Lagrange-Multiplikatoren

Geometrisch skaliert λ den Gradienten der Nebenbedingung, damit er mit dem Gradienten der Zielfunktion übereinstimmt. Unter geeigneten Glattheitsbedingungen misst λ auch, wie stark sich der optimale Zielfunktionswert ändert, wenn der erlaubte Nebenbedingungswert c leicht verändert wird. Das Vorzeichen hängt von der Formulierung der Nebenbedingung ab. In Anwendungen kann λ als Schattenpreis gelesen werden: Er schätzt, um wie viel sich der optimale Zielwert ändert, wenn die erlaubte Ressource c geringfügig erhöht wird. Diese Deutung gilt lokal und hängt davon ab, ob du g=c oder eine äquivalente umskalierte Bedingung notierst.

Eine zulässige kleine Bewegung bleibt auf der Nebenbedingung. Am Extremum kann eine solche Tangentialbewegung den Zielwert in erster Ordnung nicht ändern. Deshalb ist ∇f orthogonal zum Tangentialraum der Nebenbedingung. ∇g ist ebenfalls dessen Normalenvektor, also müssen beide Gradienten parallel sein. Das Parallelitätsargument betrachtet nur Bewegungen, die die Nebenbedingung zunächst erfüllen. Solche Bewegungen liegen im Tangentialraum der zulässigen Fläche. Am Extremum ist die Änderung von f entlang jeder dieser Richtungen null; deshalb ist ihr Gradient normal zur Fläche und proportional zu ∇g.

Ja. Die Gleichungen liefern stationäre Kandidaten, aber sie unterscheiden nicht selbst zwischen Maximum, Minimum oder Sattelpunkt. Vergleiche Funktionswerte aller zulässigen Kandidaten und untersuche bei beschränkten Gebieten den Rand. Eine Nebenbedingung mit ∇g=0 erfordert separate Analyse, weil der Multiplikatoransatz dort versagen kann. Die Bedingung ist notwendig, nicht allein hinreichend. Kandidaten können Maxima, Minima oder Sattelpunkte sein, und ein offenes zulässiges Gebiet muss kein globales Extremum besitzen. Bei einer kompakten Kurve oder Fläche vergleichst du Kandidatenwerte und behandelst Stellen mit verschwindendem Nebenbedingungsgradienten separat.

Bei unabhängigen Gleichungsbedingungen g₁=c₁ bis g_m=c_m lautet die Bedingung ∇f=λ₁∇g₁+…+λ_m∇g_m. Es gibt einen Multiplikator je Nebenbedingung. Die Gradienten der aktiven Nebenbedingungen müssen dabei die Regularitätsbedingung erfüllen; andernfalls sind andere Methoden nötig. Für zwei unabhängige Nebenbedingungen entsteht eine Linearkombination aus zwei Normalenvektoren. Es gibt dann zwei Multiplikatoren und zusätzlich beide Nebenbedingungsgleichungen. Die Zahl der Gleichungen wächst entsprechend; Unabhängigkeit der aktiven Gradienten stellt sicher, dass die lokale zulässige Fläche regulär ist. Löse für mehrere Nebenbedingungen das gesamte System aus Gradientenbeziehung und allen Bedingungen gleichzeitig. Ein Multiplikator allein ersetzt keine Gleichung der zulässigen Menge.

Mit x²+y²=1 gilt 2|xy|≤x²+y²=1, also −1/2≤xy≤1/2. Die Lagrange-Kandidaten erreichen beide Schranken. Diese unabhängige Ungleichung prüft nicht nur die Rechnungen, sondern zeigt auch, dass es sich um globale Extrema handelt. Die Schranke folgt aus (|x|−|y|)²≥0 und damit x²+y²≥2|xy|. Gleichheit gilt genau bei |x|=|y|, also an den gefundenen Kandidaten. Diese zweite Rechnung ist eine starke Prüfung: Sie bestätigt nicht nur stationäre Punkte, sondern beweist direkt die globalen Extremwerte. Die Ungleichung prüft die globalen Schranken unabhängig vom Lagrange-Verfahren. Bei anderen Aufgaben ersetzt eine solche Abschätzung jedoch nicht automatisch die Rand- und Kandidatenprüfung. Gleiche Vorzeichen liefern das Maximum +1/2, entgegengesetzte Vorzeichen das Minimum −1/2.