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Das Routh-Tabellenverfahren zählt Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte und bestimmt damit die Zahl der Pole eines kontinuierlichen Systems in der rechten s-Halbebene, ohne die Nullstellen explizit zu berechnen.
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Formel
s in s−1; Koeffizienten besitzen je nach Polynomnormierung passende Potenzen von s; Vorzeichen und Routh-Einträge sind keine Messgrößen
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Reelles charakteristisches Polynom des kontinuierlichen LTI-Systems | Polynom in s | |
| Laplace-Variable bzw. Polstelle; Re(s)>0 bedeutet rechte Halbebene | s−1 | |
| Reelle Koeffizienten des normierten kubischen charakteristischen Polynoms | passende Potenzen von s | |
| Einträge der ersten Spalte der kubischen Routh-Tabelle | Vorzeichenwert |
p(s)=s^3+a_2s^2+a_1s+a_0;\quad R_1=1,\ R_2=a_2,\ R_3=\frac{a_2a_1-a_0}{a_2},\ R_4=a_0Vorausgesetzt wird ein reelles charakteristisches Polynom eines kontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systems; Stabilität bedeutet, dass alle Pole strikt in der linken s-Halbebene liegen. Für das kubische Polynom s3+a2s2+a1s+a0 ist asymptotische Stabilität äquivalent zu a2>0, a1>0, a0>0 und a2a1>a0. Allgemein zählt die Zahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Routh-Spalte die Pole in der rechten Halbebene. Ein Null-Pivot oder eine vollständige Nullzeile ist ein Sonderfall und erfordert die übliche Hilfspolynombehandlung; Fälle mit Polen auf der imaginären Achse sind nicht asymptotisch stabil. Das Kriterium ist ein Stabilitätstest aus Polynomkoeffizienten. Es ist nicht das Nyquist-Abtasttheorem fs>2fmax und auch nicht die Nyquist-Ortskurve; diese ist eine andere Methode zur Regelkreisstabilität.
Reelles charakteristisches Polynom eines kontinuierlichen LTI-Systems. Asymptotische Stabilität erfordert alle Pole strikt in der linken Halbebene. Null-Pivot, Nullzeile und Achsenpole gesondert behandeln.
Die Routh-Tabelle zählt anhand ihrer ersten Spalte die Pole in der rechten Halbebene.
Kubische Stabilitätsbedingung
Für reelle Koeffizienten; Pole auf der Achse schließen asymptotische Stabilität aus.
Dritter Eintrag der ersten Spalte
Direkt nur bei a2≠0; sonst Sonderfallverfahren.
Prüfe p(s)=s3+2s2+3s+4 mit dem Routh-Kriterium.
Erste Spalte 1, 2, (6−4)/2=1, 4.
Kein Vorzeichenwechsel bedeutet keine rechten Pole; die kubischen Stabilitätsbedingungen sind erfüllt.
Das System ist asymptotisch stabil.
Nyquist-Abtastregel als Stabilitätstest deuten.
Routh prüft kontinuierliche Pole; fs>2fmax betrifft Signalabtastung.
Formelcluster
Koeffizienten reichen zum Polzahltest; numerische Nullstellensuche ist nicht nötig.
Für p(s)=s3+2s2+3s+4 ist die erste Routh-Spalte 1, 2, (2·3−4)/2=1, 4. Alle Einträge sind positiv, also gibt es keinen Vorzeichenwechsel und keinen Pol in der rechten Halbebene: das System ist asymptotisch stabil. Probe für die Kubikbedingung: 2·3=6>4. Bei s3+2s2+s+4 würde der dritte Eintrag −1 lauten; +,+,−,+ hat zwei Wechsel und damit zwei Pole rechts.
Kontinuierliche geschlossene Regelkreise anhand ihrer charakteristischen Polynomkoeffizienten auf asymptotische Stabilität prüfen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium (Für kubisch: a₂>0, a₁>0, a₀>0 und a₂a₁>a₀).
Aufgabe
Prüfe p(s)=s3+2s2+3s+4 mit dem Routh-Kriterium.
Rechenweg
Erste Spalte 1, 2, (6−4)/2=1, 4.
Kein Vorzeichenwechsel bedeutet keine rechten Pole; die kubischen Stabilitätsbedingungen sind erfüllt.
Das System ist asymptotisch stabil.
Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte der Routh-Tabelle entspricht der Anzahl charakteristischer Wurzeln in der rechten s-Halbebene, wenn Sonderfälle korrekt behandelt werden. Kein Wechsel beweist keine Stabilität, falls imaginäre Achsenpole oder eine Nullzeile übersehen wurden. Prüfe daher Voraussetzungen und ganze Tabelle, nicht nur einen einzelnen Polynomkoeffizienten. Voraussetzung sind reelle Koeffizienten und ein kontinuierliches LTI-System. Asymptotische Stabilität verlangt Pole strikt links; Null-Pivot, Nullzeile oder Achsenpole brauchen gesonderte Behandlung. Anwendungsbereich: Kontinuierliche geschlossene Regelkreise anhand ihrer charakteristischen Polynomkoeffizienten auf asymptotische Stabilität prüfen. Das Zahlenbeispiel Für p(s)=s3+2s2+3s+4 ist die erste Routh-Spalte 1, 2, (2·3−4)/2=1, 4. Alle Einträge sind positiv, also gibt es keinen Vorzeichenwechsel und keinen Pol in der rechten Halbebene: das System ist asymptotisch stabil. Probe für die Kubikbedingung: 2·3=6>4. Bei s3+2s2+s+4 würde der dritte Eintrag −1 lauten; +,+,−,+ hat zwei Wechsel und damit zwei Pole rechts verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.
Für p(s)=s3+a2s2+a1s+a0 müssen a2, a1 und a0 positiv sein und zusätzlich a2a1>a0 gelten. Die erste Spalte lautet 1, a2, (a2a1−a0)/a2, a0. Beim Beispiel s3+2s2+3s+4 ist der dritte Eintrag 1; die Folge 1,2,1,4 bleibt positiv. Das System ist daher asymptotisch stabil. Voraussetzung sind reelle Koeffizienten und ein kontinuierliches LTI-System. Asymptotische Stabilität verlangt Pole strikt links; Null-Pivot, Nullzeile oder Achsenpole brauchen gesonderte Behandlung. Die Einheiten dazu sind s in s−1; Koeffizienten besitzen je nach Polynomnormierung passende Potenzen von s; Vorzeichen und Routh-Einträge sind keine Messgrößen. Für p(s)=s3+2s2+3s+4 ist die erste Routh-Spalte 1, 2, (2·3−4)/2=1, 4. Alle Einträge sind positiv, also gibt es keinen Vorzeichenwechsel und keinen Pol in der rechten Halbebene: das System ist asymptotisch stabil. Probe für die Kubikbedingung: 2·3=6>4. Bei s3+2s2+s+4 würde der dritte Eintrag −1 lauten; +,+,−,+ hat zwei Wechsel und damit zwei Pole rechts. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.
Nein. Routh–Hurwitz untersucht Pole eines kontinuierlichen geschlossenen Regelkreises anhand des charakteristischen Polynoms. Die Abtastregel fs>2fmax betrifft dagegen die Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals nach Digitalisierung. Außerdem gibt es das Nyquist-Ortskurvenkriterium für Regelkreisstabilität; auch das ist eine andere Methode als Routh und nicht mit der Abtastregel gleichzusetzen. Voraussetzung sind reelle Koeffizienten und ein kontinuierliches LTI-System. Asymptotische Stabilität verlangt Pole strikt links; Null-Pivot, Nullzeile oder Achsenpole brauchen gesonderte Behandlung. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Für p(s)=s3+2s2+3s+4 ist die erste Routh-Spalte 1, 2, (2·3−4)/2=1, 4. Alle Einträge sind positiv, also gibt es keinen Vorzeichenwechsel und keinen Pol in der rechten Halbebene: das System ist asymptotisch stabil. Probe für die Kubikbedingung: 2·3=6>4. Bei s3+2s2+s+4 würde der dritte Eintrag −1 lauten; +,+,−,+ hat zwei Wechsel und damit zwei Pole rechts. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.
Halte die Polynomnormierung fest und prüfe die Koeffizienten: s in s−1; Koeffizienten besitzen je nach Polynomnormierung passende Potenzen von s; Vorzeichen und Routh-Einträge sind keine Messgrößen. Rechne die Routh-Spalte mit derselben Konvention. Beispiel: Für p(s)=s3+2s2+3s+4 ist die erste Routh-Spalte 1, 2, (2·3−4)/2=1, 4. Alle Einträge sind positiv, also gibt es keinen Vorzeichenwechsel und keinen Pol in der rechten Halbebene: das System ist asymptotisch stabil. Probe für die Kubikbedingung: 2·3=6>4. Bei s3+2s2+s+4 würde der dritte Eintrag −1 lauten; +,+,−,+ hat zwei Wechsel und damit zwei Pole rechts. So kontrollierst du Vorzeichenwechsel und Stabilitätsaussage; Null-Pivot und Nullzeile brauchen eine Sonderprüfung. Voraussetzung sind reelle Koeffizienten und ein kontinuierliches LTI-System. Asymptotische Stabilität verlangt Pole strikt links; Null-Pivot, Nullzeile oder Achsenpole brauchen gesonderte Behandlung.
Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Vorausgesetzt wird ein reelles charakteristisches Polynom eines kontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systems; Stabilität bedeutet, dass alle Pole strikt in. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. MIT OpenCourseWare, 2.004 Dynamics and Control II, Lecture 25: system stability and Routh–Hurwitz criterion. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. Voraussetzung sind reelle Koeffizienten und ein kontinuierliches LTI-System. Asymptotische Stabilität verlangt Pole strikt links; Null-Pivot, Nullzeile oder Achsenpole brauchen gesonderte Behandlung.
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