Mehrdimensionale Kettenregel

Hängt z=f(x,y) von zwei Größen ab, die wiederum von t abhängen, addiert die Kettenregel die Beiträge beider Änderungswege. Die Schreibweise dz/dt = f_x·x′ + fᵧ·y′ macht sichtbar, welche Größen zusammenhängen. Dabei bedeuten z=f(x,y): abhängige skalare Größe (Einheit des Modells); x(t),y(t): innere Variablen als Funktionen von t (je nach Modell); f_x,fᵧ: partielle Ableitungen (z pro x beziehungsweise z pro y). f_x·x′ und fᵧ·y′ haben jeweils Einheit von z pro Einheit von t. Für die Anwendung ist entscheidend, ob die gegebenen Größen dieselbe Bedeutung und Bezugsrichtung wie in der Definition haben. Typische Aufgaben verwenden die Beziehung für Fehlerfortpflanzung, Bewegungen auf Flächen, zusammengesetzte Modelle und Rückpropagation in neuronalen Netzen.. Lies daher zuerst die Größen und ihre Dimensionen, bevor du Zahlen einsetzt; so erkennst du zum Beispiel sofort, ob das Ergebnis eine Länge, Rate, Wahrscheinlichkeit oder dimensionslose Kennzahl sein muss.

Beginne mit einer Skizze oder einer Liste der bekannten Größen, ordne jede Größe einem Symbol zu und bringe Einheiten in eine gemeinsame Form. Dann wähle die passende Gleichungsform und setze erst danach Werte ein. Beispiel: f=x²+y, x=t, y=2t: dz/dt=2x·1+1·2. Bei t=1 ist x=1 und damit dz/dt=4. Probe: z=t²+2t, daher z′=2t+2=4. Die Probe ist Teil der Rechnung: Die totale Ableitung setzt die lokalen Änderungen entlang der Kurve (x(t),y(t)) zusammen Vergleiche zusätzlich Größenordnung und Einheit mit dem Sachkontext. Runde erst am Schluss, denn vorzeitiges Runden kann bei mehreren Rechenschritten besonders bei kleinen Differenzen oder Summen sichtbar auf das Ergebnis durchschlagen.

Die totale Ableitung setzt die lokalen Änderungen entlang der Kurve (x(t),y(t)) zusammen. In Vektorform ist dz/dt=∇f·(x′,y′). Die Regel setzt Differenzierbarkeit voraus; bei Sprüngen oder Knicken sind gewöhnliche Ableitungen nicht verfügbar. Das ist keine nebensächliche Fußnote: Bei einer Verletzung der Annahmen kann die Formel ein präzises, aber unpassendes Ergebnis liefern. Kontrolliere deshalb vor dem Rechnen, welche Werte beobachtet, geschätzt oder modelliert sind und ob Sonderfälle die Gleichung ändern. Fehlerfortpflanzung, Bewegungen auf Flächen, zusammengesetzte Modelle und Rückpropagation in neuronalen Netzen. Bei numerischen Verfahren prüfe außerdem Schrittweite und Stabilität; bei Statistik Stichprobendesign und Verteilung; bei Analysis Differenzierbarkeit, Rand und Orientierung. Verwende eine alternative Methode, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.

Beide Beziehungen passen in denselben Themenbereich, beantworten aber verschiedene Fragen. „Mehrdimensionale Kettenregel“: Hängt z=f(x,y) von zwei Größen ab, die wiederum von t abhängen, addiert die Kettenregel die Beiträge beider Änderungswege. Die Anschlussformel „Partielle Ableitungen und Gradient“ Partielle Ableitungen messen die Änderung nach einer einzelnen Variablen; der Gradient bündelt diese Änderungsraten als Vektor. Wähle zuerst nach der gesuchten Größe und dem Modell: Fehlerfortpflanzung, Bewegungen auf Flächen, zusammengesetzte Modelle und Rückpropagation in neuronalen Netzen. Die Beispielrechnung f=x²+y, x=t, y=2t: dz/dt=2x·1+1·2. Bei t=1 ist x=1 und damit dz/dt=4. Probe: z=t²+2t, daher z′=2t+2=4. zeigt, welche Größen in dieser Beziehung tatsächlich eingehen. Ein sinnvoller Lernschritt ist, beide Formeln mit denselben Ausgangsdaten zu vergleichen und zu markieren, welche Zusatzannahme die zweite benötigt. So wird aus einer Merkliste eine nachvollziehbare Auswahlregel.

Lokale Voraussetzungen und Rand- beziehungsweise Orientierungsangaben gehören zur Formel. Prüfe sie vor dem Ableiten oder Integrieren; insbesondere darf ein gültiger lokaler Ausdruck nicht ohne Begründung auf das ganze Gebiet übertragen werden. Zusätzlich müssen die verwendeten Symbole exakt zur Definition passen: z=f(x,y): abhängige skalare Größe (Einheit des Modells); x(t),y(t): innere Variablen als Funktionen von t (je nach Modell); f_x,fᵧ: partielle Ableitungen (z pro x beziehungsweise z pro y). Rechne nicht nur mechanisch, sondern schreibe die Annahme neben den Ansatz und kontrolliere danach Dimension und Vorzeichen. Für die vorliegende Beziehung gelten außerdem: Die totale Ableitung setzt die lokalen Änderungen entlang der Kurve (x(t),y(t)) zusammen Im Beispiel f=x²+y, x=t, y=2t: dz/dt=2x·1+1·2. Bei t=1 ist x=1 und damit dz/dt=4. Probe: z=t²+2t, daher z′=2t+2=4. kannst du diese Prüfungen direkt nachvollziehen. Wenn die Annahme nicht passt, suche eine andere Beziehung aus dem Kapitel statt Werte in eine unpassende Formel zu zwingen.