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Eigenvektoren behalten unter einer linearen Abbildung ihre Richtung; der zugehörige Eigenwert gibt den Streckungsfaktor an. Die Eigenwerte erhält man aus der charakteristischen Gleichung.
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Formel
A und λ dimensionslos, sofern A dimensionslos ist · v ≠ 0
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Quadratische Matrix der linearen Abbildung | abhängig von A | |
| Nichtnull-Eigenvektor mit frei wählbarer Normierung; seine Komponenten übernehmen bei physikalischen Zustandsvektoren deren Kontext-Einheit | kontextabhängig | |
| Eigenwert, Streckungsfaktor in Richtung v | wie A | |
| Einheitsmatrix derselben Größe wie A | dimensionslos |
\exists\,\mathbf{v}\ne\mathbf{0}: A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A-\lambda I)=0Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die eine lineare Abbildung nicht verlässt; sie darf gestreckt, gestaucht oder umgekehrt werden. Aus A·v = λ·v folgt (A − λI)·v = 0. Damit dieses homogene Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung v ≠ 0 hat, muss A − λI singulär sein, also det(A − λI) = 0 gelten. Diese Gleichung liefert die Eigenwerte; zu jedem Wert bestimmt man anschließend den Nullraum von A − λI. Für reelle symmetrische Matrizen sind alle Eigenwerte reell und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal.
A muss quadratisch sein; Eigenvektoren sind per Definition ungleich null. Über ℂ existiert mindestens ein Eigenwert. Eine reelle Matrix kann jedoch komplexe Eigenwerte haben.
Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn A−λI singulär ist.
Charakteristische Gleichung aufstellen
Die Determinante ist ein Polynom in λ; seine Nullstellen sind die Eigenwerte.
Eigenvektor zu λ bestimmen
Alle Lösungen des homogenen Systems bilden den Eigenraum; die Nullösung zählt nicht als Eigenvektor.
Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren von A = [[2,0],[0,3]].
det(A−λI)=(2−λ)(3−λ)=0, also λ=2,3.
Für λ=2 ist v=(1,0), für λ=3 ist v=(0,1).
Probe: Av=λv.
Die Nullösung v = 0 als Eigenvektor angeben oder die Vektorgleichung ohne Determinantenbedingung lösen.
Eigenvektoren müssen ungleich null sein. Bestimme zuerst λ über det(A−λI)=0 und löse dann das jeweilige homogene System.
Formelcluster
Eigenwerte ergänzen Matrixrechnung und lineare Modelle um Richtung, Streckung und Dynamik.
Für A = [[2,0],[0,3]] ist det(A − λI) = (2 − λ)(3 − λ) = 0. Die Eigenwerte sind λ1 = 2 und λ2 = 3. Zu λ1 passt v1 = (1,0), denn A·v1 = (2,0) = 2v1; zu λ2 passt v2 = (0,1).
Lineare Dynamik und Stabilität, Schwingungsmoden, Hauptkomponentenanalyse, Diagonalisierung und quantenmechanische Observablen
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Eigenwerte und Eigenvektoren (A·v = λ·v · det(A − λI) = 0).
Aufgabe
Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren von A = [[2,0],[0,3]].
Rechenweg
det(A−λI)=(2−λ)(3−λ)=0, also λ=2,3.
Für λ=2 ist v=(1,0), für λ=3 ist v=(0,1).
Probe: Av=λv.
Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die eine lineare Abbildung nicht verlässt. Wird v mit A multipliziert, zeigt Av weiterhin parallel zu v; nur Länge oder Orientierung ändern sich. Der Eigenwert λ ist der Faktor: λ = 2 verdoppelt die Länge, λ = −1 kehrt die Richtung um, λ = 0 bildet den Vektor auf den Nullvektor ab. Bei A = diag(2,3) werden die x- und y-Achse mit verschiedenen Faktoren skaliert; daher sind genau diese Achsenrichtungen Eigenvektoren. Vektoren zwischen ihnen sind meist keine. Dieses Bild macht das abstrakte Rechnen verständlicher und hilft, gefundene Eigenvektoren zu prüfen.
Stelle zuerst A−λI auf und bilde dessen Determinante. Die charakteristische Gleichung det(A−λI)=0 enthält die Eigenwerte als Lösungen. Beispiel: Für A = [[2,0],[0,3]] ist die Determinante (2−λ)(3−λ); ihre Nullstellen sind 2 und 3. Danach löst du für jeden Wert das System (A−λI)v=0, um die Eigenvektoren zu erhalten. Vorsicht bei der Reihenfolge: Die Determinantengleichung liefert λ, nicht direkt v. Reelle Matrizen können komplexe Eigenwerte haben; bei einer symmetrischen reellen Matrix sind alle Eigenwerte reell. Bei mehrfachen Nullstellen kann der Eigenraum trotzdem nur eindimensional sein; zähle daher nicht einfach die algebraische Vielfachheit als Zahl unabhängiger Eigenvektoren.
Der Eigenvektor v ist eine nichtverschwindende Richtung; der Eigenwert λ ist die Zahl, mit der A diese Richtung skaliert. Beides gehört zusammen und erfüllt Av=λv. Eine Matrix hat gewöhnlich mehrere solche Paare. Für A = diag(2,3) ist v=(1,0) ein Eigenvektor mit λ=2, und v=(0,1) einer mit λ=3. Der Nullvektor zählt ausdrücklich nicht als Eigenvektor, obwohl A·0=λ·0 für jede Zahl gilt. Auch mehrere Vielfache desselben v beschreiben dieselbe Eigenrichtung. Diese Unterscheidung verhindert, dass man ein Rechenergebnis nur als Zahl oder nur als Vektor notiert.
Eine reelle symmetrische Matrix lässt sich mit einer orthonormalen Basis aus Eigenvektoren diagonal darstellen. Die Eigenwerte stehen dann auf der Diagonalen und zeigen die Skalierung entlang dieser rechtwinkligen Richtungen. Dadurch werden wiederholte Matrixpotenzen, quadratische Formen und gekoppelte Schwingungen leichter berechenbar. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal; bei mehrfachen Eigenwerten kann man innerhalb des Eigenraums eine orthonormale Basis wählen. Das ist mehr als eine Rechenabkürzung: In Statistik beschreibt es etwa Hauptkomponenten, in Mechanik Normalmoden. Nicht jede Matrix ist symmetrisch, und komplexe oder nicht diagonalisierbare Fälle brauchen zusätzliche Vorsicht.
Eigenwerte zeigen, was mit bestimmten Mustern oder Zuständen unter wiederholter Anwendung eines Modells geschieht. In einer Schwingungsaufgabe entsprechen sie den Eigenfrequenzen; in einem dynamischen System verraten sie, ob kleine Störungen abklingen oder anwachsen. Bei der Hauptkomponentenanalyse geben sie die Varianzanteile entlang neuer Datenrichtungen an. In Quantenmechanik sind messbare Werte mit Eigenwerten geeigneter Operatoren verbunden. Für jedes Beispiel gelten Zusatzannahmen: Stabilität hängt etwa vom betrachteten kontinuierlichen oder diskreten System ab, und eine Datenkomponente ist keine Ursache. Die Eigenwertrechnung liefert also eine Struktur, deren fachliche Bedeutung der Modellkontext festlegt.
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Wie stellst du A·v = λ·v · det(A − λI) = 0 nach Charakteristische Gleichung aufstellen um?
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Welcher typische Fehler passiert bei A·v = λ·v · det(A − λI) = 0?
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