Doppelspalt-Interferenz

Die Winkel der Maxima folgen aus $d\cdot{}\sin{}(\alpha{}_{k}) = k\cdot{}\lambda{}$: $\sin{}(\alpha{}_{k}) =\frac{ k\cdot{}\lambda{}}{d}$ mit der Ordnung $k = 0$, 1, 2, ... Das nullte Maximum liegt immer geradeaus in der Mitte. Beispiel: $d = 0{,}1 mm$ und $\lambda{} = 600 nm$ ergeben für $k = 1$ den Wert $\sin{} \alpha{} =\frac{ 6\times{}10^{-7}}{10^{-4}} = 0{,}006$, also $\alpha{} \approx{} 0{,}34$°. Die Position auf einem Schirm im Abstand L folgt aus der Geometrie: $x = L\cdot{}\tan{} \alpha{}$, bei kleinen Winkeln $x \approx{}\frac{ k\cdot{}\lambda{}\cdot{}L}{d}$, hier 12 mm. Die Maxima liegen dann äquidistant. Rechne alle Längen konsequent in Metern, die Mischung von nm, µm und mm ist die häufigste Fehlerquelle.

Der Gangunterschied Δs ist die Streckendifferenz, die die Wellen von den beiden Spalten bis zu einem Schirmpunkt zurücklegen; für ferne Punkte gilt $\Delta{}s = d\cdot{}\sin{} \alpha{}$. Er bestimmt, wie die beiden Wellen dort zeitlich zueinander liegen. Ist Δs ein ganzes Vielfaches der Wellenlänge (0, λ, 2λ, ...), treffen Wellenberg auf Wellenberg: konstruktive Interferenz, ein helles Maximum. Ist Δs ein halbzahliges Vielfaches (λ/2, $\frac{3\lambda{}}{2}$, ...), trifft Berg auf Tal, die Wellen löschen sich aus: ein dunkles Minimum. Dazwischen gibt es alle Abstufungen. Dass an dunklen Stellen Licht plus Licht Dunkelheit ergibt, ist das entscheidende Wellenargument, mit Teilchenbahnen allein wäre es unerklärlich.

Man misst Längen und rechnet auf Nanometer zurück, das ist der Kern des Youngschen Experiments. Beleuchte den Doppelspalt mit dem zu messenden Licht, am besten einem Laser, und miss drei Größen: den Spaltabstand d, den Schirmabstand L und den Abstand x des ersten Maximums von der Mitte. Für kleine Winkel gilt $\lambda{} =\frac{ d\cdot{}x}{(k\cdot{}L)}$. Beispiel: $d = 0{,}2 mm$, $L = 2 m$, erstes Maximum bei $x = 6{,}4 mm$: $\lambda{} =\frac{ 2\times{}10^{-4} \times{} 6{,}4\times{}10^{-3}}{2} = 6{,}4\times{}10^{-7} m = 640 nm$, rotes Licht. Genauer wird es, wenn man über mehrere Ordnungen mittelt oder den Abstand vieler Maxima misst und teilt.

Aus $\sin{} \alpha{} =\frac{ k\cdot{}\lambda{}}{d}$ liest man beide Trends direkt ab. Größere Wellenlänge spreizt das Muster: Rotes Licht (etwa 650 nm) erzeugt weiter auseinanderliegende Maxima als blaues (etwa 450 nm); mit weißem Licht entstehen deshalb farbige Säume, innen blau, außen rot. Kleinerer Spaltabstand spreizt das Muster ebenfalls, ein feinerer Doppelspalt trennt also besser. Umgekehrt rücken die Maxima bei großem d so eng zusammen, dass sie verschmelzen, weshalb man Interferenz an zwei Fenstern nie beobachtet. Zusätzlich begrenzt $\sin{} \alpha{} \le{} 1$ die Zahl der Ordnungen auf $k \le{}\frac{ d}{\lambda{}}$: Bei $d = 4 \mu{}m$ und $\lambda{} = 500 nm$ existieren maximal die Ordnungen bis $k = 8$.

Ja, und das ist eines der wichtigsten Experimente der Quantenphysik. Schickt man Elektronen durch einen Doppelspalt, entsteht auf dem Detektor dasselbe Streifenmuster wie bei Licht, beschrieben durch dieselbe Formel $d\cdot{}\sin{} \alpha{} = k\cdot{}\lambda{}$, nur mit der De-Broglie-Wellenlänge $\lambda{} =\frac{ h}{p}$ des Elektrons. Das Verblüffende: Das Muster baut sich auch dann auf, wenn die Elektronen einzeln nacheinander fliegen, jedes Elektron interferiert gewissermaßen mit sich selbst. Misst man dagegen, durch welchen Spalt das Elektron geht, verschwindet das Muster. Der Versuch zeigt damit Welle-Teilchen-Dualismus und die Rolle der Messung, und er ist im Abitur der Standardübergang von der Optik zur Quantenphysik.