Gauss-Legendre-Quadratur

Gauss-Legendre-Quadratur wählt Stützstellen und Gewichte so, dass ein n-Punkt-Verfahren Polynome bis Grad 2n−1 exakt integriert. Die Kurzform ∫₋₁¹ f(x)dx ≈ Σ w_if(x_i) zeigt, wie die definierten Größen zusammenwirken; x_i und Intervall dimensionslos auf [−1,1]; Gewichte w_i dimensionslos; Integral in der Einheit von f auf diesem normierten Intervall. Für die Deutung zählt der Modellkontext: Integrale numerisch mit hoher polynomialer Exaktheit und wenigen Funktionsauswertungen berechnen. Lies außerdem ab, ob eine Größe linear, quadratisch, invers oder über eine andere Funktion eingeht. Dadurch kannst du vor dem Rechnen vorhersagen, wie sich das Ergebnis bei geänderten Eingaben verhält. Die Formel ist also zugleich Rechenregel und Aussage über die Struktur des Modells.

Ordne zunächst jede Angabe einem Symbol zu und gleiche die Einheiten an. Die 2-Punkt-Regel hat Knoten ±1/√3 und Gewichte 1. Für f(x)=x² ergibt sich f(−1/√3)+f(1/√3)=1/3+1/3=2/3. Probe: ∫₋₁¹x²dx=[x³/3]₋₁¹=2/3; Grad 2 liegt unter der Exaktheitsgrenze 3. Führe die Probe unabhängig aus: Das n-Knoten-Gauss-Legendre-Verfahren ist für Polynome bis Grad 2n−1 exakt; für allgemeine Funktionen ist es eine Näherung Vergleiche am Ende die Einheit und Größenordnung mit dem Sachkontext; runde erst, wenn alle Schritte abgeschlossen sind. Eine solche Kontrolle deckt nicht nur Rechenfehler auf, sondern auch ein falsches Modell oder einen übersehenen Vorfaktor. Wenn mehrere Größen in einer Beziehung auftreten, ändere gedanklich eine davon und prüfe, ob der erwartete Trend zum Ergebnis passt.

Der zentrale Schritt ist: Das n-Knoten-Gauss-Legendre-Verfahren ist für Polynome bis Grad 2n−1 exakt; für allgemeine Funktionen ist es eine Näherung. Daraus wird ∫₋₁¹ f(x)dx ≈ Σ w_if(x_i) gewonnen. Die Herleitung trennt Definitionen, fachliche Annahmen und die anschließende Umformung. Das ist wichtig, weil korrekte Algebra keine fehlende Voraussetzung ersetzt. Die 2-Punkt-Regel hat Knoten ±1/√3 und Gewichte 1. Die Knoten sind Nullstellen des n-ten Legendre-Polynoms, die Gewichte müssen dazu passen Integrale numerisch mit hoher polynomialer Exaktheit und wenigen Funktionsauswertungen berechnen. Rekonstruiere zuerst den Grundgedanken und lerne danach die Kurzform; so kannst du auch erkennen, wann eine ähnliche Formel nicht passt.

Das n-Knoten-Gauss-Legendre-Verfahren ist für Polynome bis Grad 2n−1 exakt; für allgemeine Funktionen ist es eine Näherung. Die Knoten sind Nullstellen des n-ten Legendre-Polynoms, die Gewichte müssen dazu passen. Für [a,b] wird mit x=(a+b)/2+(b−a)t/2 transformiert und das Integral erhält den Faktor (b−a)/2. Singularitäten oder starkes Verhalten außerhalb des Polynommodells können zusätzliche Teilung oder andere Verfahren verlangen. Beachte dazu x_i und Intervall dimensionslos auf [−1,1]; Gewichte w_i dimensionslos; Integral in der Einheit von f auf diesem normierten Intervall. Eine Verletzung des Gültigkeitsbereichs kann ein präzises, aber sachlich falsches Resultat erzeugen. Prüfe, ob Geometrie, Glattheit, Unabhängigkeit, Symmetrie oder Verteilungsannahmen aus der Beschreibung in der konkreten Aufgabe erfüllt sind. Ist eine Bedingung nicht gegeben, kennzeichne das Ergebnis als Näherung oder wähle ein allgemeineres Verfahren. Mehr Dezimalstellen verbessern keine unpassende Modellwahl. Diese Prüfung ist besonders wichtig, wenn eine ähnliche Nachbarformel andere Voraussetzungen verwendet.

Beide Beziehungen sind fachlich benachbart, beantworten aber unterschiedliche Fragen. Gauss-Legendre-Quadratur: Gauss-Legendre-Quadratur wählt Stützstellen und Gewichte so, dass ein n-Punkt-Verfahren Polynome bis Grad 2n−1 exakt integriert. Zusammengesetzte Simpsonregel: Die zusammengesetzte Simpsonregel nähert ein Integral auf einem gleichmäßigen Gitter durch stückweise quadratische Parabeln an; die Zahl n der Teilintervalle muss gerade sein. Für die Auswahl ist entscheidend, welche Größe gesucht wird und welche Voraussetzungen die Daten erfüllen. Integrale numerisch mit hoher polynomialer Exaktheit und wenigen Funktionsauswertungen berechnen. Als Gegenprobe kannst du im Beispiel Die 2-Punkt-Regel hat Knoten ±1/√3 und Gewichte 1 markieren, welche zusätzliche Größe die andere Beziehung benötigen würde. So erkennst du, wann eine Formel genügt und wann beide nacheinander gebraucht werden.