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Die Minima des Einzelspaltmusters entstehen, wenn Beiträge aus verschiedenen Spaltbereichen einander destruktiv auslöschen.
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Formel
a und λ in derselben Längeneinheit; θ im Bogenmaß oder Grad; m ganzzahlig und ungleich null.
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Breite des einzelnen Spalts | m | |
| Winkel des m-ten Intensitätsminimums zur Mittelachse | rad oder ° | |
| Ordnung des Minimums, m≠0 | Ganzzahl | |
| Wellenlänge des Lichts | m |
a\sin\theta_m=m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,\ldotsFür einen Spalt der Breite a löschen sich die Wellenanteile paarweise aus, wenn der Gangunterschied über die Spaltbreite ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Das ergibt a sinθ=mλ für die Minima, nicht für die Maxima. Im Kleinwinkelfall auf einem Schirm im Abstand L gilt ym≈mλL/a. Die Beziehung setzt kohärente Beleuchtung und eine Fernfeld- beziehungsweise Fraunhofer-Geometrie voraus; das zentrale Maximum liegt zwischen den Minima m=−1 und m=1 und ist doppelt so breit wie die Seitenabstände.
Die Bedingung a sinθ=mλ beschreibt Fernfeldminima bei kohärenter monochromatischer Beleuchtung. Die Kleinwinkelform y≈mλL/a verlangt θ≪1 und einen Schirmabstand L groß gegenüber der Spaltbreite.
Am Minimum löschen sich gleich große Teilbereiche des Spalts paarweise aus.
Wellenlänge aus erstem Minimum
Das Minimum erster Ordnung hat |m|=1.
Erstes Minimum auf dem Schirm
Kleinwinkelnäherung und Fernfeldgeometrie vorausgesetzt.
Für λ=600 nm, a=0,30 mm und L=2,0 m: Wie weit liegt das erste Minimum von der Achse?
y1≈λL/a=(6,0·10−7·2,0)/(3,0·10−4)=4,0·10−3 m=4,0 mm.
Probe: Halbiert man a, verdoppelt sich der Abstand im Kleinwinkelfall.
Die Bedingung eines Gittermaximums a sinθ=mλ mit einem Einzelspaltminimum verwechseln.
Beim Einzelspalt bezeichnet diese Gleichung für m≠0 ein Minimum; ein Gittermaximum ist konstruktive Interferenz.
Formelcluster
Das Einzelspaltmuster ergänzt Doppelspaltmaxima und das Auflösungskriterium.
Mit λ=600 nm, a=0,30 mm und L=2,0 m liegt das erste Minimum bei y1≈λL/a=(6,0·10−7·2)/(3,0·10−4)=4,0·10−3 m=4,0 mm. Probe: Größere Spaltbreite verkleinert den Winkel und macht das Muster schmaler.
Einzelspaltmuster auswerten, Wellenlängen oder Spaltbreiten bestimmen und Einzelspalt, Doppelspalt sowie Gitter unterscheiden.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Minima der Einzelspaltbeugung (a sin θₘ = mλ).
Aufgabe
Für λ=600 nm, a=0,30 mm und L=2,0 m: Wie weit liegt das erste Minimum von der Achse?
Rechenweg
y1≈λL/a=(6,0·10−7·2,0)/(3,0·10−4)=4,0·10−3 m=4,0 mm.
Probe: Halbiert man a, verdoppelt sich der Abstand im Kleinwinkelfall.
Die Beziehung gibt die Winkel der Intensitätsminima an, an denen das Licht fast vollständig ausgelöscht ist. a ist die Spaltbreite, λ die Wellenlänge und m eine von null verschiedene ganze Zahl. Die Auslöschung entsteht durch paarweise destruktive Interferenz von Teilwellen aus verschiedenen Bereichen des Spalts. Bei m=0 liegt kein Minimum, sondern das breite zentrale Maximum. Die Bedingung gilt für Minima, nicht für Hauptmaxima. Nutze die Kleinwinkelform nur bei kleiner Beugungsrichtung und achte darauf, dass Wellenlänge, Spalt und Schirmabstand in kompatiblen Einheiten stehen.
Beim Einzelspalt löscht sich Licht aus verschiedenen Punkten derselben Öffnung aus; die Minima erfüllen a sinθ=mλ. Beim Doppelspalt verstärken sich zwei kohärente Spalte bei d sinθ=mλ. Ein reales Doppelspaltmuster ist zusätzlich durch die Einzelspalt-Hüllkurve moduliert. Spaltbreite a und Spaltabstand d sind also verschiedene Größen und bestimmen unterschiedliche Teile des Musters. Die Bedingung gilt für Minima, nicht für Hauptmaxima. Nutze die Kleinwinkelform nur bei kleiner Beugungsrichtung und achte darauf, dass Wellenlänge, Spalt und Schirmabstand in kompatiblen Einheiten stehen. Die Einzelspaltbreite steuert die Hüllkurve, der Abstand der beiden Spalte dagegen die feine Streifenfolge.
Für das erste Minimum gilt sinθ1=λ/a. Wenn λ gleich bleibt und a größer wird, nimmt der Winkel ab. Auf einem weit entfernten Schirm ist y1≈λL/a, also sinkt auch der seitliche Abstand des Minimums. Die zentrale helle Zone wird dadurch schmaler. Das ist ein klarer Unterschied zur Alltagsintuition, dass eine größere Öffnung stets ein breiteres Lichtbild erzeugen müsse. Die Bedingung gilt für Minima, nicht für Hauptmaxima. Nutze die Kleinwinkelform nur bei kleiner Beugungsrichtung und achte darauf, dass Wellenlänge, Spalt und Schirmabstand in kompatiblen Einheiten stehen.
Die Schirmform folgt aus sinθ≈tanθ≈y/L für kleine Winkel. Sie ist passend, wenn das erste Minimum nahe an der Mittelachse liegt und der Schirmabstand deutlich größer als die Spaltbreite ist. Für größere Winkel solltest du a sinθ=mλ direkt nutzen und die Schirmgeometrie mit tanθ=y/L einsetzen. Zusätzlich muss das Beugungsbild im Fernfeld oder mit geeigneter Optik beobachtet werden. Die Bedingung gilt für Minima, nicht für Hauptmaxima. Nutze die Kleinwinkelform nur bei kleiner Beugungsrichtung und achte darauf, dass Wellenlänge, Spalt und Schirmabstand in kompatiblen Einheiten stehen.
Miss Spaltbreite a, Schirmabstand L und den Abstand y1 der ersten Dunkelstelle von der Mittelachse. Bei kleinen Winkeln gilt λ≈a y1/L. Nutze überall dieselbe Längeneinheit und bestimme die Dunkelstelle auf beiden Seiten, um den Mittelwert zu bilden. Das reduziert Ablesefehler. Bei großen Winkeln berechne θ aus der Geometrie und verwende λ=a sinθ. Die Bedingung gilt für Minima, nicht für Hauptmaxima. Nutze die Kleinwinkelform nur bei kleiner Beugungsrichtung und achte darauf, dass Wellenlänge, Spalt und Schirmabstand in kompatiblen Einheiten stehen. Ein größerer Schirmabstand vergrößert y im selben Verhältnis, solange die Kleinwinkelnäherung gilt.
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