Physik · Rollbewegung

Rollen ohne Gleiten

Beim Rollen ohne Gleiten auf ruhendem Boden ist der Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag gleich Rollradius mal Winkelgeschwindigkeitsbetrag.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

v_{CM} = R ω

$v_{\mathrm{CM}}$ in $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; R in m; $\omega$ in $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$vCM$	nichtnegativer Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag relativ zum ruhenden Boden	m/s
$R$	konstanter Rollradius des starren kreisförmigen Körpers	m
$ω$	nichtnegativer Winkelgeschwindigkeitsbetrag \|ωz\|	rad/s

LaTeX

v_{\mathrm{CM}}=R\omega

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Rad mit Radius 0,280 m und Uhrzeigerdrehung, positive z-Achse aus der Zeichenebene. Im Bodenrahmen zeigt der Schwerpunktpfeil 1,680 m/s nach rechts; der obere Pfeil ist doppelt so lang. Am unteren Kontaktpunkt ist die Geschwindigkeit null. Darunter heben sich gleich lange Translations- und Rotationspfeile auf. — Auf ruhendem Boden hebt die Rotation am Kontakt die Translation auf. Mit R = 0,280 m, ωz = −6 rad/s und vCM = 1,680 m/s bewegt sich der obere Radpunkt mit 3,360 m/s; am Kontakt ist vC = 0. Das bedeutet nicht aC = 0.

Rollbedingung berechnen

Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit oder Radius eines Rads ausrechnen, das ohne Rutschen rollt, auf ruhendem Boden oder auf einem Förderband.

Rechenmodell

Gesucht

Positiver Rollradius R

Abstand von der Radmitte bis zur Lauffläche, z. B. 35 cm bei einem 28-Zoll-Fahrradreifen.

Geschwindigkeit der Radmitte v (rechts +)

Geschwindigkeit der Radmitte, nach rechts positiv, z. B. 18 km/h für ein Fahrrad.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ω, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ω umstellen
$\omega_z=-\frac{v_{\mathrm{CM},x}}R$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- R = 35 cm = 0,35 m
- vCM = 18 km/h = 5 m/s
$-\frac{5}{0{,}35}$
3. Ergebnis
ω = -14,29 rad/s

Ergebnis: Winkelgeschwindigkeit ω (gegen Uhrzeiger +)

ω = -14,29 rad/s

Mit R = 35 cm und vCM = 18 km/h ergibt sich ω = -14,29 rad/s.

So rechnest du schneller

Vorzeichenprobe auf ruhendem Boden: Rollt ein Rad nach rechts, dreht es im Uhrzeigersinn, also ist ω negativ. Der Betrag folgt aus v = R · |ω|. Auf einem Förderband gilt die Regel nicht immer.
Auf ruhendem Boden steht der Berührpunkt kurz still, und der oberste Punkt am Rand ist doppelt so schnell wie die Radmitte.

Annahmen und Grenzen

Starres Rad auf gerader Unterlage: x nach rechts, z aus der Bildebene, positive ωz gegen Uhrzeigersinn. Ohne Schlupf gilt vCM,x+Rωz=Vsurface. Keine Reibungskraft, Kontaktbeschleunigung oder Antriebsdynamik aus dieser kinematischen Bedingung. Die Unterlage ruht: Vsurface=0.

Herleitung & Hintergrund

Die Kurzform $v_{\mathrm{CM}}=R\omega$ verwendet nichtnegative Beträge auf ruhendem Boden. Mit x nach rechts und z aus der Ebene ist die signierte Bedingung $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ . Allgemein muss $v_{C,x}=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z$ die Unterlagengeschwindigkeit erreichen. Haftreibung kann dies sichern, ist aber beim idealen gleichförmigen Rollen ohne weitere horizontale Kräfte null. Verschwindende Kontaktgeschwindigkeit bedeutet weder verschwindende Beschleunigung noch dauerhaftes Festhalten dieses Materialpunkts.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Starrer kreisförmiger Körper mit konstantem Rollradius auf gerader Unterlage; kein tangentiales Gleiten. $v_{\mathrm{CM}}=R\omega$ verwendet nichtnegative Beträge und ruhenden Boden. Auf bewegter Unterlage gilt die entsprechende relative Kontaktbedingung; die nötige Haftreibung muss verfügbar sein, kann aber auch null sein.

Herleitung in Schritten

Ohne Gleiten hat der Kontaktpunkt dieselbe Geschwindigkeit wie die Unterlage; Translation und Rotation addieren sich dort.

1Wähle x nach rechts, z aus der Ebene und einen starren kreisförmigen Körper mit $R>0$ .
2Jeder Materialpunkt hat $\vec v_P=\vec v_{\mathrm{CM}}+\vec\omega\times\vec r_{P/\mathrm{CM}}$ . Positive $\omega_z$ bedeutet gegen den Uhrzeigersinn.
3Am unteren Kontakt ist $\vec r=(0,-R,0)$ , daher der Rotationsbeitrag $+R\omega_z$ in x-Richtung.
4Ohne Gleiten gilt $v_{C,x}=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=V_{\mathrm{Unterlage}}$ .
5Ruhender Boden hat $V_{\mathrm{Unterlage}}=0$ , also $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ .
6Betragsbildung ergibt $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ ; die obere Kurzform nennt den nichtnegativen Betrag $\omega$ .
7Auf einem fahrenden Band ist $v_{\mathrm{CM},x}-V_{\mathrm{Band}}=-R\omega_z$ ; die Kontaktgeschwindigkeit verschwindet nur relativ zum Band.

Umstellen

Winkelgeschwindigkeit

|\omega_z|=\frac{v_{\mathrm{CM}}}R

Beträge auf ruhendem Boden, kein Gleiten und positiver Radius. Für die Richtung die signierte Kontaktgleichung verwenden.

Aufgabenvariante

Ein starres Rad mit $R=0{,}30\,\mathrm m$ rollt ohne Gleiten auf ruhendem Boden. Der Winkelgeschwindigkeitsbetrag ist $4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Wie groß ist seine Schwerpunktgeschwindigkeit?

Ansatz: $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ .
Einsetzen liefert $v_{\mathrm{CM}}=1{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: $\frac{v_{\mathrm{CM}}}R=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; der Betrag allein bestimmt keine Richtung.

Typische Fehler

Kontaktgeschwindigkeit mit Schwerpunktgeschwindigkeit gleichsetzen oder ruhenden Boden auf ein fahrendes Band übertragen.

Prüfe $v_{C,x}=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=V_{\mathrm{Unterlage}}$ . Der Kontaktpunkt ruht nur momentan; seine Beschleunigung muss nicht null sein.

Klausurkontext

Räder, Zylinder und Kugeln bei Rollbewegung und Energieaufgaben verknüpfen.

Formelcluster

Rollbewegung

Verwandte Beziehungen: rotationsenergie-starrer-koerper, drehimpuls-starrer-koerper, winkelgeschwindigkeit-kreisfrequenz.

Erot = ½Iω²

Rotationsenergie eines starren Körpers

L = Iω

Drehimpuls eines starren Körpers

ω = 2πf; v = ω·r

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

Rechenbeispiel

Ein Rad mit $R=0{,}30\,\mathrm m$ und $\omega=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ rollt ohne Schlupf mit $v_{\mathrm{CM}}=1{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Anwendungsgebiete

Räder, Zylinder und Kugeln bei Rollbewegung und Energieaufgaben verknüpfen.

Rechenbeispiel: Rollbedingung ohne Gleiten

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Rollbedingung ohne Gleiten (vCM = Rω).

1
Aufgabe
Ein starres Rad mit $R=0{,}30\,\mathrm m$ rollt ohne Gleiten auf ruhendem Boden. Der Winkelgeschwindigkeitsbetrag ist $4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Wie groß ist seine Schwerpunktgeschwindigkeit?
Rechenweg
1. Ansatz: $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ .
2. Einsetzen liefert $v_{\mathrm{CM}}=1{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Kontrolle: $\frac{v_{\mathrm{CM}}}R=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; der Betrag allein bestimmt keine Richtung.

Die Formel verstehen und anwenden

Beim Rollen ohne Gleiten passt die Rotation genau zur Bewegung des Schwerpunkts relativ zur Unterlage. Für einen kreisförmigen Körper auf ruhendem Boden folgt die bekannte Betragsbeziehung $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ . Mit Vorzeichen oder auf einem Förderband zeigt erst die Geschwindigkeit des Kontaktpunkts, ob die Bedingung wirklich erfüllt ist.

Was bedeutet „ohne Rutschen“ am Rad?

Ein Rad bewegt sich nach vorn und dreht sich zugleich. Am Boden kann sich beides genau aufheben: Der gerade berührende Materialpunkt ist dort für einen Moment in Ruhe. Das ist die anschauliche Grundlage der Rollbedingung. Erst wenn die Unterlage selbst fährt, muss ihr Geschwindigkeitswert mitgezählt werden. Wir prüfen daher den Kontakt, bevor wir Kräfte oder Energie berechnen.[1]

Vorwissen: Geschwindigkeit, Radius und Drehsinn. Schwerpunkt bedeutet der Massenmittelpunkt; bei einem gleichmäßig aufgebauten Rad liegt er im Zentrum.

Die Unterlage bestimmt die Kontaktgeschwindigkeit

v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|

Die obere Kurzform schreibt $\omega$ als nichtnegative Winkelgeschwindigkeit. $v_{\mathrm{CM}}$ ist hier der Geschwindigkeitsbetrag gegenüber ruhendem Boden.[1]

Ein starrer kreisförmiger Körper kann gleichzeitig übersetzen und rotieren. Ohne Gleiten bewegt sich der jeweilige Materialpunkt am Kontakt momentan mit derselben tangentialen Geschwindigkeit wie die Unterlage. Auf ruhendem Boden ist seine Geschwindigkeit null. Andere Punkte des Körpers haben andere Geschwindigkeiten: Der Kontakt ist weder ein dauerhaft festgehaltener Materialpunkt noch der Schwerpunkt.[2]

Geschwindigkeit vom unteren zum oberen Rand

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Ruhender Boden,

R=0{,}280\,\mathrm{m}

,

v_{\mathrm{CM},x}=1{,}680\,\mathrm{m\,s^{-1}}

und

\omega_z=-6\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

. Der horizontale Geschwindigkeitsanteil ist unten null, am Mittelpunkt 1,680

\mathrm{m\,s^{-1}}

und oben 3,360

\mathrm{m\,s^{-1}}

. y ist die Höhe relativ zum Mittelpunkt; seitliche Punkte besitzen zusätzlich einen vertikalen Anteil.[2]

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Translation und Rotation am Kontakt addieren

\mathbf v_P=\mathbf v_{\mathrm{CM}}+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{P/\mathrm{CM}}

Die Geschwindigkeit eines Körperpunkts setzt sich aus Schwerpunkttranslation und Rotation um den Schwerpunkt zusammen.[2]

Lege x nach rechts und z aus der Zeichenebene fest. Positive $\omega_z$ bedeutet gegen den Uhrzeigersinn. Am unteren Kontakt lautet der relative Ortsvektor $(0,-R,0)$ ; das Kreuzprodukt liefert dort den x-Beitrag $+R\omega_z$ . Der Kontakt bewegt sich somit mit $v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z$ . Null auf ruhendem Boden ergibt $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ . Erst durch Betragsbildung entsteht $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ .[2]

\begin{aligned}v_{C,x}&=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=V_{\mathrm{surface}}\\v_{\mathrm{CM},x}-V_{\mathrm{surface}}&=-R\omega_z\end{aligned}

Diese Kontaktgleichung gilt auch für einen geraden bewegten Untergrund; alle Geschwindigkeiten müssen im selben Bezugssystem stehen.[2]

Beträge und Richtungen sauber umstellen

\begin{aligned}|\omega_z|&=\frac{v_{\mathrm{CM}}}{R}\\R&=\frac{v_{\mathrm{CM}}}{|\omega_z|}\\\omega_z&=-\frac{v_{\mathrm{CM},x}-V_{\mathrm{surface}}}{R}\end{aligned}

$R>0$ ; die Radiusumstellung verlangt außerdem $|\omega_z|$ >0. Die ersten beiden Formen setzen ruhenden Boden voraus.

Radius in m mal Winkelgeschwindigkeit in $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ergibt $\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Bei einer Drehzahl in Umdrehungen pro Sekunde gilt $v=2\pi Rf$ , nicht $Rf$ . Eine Radiusmessung aus $\frac v\omega$ ist nur dann aussagekräftig, wenn wirklich kein Gleiten stattfindet; sonst ist die Diskrepanz kein neuer geometrischer Radius. Reifenverformung, eine nichtkreisförmige Kontur oder wechselnder Kontakt können einen eigenen effektiven Rollradius erfordern.[1]

Warum der obere Rand schneller ist

\begin{aligned}v_{\mathrm{top},x}&=v_{\mathrm{CM},x}-R\omega_z=2v_{\mathrm{CM},x}\\v_{C,x}&=0\end{aligned}

Auf ruhendem Boden verstärkt die Rotation oben die Translation und hebt sie unten auf.[2]

Die obere Gleichung ist eine momentane Geschwindigkeitsaussage. Der materielle Punkt, der jetzt am Boden steht, verlässt diese Stelle unmittelbar danach. Bei gleichförmigem Rollen sind Schwerpunktbeschleunigung und $\alpha$ null, dieser Kontaktmaterialpunkt hat dennoch eine nach oben gerichtete Zentripetalbeschleunigung $R\omega^2$ . Aus $v_C=0$ folgt daher keineswegs $a_C=0$ . Bei beschleunigter Bewegung kommt die tangentiale Rotationsbeschleunigung hinzu.[2]

a_{\mathrm{CM},x}=-R\alpha_z

Bei dauerndem Rollen auf einer geraden ruhenden Unterlage und konstantem R ergibt Differentiation die Schwerpunkt-Beschleunigungsbedingung. Sie betrifft nicht die Beschleunigung des Kontaktmaterialpunkts.[1]

Ruhender Boden und bewegtes Band

Ein Rad rollt gleichförmig nach rechts

Gegeben: Ein starres Rad mit $R=0{,}280\,\mathrm{m}$ rollt ohne Gleiten auf ruhendem Boden. $v_{\mathrm{CM},x}=+1{,}680\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ bleibt 4,00 s konstant. +z zeigt aus der Ebene.
Gesucht: Bestimme $\omega_z$ , Randgeschwindigkeiten, Weg und Kontaktpunktbeschleunigung.

Ansatz: Die ruhende Unterlage setzt die Kontaktgeschwindigkeit auf null. $v_{\mathrm{Kontakt},x}=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=0$ . Die signierte Kontaktbedingung bestimmt die Drehrichtung.
$\omega_z=-\frac{1.680}{0.280}=-6.00\,\mathrm{rad/s}$
Oben und unten die Rotationsbeiträge zur Translation addieren.
$\begin{aligned}v_{\mathrm{top},x}&=3.360\,\mathrm{m/s}\\v_{C,x}&=0\end{aligned}$
Der Schwerpunkt legt Weg zurück; die Winkelstrecke zählt den Drehbetrag.
$\begin{aligned}s&=1.680(4)=6.720\,\mathrm m\\|\Delta\theta|&=6(4)=24.0\,\mathrm{rad}\end{aligned}$
Bei $\alpha=0$ bleibt die Zentripetalbeschleunigung des unteren Materialpunkts.
$a_{C,y}=R\omega_z^2=0.280(36)=10.08\,\mathrm{m/s^2}$

Ergebnis: $\omega_z=-6{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , also im Uhrzeigersinn. Oben 3,360 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ , unten momentan null; Weg 6,720 m und Winkelstrecke 24,0 rad. Der untere Materialpunkt beschleunigt mit 10,08 $\mathrm{m\,s^{-2}}$ nach oben.

Kontrolle: Unabhängig gilt $s=R|\Delta\theta|=0{,}280\,\mathrm m\cdot24{,}0=6{,}720\,\mathrm m$ . Die Drehzahl beträgt $\frac{|\omega_z|}{2\pi}\cdot60\,\mathrm{s/min}\approx57{,}296\,\mathrm{min^{-1}}$ , die Umdrehungszahl $\frac{24}{2\pi}\approx3{,}820$ . An einem seitlichen Randpunkt stehen zwei Geschwindigkeitsbeiträge von je 1,680 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ senkrecht aufeinander; ihr Betrag ist $\sqrt2\cdot1{,}680\,\mathrm{m/s}\approx2{,}376\,\mathrm{m/s}$ .

Dasselbe Prinzip auf einem Förderband

Gegeben: Ein Rad mit $R=0{,}200\,\mathrm{m}$ berührt ein gerades Band mit VBand=+0,500 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Sein Schwerpunkt bewegt sich im Labor mit +1,100 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; kein Gleiten und beide Geschwindigkeiten konstant.
Gesucht: Bestimme $\omega_z$ sowie Kontakt- und obere Randgeschwindigkeit im Labor.

Ansatz: Bei einer bewegten Unterlage die Kontaktgeschwindigkeit dem Bandwert gleichsetzen. $v_{\mathrm{Kontakt},x}=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=v_{\mathrm{Band}}$ . Vom Schwerpunktwert die Unterlagengeschwindigkeit abziehen.
$\omega_z=-\frac{1.100-0.500}{0.200}=-3.00\,\mathrm{rad/s}$
Der Kontakt muss im Labor mit dem Band mitlaufen.
$v_{C,x}=1.100+0.200(-3)=0.500\,\mathrm{m/s}$
Oben hat der Rotationsbeitrag das umgekehrte Vorzeichen.
$v_{\mathrm{top},x}=1.100-0.200(-3)=1.700\,\mathrm{m/s}$

Ergebnis: Im Labor gilt $\omega_z=-3{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $v_{C,x}=+0{,}500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $v_{\mathrm{top},x}=+1{,}700\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Die Bodenform wäre hier falsch: $1{,}100\ne0{,}600$ .

Kontrolle: Im gleichförmig mitbewegten Bandrahmen sind Schwerpunkt-, Kontakt- und obere Geschwindigkeit 0,600, 0 und 1,200 m/s. Dort gilt wieder $v_{\mathrm{CM},\mathrm{rel}}=R|\omega_z|$ und $v_{\mathrm{top},\mathrm{rel}}=2v_{\mathrm{CM},\mathrm{rel}}$ . Die Winkelgeschwindigkeit ändert sich bei dieser reinen gleichförmigen Translation des Bezugssystems nicht.

Rollbedingung ist noch keine Kraftbilanz

Haftreibung kann die Rollbedingung durchsetzen, wenn dafür eine tangentiale Kraft nötig ist. Die benötigte Kraft muss innerhalb $|F_{\mathrm{Haft}}|\le\mu_sN$ liegen. Ihre Richtung folgt aus der Dynamik und der drohenden Relativbewegung, nicht pauschal entgegen der Schwerpunktbewegung. Ein idealer Körper kann auf horizontalem Boden ohne andere horizontale Kräfte gleichförmig rollen, obwohl die Haftreibungskraft null ist.[1][2]

K=\frac12 Mv_{\mathrm{CM}}^2+\frac12 I_{\mathrm{CM}}\omega^2=\frac12(I_{\mathrm{CM}}+MR^2)\omega^2

Die letzte Gleichheit gilt für Rollen auf ruhendem Boden. Das Kontaktachsen-Trägheitsmoment enthält bereits beide Energieanteile.[2]

Addiere zur Kontaktachsenform nicht nochmals $\frac12Mv_{\mathrm{CM}}^2$ ; damit würdest du Translation doppelt zählen. Auf einem bewegten Band verwendest du für die Laborenergie weiterhin die getrennte Schwerpunktform mit den Laborgeschwindigkeiten. Die Rollbedingung ersetzt nicht die Translations- oder Rotationsgleichung und bestimmt allein weder Antriebskraft noch Beschleunigung.[2]

Haft- und Gleitreibung müssen zur tatsächlichen Kontaktbewegung passen: Die hier erläuterte Haftgrenze kann Rollen ohne Gleiten ermöglichen, während bei Schlupf ein anderes Reibungsmodell nötig ist. Die Rollbedingung allein liefert weder die benötigte Haftkraft noch deren Richtung.[1]

Die Rotationsenergie eines starren Körpers ist nur einer der beiden Beiträge in der Schwerpunktdarstellung dieses Abschnitts. Verwende sie für die Eigenrotation um den Schwerpunkt und halte die Translation getrennt; die Kontaktachsenform enthält auf ruhendem Boden bereits beide Beiträge.[1]

Fünf Kontaktprüfungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein kreisförmiges Rad mit $R=0{,}150\,\mathrm{m}$ rollt auf ruhendem Boden ohne Gleiten; $|\omega_z|=8{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Bestimme den Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag.

Hinweis anzeigen

Die Betragsform benötigt hier keine zusätzliche Drehrichtungsangabe.

Lernziel: Schwerpunktbetrag aus Rollbedingung finden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Auf ruhendem Boden gilt $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ .
Einsetzen ergibt $v_{\mathrm{CM}}=0{,}150\cdot8{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}=1{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: $\frac{v_{\mathrm{CM}}}R=8{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Aus dem Betrag allein lässt sich der Drehsinn nicht bestimmen.

v_{\mathrm{CM}}=1.20\,\mathrm{m/s}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Auf ruhendem Boden gilt $R=0{,}120\,\mathrm{m}$ und $\omega_z=+5{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , gegen den Uhrzeigersinn. Bestimme $v_{\mathrm{CM},x}$ und $v_{\mathrm{top},x}$ bei Rollen ohne Gleiten.

Hinweis anzeigen

Verwende die signierte Gleichung $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ .

Lernziel: Drehsinn zu Punktgeschwindigkeiten zuordnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für x nach rechts und z aus der Ebene gilt $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ ; oben ist $v_{\mathrm{top},x}=2v_{\mathrm{CM},x}$ .
Daher $v_{\mathrm{CM},x}=-0{,}600\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $v_{\mathrm{top},x}=-1{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Das Rad rollt nach links; sein Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag ist positiv.

Kontrolle: Unten ist $v_{C,x}=-0{,}600+0{,}120\cdot5{,}00=0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

\begin{aligned}v_{\mathrm{CM},x}&=-0.600\,\mathrm{m/s}\\v_{\mathrm{top},x}&=-1.20\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Rad auf ruhendem Boden hat $R=0{,}250\,\mathrm{m}$ , $v_{\mathrm{CM},x}=+2{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $\omega_z=-6{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Prüfe die Rollbedingung und gib den erforderlichen $\omega_z$ -Wert ohne Gleiten an.

Hinweis anzeigen

Berechne zunächst die Kontaktgeschwindigkeit im Bodenrahmen.

Lernziel: Kontaktgleiten prüfen und Sollrotation bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Prüfe $v_{C,x}=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z$ ; auf ruhendem Boden verlangt die Rollbedingung null.
Einsetzen ergibt $v_{C,x}=2{,}00+0{,}250(-6{,}00)=+0{,}500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ : Der Kontakt gleitet nach rechts.
Ohne Gleiten wäre $\omega_z=-\frac{v_{\mathrm{CM},x}}R=-8{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ nötig.

Kontrolle: Mit diesem Wert heben sich die beiden Kontaktbeiträge auf.

\begin{aligned}v_{C,x}&=+0.500\,\mathrm{m/s}\\\omega_{z,\mathrm{no\ slip}}&=-8.00\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Ein Rad mit $R=0{,}20\,\mathrm{m}$ bewegt sich im Labor mit $v_{\mathrm{CM},x}=+1{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ auf einem Band mit $v_{\mathrm{Band}}$ =+2,0 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ . +z zeigt aus der Ebene, +x nach rechts. Welche $\omega_z$ erlaubt Rollen ohne Gleiten? In welche Richtung dreht sich das Rad?

Hinweis anzeigen

Die Kontaktgeschwindigkeit muss der Bandgeschwindigkeit entsprechen.

Lernziel: Rollen relativ zu einem bewegten Band prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Am unteren Kontakt ist der Rotationsbeitrag R mal $\omega_z$ in x-Richtung.
Gleichsetzen der gesamten Kontaktgeschwindigkeit mit 2 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ liefert $\omega_z$ gleich +5 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , also gegen den Uhrzeigersinn.
Obwohl der Schwerpunkt nach rechts fährt, dreht das Rad hier positiv.
Die gewohnte Uhrzeigersinnregel gilt nur für ruhenden Boden.

\begin{aligned}v_{C,x}&=v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=v_{\mathrm{belt}}\\{}\omega_z&=\frac{2.0-1.0}{0.20}=+5\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Rad mit $R=0{,}20\,\mathrm{m}$ rollt gleichförmig auf ruhendem Boden mit $|\omega|=4\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Jemand folgert aus $v_C$ =0, dass der gerade dort befindliche Materialpunkt auch a=0 hat und dauerhaft am Boden bleibt. Prüfe beide Folgerungen.

Hinweis anzeigen

Momentane Geschwindigkeit und ihre zeitliche Änderung sind verschieden.

Lernziel: Momentanen Ruhepunkt nicht als festen Materialpunkt interpretieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei gleichförmiger Schwerpunktbewegung ist dessen Beschleunigung null, aber jeder Randpunkt hat die zum Mittelpunkt gerichtete Rotationsbeschleunigung.
Am unteren Punkt zeigt sie nach oben und beträgt 3,2 $\mathrm{m\,s^{-2}}$ .
Der Punkt verlässt anschließend den Kontakt; später berührt ein anderer Materialpunkt den Boden.
Momentane Ruhe ist somit weder Beschleunigungsfreiheit noch dauerhafte Haftung am selben Bodenort.

a_C=R\omega^2=0.20\cdot4^2=3.2\,\mathrm{m\,s^{-2}}

[1]

Wann ein anderer Kontaktansatz nötig ist

Die einfache Beziehung setzt einen starren kreisförmigen Körper mit Radius R und ebenen Kontakt auf einer geraden Unterlage voraus. Bei Gleiten stimmen die tangentialen Kontaktgeschwindigkeiten nicht überein. Bei Verformung oder Rollwiderstand brauchst du zusätzliche Kontakt- und Energieannahmen; bei dreidimensionalem Rollen auf gekrümmten Flächen die passende Vektorgeometrie. Für ein Rad mit $R=0{,}30\,\mathrm m$ und einem Winkelgeschwindigkeitsbetrag von 4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ergibt sich auf ruhendem Boden: $v_{\mathrm{CM}}=1{,}2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .[1][2]

Das nimmst du mit

Prüfe immer die Geschwindigkeit am Kontakt relativ zur Unterlage. Auf ruhendem Boden hebt Rotation die Schwerpunktbewegung unten auf und verstärkt sie oben. Auf einem Band zählt dessen Bewegung mit. Die Kontaktbedingung ist eine Aussage über Geschwindigkeiten; benötigte Reibung, Beschleunigung und Energie verlangen zusätzliche Bilanzen.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Übergänge verknüpft; vorhandene Herleitungen, Beispiele, Aufgaben und Figuren vollständig erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Schlussfolgerung individuell erklärt, bestehende Rechnungen geprüft, Formelsatz und Modellbezug präzisiert sowie eine eigene Lernfigur ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Rollbedingung ohne Gleiten. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/rollbedingung-ohne-rutschen

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Rollbedingung ohne Gleiten

Was beschreibt die Rollbedingung ohne Gleiten?+

Die Rollbedingung bedeutet, dass der Kontaktpunkt relativ zur Unterlage momentan nicht gleitet. Für einen starren kreisförmigen Körper auf ruhendem Boden ergeben sich die nichtnegativen Beträge $v_{\mathrm{CM}}=R|\omega_z|$ . Die obere Kurzform bezeichnet $|\omega_z|$ mit ω. Bei x nach rechts und z aus der Ebene ist die signierte Gleichung dagegen $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ . Das Minus verbindet Rechtsbewegung mit Drehung im Uhrzeigersinn. Der Kontaktmaterialpunkt ruht nur momentan; er ist nicht dauerhaft festgehalten. Die übrigen Körperpunkte bewegen sich anders: Oben addieren sich Translation und Rotation. Die Rollbedingung allein sagt noch nichts darüber, welche Kraft die Bewegung verursacht oder aufrechterhält.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Rollbedingung ohne Gleiten?+

Rechne die Kontaktgeschwindigkeit aus Translation plus Rotation. Bei R=0,280 m und $v_{\mathrm{CM},x}$ =+1,680 m/s auf ruhendem Boden ist ωz=−6,00 rad/s. Dann gilt $v_{C,x}=1{,}680+0{,}280(-6{,}00)=0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Oben hat der Rotationsbeitrag das umgekehrte Vorzeichen, also $v_{\mathrm{oben},x}$ =3,360 m/s. Eine Wegkontrolle nach 4,00 s liefert s=6,720 m und Winkelstrecke 24,0 rad; R mal Winkelstrecke ergibt ebenfalls 6,720 m. Trotz verschwindender momentaner Kontaktgeschwindigkeit hat der betreffende Materialpunkt bei gleichförmigem Rollen die Beschleunigung $R\omega^2=10{,}08\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ nach oben. Kontaktgeschwindigkeit und Kontaktpunktbeschleunigung dürfen deshalb nicht gleichgesetzt werden. Prüfe außerdem die Abstände stets relativ zum Schwerpunkt.

Welche Annahmen und Grenzen hat die Rollbedingung ohne Gleiten?+

Die einfache Radiusbeziehung setzt einen starren kreisförmigen Körper, konstanten Rollradius und keinen tangentialen Schlupf voraus. Die Betragsform $v_{\mathrm{CM}}=R\omega$ gilt mit Schwerpunktgeschwindigkeit gegenüber ruhendem Boden. Auf einem bewegten Band muss die Kontaktgeschwindigkeit mit der Bandgeschwindigkeit übereinstimmen: $v_{\mathrm{CM},x}+R\omega_z=V_{\mathrm{Band}}$ . Haftreibung kann die Bedingung sichern; die benötigte Kraft darf $\mu_sN$ nicht überschreiten. Ideales gleichförmiges Rollen ohne andere horizontale Kräfte braucht jedoch keine von null verschiedene Haftreibung. Bei Verformung, Rollwiderstand oder nichtkreisförmiger Kontur sind zusätzliche Modelle nötig. Null Kontaktgeschwindigkeit macht den Materialpunkt nicht zu einer dauerhaft festen Rotationsachse und erlaubt nicht automatisch jede Drehmomentbilanz um ihn.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Rollen ohne Gleiten?+

R in m und ω in rad/s liefern v in m/s. Drehzahl f in Umdrehungen pro Sekunde benötigt den Faktor 2π: $v=2\pi Rf$ auf ruhendem Boden. Stelle zunächst fest, ob Werte Beträge oder signierte Komponenten sind. Für positives R können nichtnegative Geschwindigkeitsbeträge nicht negativ werden; die Richtung folgt aus der signierten Kontaktgleichung. Bei R=0,250 m, $v_{\mathrm{CM},x}$ =+2,00 m/s und ωz=−6,00 rad/s bleibt $v_{C,x}$ =+0,500 m/s: Es liegt Gleiten vor. Die Radiusumstellung $\frac v\omega$ würde hier keine gültige Geometriemessung ergeben. Als einfache Größenkontrolle muss eine Verdopplung von R bei gleichem Winkelgeschwindigkeitsbetrag den Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag verdoppeln, sofern das Modell weiterhin gilt.

Wann kombiniere ich die Rollbedingung mit einer weiteren Beziehung?+

Für Beschleunigung auf geradem ruhendem Boden mit konstantem R differenzierst du $v_{\mathrm{CM},x}=-R\omega_z$ zu $a_{\mathrm{CM},x}=-R\alpha_z$ . Zur Dynamik kommen $\sum F_x=Ma_{\mathrm{CM},x}$ und die Drehmomentbilanz um den Schwerpunkt hinzu. Für Energie verwendest du $K=\frac12Mv_{\mathrm{CM}}^2+\frac12I_{\mathrm{CM}}\omega^2$ . Bei Rollen auf ruhendem Boden ist das gleich $\frac12I_{\mathrm{Kontakt}}\omega^2$ mit $I_{\mathrm{Kontakt}}=I_{\mathrm{CM}}+MR^2$ . Addiere zur Kontaktachsenform keine zusätzliche Translationsenergie, sonst zählst du denselben Anteil doppelt. Auf einem Förderband bleibt die getrennte Laborenergieform mit Laborgeschwindigkeiten sicher; die einfache Kontaktachsenform gilt dort nicht unverändert. Bei gleitendem Kontakt brauchst du zusätzlich die tatsächliche Reibung und darfst den Rollzwang nicht trotzdem erzwingen.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Rollbedingung ohne Gleiten":

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Welche Formel beschreibt Rollbedingung ohne Gleiten?

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Wie stellst du vCM = Rω nach Winkelgeschwindigkeit um?

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Welcher typische Fehler passiert bei vCM = Rω?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

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FSRS vs. SM-2

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Rollbedingung ohne Gleiten prüfungssicher behalten

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Rollen ohne Gleiten

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So rechnest du schneller

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Rechenbeispiel: Rollbedingung ohne Gleiten

Was bedeutet „ohne Rutschen“ am Rad?

Die Unterlage bestimmt die Kontaktgeschwindigkeit

Geschwindigkeit vom unteren zum oberen Rand

Translation und Rotation am Kontakt addieren

Beträge und Richtungen sauber umstellen

Warum der obere Rand schneller ist

Ruhender Boden und bewegtes Band

Ein Rad rollt gleichförmig nach rechts

Dasselbe Prinzip auf einem Förderband

Rollbedingung ist noch keine Kraftbilanz

Fünf Kontaktprüfungen

Ein kreisförmiges Rad mit R=0,150 mR=0{,}150\,\mathrm{m}R=0,150m rollt auf ruhendem Boden ohne Gleiten; ∣ωz∣=8,00 rad s−1|\omega_z|=8{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}∣ωz​∣=8,00rads−1. Bestimme den Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag.

Auf ruhendem Boden gilt R=0,120 mR=0{,}120\,\mathrm{m}R=0,120m und ωz=+5,00 rad s−1\omega_z=+5{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}ωz​=+5,00rads−1, gegen den Uhrzeigersinn. Bestimme vCM,xv_{\mathrm{CM},x}vCM,x​ und vtop,xv_{\mathrm{top},x}vtop,x​ bei Rollen ohne Gleiten.

Wann ein anderer Kontaktansatz nötig ist

Das nimmst du mit

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Rollbedingung ohne Gleiten

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Mechanik

Rollbedingung ohne Gleiten prüfungssicher behalten

Ein kreisförmiges Rad mit $R=0{,}150\,\mathrm{m}$ rollt auf ruhendem Boden ohne Gleiten; $|\omega_z|=8{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Bestimme den Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag.

Auf ruhendem Boden gilt $R=0{,}120\,\mathrm{m}$ und $\omega_z=+5{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , gegen den Uhrzeigersinn. Bestimme $v_{\mathrm{CM},x}$ und $v_{\mathrm{top},x}$ bei Rollen ohne Gleiten.