Steifigkeitsmatrix des linearen 1D-Stabelements

Die Elementdehnung hängt von u₂−u₁ ab. Die gespeicherte Energie ist ½(EA/L)(u₂−u₁)²; ihre zweite Ableitungen nach den Knotenverschiebungen ergeben die Matrix EA/L[[1,−1],[−1,1]]. Die positiven Diagonalen und negativen Kopplungsterme bewirken gleiche und entgegengesetzte Endkräfte. Eine gemeinsame Starrkörperverschiebung erzeugt keine Dehnung und wird von der Matrix daher nicht bestraft. Lineares Zweiknoten-Stabelement mit konstantem EA und axialer Kleinverformung; Lagerbedingungen werden global ergänzt. Anwendungsbereich: Grundlagen der linearen Finite-Elemente-Modellierung axialer Fachwerke und Stäbe verstehen. Das Zahlenbeispiel E=200 GPa, A=1,0·10⁻⁴ m² und L=2 m ergeben EA/L=1,0·10⁷ N/m. Für u=[0;0,001 m] ist f=k u=[−10 000;10 000] N: die Elementkräfte sind gleich groß und entgegengesetzt. Probe: (N/m)·m=N; gemeinsame Verschiebung beider Knoten erzeugt keine axiale Dehnung verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Wenn beide Knoten dieselbe Verschiebung erhalten, bleibt der Stab unverformt; diese Starrkörpermode hat keine Rückstellkraft. Daher ist die Elementmatrix allein nicht invertierbar. Im globalen Modell verhindern geeignete Lagerbedingungen die freie Translation und gegebenenfalls Rotation. Ein fehlender Zwang zeigt sich als singuläres Gesamtgleichungssystem, nicht als Fehler der lokalen Stabsteifigkeit. Lineares Zweiknoten-Stabelement mit konstantem EA und axialer Kleinverformung; Lagerbedingungen werden global ergänzt. Die Einheiten dazu sind E in Pa; A in m²; L in m; Matrixeinträge in N/m; Verschiebung m, Kraft N. E=200 GPa, A=1,0·10⁻⁴ m² und L=2 m ergeben EA/L=1,0·10⁷ N/m. Für u=[0;0,001 m] ist f=k u=[−10 000;10 000] N: die Elementkräfte sind gleich groß und entgegengesetzt. Probe: (N/m)·m=N; gemeinsame Verschiebung beider Knoten erzeugt keine axiale Dehnung. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Die axiale Steifigkeit ist EA/L=200·10⁹·10⁻⁴/2=10⁷ N/m. Bei relativer Verlängerung 0,001 m entsteht eine Kraftgröße von 10⁴ N. Die zwei Knotenkräfte haben entgegengesetzte Vorzeichen, weil das Element die Knoten auseinanderziehende innere Kraft bilanziert. Kontrolliere sowohl N/m mal m gleich N als auch die Summe der Knotenkräfte gleich null. Lineares Zweiknoten-Stabelement mit konstantem EA und axialer Kleinverformung; Lagerbedingungen werden global ergänzt. Geltungsbereich: Aus linearer Interpolation der axialen Verschiebung und konstanter Dehnung folgt für einen geraden Zweiknotenstab mit konstantem EA die lokale Beziehung f_e=k_e u_e. Kleine Deformationen, linear-elastischer Werkstoff und rein axiale Belastung werden vorausgesetzt. Die Elementmatrix ist singulär für Starrkörpertranslation; erst Lagerbedingungen und Assemblierung erzeugen ein lösbares globales System. Querschnittsänderung, Biegung und geometrische Nichtlinearität fehlen. Eine praktische Anwendung ist Grundlagen der linearen Finite-Elemente-Modellierung axialer Fachwerke und Stäbe verstehen.

Die dargestellte 2×2-Matrix gilt in lokalen axialen Freiheitsgraden. Ein global schräg liegender Stab koppelt horizontale und vertikale Knotenverschiebungen über Richtungskosinus. Transformiere deshalb die lokale Steifigkeit in globale Koordinaten, bevor du Elemente assemblierst. Andernfalls werden Lasten und Verformungen fälschlich nur entlang globaler Achsen behandelt. Lineares Zweiknoten-Stabelement mit konstantem EA und axialer Kleinverformung; Lagerbedingungen werden global ergänzt. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: E=200 GPa, A=1,0·10⁻⁴ m² und L=2 m ergeben EA/L=1,0·10⁷ N/m. Für u=[0;0,001 m] ist f=k u=[−10 000;10 000] N: die Elementkräfte sind gleich groß und entgegengesetzt. Probe: (N/m)·m=N; gemeinsame Verschiebung beider Knoten erzeugt keine axiale Dehnung. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.

Ein freier Stab kann als Ganzes verschoben werden, ohne seine Dehnung zu ändern. Das globale Modell benötigt daher mindestens passende Randbedingungen, um Starrkörperbewegungen auszuschließen und die Verschiebungen eindeutig zu bestimmen. Lager dürfen aber nicht willkürlich gesetzt werden: Sie müssen die reale Abstützung darstellen. Überlagerte Zwangsbedingungen können künstliche Reaktionen erzeugen oder das Modell überbestimmen. Lineares Zweiknoten-Stabelement mit konstantem EA und axialer Kleinverformung; Lagerbedingungen werden global ergänzt. Die Beziehung beschreibt Das lineare Zweiknoten-Stabelement bildet axiale Verschiebungen und Knotenkräfte eines gleichförmigen elastischen Stabs im Finite-Elemente-Verfahren ab. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.