Zusammengesetzte Trapezregel

Jedes Teilintervall bildet ein Trapez mit zwei benachbarten Höhen. Ein innerer Gitterwert gehört zu zwei Trapezen und erhält daher zweimal den Faktor 1/2, zusammen also Gewicht 1. Der linke erste und rechte letzte Wert kommen jeweils nur in einem Trapez vor und behalten Gewicht 1/2. Genau daraus entsteht Tn=h(f0/2+f1+…+f(n−1)+fn/2). Wenn man alle Werte gleich gewichtet, wird die Randfläche falsch gezählt. Bei ungleichmäßigen Messabständen muss jedes Trapez mit seiner eigenen Breite berechnet werden. Bei gleichmäßiger Schrittweite h entstehen die bekannten Randgewichte 1/2. Bei ungleichen Abständen braucht jedes Teilintervall seine eigene Breite statt eines globalen h.

Nein. Bei einer konvexen Funktion liegt die Sekante zwischen zwei Stützpunkten oberhalb des Graphen; auf diesem Teilintervall überschätzt das Trapez die Fläche. Bei einer konkaven Funktion liegt die Sekante darunter und die Fläche wird unterschätzt. Wechselt die Krümmung, können sich lokale Fehler teilweise aufheben. Das Vorzeichen des Gesamtfehlers lässt sich deshalb nur unter zusätzlichen Bedingungen beurteilen. Für zweimal stetig differenzierbare Funktionen hängt die Fehlerabschätzung unter anderem von der maximalen Größe der zweiten Ableitung und der Schrittweite ab. Für x² auf [0,1] liegt die Sekante oberhalb des Graphen, der Fehler ist positiv. Für −x² kehrt sich das Vorzeichen auf demselben Intervall um.

Verfeinere das gleichmäßige Gitter, indem du n erhöhst und h=(b−a)/n verringerst. Für genügend glatte Funktionen fällt der globale Fehler der zusammengesetzten Trapezregel typischerweise proportional zu h². Halbierst du h, wird der Fehler daher ungefähr auf ein Viertel reduziert, solange der asymptotische Bereich erreicht ist. Das kostet ungefähr doppelt so viele Funktionsauswertungen. Bei Messdaten ist eine feinere Abtastung nicht immer verfügbar; dann helfen Unsicherheitsabschätzungen oder höherwertige Quadraturverfahren. Vergleiche nach Möglichkeit Ergebnisse bei zwei Schrittweiten, statt eine Genauigkeit nur aus vielen Dezimalstellen abzuleiten.

Ist f zweimal stetig differenzierbar und das Gitter gleichmäßig mit Schrittweite h, gilt |I−T_n|≤(b−a)h² max|f″|/12. Die Schranke macht den Einfluss der Krümmung sichtbar: Eine gerade Funktion hat f″=0 und wird exakt integriert; stärkere Krümmung erlaubt einen größeren Fehler. Für f(x)=x² auf [0,1] mit n=2 ist h=0,5 und max|f″|=2. Die Schranke beträgt 1·0,25·2/12=1/24≈0,0417 und entspricht hier dem tatsächlichen Fehler 0,375−1/3. In Anwendungen ist max|f″| oft nur grob bekannt, daher bleibt die Schranke konservativ. Weil max|f″| eine obere Krümmungsschranke ist, fällt die tatsächliche Abweichung häufig kleiner aus.

Für eine hinreichend glatte Funktion hat der Trapezfehler auf gleichmäßigen Gittern führend die Ordnung h². Berechne daher T_n mit Schrittweite h und T_2n mit h/2; die Näherung (4T_2n−T_n)/3 hebt den führenden Fehlerterm auf. Beim Integral von x² auf [0,1] sind T₁=0,5 und T₂=0,375, also ergibt die Kombination (4·0,375−0,5)/3=1/3, den exakten Wert. Die Verbesserung setzt voraus, dass beide Gitter dieselben Grenzen verwenden und der asymptotische Fehlerbereich erreicht ist. Bei Unstetigkeiten oder stark irregulären Messdaten ist die Extrapolation nicht verlässlich. Sie verbessert oft die Zahl belastbarer Dezimalstellen.