Trigonometrische Identitäten

Sie erlauben, denselben Ausdruck in einer Form zu schreiben, die für die Aufgabe günstiger ist. Additionstheoreme zerlegen einen Winkel wie 75° in bekannte Winkel, während sin²x+cos²x=1 eine der beiden Funktionen durch die andere ersetzt. Das hilft bei exakten Funktionswerten, Gleichungen und Modellen für Schwingungen und Wellen. Prüfe Vorzeichen und Winkeleinheiten vor dem Einsetzen. Die Einheitskreisdefinition und Additionstheoreme geben exakte Beziehungen; gerundete Tabellenwerte sind nur eine anschließende Näherung. Bei Gleichungen erleichtert eine passende Form zudem das Isolieren der gesuchten Winkel. Dabei bleiben äquivalente Umformungen exakt.

Für den Kosinus steht beim Produkt sin a sin b das entgegengesetzte Vorzeichen: cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b. Eine Kontrolle mit a=b=45° ergibt cos90°=0; die Minusform liefert ½−½=0, die Plusform wäre falsch. Bei cos(a−b) wechselt es entsprechend zu plus. Prüfe Vorzeichen und Winkeleinheiten vor dem Einsetzen. Die Einheitskreisdefinition und Additionstheoreme geben exakte Beziehungen; gerundete Tabellenwerte sind nur eine anschließende Näherung. Das Muster bleibt bei jeder Kombination gleich; prüfe es im Zweifel mit einfachen Winkeln wie 0°. Auch Symmetriechecks helfen.

Ja. Auf dem Einheitskreis hat der Punkt zum Winkel x die Koordinaten (cos x,sin x). Da der Punkt den Abstand 1 vom Ursprung hat, gilt nach Pythagoras cos²x+sin²x=1. Die Identität gilt damit auch für negative Winkel, große Winkel und Winkel außerhalb einer vollen Umdrehung; Sinus und Kosinus sind periodisch. Prüfe Vorzeichen und Winkeleinheiten vor dem Einsetzen. Die Einheitskreisdefinition und Additionstheoreme geben exakte Beziehungen; gerundete Tabellenwerte sind nur eine anschließende Näherung. Durch Umstellen erhältst du auch sin²x=1−cos²x oder cos²x=1−sin²x. So lässt sich eine Funktion eliminieren.

Nein. Die trigonometrischen Werte beziehen sich auf den angegebenen Winkelmaßstab. Vor einem Additionstheorem müssen beide Winkel dieselbe Einheit haben. Bei Analysisformeln, etwa der Ableitung sin x, wird üblicherweise x im Bogenmaß verwendet. Rechne Grad mit x_rad=x_grad·π/180 um oder stelle sicher, dass der Taschenrechner im passenden Modus steht. Prüfe Vorzeichen und Winkeleinheiten vor dem Einsetzen. Die Einheitskreisdefinition und Additionstheoreme geben exakte Beziehungen; gerundete Tabellenwerte sind nur eine anschließende Näherung. Im Bogenmaß werden Ableitungen und Grenzwertformeln der Analysis ohne zusätzliche Umrechnungsfaktoren geschrieben.

Schreibe 75° als 30°+45°. Dann sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°. Mit sin30°=1/2, cos30°=√3/2 und sin45°=cos45°=√2/2 ergibt sich (√2+√6)/4≈0,966. Der exakte Wurzelausdruck ist genauer als die gerundete Dezimalzahl und lässt sich weiter prüfen, indem man sein Quadrat mit 1−cos²75° vergleicht. Prüfe Vorzeichen und Winkeleinheiten vor dem Einsetzen. Die Einheitskreisdefinition und Additionstheoreme geben exakte Beziehungen; gerundete Tabellenwerte sind nur eine anschließende Näherung. Beim Multiplizieren der Wurzeln entsteht ein exakter Wert: (√6+√2)/4 ist keine gerundete Dezimalzahl und bewahrt die Information vollständig. Nutze die Dezimalzahl nur zur Kontrolle.