Physik · Rotation

Drehimpuls eines starren Körpers

Q: Welche Annahmen und Grenzen hat Drehimpuls eines starren Körpers?

Bei beliebiger räumlicher Rotation lautet die Beziehung $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ mit einem Tensor. Selbst in Hauptachsenkoordinaten gilt $L_i=I_i\omega_i$; bei mehreren von null verschiedenen ω-Komponenten und verschiedenen Hauptmomenten sind L und ω im Allgemeinen nicht parallel. Ein einzelnes I darf deshalb nicht auf alle Komponenten übertragen werden. Ein körperfestes Koordinatensystem rotiert selbst. Darin wird die inertiale Ableitung durch $\frac{d\vec L}{dt}$ im Körperrahmen plus $\vec\omega\times\vec L$ ausgedrückt. Ein vermeintlich konstanter Vektor in diesem Rahmen kann sich im Inertialsystem ändern. Für einfache Rotoraufgaben genügt die feste Achsenkomponente; für Kreisel, freie Taumelbewegung und Lagerbelastungen muss die Vektorbilanz weitergeführt werden.

Q: Wann kombiniere ich Drehimpuls eines starren Körpers mit einer weiteren Beziehung?

Eiskunstlauf und einziehbare Gewichte veranschaulichen $I_1\omega_1=I_2\omega_2$ bei vernachlässigbarem äußeren Achsendrehmoment. Während des Einziehens ist das System kein einzelner starrer Körper. Nutze die Beziehung nur, wenn der maßgebliche Achsendrehimpuls tatsächlich durch Iω beschrieben wird und zusätzliche Relativbewegungen passend berücksichtigt sind. Erhaltener Drehimpuls bedeutet keine erhaltene Rotationsenergie: $E=\frac{L_z^2}{2I}$. Halbiert sich I bei gleichem Lz, verdoppelt sich ωz und auch E. Die zusätzliche Energie kommt aus innerer Arbeit, etwa aus Muskelkraft oder einem Mechanismus. Ein äußerlich drehmomentfreies System kann daher seine Rotationsenergie verändern, ohne die Drehimpulserhaltung zu verletzen.

Bei reiner starrer Rotation um eine feste Achse gilt für die Achsenkomponente $L_z=I_{zz}\omega_z$ . Entlang einer Hauptachse beschreibt ein skalares I auch den gesamten parallelen Drehimpulsvektor.

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Formel

Berechnen

L = I ω

L in $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ ; I in $\mathrm{kg\,m^2}$ ; $\omega$ in $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$L$	Drehimpuls um den angegebenen Bezug; Lz ist die vorzeichenbehaftete Achsenkomponente. Die skalare Gesamtvektorbeziehung L⃗=Iω⃗ gilt bei Hauptachsenrotation.	kg·m²/s
$I$	Massenträgheitsmoment um dieselbe Achse	kg·m²
$ω$	Winkelgeschwindigkeit um dieselbe Achse; ωz mit festgelegter positiver Achsenrichtung	rad/s

LaTeX

L = I \omega

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Schnitt in der xz-Ebene: zwei gleiche Massen auf einem schrägen Stab durch O. Winkelgeschwindigkeit entlang positiver z-Achse; Drehimpuls schräg nach links oben und senkrecht zum Stab. L und ω sind nicht parallel. — Nicht-Hauptachsenrotation: ω zeigt entlang z, aber L hat auch eine negative x-Komponente. Der gezeigte Zweipunktkörper liefert L = (−1,44; 0; 1,08) kg·m²/s. Die Pfeilmaßstäbe für L und ω sind getrennt.

Drehimpuls berechnen

Drehimpuls, Trägheitsmoment oder Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers ausrechnen, der sich um eine feste Achse dreht; das Vorzeichen zeigt den Drehsinn.

Gesucht

Trägheitsmoment Izz

Trägheitsmoment um genau diese Achse, immer positiv, z. B. 0,24 kg·m².

Winkelgeschwindigkeit ωz

Winkelgeschwindigkeit, z. B. 450 rpm; positiv bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn, von der Achsenspitze aus gesehen.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach Lz, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach Lz umstellen
$L_z=I_{zz}\omega_z$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- ωz = 450 rpm = 47,1239 rad/s
$L_z=0{,}24\cdot 47{,}1239$
3. Ergebnis
Lz = 11,31 kg·m²/s

Ergebnis: Drehimpuls um die Achse Lz

Lz = 11,31 kg·m²/s

Mit Izz = 0,24 kg·m² und ωz = 450 rpm ergibt sich Lz = 11,31 kg·m²/s.

So rechnest du schneller

Formeldreieck: L oben, I und ω unten. Halte die gesuchte Größe zu, der Rest ist die Rechnung, z. B. ω = L : I.
ω aus der Drehzahl: ω = 2π · n. 450 Umdrehungen pro Minute sind 7,5 pro Sekunde, also ω ≈ 47 rad/s. Von Hand nie Umdrehungen pro Minute oder Hz direkt für ω einsetzen.

Annahmen und Grenzen

Starrer Körper mit reinem Drehen um die gewählte feste inertiale z-Achse durch einen festen Bezugspunkt und Izz > 0. Positive Richtung nach der rechten Hand. Lz = Izzωz ist der signierte Achsenanteil; andere Vektorkomponenten werden nicht bestimmt. Nur bei einer Hauptachse ist der gesamte Drehimpuls parallel zu ω. Keine mitwandernde Achse, Schwerpunkttranslation oder veränderliche Massenverteilung.

Herleitung & Hintergrund

Um einen festen inertialen Bezugspunkt gilt $\vec L=\sum_i\vec r_i\times m_i\vec v_i$ . Reine feste z-Rotation ergibt $L_z=I_{zz}\omega_z$ , auch ohne Hauptachse und dann mit möglichen Querkomponenten. Allgemein gilt $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ ; entlang einer Hauptachse genügt deren skalares Trägheitsmoment. Das äußere Gesamtdrehmoment erfüllt $\sum\vec\tau_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec L}{dt}$ . Nur sein vollständiges Verschwinden erhält den ganzen Vektor; ein verschwindendes Achsenmoment erhält lediglich die entsprechende feste Komponente.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

$L_z=I_{zz}\omega_z$ gilt als Achsenkomponente bei reiner starrer Rotation um die feste z-Achse auch ohne Hauptachse. Für den gesamten Vektor gilt $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ ; L=Iω mit skalarem I und parallelen Vektoren setzt Hauptachsenrotation voraus. Bezugspunkt und Geschwindigkeitsrahmen müssen zusammenpassen.

Herleitung in Schritten

Die z-Komponente der Teilchen-Kreuzprodukte liefert $I_{zz}$ ωz; erst die Hauptachsenbedingung macht daraus den gesamten gleichgerichteten Vektor.

1Wähle einen festen inertialen Bezugspunkt auf z und reine starre Rotation um diese Achse.
2Aus $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ folgen $v_x=-\omega_z y$ und $v_y=\omega_z x$ .
3Die z-Komponente von $\vec r\times m\vec v$ ist $m(xv_y-yv_x)$ .
4Einsetzen ergibt für ein Teilchen $L_{z,i}=m_i(x_i^2+y_i^2)\omega_z$ .
5Summieren liefert $L_z=\sum_i m_ir_{\perp i}^2\omega_z=I_{zz}\omega_z$ .
6Allgemein gilt $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ . Entlang einer Hauptachse vereinfacht sich dies zu parallelen Vektoren mit deren Hauptmoment.

Umstellen

Winkelgeschwindigkeit aus Drehimpuls

\omega_z=\frac{L_z}{I_{zz}}

Für die signierte Achsenkomponente und $I_{zz}>0$ . Querkomponenten des gesamten Vektors werden damit nicht bestimmt.

Aufgabenvariante

Ein Rotor mit $I=0{,}60\,\mathrm{kg\,m^2}$ besitzt L=3,0 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ . Bestimme $\omega$ .

$\omega=\frac{L}{I}=\frac{3{,}0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}}{0{,}60\,\mathrm{kg\,m^2}}=5{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Typische Fehler

Drehimpuls und Drehmoment verwechseln oder I zu einer anderen Achse einsetzen.

L hat Einheit $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ ; das Drehmoment hat Einheit $\mathrm{N\,m}$ und erfüllt $\tau$ = $\frac{d\vec L}{dt}$ .

Klausurkontext

Veränderliche Drehzahl beim Einziehen der Arme, Rotoren und Erhaltung bei vernachlässigbarem Außendrehmoment.

Formelcluster

Drehimpuls und Drehmoment

Die Bilanz des Drehimpulses erklärt Rotationsänderungen.

I = Σ m_ir_i²

Trägheitsmoment eines Massensystems

M = F·r·sin(θ)

Drehmoment

ω = 2πf; v = ω·r

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

p_vor = p_nach

Impulserhaltungssatz

Rechenbeispiel

Ein Rotor hat um eine feste Hauptachse $I=0{,}80\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $\omega_z=+5{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Es folgt $L_z=I\omega_z=+4{,}0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ . Kontrolle: Bei erhaltenem Achsendrehimpuls und halbiertem Trägheitsmoment wäre die Winkelgeschwindigkeit doppelt so groß.

Anwendungsgebiete

Kreisel, Rotoren, Eiskunstlauf und Rotationsvorgänge mit veränderlicher Massenverteilung.

Rechenbeispiel: Drehimpuls eines starren Körpers

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Drehimpuls eines starren Körpers (L = Iω).

1
Aufgabe
Ein Rotor mit $I=0{,}60\,\mathrm{kg\,m^2}$ besitzt L=3,0 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ . Bestimme $\omega$ .
Rechenweg
$\omega=\frac{L}{I}=\frac{3{,}0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}}{0{,}60\,\mathrm{kg\,m^2}}=5{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Drehimpuls beschreibt den Bewegungszustand einer Rotation mit Bezug auf einen bestimmten Punkt oder eine Achse. L=Iω ist eine hilfreiche Kurzform, aber sie kann entweder einen Achsenanteil oder bei einer Hauptachse den gesamten Vektor beschreiben. Diese Unterscheidung entscheidet, welche Drehmomente du bilanzieren musst.

Rotation erhalten oder verändern

Drehimpuls ist die Größe, deren Änderung durch ein äußeres Drehmoment bestimmt wird. An einer festen Achse hilft zuerst eine signierte Zahl: Sie unterscheidet die beiden Drehsinne. Größere Trägheit oder größere Winkelgeschwindigkeit führen zu einem größeren Achsenanteil. Die räumliche Vektorbeschreibung wird erst danach vertieft, denn nicht jeder Körper dreht um eine Hauptachse.[1]

Vorwissen: Drehsinn, Trägheitsmoment und die rechte Hand zur Richtungswahl. Die Hauptachse ist eine spezielle Achse, für die Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit parallel liegen.

Bezugspunkt, Achse und Drehsinn

\mathbf L_O=\sum_i\mathbf r_i\times m_i\mathbf v_i

Für einen festen Punkt O im Inertialsystem werden Ortsvektoren und Geschwindigkeiten im selben System gemessen.[1]

Der Vektor zeigt nicht grundsätzlich entlang der geometrischen Drehachse. Die Achsenkomponente $L_z$ ist die Projektion auf eine festgelegte positive z-Richtung. Bei reiner starrer Rotation um eine feste z-Achse gilt $L_z=I_{zz}\omega_z$ , auch wenn diese Achse keine Hauptachse ist. Dann können zusätzliche quer gerichtete Komponenten existieren. Für die gesamte Vektorgleichung mit einem einzelnen skalaren I muss die Rotation entlang einer Hauptachse des Trägheitstensors erfolgen.[2]

\begin{aligned}L_z&=I_{zz}\omega_z;\\\mathbf L&=I_{\mathrm{principal}}\boldsymbol\omega\end{aligned}

I ist nichtnegativ; das Vorzeichen von $L_z$ folgt dem Vorzeichen von $\omega_z$ . Die zweite Vektorbeziehung gilt bei Hauptachsenrotation.[2]

Das Vorzeichen bleibt im Drehimpuls erhalten

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I_{zz}=0{,}35\,\mathrm{kg\,m^2}

wie in Aufgabe 1. Bei

\omega_z=-12\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

ist

L_z=-4{,}2\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}

, bei +12

\mathrm{rad\,s^{-1}}

+4,2

\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}

. Dargestellt ist nur die feste Achsenkomponente, keine Aussage über mögliche Querkomponenten.[1]

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Von Teilchen zur Achsenkomponente

Setze für die reine Rotation um z die Geschwindigkeit $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ ein. Für ein Teilchen mit Koordinaten $(x,y,z)$ sind $v_x=-\omega_z y$ und $v_y=\omega_z x$ . Der z-Anteil des Kreuzprodukts ist damit $xm v_y-ym v_x=m(x^2+y^2)\omega_z$ . Summiere über alle Teilchen.[1][2]

L_z=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega_z=I_{zz}\omega_z

Der gemeinsame Achsenanteil kann ausgeklammert werden. Das ist keine Aussage, dass die einzelnen Teilchen-Drehimpulse ausschließlich in z-Richtung zeigen.[2]

\mathbf L_O=\int\mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\,dm=\mathsf I_O\boldsymbol\omega

Das Integral liefert den gesamten Trägheitstensor. Alternativ kann dieselbe Form relativ zum Schwerpunkt mit Relativgeschwindigkeiten verwendet werden.[2]

Das Trägheitsmoment eines Massensystems bestimmt hier den Faktor zwischen Winkelgeschwindigkeit und Achsenanteil des Drehimpulses. Dabei zählen die Abstände zur gewählten Achse, nicht beliebige Abstände zum Ursprung.[5][1]

Einheiten und sinnvolle Umstellungen

\begin{aligned}[L]&=\mathrm{kg\,m^2/s}=\mathrm{J\,s}\\\omega_z&=\frac{L_z}{I_{zz}}\ (I_{zz}>0)\\I_{zz}&=\frac{L_z}{\omega_z}\ (\omega_z\ne0)\end{aligned}

Drehimpuls ist nicht Drehmoment: $\mathrm{N\,m}$ besitzt eine zusätzliche inverse Sekunde gegenüber $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ .

$\omega_z$ wird in $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ angegeben. Radiant ist im SI dimensionslos, kennzeichnet aber die Winkelgröße. Bei einer Drehzahl n in Umdrehungen pro Minute ist $|\omega_z|=\frac{2\pi n_{\mathrm{rpm}}}{60\,\mathrm{s\,min^{-1}}}$ ; der Drehsinn kommt separat hinzu. Eine Division von $L_z$ durch eine Frequenz in Hz statt durch $\omega_z$ würde den Faktor 2π verlieren.

Bei Translation und Rotation zugleich enthält der Drehimpuls um einen äußeren Punkt auch den Bahndrehimpuls des Schwerpunkts. Mit relativen Größen um den Schwerpunkt gilt $\vec L_O=\vec R_{\mathrm{CM}}\times M\vec v_{\mathrm{CM}}+\vec L_{\mathrm{CM}}$ . Das reine $I_{\mathrm{CM}}\omega$ beschreibt deshalb nicht automatisch den gesamten Drehimpuls um einen beliebigen Beobachtungspunkt.[2][1]

Die Einheit kg·m²/s lässt sich auch als N·m·s schreiben: Ein Drehmoment über eine Zeitspanne verändert einen Drehimpuls. Bei $I_{zz}>0$ folgt aus $L_z=0$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega_z=0$ . Umgekehrt bestimmen $L_z=0$ und $\omega_z=0$ das Trägheitsmoment nicht; jedes positive $I_{zz}$ passt. Für die Umstellung nach $I_{zz}$ müssen $L_z$ und $\omega_z$ bei $\omega_z\ne0$ dasselbe Vorzeichen haben.[1]

Vorzeichen und ein schiefer Drehimpuls

Rotor mit festgelegtem positiven Drehsinn

Gegeben: Ein Rotor dreht um seine feste Hauptachse z. $I_{zz}=0{,}24\,\mathrm{kg\,m^2}$ und n=450 U/min. Von +z aus gesehen dreht er im Uhrzeigersinn.
Gesucht: $\omega_z$ , $L_z$ und Rotationsenergie bestimmen.

Ansatz: Für die feste Hauptachse das Vorzeichen nach der rechten Hand festlegen; Drehimpulskomponente und Energie verwenden dieselbe Winkelgeschwindigkeit.
$\begin{aligned}\omega_z&=-2\pi\frac{n_{\mathrm{rpm}}}{60\,\mathrm{s/min}}\\L_z&=I_{zz}\omega_z\\E_{\mathrm{rot}}&=\frac12 I_{zz}\omega_z^2\end{aligned}$
Rechte-Hand-Regel: Uhrzeigersinn von +z aus bedeutet negatives $\omega_z$ .
$\omega_z=-2\pi\frac{450}{60}=-15\pi\,\mathrm{rad/s}$
Multipliziere mit demselben Achsenträgheitsmoment; Energie nutzt dagegen das Quadrat.
$\begin{aligned}L_z&=-3.6\pi\,\mathrm{kg\,m^2/s}\\{} E&=\frac12(0.24)(15\pi)^2=27\pi^2\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: $\omega_z\approx-47{,}12\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $L_z\approx-11{,}31\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ und $E\approx266{,}5\,\mathrm{J}$ . Negative Rotation hat keine negative kinetische Energie.

Kontrolle: Probe: $E=\frac{L_z^2}{2I_{zz}}=266{,}5\,\mathrm J$ . Die Drehzahl ist 7,5 U/s; ein vollständiger Umlauf dauert 0,1333 s, passend zu $\frac{2\pi}{|\omega_z|}$ .

Ein starrer Körper ohne Hauptachsenrotation

Gegeben: Zwei Punktmassen von je 1,0 kg sitzen auf einem masselosen starren Stab bei $\vec r_1=(0{,}30;0;0{,}40)\,\mathrm m$ und $\vec r_2=-\vec r_1$ . Der Schwerpunkt ist O. Momentan gilt $\vec\omega=(0;0;6{,}0)\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Gesucht: Vollständiges L und den z-Anteil bestimmen.

Ansatz: Momentan um den Schwerpunkt O jede Geschwindigkeit aus der starren Rotation bestimmen und die vektoriellen Einzel-Drehimpulse addieren.
$\begin{aligned}\mathbf v_i&=\boldsymbol\omega\times\mathbf r_i\\\mathbf L_O&=\sum_i\mathbf r_i\times m_i\mathbf v_i\\L_z&=I_{zz}\omega_z\end{aligned}$
Die Geschwindigkeiten sind $\vec v_1=(0;1{,}80;0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $\vec v_2=-\vec v_1$ . Berechne jedes Kreuzprodukt einzeln.
$\mathbf r_1\times m\mathbf v_1=(-0.72,0,0.54)\,\mathrm{kg\,m^2/s}$
Beide Teilchen tragen denselben Drehimpuls bei; addiere sie.
$\begin{aligned}\mathbf L&=(-1.44,0,1.08)\,\mathrm{kg\,m^2/s}\\{} I_{zz}&=2(1.0)(0.30)^2=0.18\,\mathrm{kg\,m^2}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Achsenanteil $L_z=1{,}08\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ stimmt mit $I_{zz}\omega_z$ überein. Der vollständige Vektor hat zusätzlich $L_x=-1{,}44\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ und ist nicht parallel zur Winkelgeschwindigkeit.

Kontrolle: Der Betrag ist $\sqrt{1{,}44^2+1{,}08^2}=1{,}80\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ , nicht 1,08. Die direkte Energie ist $2\cdot\frac12\cdot1\cdot1{,}80^2\,\mathrm J=3{,}24\,\mathrm J$ und ebenso $\frac12 I_{zz}\omega_z^2$ . Soll die z-Achse dauernd fest bleiben, sind quer gerichtete Lagerdrehmomente nötig.

Drehmoment und Erhaltung richtig bilanzieren

\sum\boldsymbol\tau_{O,\mathrm{ext}}=\left(\frac{d\mathbf L_O}{dt}\right)_{\mathrm{inertial}}

Diese Form bezieht sich auf einen festen inertialen Bezugspunkt O; für den Schwerpunkt kann die entsprechende Schwerpunktbilanz verwendet werden.[1][2]

Verschwindet das gesamte äußere Drehmoment, bleibt der gesamte Vektor erhalten. Verschwindet nur $\tau_z$ um eine feste inertiale z-Achse, bleibt $L_z$ erhalten; andere Komponenten müssen nicht konstant sein. Lager können quer gerichtete Momente übertragen, obwohl das Antriebsmoment um z null ist. „Kein Motorantrieb“ und „kein äußeres Gesamtdrehmoment“ sind deshalb verschiedene Aussagen.[2][4]

\tau_z=\frac{d(I_{zz}\omega_z)}{dt}=I_{zz}\alpha_z+\dot I_{zz}\omega_z

Für einen starren Körper mit unveränderter Massenverteilung um die feste Achse ist Īzz=0. Einziehbare Gewichte erfordern eine passend definierte veränderliche Systembeschreibung.[4]

Vertiefung anzeigen: Wenn die Massenverteilung sich ändert

Eiskunstlauf und einziehbare Gewichte veranschaulichen $I_1\omega_1=I_2\omega_2$ bei vernachlässigbarem äußeren Achsendrehmoment. Während des Einziehens ist das System kein einzelner starrer Körper. Nutze die Beziehung nur, wenn der maßgebliche Achsendrehimpuls tatsächlich durch Iω beschrieben wird und zusätzliche Relativbewegungen passend berücksichtigt sind.[4]

Erhaltener Drehimpuls bedeutet keine erhaltene Rotationsenergie: $E=\frac{L_z^2}{2I}$ . Halbiert sich I bei gleichem $L_z$ , verdoppelt sich $\omega_z$ und auch E. Die zusätzliche Energie kommt aus innerer Arbeit, etwa aus Muskelkraft oder einem Mechanismus. Ein äußerlich drehmomentfreies System kann daher seine Rotationsenergie verändern, ohne die Drehimpulserhaltung zu verletzen.[4]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

$I_{zz}=0{,}35\,\mathrm{kg\,m^2}$ und $\omega_z=-12\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ um eine feste Achse. Bestimme $L_z$ und E.

Hinweis anzeigen

$L_z$ ist vorzeichenbehaftet, Energie nutzt $\omega_z^2$ .

Lernziel: Signierten Drehimpuls und positive Rotationsenergie trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $L_z=I_{zz}\omega_z$ behält das Vorzeichen, $E=\frac12I_{zz}\omega_z^2$ enthält das Quadrat.
Daraus folgen $L_z=-4{,}2\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ und $E=25{,}2\,\mathrm J$ .

Kontrolle: $\frac{L_z^2}{2I_{zz}}=25{,}2\,\mathrm J$ . Ein negativer Achsenanteil bedeutet keinen negativen Trägheitswert.

\begin{aligned}L_z&=-4.2\,\mathrm{kg\,m^2/s}\\{} E&=25.2\,\mathrm J\end{aligned}

Transfer · Anwenden

Ein System startet mit $I_1$ =0,60 $\mathrm{kg\,m^2}$ und $\omega_{1z}=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Im passenden Achsenmodell sinkt I auf 0,40 $\mathrm{kg\,m^2}$ ohne äußeres $\tau_z$ . Bestimme $\omega_{2z}$ und die Änderung der Rotationsenergie.

Hinweis anzeigen

Erhalte $L_z$ , nicht E.

Lernziel: Drehimpulserhaltung bei Massenumverteilung anwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ohne äußeres Achsenmoment bleibt $I_1\omega_{1z}=I_2\omega_{2z}$ .
Vergleiche die Energien getrennt mit $E=\frac12I\omega_z^2$ .
Der erhaltene Achsendrehimpuls beträgt 2,4 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ und ergibt $\omega_{2z}=6{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Die Energie steigt von 4,8 J auf 7,2 J, also um 2,4 J aus innerer Arbeit.

Kontrolle: $0{,}40\cdot6{,}0=0{,}60\cdot4{,}0$ . Die Umverteilung selbst ist keine starre Phase.

I_1\omega_{1z}=I_2\omega_{2z}=2.4\,\mathrm{kg\,m^2/s}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein starrer Rotor mit $I_{zz}=0{,}20\,\mathrm{kg\,m^2}$ erhält ein konstantes Nettodrehmoment $\tau_z=-0{,}30\,\mathrm{N\,m}$ für 2,0 s. Anfangs ist $\omega_z=5{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Bestimme Endwert und Drehsinn.

Hinweis anzeigen

Nutze $\Delta L_z=\tau_z\Delta t$ und halte den Achsenbezug fest.

Lernziel: Drehmomentstoß in Enddrehzahl überführen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Nutze den Drehmomentstoß $\Delta L_z=\tau_z\Delta t$ und anschließend $\omega_{z,f}=\frac{L_{z,0}+\Delta L_z}{I_{zz}}$ .
Anfangs sind es 1,0 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ ; der Stoß beträgt −0,60 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ .
Somit folgen 0,40 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ und $\omega_{z,f}=2{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Der Rotor dreht weiterhin positiv, aber langsamer.

Kontrolle: $\alpha_z=-1{,}5\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ ergibt mit $5-1{,}5\cdot2=2$ denselben Endwert.

\omega_{z,\mathrm f}=\frac{I\omega_{z,0}+\tau_z\Delta t}{I}=2.0\,\mathrm{rad/s}

Interpretieren · Vertiefen

Am Schwerpunkt besitzt ein starrer Körper die Hauptmomente 1, 2 und 3 $\mathrm{kg\,m^2}$ . Zu einem Zeitpunkt gilt in Hauptachsenkoordinaten $\omega$ =(1,1,0) $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Bestimme L und prüfe, ob L parallel zu $\omega$ ist.

Hinweis anzeigen

Jede Komponente mit ihrem eigenen Hauptmoment multiplizieren.

Lernziel: Tensorbeziehung statt eines einzigen skalaren Trägheitsmoments verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $L_i=I_i\omega_i$ ergibt L=(1,2,0) $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ .
Die Verhältnisse $\frac{L_x}{\omega_x}$ und $\frac{L_y}{\omega_y}$ sind verschieden, also fehlt Parallelität.

Kontrolle: Das Kreuzprodukt $\vec\omega\times\vec L$ hat einen von null verschiedenen z-Anteil. Die Hauptachsenkoordinaten diagonalisierten den Tensor, machten aber die drei Momente nicht gleich. Die skalare Vektorbeziehung $\vec L=I\vec\omega$ gilt hier deshalb nicht mit einem gemeinsamen I.

\mathbf L=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}

[2]

Fehleranalyse · Vertiefen

Ein durch Lager geführter starrer Rotor hat körperfeste Komponenten $\omega$ =(0,0,2) $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ und L=(1,0,2) $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ , zeitlich konstant in diesem mitrotierenden Rahmen. Eine Lösung folgert äußeres Drehmoment null. Prüfe mit der im Artikel gegebenen Ableitungsregel. Der Bezugspunkt für Drehimpuls und äußeres Moment ist der im Inertialsystem feste Schwerpunkt.

Hinweis anzeigen

Die inertiale Ableitung enthält zusätzlich $\vec\omega\times\vec L$ .

Lernziel: Körperfeste Konstanz von inertialer Drehimpulserhaltung unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die körperfeste Ableitung ist null, aber $\vec\omega\times\vec L=(0,2,0)\,\mathrm{N\,m}$ .
Dieser Lagerdrehmomentanteil ist daher erforderlich.

Kontrolle: Die z-Komponente von L ist konstant und das z-Drehmoment null; das beseitigt nicht die quer gerichtete Vektoränderung. Ein im Rotor festliegender transversaler Drehimpulsanteil dreht sich im Inertialsystem mit. Die Angaben sind eine nicht entlang einer Hauptachse geführte Rotation, keine freie drehmomentlose Bewegung.

\boldsymbol\tau=\left(\frac{d\mathbf L}{dt}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol\omega\times\mathbf L=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\,\mathrm{N\,m}

[3][2]

Was eine skalare Formel auslässt

Bei beliebiger räumlicher Rotation lautet die Beziehung $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ mit einem Tensor. Selbst in Hauptachsenkoordinaten gilt $L_i=I_i\omega_i$ ; bei mehreren von null verschiedenen $\omega$ -Komponenten und verschiedenen Hauptmomenten sind L und $\omega$ im Allgemeinen nicht parallel. Ein einzelnes I darf deshalb nicht auf alle Komponenten übertragen werden.[2]

Ein körperfestes Koordinatensystem rotiert selbst. Darin wird die inertiale Ableitung durch $\frac{d\vec L}{dt}$ im Körperrahmen plus $\vec\omega\times\vec L$ ausgedrückt. Ein vermeintlich konstanter Vektor in diesem Rahmen kann sich im Inertialsystem ändern. Für einfache Rotoraufgaben genügt die feste Achsenkomponente; für Kreisel, freie Taumelbewegung und Lagerbelastungen muss die Vektorbilanz weitergeführt werden.[3]

Das nimmst du mit

Bezugspunkt und positive Achse gehören zur Angabe des Drehimpulses. Die feste Achsenkomponente ist Trägheitsmoment mal signierter Winkelgeschwindigkeit. Für den ganzen Vektor können Queranteile hinzukommen. Erhaltung benötigt das passende verschwindende äußere Drehmoment; unveränderter Drehimpuls garantiert keine unveränderte Rotationsenergie.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Achsen-Trägheitsmoment und Drehmoment im Kontext verknüpft sowie N·m·s und Nullfälle der Umstellung ergänzt; Vektorbeispiel, Aufgaben und Grafik erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Schlussfolgerung individuell erklärt, bestehende Rechnungen geprüft, Formelsatz und Modellbezug präzisiert sowie eine eigene Lernfigur ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Drehimpuls eines starren Körpers. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/drehimpuls-starrer-koerper

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Drehimpuls eines starren Körpers

Was beschreibt Drehimpuls eines starren Körpers physikalisch?+

Der Vektor zeigt nicht grundsätzlich entlang der geometrischen Drehachse. Die Achsenkomponente Lz ist die Projektion auf eine festgelegte positive z-Richtung. Bei reiner starrer Rotation um eine feste z-Achse gilt $L_z=I_{zz}\omega_z$ , auch wenn diese Achse keine Hauptachse ist. Dann können zusätzliche quer gerichtete Komponenten existieren. Für die gesamte Vektorgleichung mit einem einzelnen skalaren I muss die Rotation entlang einer Hauptachse des Trägheitstensors erfolgen. I ist nichtnegativ; das Vorzeichen von Lz folgt dem Vorzeichen von ωz. Der gemeinsame Achsenanteil kann ausgeklammert werden. Das ist keine Aussage, dass die einzelnen Teilchen-Drehimpulse ausschließlich in z-Richtung zeigen.

Wie prüfe ich eine Rechnung zu Drehimpuls eines starren Körpers?+

Zwei 1,0-kg-Punktmassen sitzen auf einem masselosen starren Stab bei $\vec r_1=(0{,}30;0;0{,}40)\,\mathrm m$ und $\vec r_2=-\vec r_1$ . Der Schwerpunkt ist O. Momentan gilt $\vec\omega=(0;0;6{,}0)\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Die Geschwindigkeiten sind $\vec v_1=(0;1{,}80;0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $\vec v_2=-\vec v_1$ . Berechne jedes Kreuzprodukt. Beide Teilchen tragen denselben Drehimpuls bei; addiere sie. Lz=1,08 kg·m²/s stimmt mit $I_{zz}\omega_z$ überein. Der gesamte Vektor besitzt außerdem $L_x=-1{,}44\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ und ist nicht parallel zu ω. Der Betrag ist $\sqrt{1{,}44^2+1{,}08^2}=1{,}80\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ , nicht 1,08. Die direkte Energie ist $2\cdot\frac12\cdot1\cdot1{,}80^2\,\mathrm J=3{,}24\,\mathrm J$ und ebenso $\frac12I_{zz}\omega_z^2$ . Soll die z-Achse dauernd fest bleiben, sind quer gerichtete Lagerdrehmomente nötig. Die Tensorform $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ liefert dieselben Komponenten; für die reine z-Rotation gilt insbesondere Izz = 0,18 kg·m².

Welche Annahmen und Grenzen hat Drehimpuls eines starren Körpers?+

Bei beliebiger räumlicher Rotation lautet die Beziehung $\vec L=\mathsf I\vec\omega$ mit einem Tensor. Selbst in Hauptachsenkoordinaten gilt $L_i=I_i\omega_i$ ; bei mehreren von null verschiedenen ω-Komponenten und verschiedenen Hauptmomenten sind L und ω im Allgemeinen nicht parallel. Ein einzelnes I darf deshalb nicht auf alle Komponenten übertragen werden. Ein körperfestes Koordinatensystem rotiert selbst. Darin wird die inertiale Ableitung durch $\frac{d\vec L}{dt}$ im Körperrahmen plus $\vec\omega\times\vec L$ ausgedrückt. Ein vermeintlich konstanter Vektor in diesem Rahmen kann sich im Inertialsystem ändern. Für einfache Rotoraufgaben genügt die feste Achsenkomponente; für Kreisel, freie Taumelbewegung und Lagerbelastungen muss die Vektorbilanz weitergeführt werden.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei Drehimpuls eines starren Körpers?+

Drehimpuls ist nicht Drehmoment: N·m besitzt eine zusätzliche inverse Sekunde gegenüber kg·m²/s. ωz wird in rad/s angegeben. Radiant ist im SI dimensionslos, kennzeichnet aber die Winkelgröße. Bei einer Drehzahl n in Umdrehungen pro Minute ist $|\omega_z|=\frac{2\pi n_{\mathrm{rpm}}}{60\,\mathrm{s\,min^{-1}}}$ ; der Drehsinn kommt separat hinzu. Eine Division von Lz durch eine Frequenz in Hz statt durch ωz würde den Faktor 2π verlieren. Bei Translation und Rotation zugleich enthält der Drehimpuls um einen äußeren Punkt auch den Bahndrehimpuls des Schwerpunkts. Mit relativen Größen um den Schwerpunkt gilt $\vec L_O=\vec R_{\mathrm{CM}}\times M\vec v_{\mathrm{CM}}+\vec L_{\mathrm{CM}}$ . Das reine $I_{\mathrm{CM}}\omega$ beschreibt deshalb nicht automatisch den gesamten Drehimpuls um einen beliebigen Beobachtungspunkt.

Wann kombiniere ich Drehimpuls eines starren Körpers mit einer weiteren Beziehung?+

Eiskunstlauf und einziehbare Gewichte veranschaulichen $I_1\omega_1=I_2\omega_2$ bei vernachlässigbarem äußeren Achsendrehmoment. Während des Einziehens ist das System kein einzelner starrer Körper. Nutze die Beziehung nur, wenn der maßgebliche Achsendrehimpuls tatsächlich durch Iω beschrieben wird und zusätzliche Relativbewegungen passend berücksichtigt sind. Erhaltener Drehimpuls bedeutet keine erhaltene Rotationsenergie: $E=\frac{L_z^2}{2I}$ . Halbiert sich I bei gleichem Lz, verdoppelt sich ωz und auch E. Die zusätzliche Energie kommt aus innerer Arbeit, etwa aus Muskelkraft oder einem Mechanismus. Ein äußerlich drehmomentfreies System kann daher seine Rotationsenergie verändern, ohne die Drehimpulserhaltung zu verletzen.

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

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