Physik · Beugung und Auflösung

Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende

Das Rayleigh-Kriterium setzt die Trennung zweier inkohärenter Punktbilder auf den Radius zum ersten Minimum des Airy-Musters einer Kreisapertur.

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Formel

Berechnen

θ_{m i n} \approx 1.22 \frac{λ}{D}

λ,D in derselben Längeneinheit, vorzugsweise m; θmin in rad.1 rad≈206264,806 Bogensekunden.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$θmin$	Rayleigh-Winkeltrennung für die genannten inkohärenten Punktquellen, in Radiant	rad
$λ$	Wellenlänge im Ausbreitungsmedium; in Luft näherungsweise Vakuumwellenlänge	m
$D$	Freier Durchmesser der gleichmäßig beleuchteten unversperrten Kreisapertur	m

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\theta_{\min}\approx1.22\frac{\lambda}{D}

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Zwei echte Bessel-Airy-Schnitte mit Zentren bei q = 0 und 1. Eine lineare Intensitätssumme hat am Mittelpunkt rund 0,735; beide Zentren haben Summe 1. Die erste Nullstelle eines Profils trifft das andere Zentrum. — Zwei gleich helle inkohärente Airy-Punktbilder im Rayleigh-Abstand: Das Maximum liegt im ersten Minimum des anderen. Gezeigt werden Intensitäten und ihre Summe, keine kohärenten Feldamplituden. Für 550 nm und D = 0,200 m gilt näherungsweise θmin ≈ 3,355 µrad.

Rayleigh-Kriterium berechnen

Kleinsten auflösbaren Winkel einer runden Öffnung wie Teleskop, Kamera oder Auge aus Wellenlänge und Durchmesser ausrechnen, im idealen beugungsbegrenzten Fall.

Rechenmodell

Gesucht

Wellenlänge λ

Wellenlänge des Lichts, z. B. 550 nm für grünes Licht in der Mitte des sichtbaren Bereichs.

Öffnungsdurchmesser D

Durchmesser der freien Öffnung, nicht der Radius, z. B. 20 cm bei einem Teleskop.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach θR, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach θR umstellen
$\theta_R\approx1{,}22\frac\lambda D$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- λ = 550 nm = 5,5 · 10⁻⁷ m
- D = 20 cm = 0,2 m
$\frac{1{,}22\cdot 5{,}5\times10^{-7}}{0{,}2}$
3. Ergebnis
θR = 3,355 μrad

Ergebnis: Kleinster auflösbarer Winkel θ

θR = 3,355 μrad

Mit λ = 550 nm und D = 20 cm ergibt sich θR = 3,355 μrad.

So rechnest du schneller

Doppelter Öffnungsdurchmesser, halber Winkel: θ ist proportional zu λ : D. Blaues Licht löst deshalb feiner auf als rotes.
Durchmesser einsetzen, nicht den Radius: mit dem Radius wird der Winkel doppelt so groß. Nanometer vorher in Meter umrechnen: 550 nm = 5,5 · 10⁻⁷ m.

Annahmen und Grenzen

Ideal beugungsbegrenzte paraxiale Fraunhofer-Abbildung gleich heller inkohärenter monochromatischer Punktquellen durch eine freie gleichmäßig beleuchtete Kreisapertur. Wellenlänge im Medium. Faktor 1,22 gerundet; Ergebnis ist eine Näherung. Bewusst gewählte technische Grenze dieses Näherungsrechners: θR ≤ 0,1 rad, keine universelle Rayleigh-Gültigkeitsschwelle. Keine Garantie realer Sichtbarkeit oder Sensorauflösung.

Herleitung & Hintergrund

Die Kreisapertur liefert den Intensitätsfaktor $\left[\frac{2J_1(u)}u\right]^2$ . Aus der ersten Nullstelle des Bessel-Ausdrucks folgt für kleine Winkel der Faktor 1,22. Das Kriterium gehört zu inkohärenten Punktbildern und ist keine harte allgemeine Nachweisgrenze. Der Radius zum ersten Minimum beträgt in der Brennebene $r_1\approx f\theta_{\min}$ ; der Airy-Durchmesser ist 2 r₁. Andere Pupillenformen, große Helligkeitsunterschiede, Atmosphäre, Aberrationen und Abtastung verlangen weitere Beurteilung.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Beugungsbegrenzte Abbildung gleich heller inkohärenter Punktquellen durch eine freie gleichmäßig beleuchtete Kreisapertur im Fraunhofer-/paraxialen Modell. λ ist die Wellenlänge im Ausbreitungsmedium; Ergebnis in Radiant. Zentralabschattung, Apodisation, Kohärenz, ungleiche Helligkeit, Aberration, Atmosphäre und Detektor verändern die reale Auflösung oder Nachweisbarkeit.

Herleitung in Schritten

Das erste Minimum des Kreisaperturmusters bestimmen und als Rayleigh-Trennung zweier inkohärenter Punkte wählen.

1Modelliere eine freie gleichmäßig beleuchtete Kreisapertur mit Durchmesser D und monochromatischer Wellenlänge λ im Medium.
2Die Fraunhofer-Feldamplitude ist die zweidimensionale Fourier-Transformation dieser Öffnung.
3Kreissymmetrie ergibt $\frac{I(\theta)}{I(0)}=\left[\frac{2J_1(u)}u\right]^2$ mit $u=\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda}$ .
4Die erste positive Nullstelle ist u≈3,831706; damit sinθ₁≈1,219670 $\frac\lambda D$ .
5Für kleine Winkel in Radiant gilt $\sin\theta\approx\theta$ . Runde den Faktor auf 1,22.
6Rayleigh legt das Maximum eines inkohärenten Punktbildes auf das erste Minimum des anderen: $\theta_{\min}\approx1.22\frac\lambda D$ . Das ist ein Auflösungskriterium, keine allgemeine Informationsgrenze.

Umstellen

Aperturdurchmesser

D\approx1.22\frac{\lambda}{\theta_{\min}}

θmin in Radiant einsetzen.

Aufgabenvariante

Eine freie gleichmäßig beleuchtete Kreisapertur hat D = 0,20 m; das monochromatische Licht besitzt λ = 550 nm. Bestimme den idealen Rayleigh-Winkel in Radiant und Bogensekunden sowie bei f = 1,20 m den ersten-Minimum-Radius und den Airy-Durchmesser. Welcher Durchmesser wird für 0,80 Bogensekunden bei demselben λ benötigt?

Ansatz: $\theta_R=1{,}22\frac\lambda D$ .
Es folgen 3,355 × 10⁻⁶ rad ≈ 0,692018 Bogensekunden.
In der Brennebene gilt $r_1\approx f\theta_R=4{,}026\,\mathrm{\mu m}$ ; der zentrale Durchmesser ist 8,052 μm.
Für die vorgegebene Trennschwelle zuerst 0,80 Bogensekunden in Radiant umrechnen, dann $D\approx1{,}22\frac\lambda{\theta_R}=0{,}1730046\,\mathrm m$ : ideal mindestens etwa 17,30 cm.
Rauschen oder Aberration können dennoch die reale Trennung verhindern.

Typische Fehler

Einheiten oder Voraussetzungen aus der Formelbeschreibung übergehen: λ,D in derselben Längeneinheit, vorzugsweise m; θmin in rad.1 rad≈206264,806 Bogensekunden.

Einheiten vor dem Einsetzen angleichen und Gültigkeitsbereich prüfen; erst dann runden.

Klausurkontext

Teleskop- und Kameraauflösung, Brennebenenabtastung und beugungsbedingte Vergleichsgrenzen untersuchen; Mikroskopobjekte mit passender numerischer Apertur beschreiben.

Formelcluster

Beugung und Auflösung

Verwandte Beziehungen: beugungsgitter-maxima, linsengleichung, doppelspalt-interferenz.

d sin θ_m = mλ

Beugungsgitter: Hauptmaxima

1/f = 1/g + 1/b

Linsengleichung (Abbildungsgleichung)

d·sin(α_k) = k·λ

Doppelspalt-Interferenz

Rechenbeispiel

λ=550 nm und D=0,20 m: θmin=3,355 × 10⁻⁶rad≈0,6920 Bogensekunden. Bei f=1,20 m ist r₁=4,026μm, der Airy-Durchmesser 8,052μm. Für 0,80 Bogensekunden bei derselben Wellenlänge sind ideal mindestens 17,30 cm freie Apertur erforderlich.

Anwendungsgebiete

Teleskop- und Kameraauflösung, Brennebenenabtastung und beugungsbedingte Vergleichsgrenzen untersuchen; Mikroskopobjekte mit passender numerischer Apertur beschreiben.

Rechenbeispiel: Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende (θmin ≈ 1.22 λ/D).

1
Aufgabe
Eine freie gleichmäßig beleuchtete Kreisapertur hat D = 0,20 m; das monochromatische Licht besitzt λ = 550 nm. Bestimme den idealen Rayleigh-Winkel in Radiant und Bogensekunden sowie bei f = 1,20 m den ersten-Minimum-Radius und den Airy-Durchmesser. Welcher Durchmesser wird für 0,80 Bogensekunden bei demselben λ benötigt?
Rechenweg
1. Ansatz: $\theta_R=1{,}22\frac\lambda D$ .
2. Es folgen 3,355 × 10⁻⁶ rad ≈ 0,692018 Bogensekunden.
3. In der Brennebene gilt $r_1\approx f\theta_R=4{,}026\,\mathrm{\mu m}$ ; der zentrale Durchmesser ist 8,052 μm.
4. Für die vorgegebene Trennschwelle zuerst 0,80 Bogensekunden in Radiant umrechnen, dann $D\approx1{,}22\frac\lambda{\theta_R}=0{,}1730046\,\mathrm m$ : ideal mindestens etwa 17,30 cm.
5. Rauschen oder Aberration können dennoch die reale Trennung verhindern.

Die Formel verstehen und anwenden

Zwei ferne Lichtpunkte können im Bild zu einem Fleck verschmelzen, selbst wenn die Linse scharf gestellt ist. Eine endliche Öffnung erzeugt durch Beugung ein ausgedehntes Punktbild. Das Rayleigh-Kriterium gibt dafür einen festgelegten Vergleichsabstand an. Wir erklären zuerst Radius und Durchmesser des Musters, berechnen anschließend Winkel und Bildabstand und prüfen, was eine größere Öffnung tatsächlich verbessert.

Bevor du rechnest

Du brauchst die Umrechnung von Wellenlängen, kleine Winkel in Radiant und das Konzept eines Punktbildes. Ein mathematischer Objektpunkt wird durch die Optik zu einem Muster mit endlicher Breite. Zwei Punkte erzeugen deshalb zwei überlagerte Muster. Bei inkohärenten Quellen werden ihre Intensitäten addiert; eine feste gegenseitige Feldphase wird nicht vorausgesetzt.[1][2]

Unser Vergleich verwendet gleich helle inkohärente Punktquellen und eine freie, kreisförmige, gleichmäßig gewichtete Apertur im beugungsbegrenzten Modell. D ist ihr Durchmesser, nicht ihr Radius. Die erste dunkle Ringlinie begrenzt die zentrale Airy-Scheibe. Das Kriterium betrifft diese Optik, nicht automatisch das Sehvermögen, eine Sensorauflösung oder den Nachweis eines beliebig schwachen Begleiters.[1][3]

Ein Mindestabstand nach einer konkreten Konvention

\theta_{\min}\approx1.22\frac\lambda D

D ist der freie Durchmesser einer gleichmäßig beleuchteten unversperrten Kreisapertur. λ ist die Wellenlänge im Ausbreitungsmedium; θ wird in Radiant berechnet.[1]

Ein einzelner Punkt erzeugt ein Airy-Muster mit zentralem Maximum und Ringen. Zwei gleich helle inkohärente Punkte gelten nach Rayleigh als gerade aufgelöst, wenn das Maximum des einen auf dem ersten Minimum des anderen liegt. Man addiert ihre Intensitätsmuster, nicht einfach die Feldamplituden. Für kohärente Quellen kann eine feste relative Phase das gemeinsame Bild verändern.[3]

θmin ist die Winkeltrennung der Quellen und zugleich der Winkelform entsprechende Radius bis zum ersten Minimum eines Einzelpunktbildes. Es ist weder der Durchmesser der Airy-Scheibe noch der volle Öffnungswinkel einer beliebigen Lichtquelle. Der Durchmesser des zentralen Musters bis zu seinen ersten Minima ist doppelt so groß.[1]

Zwei Punktbilder bei Rayleigh-Abstand

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Ein Schnitt durch das Kreisblendenbild, nicht die gesamte zweidimensionale Airy-Scheibe. Einheiten auf x sind Vielfache des ersten-Minimum-Winkels; die Summenkurve addiert Intensitäten, keine Amplituden.[1][2]

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Warum eine Kreisblende den Faktor 1,22 liefert

Im Fraunhofer-Modell ist die Feldamplitude proportional zur zweidimensionalen Fourier-Transformation der Apertur. Für einen gleichmäßig beleuchteten Kreis integriert man zunächst über den Azimut; anschließend ergibt die radiale Integration einen Bessel-Ausdruck. Das Ergebnis ist rotationssymmetrisch. Die Nullstelle folgt aus der Form der Öffnung und würde für einen Spalt oder eine rechteckige Apertur anders aussehen.[2][3]

\begin{aligned}&\frac{I(\theta)}{I(0)}=\left[\frac{2J_1(u)}u\right]^2\\&u=\frac{\pi D}{\lambda}\sin\theta\end{aligned}

Am Ursprung gilt der stetige Grenzwert eins. Das erste positive Minimum liegt bei $J_1(u)=0$ .[3]

\begin{aligned}&u_1\approx3.831706\\&\sin\theta_1=\frac{u_1}\pi\frac\lambda D\approx1.219670\frac\lambda D\end{aligned}

Für kleine Winkel $\sin\theta\approx\theta$ in Radiant; auf 1,22 gerundet entsteht die bekannte Beziehung.[3][1]

Das erste Minimum eines Einzelpunktbildes ist eine Eigenschaft der Beugung. Die Wahl, genau diese Trennung als „gerade aufgelöst“ zu bezeichnen, ist ein Auflösungskriterium. Sie bedeutet keine harte Grenze, unterhalb der gar keine Information mehr messbar wäre. Ein Messverfahren mit bekannten Quellenmodellen und hoher Signalqualität kann andere Schätzgrenzen haben.[1]

Von Radiant zu Bogensekunde und Bildabstand

Der Winkel wird aus einem Längenverhältnis berechnet und ist zunächst in Radiant gemeint. Ein kleinerer Zahlenwert bedeutet kleinere gerade unterscheidbare Trennung und damit bessere ideale Winkelauflösung. Die Brennweite kommt erst hinzu, wenn du diesen Winkel in einen Abstand auf dem Sensor oder Schirm übersetzt.[1]

\begin{aligned}&1\,\mathrm{rad}=\frac{180}{\pi}\cdot3600\,\mathrm{arcsec}\approx206264.806\,\mathrm{arcsec}\\&r_1\approx f\theta_{\min}\end{aligned}

r₁ ist der Radius zum ersten Minimum in der Brennebene einer paraxialen Abbildung, nicht der Durchmesser.[1]

λ und D müssen dieselbe Längeneinheit haben. Eine Angabe 550 nm bei D=0,20 m braucht zuerst λ=550 × 10⁻⁹m. Der Quotient ist dimensionslos, seine Winkelauswertung erfolgt aber in Radiant. Der numerische Wert in Grad oder Bogensekunden entsteht erst durch Umrechnung. Für zwei ferne Punkte in Abstand L ist die entsprechende transversale Trennung näherungsweise $s\approx L\theta_{\min}$ .[1]

In Luft wird die Vakuumwellenlänge häufig ausreichend genau als λ verwendet. In einem Medium mit relevantem Index n ist $\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$ . Soll eine objektseitige Mikroskopauflösung angegeben werden, benutzt man die passende numerische Apertur und λ₀: $\delta\approx0.61\frac{\lambda_0}{\mathrm{NA}}$ . Ein physischer Durchmesser allein erfasst bei hoher Apertur die Sammelgeometrie nicht vollständig.[1]

Ein 20-cm-Teleskop in Winkel und Brennebene

Zwei gleich helle inkohärente Sterne im Idealmodell

Gegeben: D=0,200 m; λ=550 nm in Luft; f=1,20 m; freie Kreisapertur, Beugungsbegrenzung.
Gesucht: Rayleigh-Winkel, Bogensekunden und Brennebenenabstand bestimmen.

Ansatz: Für zwei gleich helle inkohärente Punktbilder an der freien Kreisapertur den Rayleigh-Winkel und anschließend den Abstand in der Brennebene bestimmen.
$\begin{aligned}\theta_{\min}&\approx1.22\frac\lambda D\\r_1&\approx f\theta_{\min}\end{aligned}$
Wellenlänge in Meter umrechnen und Winkel bestimmen.
$\theta_{\min}=1.22\frac{550\times10^{-9}}{0.200}=3.355\times10^{-6}\,\mathrm{rad}$
In Bogensekunden umrechnen.
$\theta_{\min}=0.692018\,\mathrm{arcsec}$
Mit der Brennweite zur Brennebene übertragen.
$r_1=f\theta_{\min}=4.026\,\mathrm{\mu m}$

Ergebnis: Gerade aufgelöst nach diesem Kriterium bei etwa 0,692 Bogensekunden; die Einzelpunktzentren stehen dann 4,026μm auseinander. Der Airy-Durchmesser bis zum ersten Minimum beträgt 8,052μm.

Kontrolle: Einheiten: $\frac\lambda D$ dimensionslos, fθ eine Länge. Verdoppeln von f vergrößert das Muster und den Abstand auf dem Sensor, verändert bei festem D aber nicht die Winkelauflösung.

Eine geforderte Winkeltrennung in Apertur übersetzen

0,80 Bogensekunden bei 550 nm

Gegeben: Zieltrennung 0,80 arcsec; λ=550 nm; gleich helle inkohärente Punkte und ideale freie Kreisapertur.
Gesucht: Erforderlichen Mindestdurchmesser im Rayleigh-Modell bestimmen.

Ansatz: Die Zieltrennung zunächst in Radiant ausdrücken und die Kreisaperturbedingung nach dem Mindestdurchmesser auflösen.
$\begin{aligned}\theta_{\mathrm{target,rad}}&=\theta_{\mathrm{target,arcsec}}\frac{\pi}{180\cdot3600}\\D&\ge\frac{1.22\lambda}{\theta_{\mathrm{target,rad}}}\end{aligned}$
Bogensekunden zuerst in Radiant umrechnen.
$\theta=\frac{0.80}{206264.806}=3.87851\times10^{-6}\,\mathrm{rad}$
Die Auflösungsbeziehung nach D umstellen.
$D\ge\frac{1.22\lambda}{\theta}=0.173005\,\mathrm m$

Ergebnis: Mindestens etwa 17,30 cm freie Apertur im idealen Modell. Das ist eine geometrische Beugungsanforderung, keine Garantie einer realen Beobachtung.

Kontrolle: Zurückeinsetzen ergibt 0,80 arcsec. Ein 20-cm-System liefert 0,692 arcsec und erfüllt die ideale Bedingung; ein 15-cm-System liefert 0,923 arcsec und verfehlt sie.

Vertiefung anzeigen: Blendenzahl und Sensorpixel

Bei gleichem λ halbiert eine Verdopplung von D den Rayleigh-Winkel. Eine doppelte Brennweite mit unverändertem D vergrößert nur den Bildmaßstab. Der Sensor kann das größere Muster leichter abtasten, doch die vor dem Sensor vorhandene optische Winkelinformation wird dadurch nicht verbessert. Digitales Vergrößern erzeugt ebenso keine fehlenden optischen Details.[1]

Für eine Kamera kann $r_1\approx1{,}22\lambda N$ mit $N=\frac fD$ geschrieben werden. Das ist der Airy-Radius in der idealen Brennebene. Kürzere Wellenlängen erzeugen bei unveränderter Apertur kleinere Muster. Eine kleinere Blende verbessert häufig Aberrationen und Tiefenschärfe, vergrößert aber das Beugungsmuster: „immer stärker abblenden für mehr Schärfe“ ist kein allgemeines Gesetz.[3]

Beugungsscheibe und Pixelgröße vergleichen

Gegeben: λ=550 nm in Luft; ideales Kameraobjektiv bei N=8; Pixelabstand p=3,00 μm. Zweiter Vergleich bei N=16.
Gesucht: Airy-Radius, -Durchmesser und Durchmesser in Pixelabständen bestimmen.

Ansatz: Die Brennebenenform mit dem Blendenverhältnis verwenden. Erst den Radius berechnen, dann zum Durchmesser verdoppeln.
$\begin{aligned}r_1&\approx1.22\lambda N\\d_{\mathrm{Airy}}&=2r_1\\q&=\frac{d_{\mathrm{Airy}}}{p}\end{aligned}$
Nanometer in Mikrometer umrechnen und N=8 einsetzen.
$\begin{aligned}r_1&=1.22(0.550\,\mathrm{\mu m})8=5.368\,\mathrm{\mu m}\\d_{\mathrm{Airy}}&=10.736\,\mathrm{\mu m}\\q&=\frac{10.736\,\mathrm{\mu m}}{3.00\,\mathrm{\mu m}}=3.57867\end{aligned}$
Bei N=16 verdoppeln sich die geometrischen Musterabmessungen.
$\begin{aligned}r_{1,16}&=10.736\,\mathrm{\mu m}\\d_{\mathrm{Airy},16}&=21.472\,\mathrm{\mu m}\\q_{16}&=7.15733\end{aligned}$

Ergebnis: Die zentrale Scheibe reicht bei N=8 über etwa 3,58 Pixelabstände, bei N=16 über 7,16. Gemeint ist der Durchmesser zwischen den ersten Minima.

Kontrolle: Doppeltes N verdoppelt den Airy-Durchmesser bei derselben Wellenlänge. Die Pixelzahlen sind nur ein Größenvergleich; sie beweisen weder ein allgemeines Abtastkriterium noch die tatsächliche Auflösung bei Rauschen oder Aberrationen.

Die Linsengleichung ergänzt bei passenden Abbildungsbedingungen den geometrischen Bildort und Maßstab. Sie bestimmt damit nicht automatisch die beugungsbedingte Trennung zweier Punktbilder; dafür bleiben die freie Apertur, Wellenlänge und gewählte Auflösungskonvention entscheidend.[4][1]

Helligkeitskontrast, Atmosphäre und andere Pupillen

Die Zahl 1,22 gilt für die genannte kreisförmige freie gleichmäßig gewichtete Pupille. Eine zentrale Abschattung, Apodisation oder rechteckige Apertur verändert Hauptmaximum und Ringe. Breitbandlicht überlagert Muster verschiedener Größen. Ein stark schwächerer Begleiter kann trotz ausreichender geometrischer Trennung im Beugungsring des hellen Objekts untergehen; dafür reichen D und λ allein nicht.[3]

Atmosphärische Turbulenz, Fokusfehler, Aberrationen, Bewegung, Detektorrauschen und Abtastung verschlechtern das reale Bild zusätzlich. Das Kriterium sollte als optischer Vergleichswert ausgewiesen werden, nicht als gemessene Geräteauflösung. Die paraxiale Fernfeldform benutzt kleine Winkel; für große Winkel bleibt der Sinus in der Beugungsgeometrie stehen.[1]

Die Wellengleichung für Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz hilft, die verwendete Wellenlänge dem Medium zuzuordnen: $\lambda=v/f$ . Bei derselben vorgegebenen Frequenz bedeutet eine geänderte Phasengeschwindigkeit auch eine andere Wellenlänge. Diese Zuordnung ersetzt weder die Kreisaperturannahme noch eine Prüfung realer Abbildungsfehler.[5][1]

Fünf Aufgaben mit Winkel-, Farb- und Abstandskontrolle

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

D=0,30 m, λ=600 nm: Bestimme θmin in Radiant und Bogensekunden.

Hinweis anzeigen

Nanometer in Meter umrechnen.

Lernziel: Rayleigh-Winkel samt Winkeleinheit bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Wellenlänge in Meter umrechnen, mit dem freien Durchmesser ins Rayleigh-Kriterium einsetzen und erst danach den Radiantwert umrechnen.
Es folgen 2,44 Mikroradiant oder 0,503286 Bogensekunden.

Kontrolle: Beide Zahlen beschreiben denselben Winkel. Die Ausgabe direkt als Grad wäre eine Einheitenverwechslung, obwohl das Längenverhältnis dimensionslos ist.

\begin{aligned}\theta_R&=1.22\frac{600\times10^{-9}\,\mathrm m}{0.30\,\mathrm m}=2.44\times10^{-6}\,\mathrm{rad}\\\theta_R&\approx0.503286\,\mathrm{arcsec}\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein 15-cm-System beobachtet bei 500 nm und 650 nm. Wie ändern sich die Rayleigh-Winkel?

Hinweis anzeigen

θ ist bei festem D proportional zu λ.

Lernziel: Wellenlängenskalierung prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei festem Durchmesser ist der Rayleigh-Winkel proportional zur Wellenlänge.
Bei 500 nm folgen 4,06667 Mikroradiant oder 0,838810 Bogensekunden; bei 650 nm 5,28667 Mikroradiant oder 1,090453 Bogensekunden.

Kontrolle: Das Verhältnis beider Winkel ist 1,30, genau wie das Wellenlängenverhältnis. Der größere rote Wellenlängenwert ergibt die größere ideale Trennschwelle.

\frac{\theta_{650}}{\theta_{500}}=\frac{650}{500}=1.30

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

D=20 cm, λ=550 nm; zwei Punkte liegen 2000 m entfernt. Welche Quertrennung entspricht dem idealen Rayleigh-Winkel?

Hinweis anzeigen

Mit dem Winkel in Radiant s≈Lθ rechnen.

Lernziel: Winkel zur Quertrennung übertragen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zuerst den Rayleigh-Winkel der gegebenen Kreisapertur bestimmen, dann mit dem Beobachtungsabstand die kleine Quertrennung berechnen.
Es folgt s≈6,710 mm.

Kontrolle: $\frac{s}{L}=3{,}355\times10^{-6}$ reproduziert den Winkel in Radiant. Die Kleinwinkelnäherung ist hier ausgezeichnet; Kontrast und Luftunruhe bleiben zusätzliche reale Grenzen.

\begin{aligned}\theta_R&=1.22\frac{550\times10^{-9}\,\mathrm m}{0.20\,\mathrm m}=3.355\times10^{-6}\,\mathrm{rad}\\s&\approx L\theta_R=(2000\,\mathrm m)(3.355\times10^{-6})\\&=6.710\,\mathrm{mm}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Zwei gleich helle inkohärente Punktquellen haben eine Trennung von 0,8 θR im idealen Kreisblendenbild. Ein zweites Bild verwendet bei gleicher Wellenlänge den doppelten Durchmesser. Ordne beide Bilder relativ zum Rayleigh-Kriterium ein. Garantiert das zweite Bild bei beliebigem Rauschen die Erkennung?

Hinweis anzeigen

Die Quelltrennung bleibt gleich, die Beugungsgrenze halbiert sich.

Lernziel: Ideale Beugungsgrenze von Messgarantien unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Rayleigh-Grenze ist umgekehrt proportional zum Durchmesser.
Im ersten Bild liegt die Trennung unter der Grenze; im zweiten bei dem 1,6-Fachen der neuen Grenze.
Das zweite erfüllt somit das ideale Kriterium.
Beliebig hohes Rauschen, Aberrationen oder andere Kontrastbedingungen können die praktische Erkennung dennoch verhindern; Rayleigh ist keine universelle Messgarantie.

\begin{aligned}\theta_{R,2}&=\frac{\theta_{R,1}}2\\{}\frac{\Delta\theta}{\theta_{R,2}}&=\frac{0.8\theta_{R,1}}{0.5\theta_{R,1}}=1.6\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine kreisförmige freie Öffnung hat Radius 0,10 m. Bei λ=500 nm setzt jemand D=0,10 m in das Rayleigh-Kriterium ein. Bestimme korrekte und falsche Grenze und den Fehlerfaktor; ideale Optik vorausgesetzt.

Hinweis anzeigen

D bezeichnet den Durchmesser.

Lernziel: Radius und Durchmesser der freien Öffnung unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Verdopple den angegebenen Radius zuerst.
Mit dem richtigen Durchmesser 0,20 m beträgt die Grenze 3,05 Mikroradiant; der falsche Ansatz ergibt 6,10 Mikroradiant.
Er behauptet eine doppelt so schlechte Winkelauflösung.
Beide Rechnungen haben die richtige Einheit, weshalb die Dimensionskontrolle die Verwechslung allein nicht erkennt.

\begin{aligned}D&=2r=0.20\,\mathrm m\\{}\theta_R&=1.22\frac{500\times10^{-9}\,\mathrm m}{0.20\,\mathrm m}=3.05\times10^{-6}\,\mathrm{rad}\\{}\theta_{\mathrm{wrong}}&=2\theta_R\end{aligned}

[1]

Was du mitnehmen solltest

Setze die Wellenlänge und den freien Durchmesser in dieselbe Einheit und interpretiere den Quotienten als Radiant. Der Rayleigh-Abstand ist ein Radius zum ersten Minimum, kein Airy-Durchmesser. Eine größere Apertur verbessert den idealen Winkelvergleich; längere Brennweite allein vergrößert nur das Bild. Reale Auflösung benötigt zusätzlich Kontrast, gute Abbildung und geeignete Erfassung.[1][2]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Fachlich passende Verbindungen ergänzt; vorhandene Herleitungen, Rechnungen, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Rayleigh-Deutung und Airy-Herleitung erklärt; zwei inkohärente Punktbilder visualisiert; Pixelvergleich und Modellzusammenfassung ergänzt.
1. Oktober 2026Lernweg mit Vorwissen und Modellannahmen ergänzt, Herleitungsschritte und Rechenkontrollen präzisiert; eigenes zusätzliches Beispiel, Diagramm und Zusammenfassung eingefügt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/rayleigh-kriterium-kreisblende

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende

Was beschreibt das Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende?+

Ein Punkt erscheint durch eine freie Kreisapertur als Airy-Muster mit zentralem Maximum und Ringen. Nach Rayleigh gelten zwei gleich helle inkohärente Punktquellen als gerade getrennt, wenn das Maximum des einen Musters auf dem ersten Minimum des anderen liegt. Die entsprechende kleine Winkeltrennung ist ungefähr 1,22 mal Wellenlänge durch Aperturdurchmesser. Es handelt sich um den ersten-Minimum-Radius, nicht den Durchmesser der zentralen Scheibe. Das Kriterium ist eine konkrete Auflösungskonvention, keine allgemeine Grenze, unterhalb der jede Information verschwindet. Helligkeitskontrast, Kohärenz und Rauschen verändern die tatsächliche Unterscheidbarkeit. Die Rechnung setzt außerdem eine gleichmäßig beleuchtete unversperrte Kreisapertur und beugungsbegrenzte paraxiale Abbildung voraus.

Wie prüfe ich Rayleigh-Winkel und Airy-Scheibengröße?+

Bring Wellenlänge und Durchmesser zuerst in dieselbe Längeneinheit. Bei 550 nm und 0,20 m lautet der Winkel 3,355 × 10⁻⁶rad, entsprechend 0,692018 Bogensekunden. Prüfe die Proportionalität: Doppelte Apertur halbiert den Winkel, doppelte Wellenlänge verdoppelt ihn. Eine Brennweite kommt in dieser Winkelrechnung nicht vor. Für f=1,20 m ergibt erst die zusätzliche Multiplikation mit f den Brennebenenradius 4,026μm. Der zentrale Airy-Durchmesser ist 8,052μm. Wenn du aus einer Winkelanforderung einen Durchmesser bestimmst, setze den berechneten Durchmesser anschließend wieder in die Ausgangsbeziehung ein. So fallen vergessene Radiantumrechnung und Verwechslungen zwischen Radius und Durchmesser unmittelbar auf.

Welche Annahmen und Grenzen hat das Rayleigh-Kriterium?+

Die bekannte Zahl 1,22 gehört zu einer freien gleichmäßig beleuchteten Kreisapertur und einem monochromatischen Fraunhofer-Muster. Die Rayleigh-Deutung verwendet inkohärente Punktbilder mit vergleichbarer Helligkeit. Eine rechteckige Öffnung, zentrale Abschattung oder Apodisation erzeugt andere Muster. Breitbandlicht überlagert unterschiedliche Musterskalen; kohärente Quellen können zusätzlich interferieren. Atmosphärische Turbulenz, Fokusfehler, Aberration, Bewegung, Detektorrauschen und Abtastung begrenzen reale Systeme. Ein schwacher Begleiter kann im Ringmuster eines sehr hellen Sterns verborgen bleiben, obwohl die Winkeltrennung das Kriterium erfüllt. Deshalb ist das Ergebnis ein optischer Vergleichswert und keine garantierte Beobachtbarkeit. Die kleine-Winkel-Näherung muss ebenfalls zur Geometrie passen.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Rayleigh-Kriterium?+

Wellenlänge und Durchmesser bilden einen dimensionslosen Quotienten. Die Formel interpretiert diesen als kleinen Winkel in Radiant, nicht unmittelbar als Grad. Ein Radiant entspricht etwa 206264,806 Bogensekunden. Für 600 nm und 0,30 m ergeben sich 2,44 × 10⁻⁶rad oder 0,503286 Bogensekunden. Eine Meter-Nanometer-Verwechslung würde den Wert um neun Zehnerpotenzen verfälschen. Prüfe außerdem, ob λ die Wellenlänge im Medium oder die Vakuumwellenlänge bedeutet. In Luft wird die Unterscheidung häufig vernachlässigt, in einem höher brechenden Medium nicht. Wenn ein Bildabstand statt eines Winkels gesucht ist, brauchst du zusätzlich Brennweite beziehungsweise Beobachtungsentfernung und die passende Kleinwinkelgeometrie.

Wann brauche ich zusätzlich Brennweite oder Beobachtungsentfernung?+

Für einen Sensorabstand kombinierst du das Winkelkriterium mit $r_1\approx f\theta_{\min}$ ; für zwei ferne Punkte mit ihrer Quertrennung $s\approx L\theta_{\min}$ . Das 20-cm-Beispiel bei 550 nm entspricht in 2000 m Entfernung 6,710 mm Trennung im Idealmodell. Für eine Aperturauslegung wird die Beziehung nach D umgestellt;0,80 Bogensekunden verlangt ideal mindestens 17,30 cm bei derselben Wellenlänge. Mikroskopobjektauflösung verwendet dagegen die passende numerische Apertur und Vakuumwellenlänge. Die Linsengleichung kann geometrischen Bildort und Maßstab ergänzen, verändert aber nicht automatisch die Beugungsgrenze. Eine längere Brennweite vergrößert ein Muster auf dem Sensor; bessere Winkelauflösung benötigt bei gleichem λ eine größere geeignete freie Apertur.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende":

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Welche Formel beschreibt Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende?

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Wie stellst du θmin ≈ 1.22 λ/D nach Aperturdurchmesser um?

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Welcher typische Fehler passiert bei θmin ≈ 1.22 λ/D?

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