen den Achsen zu messen. Dies ist der Massensatz in kg·m²; er verschiebt keine Achsenrichtung und ersetzt kein Flächenträgheitsmoment.

Herleitung in Schritten

Die verschobenen Abstandsquadrate werden entwickelt; ihre Mischterme verschwinden, weil die Ausgangsachse durch den Schwerpunkt geht.

1Wähle die parallele Schwerpunktachse als z-Achse; die Zielachse geht durch (a,b).
2Ein Massenelement hat zur Zielachse $r_A^2=(x-a)^2+(y-b)^2$ .
3Entwickle $r_A^2=x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2$ .
4Integriere mit dm; $\int(x^2+y^2)\,\mathrm dm$ ist $I_{\mathrm{CM}}$ .
5Die Schwerpunktdefinition liefert $\int x\,\mathrm dm=\int y\,\mathrm dm=0$ , daher verschwinden die Mischterme.
6Mit $\int\mathrm dm=M$ und $d^2=a^2+b^2$ bleibt $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .

Umstellen

Trägheitsmoment an der Schwerpunktachse

I_{\mathrm{CM}}=I-Md^2

Die Achsen müssen parallel sein; die Ausgangsachse geht durch den Schwerpunkt. Der Achsabstand ist senkrecht zu messen. Die Umstellung muss $I_{\mathrm{CM}}\ge0$ liefern; ein negatives Ergebnis zeigt inkonsistente Daten oder eine unpassende Achsenannahme.

Aufgabenvariante

Ein Körper hat um seine Schwerpunktachse $I_{\mathrm{CM}}$ =0,20 kg·m² und Gesamtmasse 2,0 kg. Die neue Achse liegt parallel im senkrechten Abstand 0,50 m. Bestimme das Massenträgheitsmoment der neuen Achse.

Ansatz: $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .
Der Zusatz beträgt $(2{,}0\,\mathrm{kg})(0{,}50\,\mathrm m)^2=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ ; zusammen $I_A=0{,}70\,\mathrm{kg\,m^2}$ .

Kontrolle: Der Wert übersteigt das Schwerpunktmoment und besitzt die Einheit kg·m².

Typische Fehler

Die einfache Addition von M d² zwischen zwei beliebigen parallelen Achsen verwenden.

Die Ausgangsachse muss durch den Schwerpunkt gehen. Für zwei nichtzentrale parallele Achsen gilt $I_B-I_A=M(d_B^2-d_A^2)$ , mit beiden Abständen zum selben Schwerpunkt.

Klausurkontext

Trägheitsmomente für verschobene Drehachsen und zusammengesetzte starre Körper berechnen.

Formelcluster

Drehbewegung

Verwandte Beziehungen: traegheitsmoment-punktmassen, rotationsenergie-starrer-koerper, drehmoment.

I = Σ m_ir_i²

Trägheitsmoment eines Massensystems

Erot = ½Iω²

Rotationsenergie eines starren Körpers

M = F·r·sin(θ)

Drehmoment

Rechenbeispiel

Für $I_{\mathrm{CM}}=0{,}20\,\mathrm{kg\,m^2}$ , $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und parallele Achsen im Abstand $d=0{,}50\,\mathrm m$ ergibt $I=I_{\mathrm{CM}}+Md^2=0{,}70\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Der positive Zusatz $Md^2=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ bestätigt, dass diese Achse ein größeres Trägheitsmoment hat.

Anwendungsgebiete

Trägheitsmomente für verschobene Drehachsen und zusammengesetzte starre Körper berechnen.

Rechenbeispiel: Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment (I = ICM + Md²).

1
Aufgabe
Ein Körper hat um seine Schwerpunktachse $I_{\mathrm{CM}}$ =0,20 kg·m² und Gesamtmasse 2,0 kg. Die neue Achse liegt parallel im senkrechten Abstand 0,50 m. Bestimme das Massenträgheitsmoment der neuen Achse.
Rechenweg
1. Ansatz: $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .
2. Der Zusatz beträgt $(2{,}0\,\mathrm{kg})(0{,}50\,\mathrm m)^2=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ ; zusammen $I_A=0{,}70\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Kontrolle: Der Wert übersteigt das Schwerpunktmoment und besitzt die Einheit kg·m².

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Stange dreht sich um ihr Ende anders als um ihre Mitte. Wenn das Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse bekannt ist, lässt sich der Wert für eine parallel verschobene Achse mit einem Zusatz berechnen. Du prüfst zuerst Lage und Richtung beider Achsen und vermeidest anschließend die häufige doppelte Zählung von Bewegungsenergie.

Zwei parallele Achsen, ein Schwerpunkt

Der Schwerpunkt ist die massengewichtete mittlere Lage des Körpers. Bei einer gleichmäßig dichten dünnen Stange liegt er in der Mitte. Für die Verschiebung zur Endachse brauchst du nun dieselbe Achsenrichtung, etwa jeweils senkrecht zur Stange. Eine Längsachse und eine Querachse gehören nicht zu diesem Achsenpaar.[1]

I_A=I_{\mathrm{CM},\parallel A}+Md^2

M ist die Gesamtmasse desselben Körpers; d ist der kürzeste senkrechte Abstand der parallelen Achsen.[1]

Der Schwerpunkt legt die Ausgangsachse fest, ihre Richtung liefert die Zielachse. „Durch den Schwerpunkt“ allein reicht nicht: Die Schwerpunktachse muss parallel zur neuen Achse verlaufen. Für positive Masse gilt $I_A\ge I_{\mathrm{CM}}$ ; unter allen parallel verschobenen Achsen hat die Schwerpunktachse das kleinste Massenträgheitsmoment. Eine reine Verschiebung entlang derselben Achsenlinie hat $d=0$ .[1]

Die Schwerpunktachse ist das Minimum

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Daten der vierten Aufgabe. Alle Achsen bleiben parallel; d ist hier eine signierte Verschiebungskoordinate. Der geometrische Abstand ist ihr Betrag. Nur für diese parallele Achsenfamilie liegt das Minimum beim Schwerpunkt.[1]

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Vertiefung anzeigen: Integraler Beweis mit Schwerpunktkoordinaten

Wähle die Schwerpunktachse als z-Achse. Die parallele Zielachse durch (a,b) besitzt für ein Massenelement den Abstand zum Quadrat $(x-a)^2+(y-b)^2$ . Die Koordinaten x und y sind auf den Schwerpunkt bezogen. Entwickle die Quadrate und integriere jeden Term.[1]

\begin{aligned}I_A&=\int(x^2+y^2)\,\mathrm dm\\&\quad-2a\int x\,\mathrm dm-2b\int y\,\mathrm dm\\&\quad+(a^2+b^2)\int\mathrm dm\end{aligned}

Die ersten Momente $\int x\,\mathrm dm$ und $\int y\,\mathrm dm$ sind am Schwerpunkt null.[1]

\begin{aligned}\int x\,\mathrm dm&=\int y\,\mathrm dm=0\\d^2&=a^2+b^2\\I_A&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\end{aligned}

Der Zusatz hängt nur von Gesamtmasse und Achsabstand ab. Wäre die Ausgangsachse nicht eine Schwerpunktachse, blieben im Allgemeinen Mischterme übrig.[1]

Umstellen und geometrische Daten prüfen

\begin{aligned}&I_{\mathrm{CM}}=I_A-Md^2\\&d=\sqrt{\frac{I_A-I_{\mathrm{CM}}}{M}}\quad(M>0)\end{aligned}

Für einen realen Abstand muss $I_A-I_{\mathrm{CM}}\ge0$ sein. Die Wurzel liefert einen Abstandsbetrag, keine Richtung.[1]

Für zwei parallele Achsen A und B, die beide nicht durch den Schwerpunkt gehen, rechne beide über dieselbe Schwerpunktachse: $I_B-I_A=M(d_B^2-d_A^2)$ . Der direkte Abstand zwischen A und B darf nicht einfach als $Md^2$ addiert werden. Auch beim Richtungswechsel, etwa von einer Stablängsachse zu einer Querachse, ist eine andere Ausgangsgröße nötig.[1]

Die Umstellung $M=(I_A-I_{\mathrm{CM}})/d^2$ setzt $d>0$ und einen positiven Momentenunterschied voraus. Bei $d=0$ und gleichen Momenten bestimmt die Gleichung die Masse nicht; ein unterschiedliches Moment bei identischer paralleler Achse ist mit diesem Modell unvereinbar.[1]

Vom Stab zum zusammengesetzten Rotor

Ein gleichmäßig dichter dünner Stab

Gegeben: $M=3{,}0\,\mathrm{kg}$ und Länge $\ell=0{,}80\,\mathrm m$ ; gesucht ist die Achse durch ein Ende, senkrecht zum Stab. Die bekannte parallele Schwerpunktachse hat $I_{\mathrm{CM}}=\frac{M\ell^2}{12}$ .
Gesucht: Trägheitsmoment am Ende bestimmen.

Ansatz: Der Schwerpunkt der homogenen Stange liegt in der Mitte. Die Zielachse am Ende bleibt parallel zur Schwerpunktachse; ihr Abstand ist die halbe Länge.
$\begin{aligned}I_A&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\\I_{\mathrm{CM}}&=\frac{M\ell^2}{12}\\d&=\frac\ell2\end{aligned}$
Einsetzen: Die festgelegten Massen und senkrechten Achsabstände in SI-Einheiten verwenden.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{CM}}&=\frac{3.0(0.80)^2}{12}=0.160\,\mathrm{kg\,m^2}\\{} d&=0.40\,\mathrm m\end{aligned}$
Addiere den Verschiebungsbeitrag.
$I_{\mathrm{end}}=0.160+3.0(0.40)^2=0.640\,\mathrm{kg\,m^2}$

Ergebnis: Die Endachse hat $I=0{,}640\,\mathrm{kg\,m^2}$ , also viermal den Schwerpunktwert.

Kontrolle: Unabhängig integrieren: $I_A=\int_0^\ell x^2\frac M\ell\,\mathrm dx=\frac{M\ell^2}{3}=0{,}640\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Die Richtung beider Achsen ist dieselbe; d ist nicht die volle Stablänge.

Zwei kleine Scheiben, zwei Achsen

Gegeben: Zwei homogene dünne Scheiben haben jeweils $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$ und $R=0{,}10\,\mathrm m$ . Ihre Mittelpunkte liegen bei $x=\pm0{,}30\,\mathrm m$ auf einem masselosen Rahmen. Alle Achsen stehen senkrecht zur Scheibenebene.
Gesucht: I um die Gesamt-Schwerpunktachse und um eine um 0,20 m entlang +x verschobene parallele Achse bestimmen.

Ansatz: Jede Scheibe behält ihr Eigenmoment um die parallele Mittelachse. Addiere zunächst die beiden Scheibenbeiträge um den Gesamtschwerpunkt; verschiebe anschließend die gesamte Masse.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{CM}}&=\sum_{j=1}^2\left(\frac12mR^2+md_j^2\right)\\I_A&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\end{aligned}$
Einsetzen: Die festgelegten Massen und senkrechten Achsabstände in SI-Einheiten verwenden.
$I_{\mathrm{CM}}=2\left[\frac12(0.50)(0.10)^2+0.50(0.30)^2\right]=0.095\,\mathrm{kg\,m^2}$
Verschiebe den ganzen Körper mit seiner Gesamtmasse 1,0 kg.
$I_A=0.095+(1.0)(0.20)^2=0.135\,\mathrm{kg\,m^2}$

Ergebnis: $I_{\mathrm{CM}}=0{,}095\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $I_A=0{,}135\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Die Scheiben dürfen hier nicht ganz ohne Eigenanteil als Punktmassen behandelt werden.

Kontrolle: Direkt sind die Abstände zur Zielachse 0,10 und 0,50 m. Daher $I_A=(2\cdot0{,}0025+0{,}50\cdot0{,}10^2+0{,}50\cdot0{,}50^2)\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}135\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Das bestätigt die Verschiebung des Gesamtkörpers.

Vertiefung anzeigen: Zusammengesetzte Körper und Aussparungen

\begin{aligned}&I_A=\sum_j\left(I_{\mathrm{CM},j}+m_jd_j^2\right)\\&x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_jm_jx_j}{\sum_jm_j}\end{aligned}

Alle Teilmomente müssen um parallele Achsen und mit dem Abstand zur gemeinsamen Zielachse berechnet werden.[1]

Bei einer unsymmetrischen Anordnung liegt der Gesamtschwerpunkt nicht automatisch in der geometrischen Mitte. Bestimme seine Lage zuerst, wenn du ein Gesamt- $I_{\mathrm{CM}}$ brauchst. Ein Loch lässt sich rechnerisch als fehlender Anteil subtrahieren, wenn sein Material dieselbe angenommene Dichte hat; dabei verändern sich Gesamtmasse und gegebenenfalls Schwerpunkt. Negative Rechenanteile stellen entfernte Masse dar, keine physikalisch negative Masse.[1]

Das Trägheitsmoment eines Massensystems summiert die Beiträge der tatsächlichen Massenverteilung zur gewählten Achse. Bei den hier betrachteten ausgedehnten Teilen bleiben deren Eigenmomente zusätzlich erhalten; die Schwerpunktverschiebung macht eine kleine Scheibe nicht automatisch zur Punktmasse.[1]

Energie und Dynamik mit derselben Achse

\frac12I_A\omega^2=\frac12I_{\mathrm{CM}}\omega^2+\frac12M(d\omega)^2

Dieselbe Energie in zwei Darstellungen: Rotation um A oder Eigenrotation plus Bewegung des Schwerpunkts. Die Translationsenergie darf danach nicht nochmals addiert werden.[2]

Die Rotationsenergie eines starren Körpers verlangt das Trägheitsmoment zu genau der verwendeten Achse. Der Parallelachsensatz liefert den passenden Achsenwert; er erzeugt keinen zusätzlichen Energiebeitrag über die bereits äquivalenten Darstellungen hinaus.[2]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Körper mit $I_{\mathrm{CM}}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $M=1{,}6\,\mathrm{kg}$ bekommt eine parallele Achse im Abstand 0,25 m. Bestimme IA.

Hinweis anzeigen

Addiere $Md^2$ , nicht Md.

Lernziel: Den quadratischen Achsverschiebungsbeitrag zum Schwerpunktmoment addieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Ausgangsachse ist die parallele Schwerpunktachse.
Daher $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .
$Md^2=1{,}6\cdot0{,}25^2\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Daher $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2=0{,}28\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Der Wert ist größer als $I_{\mathrm{CM}}$ , wie es für die Schwerpunkt-Ausgangsachse sein muss.

I_A=0.18+1.6(0.25)^2=0.28\,\mathrm{kg\,m^2}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

$I_A=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ , $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $d=0{,}40\,\mathrm m$ zur parallelen Schwerpunktachse. Wie groß ist $I_{\mathrm{CM}}$ ?

Hinweis anzeigen

Den Zusatz beim Zurückrechnen abziehen.

Lernziel: Das Schwerpunktmoment aus einer verschobenen Achse zurückrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zurück zur parallelen Schwerpunktachse wird der Verschiebungsbeitrag abgezogen.
$I_{\mathrm{CM}}=I_A-Md^2=(0{,}50-2{,}0\cdot0{,}40^2)\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ .

Probe: $(0{,}18+0{,}32)\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Ein negatives Ergebnis wäre ein Hinweis auf inkonsistente Daten oder eine unpassende Achsenannahme.

I_{\mathrm{CM}}=0.50-2.0(0.40)^2=0.18\,\mathrm{kg\,m^2}

Fehleranalyse · Anwenden

Für $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $I_{\mathrm{CM}}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}$ liegen parallele Achsen A und B jeweils 0,20 m und 0,50 m von derselben Schwerpunktachse auf derselben Seite. Bestimme IA und IB.

Hinweis anzeigen

Beide Achsen einzeln vom Schwerpunkt aus verschieben.

Lernziel: Zwei nichtzentrale Parallelachsen über die gemeinsame Schwerpunktachse vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für beide Achsen ist derselbe Schwerpunktwert bekannt; berechne deshalb $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md_A^2$ und $I_B=I_{\mathrm{CM}}+Md_B^2$ getrennt.
$I_A=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $I_B=0{,}60\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Der Achsabstand A–B beträgt 0,30 m; $I_A+M(0{,}30\,\mathrm m)^2=0{,}36\,\mathrm{kg\,m^2}$ wäre falsch.
Korrekt ist $I_B-I_A=M(0{,}50^2-0{,}20^2)\,\mathrm{m^2}=0{,}42\,\mathrm{kg\,m^2}$ .

I_B-I_A=M(d_B^2-d_A^2)=0.42\,\mathrm{kg\,m^2}

Interpretieren · Anwenden

Eine starre Masse von 2,0 kg hat um eine bestimmte Schwerpunktachse $I_{\mathrm{CM}}=0{,}12\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Ein Diagramm stellt I für dazu parallele Achsen gegen die signierte Verschiebung d nach rechts oder links dar. Bestimme I bei $d=-0{,}30\,\mathrm m$ , 0 und +0,30 m. Welche Form und welches Minimum muss die Kurve besitzen?

Hinweis anzeigen

Der Achsabstand geht quadratisch ein. Die Achsen bleiben parallel; nur die Lage ändert sich.

Lernziel: Die Symmetrie eines Trägheitsmoment-Abstandsdiagramms aus dem Parallelachsensatz ableiten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gegebene Schwerpunktachse als Ausgangsachse verwenden und den quadratischen Verschiebungsbeitrag addieren.
Bei beiden Abständen ±0,30 m beträgt $I=0{,}30\,\mathrm{kg\,m^2}$ , im Schwerpunkt 0,12 kg·m².
Die Kurve ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Minimum bei $d=0$ .

Kontrolle: Der zusätzliche Term ist nie negativ; eine Verschiebung kann für diese parallele Achsenfamilie das Schwerpunktmoment nicht unterschreiten.

\begin{aligned}I(d)&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\\I(\pm0.30\,\mathrm m)&=0.12+2.0(0.30)^2=0.30\,\mathrm{kg\,m^2}\\I(0)&=0.12\,\mathrm{kg\,m^2}\end{aligned}

[2][1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein masseloser starrer Stab trägt zwei Punktmassen von je 0,50 kg bei $x=\pm0{,}40\,\mathrm m$ ; der Schwerpunkt ist im Ursprung. Achse A ist die x-Achse entlang des Stabs, Achse B die z-Achse durch denselben Ursprung. Eine Lösung setzt wegen $d=0$ im Parallelachsensatz $I_B=I_A$ . Prüfe über die senkrechten Abstände der Punktmassen zu beiden Achsen.

Hinweis anzeigen

Die beiden Achsen schneiden sich, sind aber nicht parallel. Verwende für jede Achse separat die Definition des Massenträgheitsmoments.

Lernziel: Achsenorientierung nicht durch einen bloßen Abstand ersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für die x-Achse sind die senkrechten Abstände beider Punktmassen null; für die z-Achse jeweils 0,40 m.
Daher sind $I_A=0$ und $I_B=0{,}16\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Der Parallelachsensatz ist auf diese Achsenpaarung nicht anwendbar.

Kontrolle: Ein gemeinsamer Schwerpunkt legt die Orientierung der Achse nicht fest. Das Nullmoment gilt hier für idealisierte Punktmassen auf einer masselosen Linie, nicht für einen Stab mit endlichem Querschnitt.

\begin{aligned}I_A&=\sum_i m_i r_{\perp,A,i}^2=0\\I_B&=2(0.50\,\mathrm{kg})(0.40\,\mathrm m)^2=0.16\,\mathrm{kg\,m^2}\\\hat{\vec e}_A\cdot\hat{\vec e}_B&=0\end{aligned}

[1][3]

Was der Satz nicht ersetzt

Für nichtparallele Achsen brauchst du eine direkte Berechnung oder den Trägheitstensor mit transformierten Richtungen. Auch ein korrekter Achsabstand rettet eine falsch orientierte Schwerpunktachse nicht. Notiere deshalb bei jedem Tabellenwert Körperform, Dichteannahme und Achsenrichtung, bevor du den Verschiebungsterm ergänzt.[3]

Das Wichtigste im Überblick

Prüfe, dass beide Achsen parallel sind und die Ausgangsachse durch den Schwerpunkt geht. Addiere $Md^2$ mit der Gesamtmasse und dem senkrechten Achsabstand. Bei zusammengesetzten Körpern bleiben Eigenmomente erhalten; Rotations- und Translationsenergie dürfen nicht doppelt gezählt werden.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Massenverteilung und Rotationsenergie verknüpft sowie Bedingungen der Massenumstellung ergänzt; Geometrie, Beispiele, Aufgaben und Figur erhalten.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernübergänge verständlicher gefasst; vorhandene Aufgabenlösungen geprüft und präzisiert, mathematische Textstellen gesetzt und eine eigene quantitative Artikelgrafik ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/massentraegheitsmoment-parallelachsensatz

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment

Was beschreibt der Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment physikalisch?+

M ist die Gesamtmasse desselben Körpers; d ist der kürzeste senkrechte Abstand der parallelen Achsen. Der Schwerpunkt legt die Ausgangsachse fest, ihre Richtung liefert die Zielachse. „Durch den Schwerpunkt“ allein reicht nicht: Die Schwerpunktachse muss parallel zur neuen Achse verlaufen. Für positive Masse gilt $I_A\ge I_{\mathrm{CM}}$ ; unter allen parallel verschobenen Achsen hat die Schwerpunktachse das kleinste Massenträgheitsmoment. Eine reine Verschiebung entlang derselben Achsenlinie hat $d=0$ . Der Zusatz hängt nur von Gesamtmasse und Achsabstand ab. Wäre die Ausgangsachse nicht eine Schwerpunktachse, blieben im Allgemeinen Mischterme übrig.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?+

Die Zielachse ist um 0,20 m entlang +x gegenüber der Gesamt-Schwerpunktachse verschoben. Zwei homogene dünne Scheiben haben jeweils $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$ und $R=0{,}10\,\mathrm m$ . Ihre Mittelpunkte liegen bei $x=\pm0{,}30\,\mathrm m$ auf einem masselosen Rahmen. Alle Achsen stehen senkrecht zur Scheibenebene. Jede Scheibe hat einen eigenen Beitrag $\frac12mR^2$ plus $md^2$ . Verschiebe den ganzen Körper mit seiner Gesamtmasse 1,0 kg. $I_{\mathrm{CM}}=0{,}095\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $I_A=0{,}135\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Die Scheiben dürfen hier nicht ganz ohne Eigenanteil als Punktmassen behandelt werden. Direkt sind die Abstände zur Zielachse 0,10 und 0,50 m: $(2\cdot0{,}0025+0{,}50\cdot0{,}10^2+0{,}50\cdot0{,}50^2)\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}135\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Das bestätigt die Verschiebung des Gesamtkörpers. Alle Teilmomente müssen um parallele Achsen und mit dem Abstand zur gemeinsamen Zielachse berechnet werden.

Welche Annahmen und Grenzen hat der Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?+

Der Parallelachsensatz ist eine geometrische Identität für die gegebene Massenverteilung. Er benötigt keine bestimmte Drehzahl und kein Gleichgewicht. Trotzdem setzt seine Nutzung in einer starren Bewegung voraus, dass die verwendete Verteilung währenddessen passend beschrieben bleibt. Wenn Flüssigkeit im Tank wandert, musst du Schwerpunkt und Trägheitsmomente neu ermitteln; der Satz liefert keinen pauschal konstanten Rotorwert. Für nichtparallele Achsen brauchst du eine direkte Berechnung oder den Trägheitstensor mit transformierten Richtungen. Auch ein korrekter Achsabstand rettet eine falsch orientierte Schwerpunktachse nicht. Notiere deshalb bei jedem Tabellenwert Körperform, Dichteannahme und Achsenrichtung, bevor du den Verschiebungsterm ergänzt.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?+

Alle Trägheitsmomente und $Md^2$ haben die Einheit kg·m². Nutze für d Meter; bei einem Abstand von 30 cm ist $d^2=0{,}090\,\mathrm{m^2}$ . Ein Flächenträgheitsmoment wird stattdessen mit $Ad^2$ verschoben und hat m⁴ als Einheit. Es darf nicht in dieselbe Energiebilanz oder in $L=I\omega$ eingesetzt werden. Für zwei parallele Achsen A und B, die beide nicht durch den Schwerpunkt gehen, rechne beide über dieselbe Schwerpunktachse: $I_B-I_A=M(d_B^2-d_A^2)$ . Der direkte Abstand zwischen A und B darf nicht einfach als $Md^2$ addiert werden. Auch beim Richtungswechsel, etwa von einer Stablängsachse zu einer Querachse, ist eine andere Ausgangsgröße nötig.

Wann kombiniere ich den Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment mit einer weiteren Beziehung?+

Eine Tür dreht um eine Scharnierlinie nahe ihrem Rand, ein Pendel um seine Aufhängung. In beiden Fällen muss die Bewegungsgleichung das Trägheitsmoment um diese tatsächliche Achse verwenden. Das Schwerpunktmoment allein unterschätzt den Widerstand gegen Winkelbeschleunigung. Für reine feste Rotation folgt $E=\frac12I_A\omega^2$ ; alternativ lassen sich Schwerpunkttranslation und Eigenrotation addieren. Dieselbe Energie in zwei Darstellungen: Rotation um A oder Eigenrotation plus Bewegung des Schwerpunkts. Die Translationsenergie darf danach nicht nochmals addiert werden. Bei einer unsymmetrischen Anordnung liegt der Gesamtschwerpunkt nicht automatisch in der geometrischen Mitte. Bestimme seine Lage zuerst, wenn du ein Gesamt- $I_{\mathrm{CM}}$ brauchst. Ein Loch lässt sich rechnerisch als fehlender Anteil subtrahieren, wenn sein Material dieselbe angenommene Dichte hat; dabei verändern sich Gesamtmasse und gegebenenfalls Schwerpunkt. Negative Rechenanteile stellen entfernte Masse dar, keine physikalisch negative Masse.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment":

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Welche Formel beschreibt Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?

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Wie stellst du I = ICM + Md² nach Trägheitsmoment an der Schwerpunktachse um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei I = ICM + Md²?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §10.5: Calculating Moments of Inertia

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

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Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment prüfungssicher behalten

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Quanta Study Redaktion

Symbol

Bedeutung

Einheit

I

Massenträgheitsmoment um die verschobene Achse

kg·m²

ICM

Massenträgheitsmoment um die dazu parallele Schwerpunktachse

kg·m²

M

Gesamtmasse derselben Massenverteilung

d

Kürzester senkrechter Abstand der parallelen Achsen

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Die verschobenen Abstandsquadrate werden entwickelt; ihre Mischterme verschwinden, weil die Ausgangsachse durch den Schwerpunkt geht.

1Wähle die parallele Schwerpunktachse als z-Achse; die Zielachse geht durch (a,b).
2Ein Massenelement hat zur Zielachse $r_A^2=(x-a)^2+(y-b)^2$ .
3Entwickle $r_A^2=x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2$ .
4Integriere mit dm; $\int(x^2+y^2)\,\mathrm dm$ ist $I_{\mathrm{CM}}$ .
5Die Schwerpunktdefinition liefert $\int x\,\mathrm dm=\int y\,\mathrm dm=0$ , daher verschwinden die Mischterme.
6Mit $\int\mathrm dm=M$ und $d^2=a^2+b^2$ bleibt $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .

Rechenbeispiel: Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment (I = ICM + Md²).

Aufgabe

Rechenweg

Ansatz: $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .
Der Zusatz beträgt $(2{,}0\,\mathrm{kg})(0{,}50\,\mathrm m)^2=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ ; zusammen $I_A=0{,}70\,\mathrm{kg\,m^2}$ .

Kontrolle: Der Wert übersteigt das Schwerpunktmoment und besitzt die Einheit kg·m².

Die Formel verstehen und anwenden

Zwei parallele Achsen, ein Schwerpunkt

I_A=I_{\mathrm{CM},\parallel A}+Md^2

M ist die Gesamtmasse desselben Körpers; d ist der kürzeste senkrechte Abstand der parallelen Achsen.[1]

Die Schwerpunktachse ist das Minimum

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Vertiefung anzeigen: Integraler Beweis mit Schwerpunktkoordinaten

\begin{aligned}I_A&=\int(x^2+y^2)\,\mathrm dm\\&\quad-2a\int x\,\mathrm dm-2b\int y\,\mathrm dm\\&\quad+(a^2+b^2)\int\mathrm dm\end{aligned}

Die ersten Momente $\int x\,\mathrm dm$ und $\int y\,\mathrm dm$ sind am Schwerpunkt null.[1]

\begin{aligned}\int x\,\mathrm dm&=\int y\,\mathrm dm=0\\d^2&=a^2+b^2\\I_A&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\end{aligned}

Der Zusatz hängt nur von Gesamtmasse und Achsabstand ab. Wäre die Ausgangsachse nicht eine Schwerpunktachse, blieben im Allgemeinen Mischterme übrig.[1]

Umstellen und geometrische Daten prüfen

\begin{aligned}&I_{\mathrm{CM}}=I_A-Md^2\\&d=\sqrt{\frac{I_A-I_{\mathrm{CM}}}{M}}\quad(M>0)\end{aligned}

Für einen realen Abstand muss $I_A-I_{\mathrm{CM}}\ge0$ sein. Die Wurzel liefert einen Abstandsbetrag, keine Richtung.[1]

Vom Stab zum zusammengesetzten Rotor

Ein gleichmäßig dichter dünner Stab

Gegeben: $M=3{,}0\,\mathrm{kg}$ und Länge $\ell=0{,}80\,\mathrm m$ ; gesucht ist die Achse durch ein Ende, senkrecht zum Stab. Die bekannte parallele Schwerpunktachse hat $I_{\mathrm{CM}}=\frac{M\ell^2}{12}$ .
Gesucht: Trägheitsmoment am Ende bestimmen.

Ansatz: Der Schwerpunkt der homogenen Stange liegt in der Mitte. Die Zielachse am Ende bleibt parallel zur Schwerpunktachse; ihr Abstand ist die halbe Länge.
$\begin{aligned}I_A&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\\I_{\mathrm{CM}}&=\frac{M\ell^2}{12}\\d&=\frac\ell2\end{aligned}$
Einsetzen: Die festgelegten Massen und senkrechten Achsabstände in SI-Einheiten verwenden.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{CM}}&=\frac{3.0(0.80)^2}{12}=0.160\,\mathrm{kg\,m^2}\\{} d&=0.40\,\mathrm m\end{aligned}$
Addiere den Verschiebungsbeitrag.
$I_{\mathrm{end}}=0.160+3.0(0.40)^2=0.640\,\mathrm{kg\,m^2}$

Ergebnis: Die Endachse hat $I=0{,}640\,\mathrm{kg\,m^2}$ , also viermal den Schwerpunktwert.

Zwei kleine Scheiben, zwei Achsen

Gegeben: Zwei homogene dünne Scheiben haben jeweils $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$ und $R=0{,}10\,\mathrm m$ . Ihre Mittelpunkte liegen bei $x=\pm0{,}30\,\mathrm m$ auf einem masselosen Rahmen. Alle Achsen stehen senkrecht zur Scheibenebene.
Gesucht: I um die Gesamt-Schwerpunktachse und um eine um 0,20 m entlang +x verschobene parallele Achse bestimmen.

Ansatz: Jede Scheibe behält ihr Eigenmoment um die parallele Mittelachse. Addiere zunächst die beiden Scheibenbeiträge um den Gesamtschwerpunkt; verschiebe anschließend die gesamte Masse.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{CM}}&=\sum_{j=1}^2\left(\frac12mR^2+md_j^2\right)\\I_A&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\end{aligned}$
Einsetzen: Die festgelegten Massen und senkrechten Achsabstände in SI-Einheiten verwenden.
$I_{\mathrm{CM}}=2\left[\frac12(0.50)(0.10)^2+0.50(0.30)^2\right]=0.095\,\mathrm{kg\,m^2}$
Verschiebe den ganzen Körper mit seiner Gesamtmasse 1,0 kg.
$I_A=0.095+(1.0)(0.20)^2=0.135\,\mathrm{kg\,m^2}$

Ergebnis: $I_{\mathrm{CM}}=0{,}095\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $I_A=0{,}135\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Die Scheiben dürfen hier nicht ganz ohne Eigenanteil als Punktmassen behandelt werden.

Vertiefung anzeigen: Zusammengesetzte Körper und Aussparungen

\begin{aligned}&I_A=\sum_j\left(I_{\mathrm{CM},j}+m_jd_j^2\right)\\&x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_jm_jx_j}{\sum_jm_j}\end{aligned}

Alle Teilmomente müssen um parallele Achsen und mit dem Abstand zur gemeinsamen Zielachse berechnet werden.[1]

Energie und Dynamik mit derselben Achse

\frac12I_A\omega^2=\frac12I_{\mathrm{CM}}\omega^2+\frac12M(d\omega)^2

Dieselbe Energie in zwei Darstellungen: Rotation um A oder Eigenrotation plus Bewegung des Schwerpunkts. Die Translationsenergie darf danach nicht nochmals addiert werden.[2]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Körper mit $I_{\mathrm{CM}}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $M=1{,}6\,\mathrm{kg}$ bekommt eine parallele Achse im Abstand 0,25 m. Bestimme IA.

Hinweis anzeigen

Addiere $Md^2$ , nicht Md.

Lernziel: Den quadratischen Achsverschiebungsbeitrag zum Schwerpunktmoment addieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Ausgangsachse ist die parallele Schwerpunktachse.
Daher $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2$ .
$Md^2=1{,}6\cdot0{,}25^2\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Daher $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md^2=0{,}28\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Der Wert ist größer als $I_{\mathrm{CM}}$ , wie es für die Schwerpunkt-Ausgangsachse sein muss.

I_A=0.18+1.6(0.25)^2=0.28\,\mathrm{kg\,m^2}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

$I_A=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ , $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $d=0{,}40\,\mathrm m$ zur parallelen Schwerpunktachse. Wie groß ist $I_{\mathrm{CM}}$ ?

Hinweis anzeigen

Den Zusatz beim Zurückrechnen abziehen.

Lernziel: Das Schwerpunktmoment aus einer verschobenen Achse zurückrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zurück zur parallelen Schwerpunktachse wird der Verschiebungsbeitrag abgezogen.
$I_{\mathrm{CM}}=I_A-Md^2=(0{,}50-2{,}0\cdot0{,}40^2)\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ .

Probe: $(0{,}18+0{,}32)\,\mathrm{kg\,m^2}=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Ein negatives Ergebnis wäre ein Hinweis auf inkonsistente Daten oder eine unpassende Achsenannahme.

I_{\mathrm{CM}}=0.50-2.0(0.40)^2=0.18\,\mathrm{kg\,m^2}

Fehleranalyse · Anwenden

Für $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $I_{\mathrm{CM}}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}$ liegen parallele Achsen A und B jeweils 0,20 m und 0,50 m von derselben Schwerpunktachse auf derselben Seite. Bestimme IA und IB.

Hinweis anzeigen

Beide Achsen einzeln vom Schwerpunkt aus verschieben.

Lernziel: Zwei nichtzentrale Parallelachsen über die gemeinsame Schwerpunktachse vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für beide Achsen ist derselbe Schwerpunktwert bekannt; berechne deshalb $I_A=I_{\mathrm{CM}}+Md_A^2$ und $I_B=I_{\mathrm{CM}}+Md_B^2$ getrennt.
$I_A=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $I_B=0{,}60\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Der Achsabstand A–B beträgt 0,30 m; $I_A+M(0{,}30\,\mathrm m)^2=0{,}36\,\mathrm{kg\,m^2}$ wäre falsch.
Korrekt ist $I_B-I_A=M(0{,}50^2-0{,}20^2)\,\mathrm{m^2}=0{,}42\,\mathrm{kg\,m^2}$ .

I_B-I_A=M(d_B^2-d_A^2)=0.42\,\mathrm{kg\,m^2}

Interpretieren · Anwenden

Eine starre Masse von 2,0 kg hat um eine bestimmte Schwerpunktachse $I_{\mathrm{CM}}=0{,}12\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Ein Diagramm stellt I für dazu parallele Achsen gegen die signierte Verschiebung d nach rechts oder links dar. Bestimme I bei $d=-0{,}30\,\mathrm m$ , 0 und +0,30 m. Welche Form und welches Minimum muss die Kurve besitzen?

Hinweis anzeigen

Der Achsabstand geht quadratisch ein. Die Achsen bleiben parallel; nur die Lage ändert sich.

Lernziel: Die Symmetrie eines Trägheitsmoment-Abstandsdiagramms aus dem Parallelachsensatz ableiten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gegebene Schwerpunktachse als Ausgangsachse verwenden und den quadratischen Verschiebungsbeitrag addieren.
Bei beiden Abständen ±0,30 m beträgt $I=0{,}30\,\mathrm{kg\,m^2}$ , im Schwerpunkt 0,12 kg·m².
Die Kurve ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Minimum bei $d=0$ .

Kontrolle: Der zusätzliche Term ist nie negativ; eine Verschiebung kann für diese parallele Achsenfamilie das Schwerpunktmoment nicht unterschreiten.

\begin{aligned}I(d)&=I_{\mathrm{CM}}+Md^2\\I(\pm0.30\,\mathrm m)&=0.12+2.0(0.30)^2=0.30\,\mathrm{kg\,m^2}\\I(0)&=0.12\,\mathrm{kg\,m^2}\end{aligned}

[2][1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein masseloser starrer Stab trägt zwei Punktmassen von je 0,50 kg bei $x=\pm0{,}40\,\mathrm m$ ; der Schwerpunkt ist im Ursprung. Achse A ist die x-Achse entlang des Stabs, Achse B die z-Achse durch denselben Ursprung. Eine Lösung setzt wegen $d=0$ im Parallelachsensatz $I_B=I_A$ . Prüfe über die senkrechten Abstände der Punktmassen zu beiden Achsen.

Hinweis anzeigen

Die beiden Achsen schneiden sich, sind aber nicht parallel. Verwende für jede Achse separat die Definition des Massenträgheitsmoments.

Lernziel: Achsenorientierung nicht durch einen bloßen Abstand ersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für die x-Achse sind die senkrechten Abstände beider Punktmassen null; für die z-Achse jeweils 0,40 m.
Daher sind $I_A=0$ und $I_B=0{,}16\,\mathrm{kg\,m^2}$ .
Der Parallelachsensatz ist auf diese Achsenpaarung nicht anwendbar.

\begin{aligned}I_A&=\sum_i m_i r_{\perp,A,i}^2=0\\I_B&=2(0.50\,\mathrm{kg})(0.40\,\mathrm m)^2=0.16\,\mathrm{kg\,m^2}\\\hat{\vec e}_A\cdot\hat{\vec e}_B&=0\end{aligned}

[1][3]

Was der Satz nicht ersetzt

Das Wichtigste im Überblick

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Massenverteilung und Rotationsenergie verknüpft sowie Bedingungen der Massenumstellung ergänzt; Geometrie, Beispiele, Aufgaben und Figur erhalten.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernübergänge verständlicher gefasst; vorhandene Aufgabenlösungen geprüft und präzisiert, mathematische Textstellen gesetzt und eine eigene quantitative Artikelgrafik ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/massentraegheitsmoment-parallelachsensatz

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment

Was beschreibt der Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment physikalisch?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?+

Welche Annahmen und Grenzen hat der Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?+

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment?+

Wann kombiniere ich den Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment mit einer weiteren Beziehung?+

Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment prüfungssicher behalten

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Ein Körper mit ICM=0,18 kg m2I_{\mathrm{CM}}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}ICM​=0,18kgm2 und M=1,6 kgM=1{,}6\,\mathrm{kg}M=1,6kg bekommt eine parallele Achse im Abstand 0,25 m. Bestimme IA.

IA=0,50 kg m2I_A=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}IA​=0,50kgm2, M=2,0 kgM=2{,}0\,\mathrm{kg}M=2,0kg und d=0,40 md=0{,}40\,\mathrm md=0,40m zur parallelen Schwerpunktachse. Wie groß ist ICMI_{\mathrm{CM}}ICM​?

Für M=2,0 kgM=2{,}0\,\mathrm{kg}M=2,0kg und ICM=0,10 kg m2I_{\mathrm{CM}}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}ICM​=0,10kgm2 liegen parallele Achsen A und B jeweils 0,20 m und 0,50 m von derselben Schwerpunktachse auf derselben Seite. Bestimme IA und IB.

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Ein Körper mit ICM=0,18 kg m2I_{\mathrm{CM}}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}ICM​=0,18kgm2 und M=1,6 kgM=1{,}6\,\mathrm{kg}M=1,6kg bekommt eine parallele Achse im Abstand 0,25 m. Bestimme IA.

IA=0,50 kg m2I_A=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}IA​=0,50kgm2, M=2,0 kgM=2{,}0\,\mathrm{kg}M=2,0kg und d=0,40 md=0{,}40\,\mathrm md=0,40m zur parallelen Schwerpunktachse. Wie groß ist ICMI_{\mathrm{CM}}ICM​?

Für M=2,0 kgM=2{,}0\,\mathrm{kg}M=2,0kg und ICM=0,10 kg m2I_{\mathrm{CM}}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}ICM​=0,10kgm2 liegen parallele Achsen A und B jeweils 0,20 m und 0,50 m von derselben Schwerpunktachse auf derselben Seite. Bestimme IA und IB.

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Ein Körper mit $I_{\mathrm{CM}}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $M=1{,}6\,\mathrm{kg}$ bekommt eine parallele Achse im Abstand 0,25 m. Bestimme IA.

$I_A=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ , $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $d=0{,}40\,\mathrm m$ zur parallelen Schwerpunktachse. Wie groß ist $I_{\mathrm{CM}}$ ?

Für $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $I_{\mathrm{CM}}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}$ liegen parallele Achsen A und B jeweils 0,20 m und 0,50 m von derselben Schwerpunktachse auf derselben Seite. Bestimme IA und IB.

Ein Körper mit $I_{\mathrm{CM}}=0{,}18\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $M=1{,}6\,\mathrm{kg}$ bekommt eine parallele Achse im Abstand 0,25 m. Bestimme IA.

$I_A=0{,}50\,\mathrm{kg\,m^2}$ , $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $d=0{,}40\,\mathrm m$ zur parallelen Schwerpunktachse. Wie groß ist $I_{\mathrm{CM}}$ ?

Für $M=2{,}0\,\mathrm{kg}$ und $I_{\mathrm{CM}}=0{,}10\,\mathrm{kg\,m^2}$ liegen parallele Achsen A und B jeweils 0,20 m und 0,50 m von derselben Schwerpunktachse auf derselben Seite. Bestimme IA und IB.