Lineares Gleichungssystem und Matrixrang

Der Rang zählt unabhängige Informationsrichtungen. Eine Zeile, die nur ein Vielfaches einer anderen ist, liefert keine neue Bedingung. In der Zeilenstufenform ist der Rang die Zahl der Pivotpositionen; geometrisch ist es die Dimension des Spaltenraums. Jede Pivotspalte steht für eine unabhängige Variable, die eine neue Richtung im Bild von A erzeugt. Rang zählt daher Information, nicht bloß die Zahl aufgeschriebener Gleichungen. Zeilenvertauschungen und Addition eines Vielfachen einer Zeile ändern weder Lösungsmenge noch Rang. Nach dem Rangvergleich liest du die Lösungstypen zusätzlich an den freien Variablen ab. Für eine konkrete Lösung setzt du zulässige Parameterwerte ein und prüfst sie direkt in jeder Originalgleichung.

Beim Anhängen von b kann eine neue unabhängige Richtung entstehen. Wenn dadurch der Rang steigt, enthält die Zeilenstufenform eine Gleichung 0=c mit c≠0, also einen Widerspruch. Bleibt der Rang gleich, ist das System konsistent. Eine widersprüchliche Zeile entsteht beim Gauß-Verfahren als 0=konstante Zahl ungleich null. Genau dafür hat die erweiterte Matrix einen zusätzlichen Pivot in der letzten Spalte. Gleiche Ränge schließen diesen Widerspruch aus; sie sagen aber noch nichts darüber, ob die Lösung eindeutig ist. Der Rangtest ist invariant unter elementaren Zeilenoperationen. Deshalb darfst du die erweiterte Matrix reduzieren, solange du die rechte Seite bei jeder Operation mitänderst.

Es muss lösbar sein und jede der n Unbekannten durch einen Pivot bestimmt werden. Das ist genau dann der Fall, wenn rang(A)=rang([A|b])=n. Bei kleinerem Rang gibt es freie Variablen und damit unendlich viele Lösungen, sofern das System lösbar ist. Eindeutigkeit verlangt einen Pivot für jede Variable, nicht zwingend für jede Gleichungszeile. Ein System mit vielen abhängigen Zeilen kann also trotzdem eindeutig lösbar sein, sofern A vollen Spaltenrang besitzt und die rechte Seite konsistent ist. Bei weniger Pivotspalten bleiben Parameter frei. Bei einer invertierbaren quadratischen Matrix ist voller Rang gleichbedeutend mit einer von null verschiedenen Determinante; Gauß zeigt den Rang direkt.

Für ein lösbares System mit n Unbekannten und Rang r gibt es n−r freie Variablen. Im Beispiel mit zwei Gleichungen x+y=2 und 2x+2y=4 ist r=1, daher ist eine Variable frei. Wähle etwa x=t; dann folgt y=2−t. Wähle eine freie Variable als Parameter und drücke die übrigen Variablen über die Pivotgleichungen durch sie aus. Dadurch erhältst du eine parametrisierte Lösungsmenge statt einer einzelnen Lösung. Eine Probe durch Einsetzen in Ax=b stellt sicher, dass keine Zeilenumformung falsch übertragen wurde. Freie Parameter beschreiben die Nullraumrichtungen, entlang derer sich eine Lösung bewegen kann, ohne Ax=b zu ändern. Dieser Zusammenhang erklärt die Zählregel n−rang(A).

Ja. Zusätzliche Gleichungen können redundant sein. Bei n Unbekannten ist eine eindeutige Lösung möglich, wenn alle Zeilen mit einer gemeinsamen Lösung verträglich sind und rang(A)=n gilt. Überzählige abhängige Gleichungen erhöhen den Rang nicht. Bei Messdaten sind Gleichungen häufig leicht widersprüchlich, weil Rundung oder Messrauschen vorliegt. Dann ist Ax=b exakt nicht lösbar und man sucht eine Näherung, etwa mit kleinsten Quadraten. Rang bleibt dennoch wichtig: Er zeigt, ob die Parameter grundsätzlich unterscheidbar sind oder ob Datenrichtungen fehlen. Ist das System widersprüchlich, ist kleinste Quadrate ein anderes Problem und kein Beweis exakter Lösbarkeit. Berichte dann Residuen und Annahmen des Anpassungsmodells getrennt.