Grenzwinkel der Totalreflexion

Du solltest wissen, dass Snellius seine Winkel zum Lot misst. Für Totalreflexion muss das Licht aus dem höheren in den niedrigeren Brechungsindex laufen. Ein großer Winkel allein reicht nicht. Stelle deshalb vor dem Rechnen fest, welches Medium den einfallenden Strahl enthält und welches Lot zur betrachteten Fläche gehört.[1]

Unser Grundmodell besitzt zwei verlustfreie isotrope Medien und eine ebene Grenze; das zweite Medium wird zunächst als hinreichend ausgedehnt betrachtet. Nur in diesem Modell bedeutet „total“ einen reflektierten normalen Leistungsanteil von eins. Eine Glasfaser mit Biegung, Rauheit oder Absorption benötigt zusätzlich eine Verlustbetrachtung.[3][4]

Die Welle muss aus dem Medium mit größerem Brechungsindex n₁ in das mit kleinerem Index n₂ laufen. Mit wachsendem Einfallswinkel zum Lot wächst der Brechungswinkel noch schneller. Am Grenzwinkel erreicht der formal gebrochene Strahl 90° zum Lot: Er liegt tangential zur Grenzfläche. Erst für $\theta_1>\theta_c$ spricht die hier verwendete Strahlenbeschreibung von Totalreflexion. $\theta_1=\theta_c$ ist der Grenzfall und sollte in einer Aufgabenentscheidung eigens genannt werden.[1]

Für $n_1<n_2$ liegt $\frac{n_2}{n_1}$ über eins: Es gibt keinen solchen Grenzwinkel. Für n₁=n₂ liefert die algebraische Grenze 90°, aber keinen Indexsprung und keinen Totalreflexionsbereich. Ein fehlender zulässiger Arkussinus ist hier eine physikalische Aussage, die sich nicht durch Vertauschen der Indizes reparieren lässt.[1]

Setze im Brechungsgesetz $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ den Grenzfall θ₂=90°. Dann ist $\sin\theta_2=1$ und $n_1\sin\theta_c=n_2$. Der Quotient liegt bei $n_1>n_2$ zwischen null und eins; der Arkussinus liefert den eindeutigen Grenzwinkel im Intervall 0° bis 90°. Das ist eine Folgerung aus dem Brechungsgesetz für gewöhnliche positive Indizes, keine neue empirische Materialkonstante.[2]

Die tangentiale Komponente bleibt reell. Deshalb kann das Feld entlang der Grenze eine Phase besitzen, während es senkrecht dazu abklingt. Die Aussage „es geht kein Licht ins zweite Medium“ ist als Aussage über einen propagierenden Strahl brauchbar, als Aussage über das gesamte elektromagnetische Feld jedoch falsch.[3]

Das Snelliussche Brechungsgesetz liefert die zugrunde liegende Winkelbeziehung; die Grenzwinkelrechnung setzt darin die tangentiale Brechungsrichtung ein. Behalte dieselbe Laufrichtung und dieselben lokalen Normalen bei, statt die Indizes nur für einen zulässigen Arkussinus zu vertauschen.[1][2]

Ein gerader Stufenindex-Lichtleiter kann im Strahlenmodell einen meridionalen Strahl führen, wenn sein Einfall auf die Kern-Mantel-Grenze oberhalb der Schwelle liegt. Sei β der Winkel im Kern zur Faserachse; dann ist der Seitenwand-Einfallswinkel $\theta_1=90^\circ-\beta$. Einfall an der ebenen Stirnfläche und Reflexion an der Seitenwand verwenden also verschiedene Normalen.[1]

$\frac{n_2}{n_1}$ ist dimensionslos; θc kann in Grad oder Radiant angegeben werden. Für eine Differenzialrechnung müssen Winkeländerungen in Radiant stehen. Wenn r=$\frac{n_2}{n_1}$ nahe eins liegt, wächst $\frac{d\theta_c}{dr}=\frac1{\sqrt{1-r^2}}$ stark. Eine kleine Änderung des Indexkontrasts kann dann eine beträchtliche Winkeldifferenz verursachen. Rundungsreserven sind daher bei schwachem Kontrast besonders wichtig.[1]

Indizes sind Frequenz- und Materialdaten. Temperatur, Wellenlänge, Mantelmaterial und eine feuchte Kontaktfläche können eine zuvor gültige Reserve verändern. Für Wasser-Modell 1,33 gegen Luft 1,00 liegt die Schwelle bei 48,7535°, nicht automatisch bei dem oft gerundeten 49°. Wenn das einfallende Spektrum breit ist, muss die Bedingung bei den relevanten Frequenzen geprüft werden.[1]

Die Leistungsreflexion beträgt im idealen ebenen, verlustfreien Zweimedienproblem oberhalb der Schwelle eins. Das sagt nicht, dass jeder reale Lichtleiter verlustfrei arbeitet. Absorption, Rauheit, gekrümmte Führungen, Streuung und endliche Manteldicke können Leistung entfernen oder auskoppeln. Auch die Reflexionsphase hängt von Winkel und Polarisation ab; wiederholte Totalreflexion kann die Polarisation verändern.[3]

Die Strahlenbeschreibung ist für Kernabmessungen groß gegenüber der Wellenlänge anschaulich. Für kleine Wellenleiter entscheidet die elektromagnetische Modenlösung über Führung und Ausbreitung. Ein Nachweis $n_1>n_2$ allein genügt nicht: Der konkrete Strahl muss die passende lokale Seitenwandneigung besitzen.[4]

Der Brewster-Winkel betrifft eine andere Bedingung: An einer passenden einzelnen transparenten Grenze verschwindet dort die p-Reflexion. Die Totalreflexionsschwelle trennt dagegen propagierende Transmission von ihrem Fehlen. Ein p-Reflexionsminimum darf deshalb nicht als Nachweis von Totalreflexion gelesen werden.[5][1]

Prüfe zuerst den Indexsprung und dann den lokalen Einfallswinkel. Oberhalb der Schwelle fehlt der propagierende Brechungsstrahl, nicht das gesamte Feld. Eine Winkelreserve gilt nur für die berücksichtigten Toleranzen. In einer Faser sind Achswinkel und Seitenwand-Lotwinkel verschieden. Bei Feldabklinglängen immer angeben, ob Amplitude oder Feldquadrat gemeint ist.[1][3]