Partielle Ableitungen und Gradient

Beim Bilden von ∂f/∂x wird y nicht verändert. In f=x²y+3y² wird daher nach x nur 2xy; der Term 3y² zählt als Konstante und seine Ableitung ist null. Erst nachdem alle partiellen Ableitungen gebildet sind, setzt du einen Punkt ein. Für kleine Änderungen kannst du die Tangentialebene als lineare Näherung verwenden. Der Fehler wird meist kleiner, wenn der Schritt kürzer ist, weil Terme höherer Ordnung dann weniger beitragen. Bei großen Änderungen reicht der Gradient allein nicht; berechne die Funktion erneut oder verwende ein vollständiges Modell. Vergleiche die Näherung mit einer direkten Funktionsauswertung, wenn die Schrittweite nicht sehr klein ist. So erkennst du, ob Krümmung den linearen Vorhersagewert bereits merklich verändert.

Für einen Einheitsvektor u ist die Richtungsableitung D_u f=∇f·u=|∇f| cos θ. Sie wird maximal, wenn u parallel zum Gradienten ist, also cos θ=1. Entgegengesetzt zum Gradienten zeigt die stärkste Abnahme; senkrecht dazu ändert sich f in erster Ordnung nicht. Achte darauf, dass u normiert ist, wenn du eine Änderung pro Weglängeneinheit suchst. Ohne Normierung skaliert das Skalarprodukt zusätzlich mit der Länge des Richtungsvektors. Die größte mögliche Richtungsableitung ist die Gradientenlänge, während Richtungen entlang einer Niveaufläche den Funktionswert lokal konstant halten.

Wenn f eine Temperatur in °C und x,y Längen in Metern beschreiben, hat jede Gradientenkomponente die Einheit °C/m. Bei Koordinaten mit verschiedenen Einheiten können auch die Komponenten verschiedene Einheiten haben. Die Länge des Gradientenvektors sollte daher nur nach einer sinnvollen Skalierung der Koordinaten physikalisch interpretiert werden. Die Einheitenprüfung verhindert, dass Temperaturänderungen mit Entfernungen vermischt werden. Bei einer Koordinatentransformation ändern sich die Komponenten nach der Kettenregel; deshalb darf man Werte nicht unabhängig von der gewählten Skala vergleichen. In Anwendungen werden Koordinaten oft normiert, bevor Gradientenlängen oder Optimierungsschritte interpretiert werden.

Auf einer Niveaukurve bleibt f konstant. Jede Tangentenbewegung entlang der Kurve hat deshalb Richtungsableitung null. Weil D_u f=∇f·u gilt, steht der Gradient senkrecht auf einer Tangente. Das ist nützlich, um Tangenten- und Normalenrichtungen zu bestimmen. Zum Beispiel ist eine Tangente an f(x,y)=c orthogonal zu ∇f, sofern der Gradient nicht null ist. Ein Normalenvektor der Kurve ist daher direkt verfügbar. Ist ∇f=0, liefert diese Regel keine ausgezeichnete Richtung; dann brauchst du höhere Ableitungen oder eine lokale Skizze der Niveaukurve. Für f(x,y)=x²+y² sind die Niveaukurven Kreise und ∇f=(2x,2y) zeigt radial nach außen, solange der Punkt nicht im Ursprung liegt.

Der Gradient benötigt alle partiellen Ableitungen am betrachteten Punkt. Bei Sprüngen, Spitzen oder fehlenden partiellen Ableitungen existiert er möglicherweise nicht. Selbst wenn partielle Ableitungen existieren, garantiert das allein nicht die volle Differenzierbarkeit; bei üblichen glatten Funktionen ist diese Feinheit aber meist erfüllt. Differenzierbarkeit bedeutet mehr als die bloße Existenz einzelner partieller Ableitungen. Sie verlangt eine gemeinsame lineare Näherung für Änderungen in allen Richtungen. Bei stückweise definierten Funktionen prüfst du deshalb den Punkt gesondert und darfst aus vorhandenen Ableitungen nicht automatisch auf einen wohldefinierten Gradienten schließen. Fehlen Ableitungen an einer Spitze, ist auch eine eindeutige lokale Steigungsrichtung nicht garantiert. Prüfe dann Grenzwerte aus verschiedenen Richtungen, statt die Gradientendeutung zu erzwingen.