Physik · Elektrostatik

Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung

Q: Wann kombiniere ich das Feld einer unendlichen Linienladung mit einer weiteren Beziehung?

Mit $\mathbf F=q_{\rm t}\mathbf E$ erhält man die Kraft auf eine hinreichend kleine Testladung, deren Einfluss auf die ursprüngliche Verteilung vernachlässigt wird. Mit dem radialen Feldintegral erhält man Potentialdifferenzen zwischen zwei positiven endlichen Radien. Dafür gehört das dimensionslose Radienverhältnis in den Logarithmus; ein Nullpotential im Unendlichen ist bei der unendlichen Linie nicht möglich. Soll die Qualität einer Drahtnäherung beurteilt werden, kombiniere das Gauß-Ergebnis mit der Coulomb-Integration des uniformen endlichen Stabes. Dabei müssen Ladungsverteilung und Beobachtungspunkt übereinstimmen. Eine zusätzliche Formel liefert keine Rechtfertigung, eine leitende reale Oberfläche ohne Prüfung als uniforme Linie anzusetzen.

Eine ideale unendliche Linienladung erzeugt ein radialsymmetrisches Feld, dessen Betrag mit 1/r abnimmt.

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Formel

Berechnen

E (r) = \frac{∣ λ ∣}{2 π ε _{0} r}

E in V/m; λ in C/m; ε0 in F/m; r in m.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$E$	Betrag der elektrischen Feldstärke	V/m
$λ$	Ladung pro Länge	C/m
$ε0$	elektrische Feldkonstante	F/m
$r$	senkrechter Abstand zur Linie	m

LaTeX

E(r)=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0 r}

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Positive Linie im Querschnitt mit radialen Pfeilen nach außen und markiertem Radius r₀. Darunter fällt der normierte Graph zwischen den Abstandsverhältnissen eins und vier von eins auf ein Viertel. Punkte bei eins und zwei zeigen die Halbierung. — Eigener Querschnitt für λ>0: Die Linie steht senkrecht zur Ebene. Bei r₀=0,10 m und λ=20 nC/m beträgt E₀≈3595 V/m, bei 2r₀ nur E₀/2. Der Graph zeigt E/E₀=1/(r/r₀); kein Feldwert auf der singulären Achse.

Feld einer Linienladung berechnen

Feldstärke, Linienladung oder Potentialdifferenz um eine sehr lange, gleichmäßig geladene Linie im Vakuum ausrechnen, etwa einen dünnen geladenen Draht.

Rechenmodell

Gesucht

Linienladungsdichte λ

Ladung pro Meter Länge; das Vorzeichen zählt hier nicht, z. B. 10 nC/m.

Abstand zur Linie r

Senkrechter Abstand von der Linie zum Messpunkt, größer als null, z. B. 10 cm.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach |E|, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach |E| umstellen
$|E|=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0r}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- λ = 10 nC/m = 1 · 10⁻⁸ C/m
- r = 10 cm = 0,1 m
$\frac{1\times10^{-8}}{2\cdot 3{,}14159\cdot 8{,}85419\times10^{-12}\cdot 0{,}1}=1797{,}51$
3. Ergebnis
|E| = 1798 V/m

ε₀≈8,8541878188·10⁻¹² F/m: gerundeter gemessener CODATA-2022-Wert, keine exakte SI-Definition.

Ergebnis: Elektrische Feldstärke |E|

|E| = 1798 V/m

Mit λ = 10 nC/m und r = 10 cm ergibt sich |E| = 1798 V/m.

So rechnest du schneller

Je-desto: doppelter Abstand, halbe Feldstärke. Das Feld der Linie fällt mit 1/r, also langsamer als das einer Punktladung mit 1/r².
Überschlag: 1/(2πε₀) ≈ 1,8 · 10¹⁰ V·m/C. 10 nC/m im Abstand 0,1 m geben also rund 1,8 · 10¹⁰ · 10⁻⁸ : 0,1 ≈ 1800 V/m.

Annahmen und Grenzen

Uniforme unendliche elektrostatische Linie im Vakuum mit r>0. λ ist signierte Ladung pro Länge; Er ist zur Achse nach außen positiv, Feldbetrag nichtnegativ. Nicht Drahtinneres, endlicher Stab oder geänderte Material-/Leiterrandbedingungen. Der Betrag der Ladungsdichte wird aus |E| allein bestimmt; das Vorzeichen bleibt unbekannt.

Herleitung & Hintergrund

Elektrostatisches Vakuummodell einer unendlich langen uniformen Linie bei r>0. Negative λ kehrt die radiale Richtung um. Für reale dünne lange Stäbe nur fern von den Enden näherungsweise; endliche uniforme Stäbe besitzen eine quantifizierbare Mittelebenen-Korrektur. Nicht im Inneren eines leitenden Drahtes oder bei gestörten Randbedingungen fortschreiben.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Die Flusserhaltung über einen koaxialen Zylindermantel erklärt den inversen Abstand; Symmetrie verbindet Fluss und lokales Feld.

1Die Linie auf die z-Achse legen; λ sei konstante signierte Ladung pro Länge, r>0 der senkrechte Abstand.
2Rotations- und Verschiebungssymmetrie erzwingen ein rein radiales Feld mit gleicher radialer Komponente auf einem koaxialen Mantel.
3Wähle einen geschlossenen koaxialen Zylinder mit Radius r und Länge ℓ. Das Radialfeld liegt tangential in seinen Deckeln: Die Deckelflüsse sind null, das Feld dort nicht allgemein.
4Der Mantelfluss ist $2\pi r\ell E_r$ , die eingeschlossene Ladung $\lambda\ell$ .
5Gauß’ Gesetz gibt $2\pi r\ell E_r=\frac{\lambda\ell}{\varepsilon_0}$ ; ℓ kürzt sich heraus.
6Daraus folgt $E_r=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ . Der Betrag verwendet |λ|; das Vorzeichen bestimmt innen oder außen.

Umstellen

Linienladungsdichte

|\lambda|=2\pi\varepsilon_0rE

E ist der nichtnegative Feldbetrag. Die Umstellung liefert nur |λ|; für das Ladungsvorzeichen wird die radiale Richtung benötigt. Ideale uniforme unendliche Linie im Vakuum.

Aufgabenvariante

Eine ideale unendliche uniforme Linie im Vakuum hat $\lambda=+2.0\,\mathrm{\mu C\,m^{-1}}$ . Bestimme Betrag und Richtung des Feldes bei $r=1.0\,\mathrm{cm}$ senkrechtem Achsenabstand.

Ansatz: $E=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0r}$ .
Mit $r=0.010\,\mathrm m$ folgt $E\approx3.5950\cdot10^6\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ .
Positive λ liefert radial nach außen.
Das gilt im uniformen unendlichen Vakuummodell; bei doppeltem Abstand halbiert sich der Betrag.

Typische Fehler

Für eine ideale unendliche Linienladung das Potential im Unendlichen gleich null setzen.

Wähle einen endlichen Referenzradius. Prüfe bei endlichen Quellen zusätzlich das Verhältnis von Abstand zu halber Länge.

Klausurkontext

Radiale Feldrichtung, Potentialdifferenz und endliche Linienlänge: Vorzeichen und Näherungsfehler getrennt prüfen.

Formelcluster

Elektrostatik

Der Gauß-Satz liefert bei Zylindersymmetrie das Linienfeld; der Vergleich mit Coulomb macht den Unterschied zu Punktquellen klar.

∮ E·dA = Q_innen / ε₀

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

F = ke·|q₁q₂|/r²

Coulombsches Gesetz

E⃗ = F⃗el/q; Ehom = |U|/d

Elektrische Feldstärke

Rechenbeispiel

Für $\lambda=2.0\,\mathrm{\mu C\,m^{-1}}$ und $r=1.0\,\mathrm{cm}$ ergibt $E=\frac{2.0\cdot10^{-6}}{2\pi(8.8541878188\cdot10^{-12})(0.010)}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\approx3.60\cdot10^6\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ , radial nach außen.

Anwendungsgebiete

Gauß’ Gesetz, äußere Felder langer zylindrischer Ladungsverteilungen, endliche Potentialdifferenzen und begründete Näherungskontrollen verknüpfen.

Rechenbeispiel: Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung (E = |λ|/(2πε₀r)).

1
Aufgabe
Eine ideale unendliche uniforme Linie im Vakuum hat $\lambda=+2.0\,\mathrm{\mu C\,m^{-1}}$ . Bestimme Betrag und Richtung des Feldes bei $r=1.0\,\mathrm{cm}$ senkrechtem Achsenabstand.
Rechenweg
1. Ansatz: $E=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0r}$ .
2. Mit $r=0.010\,\mathrm m$ folgt $E\approx3.5950\cdot10^6\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ .
3. Positive λ liefert radial nach außen.
4. Das gilt im uniformen unendlichen Vakuummodell; bei doppeltem Abstand halbiert sich der Betrag.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Linienladung unterscheidet sich von einer Punktladung durch ihre ausgedehnte Geometrie. Das Feld einer gleichmäßig geladenen unendlichen Linie fällt nur invers mit dem Abstand. Die Symmetrie erklärt dieses Verhalten; ein endlicher Stab zeigt, wann die Näherung versagt.

Warum eine lange Linie anders wirkt als ein Punkt

Für eine Punktladung wächst die zugehörige Kugelfläche mit dem Abstandsquadrat. Bei einer gleichmäßig geladenen unendlichen Linie verteilt sich der Fluss dagegen über einen Zylindermantel, dessen Fläche bei gleicher Länge nur proportional zum Radius wächst. Deshalb fällt der Feldbetrag hier mit dem einfachen Abstand. Die unendliche Linie ist ein Modell für den mittleren Bereich einer genügend langen, dünnen Ladungsverteilung, kein realer Körper mit endlicher Gesamtladung.[1][2]

Vorwissen: Die Linienladungsdichte λ ist Ladung pro Länge. Ihr Vorzeichen bezeichnet positive oder negative Ladung.
r ist der senkrechte Abstand zur Linie. Die Radialrichtung zeigt vom nächstgelegenen Punkt der Linie zum Beobachter.
Im idealen Vakuummodell gibt es keine zusätzlichen Leiter oder Materialgrenzen, die die Zylindersymmetrie stören.

[1][2]

Wie unterscheiden sich Feldbetrag und signierte radiale Komponente einer Linienladung?

Die Linie liege auf der z-Achse. Ihre konstante vorzeichenbehaftete Ladungsdichte ist $\lambda$ ; sie beschreibt Ladung pro Länge, nicht die Gesamtladung der unendlichen Linie. Der Abstand $r>0$ wird senkrecht zur Achse gemessen. Der Einheitsvektor $\hat{\mathbf r}$ zeigt von der Achse nach außen. Feldbetrag und radiale Komponente sind unterschiedliche Größen: Eine negative Linienladung hat einen positiven Feldbetrag, aber eine negative radiale Komponente.[1]

\begin{aligned}\mathbf E(r)&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\hat{\mathbf r}\\E_r(r)&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\\|\mathbf E(r)|&=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0r}\end{aligned}

Im Vakuum für eine uniforme unendliche Linie; r=0 liegt außerhalb der Definition.[1]

Verschiebt man den Beobachtungspunkt entlang der Linie oder dreht ihn um die Linie, ändert sich die Ladungsverteilung nicht. Deshalb kann das Feld weder von der axialen Position noch vom Azimut abhängen. Spiegelung an einer Ebene senkrecht zur Linie schließt eine axiale Feldkomponente aus. Diese Symmetrieargumente sind die Voraussetzung dafür, dass aus einem Flussgesetz eine lokale Feldstärke wird.[1]

Warum im Nenner ein Abstand steht

Wähle einen Zylinder um die Linie. Auf seinem Mantel ist das Feld überall normal zur Fläche und hat dieselbe radiale Komponente. Auf den Deckeln verläuft das Feld dagegen innerhalb ihrer Ebenen. Dort ist also die Normalkomponente null: Nicht das Feld selbst verschwindet, sondern nur sein Deckelfluss. Die frei gewählte Zylinderlänge kürzt sich heraus, weil sowohl eingeschlossene Ladung als auch Mantelfläche proportional zu ihr sind.[1]

Wähle einen geschlossenen gedachten Zylinder mit gleicher Achse, Radius r und beliebiger positiver Länge ℓ. Das ist eine Integrationsfläche, kein zusätzlicher leitender Körper. Auf dem Mantel ist die radiale Komponente überall gleich; auf beiden Deckeln liegt das Feld tangential zur Fläche. Ihre Flüsse verschwinden einzeln. Für negative Ladung ist der Mantelfluss negativ, obwohl der Betrag des Feldes positiv bleibt.[1]

\begin{aligned}\oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A&=E_r(2\pi r\ell)\\Q_{\rm enc}&=\lambda\ell\\E_r(2\pi r\ell)&=\frac{\lambda\ell}{\varepsilon_0}\\E_r&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\end{aligned}

Gaußsches Gesetz plus Symmetrie; die beliebige Zylinderlänge kürzt sich heraus.[1]

Bei einer Punktladung verteilt sich der Fluss auf eine Kugelfläche, deren Fläche quadratisch mit dem Radius wächst. Beim gewählten Zylinder wächst der Mantel für feste Länge nur linear mit dem Radius. Entsprechend sinkt das Linienfeld invers mit r. Gauß’ Gesetz bleibt auch für einen endlichen Stab gültig; ohne die gleiche Symmetrie darf man jedoch die Feldstärke nicht als Konstante aus dem Mantelintegral ziehen. Das Gaußsche Gesetz der Elektrostatik liefert also den Fluss; erst die passende Symmetrie macht daraus hier die lokale Feldkomponente.[1]

Einheiten und sinnvolle Umstellungen

\begin{aligned}\left[\lambda\right]&=\mathrm{C\,m^{-1}}\\\left[\varepsilon_0\right]&=\mathrm{F\,m^{-1}}\\\left[\frac{\lambda}{\varepsilon_0r}\right]&=\mathrm{V\,m^{-1}}\\|\lambda|&=2\pi\varepsilon_0r|\mathbf E|\\r&=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0|\mathbf E|}\end{aligned}

Die letzte Umstellung setzt einen positiven Feldbetrag voraus.[1][3]

Für die Rechnungen verwenden wir ε₀≈8,8541878188·10⁻¹² Farad pro Meter. Zentimeter müssen zuerst in Meter, Nanocoulomb in Coulomb umgerechnet werden. Ein Verdopplungstest kontrolliert die Struktur: doppelte Ladungsdichte liefert doppelten Feldbetrag; doppelter Abstand halbiert ihn. Eine Ladungsvorzeichenumkehr kehrt nur die Richtung um. Aus einem Betrag kann man das Ladungsvorzeichen daher nicht zurückgewinnen.[3]

Beispiel: negative Linie und Potentialdifferenz

Eine Messposition nach außen verschieben

Gegeben: Ideale Linie im Vakuum; $\lambda=-30\,\mathrm{nC\,m^{-1}}$ , $r_1=6\,\mathrm{cm}$ , $r_2=12\,\mathrm{cm}$ .
Gesucht: Radiale Feldkomponente bei r₁ und Potentialänderung von r₁ nach r₂.

Ansatz: Das Vorzeichen bleibt in der Feldkomponente. Für das Potential integrieren wir das negative Feld entlang des radialen Wegs.
$\begin{aligned}E_r(r_1)&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r_1}\\V(r_2)-V(r_1)&=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_2}{r_1}\end{aligned}$
Einsetzen: Die Radien sind 0,06 m und 0,12 m; das Verhältnis im Logarithmus ist dimensionslos.
$\begin{aligned}E_r(r_1)&=\frac{-30\cdot10^{-9}}{2\pi(8.8541878188\cdot10^{-12})(0.06)}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\&\approx-8987.55\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\\Delta V&=\frac{30\cdot10^{-9}}{2\pi(8.8541878188\cdot10^{-12})}\ln2\,\mathrm V\\&\approx373.78\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: Der Feldbetrag beträgt etwa 8,99 kV pro Meter und zeigt zur Linie. Weiter außen liegt das Potential um etwa 374 V höher.

Kontrolle: Kontrolle: Am doppelten Abstand beträgt die radiale Komponente −4493,78 V pro Meter. Der positive Potentialanstieg nach außen passt zum nach innen gerichteten Feld; Betrag und Potentialänderung sind verschiedene Größen.

Ein endlicher Stab liefert eine Fehlerabschätzung

Betrachte einen vorgeschrieben gleichmäßig geladenen dünnen Stab von z=−a bis z=+a. Nur in seiner Mittelebene heben sich axiale Beiträge paarweise auf. Ein reales leitendes endliches Objekt trägt im Allgemeinen keine vorgegebene uniforme Linienladung; seine Ladungsverteilung muss separat bestimmt werden. Im folgenden Modell integrieren wir die radialen Coulomb-Komponenten. a bezeichnet die halbe Stablänge, nicht die ganze Länge.[2]

\begin{aligned}E_{r,\rm finite}&=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^{a}\frac{r\,\mathrm dz}{(r^2+z^2)^{\frac32}}\\&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\frac{a}{\sqrt{a^2+r^2}}\\\frac{|E_{\infty}|}{|E_{\rm finite}|}-1&=\sqrt{1+\left(\frac ra\right)^2}-1\end{aligned}

Letzte Zeile: relative Überschätzung durch das unendliche Modell, bezogen auf das endliche Feld; λ≠0.[2]

Für r viel kleiner als a nähert sich der Korrekturfaktor eins. Weit außerhalb eines endlichen Stabes ergibt sich dagegen wieder das Punktladungsfeld der Gesamtladung $Q=2a\lambda$ . Diese beiden Grenzfälle kontrollieren die Integralformel. Außerhalb der Mittelebene reicht die angegebene skalare Korrektur nicht; dort muss zusätzlich die axiale Feldkomponente berücksichtigt werden.[2]

Bild ansehen: Wie stark verkürzt eine endliche Linie das Feld?

Wie stark verkürzt eine endliche Linie das Feld?

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Für den uniform geladenen Stab von −a bis +a ist der Korrekturfaktor nur vom Verhältnis r/a abhängig. Bei

\frac ra=0{,}4

, wie im endlichen Beispiel, beträgt er etwa 0,9285. Der Punkt bei

\frac ra=0

zeigt ausschließlich den Grenzwert des Verhältnisses; das ideale Linienfeld selbst ist auf der Linie nicht definiert.[2][1]

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Beispiel: reicht ein Meter Stablänge?

Näherung am Stabmittelpunkt bewerten

Gegeben: Uniformer Stab im Vakuum: Gesamtlänge $2a=1.00\,\mathrm m$ , $\lambda=20\,\mathrm{nC\,m^{-1}}$ ; Punkt in der Mittelebene bei $r=0.20\,\mathrm m$ .
Gesucht: Endliches Feld, unendliche Näherung und relative Überschätzung.

Ansatz: Zuerst das unendliche Feld, dann den geometrischen Korrekturfaktor bestimmen. Die Fehlerangabe wird auf das endliche Ergebnis bezogen.
$\begin{aligned}E_\infty&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\\E_{\rm finite}&=E_\infty\frac a{\sqrt{a^2+r^2}}\\\delta&=\frac{E_\infty-E_{\rm finite}}{E_{\rm finite}}\end{aligned}$
Einsetzen: Die halbe Länge ist 0,50 m.
$\begin{aligned}E_\infty&\approx1797.51\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\\frac a{\sqrt{a^2+r^2}}&=\frac{0.50}{\sqrt{0.50^2+0.20^2}}\approx0.928477\\E_{\rm finite}&\approx1668.95\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\\delta&=\frac{1797.51-1668.95}{1668.95}\approx0.07703\end{aligned}$

Ergebnis: Das endliche Feld beträgt etwa 1,669 kV pro Meter. Die unendliche Näherung überschätzt es um 7,70 Prozent.

Kontrolle: Kontrolle: Bezogen auf das unendliche Feld ist der Unterschied dagegen 7,15 Prozent. Beide Zahlen sind konsistent, weil ihre Bezugsgrößen verschieden sind. Der Korrekturfaktor liegt zwischen null und eins.

Zwei entgegengesetzt geladene Linien

Gegeben: Zwei unendliche uniforme Linien sind parallel zu z und liegen bei x=−5,00 cm und x=+5,00 cm. Links gilt λ=+20,0 nC/m, rechts λ=−20,0 nC/m. Beobachtung im Ursprung, Vakuum.
Gesucht: Bestimme den Gesamtfeldvektor in der Mitte.

Ansatz: Von der positiven linken Linie zeigt das Feld nach rechts; zur negativen rechten Linie ebenfalls. Beide Komponenten addieren sich.
$\begin{aligned}E_{x,L}&=+\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0a}\\E_{x,R}&=+\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0a}\\E_{x,\mathrm{net}}&=2E_{x,L}\end{aligned}$
Einsetzen mit $a=0{,}0500\,\mathrm m$ .
$\begin{aligned}E_{x,L}&=\frac{20.0\cdot10^{-9}}{2\pi(8.8541878188\cdot10^{-12})(0.0500)}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\&\approx7190.04\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\E_{x,\mathrm{net}}&\approx14380.1\,\mathrm{V\,m^{-1}}\end{aligned}$

Ergebnis: Das Gesamtfeld beträgt etwa 14,38 kV/m nach +x, vom positiven zum negativen Leiterort. Die Quellen sind hier vorgeschriebene Linienladungen, keine sich neu verteilenden Leiterladungen.

Kontrolle: Wäre auch die rechte Linie positiv, kehrte nur ihr Feldbeitrag um; in der Mitte wäre das Gesamtfeld null. Eine negative Probe erfährt im hier berechneten Feld eine Kraft nach −x.

Vertiefung anzeigen: Logarithmischer Potentialunterschied

V(r)-V(r_0)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac r{r_0}

r und r₀ müssen positiv sein; nur das Verhältnis gehört in den Logarithmus.[2]

Das Linienfeld fällt zu langsam ab, um das Potential einer unendlichen Linie durch V im Unendlichen gleich null festzulegen. Der Logarithmus divergiert für unbegrenzt wachsenden Abstand. Ein endlicher Referenzradius behebt keine physikalische Singularität, sondern legt lediglich die frei wählbare Potentialkonstante fest. Eine Testladung erfährt die Kraft $q_{\mathrm t}\mathbf E$ ; ihre Änderung der potentiellen Energie ist $q_{\mathrm t}\Delta V$ . Diese zusätzliche Testladung soll die ursprüngliche Ladungsverteilung nicht wesentlich beeinflussen.[2]

Was Drahtdurchmesser und Umgebung verändern

Die ideale Linie hat keinen Radius. Ein langer leitender Zylinder liefert außen bei gleicher Ladung pro Länge die gleiche radiale Feldform, ist im elektrostatischen Gleichgewicht innen jedoch feldfrei. Ein gleichmäßig volumen-geladener Isolator zeigt innen einen anderen Verlauf. Deshalb darf die Linienformel nicht bis zur Achse eines wirklichen Drahtes fortgeschrieben werden. Andere Leiter, geerdete Flächen und räumlich wechselnde Dielektrika ändern die Randbedingungen und können die radiale Symmetrie zerstören.[1]

Bei einer Messung sind Geometriefehler häufig größer als die Unsicherheit der Naturkonstanten. Dokumentiere den Abstand zur Achse, die Position relativ zu den Stabenden und die Umgebung. Eine gute Übereinstimmung zweier Zahlen beweist die ideale Symmetrie nicht. Für ein endliches Objekt ist eine vollständige Coulomb-Integration oder eine Lösung des Randwertproblems oft die passendere Kontrolle. Das Coulombsche Gesetz erlaubt diese Quellenintegration, ohne aus einem Fluss allein eine räumlich konstante Feldstärke zu folgern.[2]

Fünf Aufgaben mit unterschiedlichen Denkwegen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine ideale Linie hat $\lambda=20\,\mathrm{nC\,m^{-1}}$ . Bestimme das Feld bei $r=10\,\mathrm{cm}$ .

Hinweis anzeigen

Abstand in Meter umrechnen; das positive Vorzeichen bestimmt die Richtung.

Lernziel: Feldbetrag und Richtung gemeinsam bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Ideale uniforme unendliche Linie im Vakuum; λ trägt das Vorzeichen.
$E_r=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ Ansatz ist das radiale Gauß-Ergebnis.
Einsetzen liefert 3595,02 V pro Meter, radial nach außen.
Am doppelten Abstand wäre der Betrag halb so groß; die Einheit ist Volt pro Meter.

E_r=\frac{20\cdot10^{-9}}{2\pi(8.8541878188\cdot10^{-12})(0.10)}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\approx3595.02\,\mathrm{V\,m^{-1}}

[1]

Umstellen · Anwenden

Bei $r=4.0\,\mathrm{cm}$ misst man $|\mathbf E|=1000\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ . Welche Linienladungsdichte ist damit vereinbar?

Hinweis anzeigen

Nach dem Betrag der Ladungsdichte umstellen; die Richtung ist nicht gegeben.

Lernziel: Eine Betragsmessung von einer Vorzeichenmessung unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Der gemessene Betrag enthält kein Richtungsvorzeichen.
$|\lambda|=2\pi\varepsilon_0r|\mathbf E|$ Ansatz: den positiven Feldbetrag mit der Mantelgeometrie multiplizieren.
Es folgt $|\lambda|=2{,}2253\,\mathrm{nC}$ pro Meter.
Ohne Richtungsmessung sind λ=+2,2253 und λ=−2,2253 nC pro Meter beide möglich.
Zurückeinsetzen ergibt in beiden Fällen denselben Betrag.

|\lambda|=2\pi\varepsilon_0r|\mathbf E|\approx2.2253\cdot10^{-9}\,\mathrm{C\,m^{-1}}

[1]

Interpretieren · Einstieg

Ein geschlossener Gauß-Zylinder umschließt eine negative uniforme Linie. Sind die Deckelflüsse positiv, negativ oder null, und welches Vorzeichen hat der Mantelfluss?

Hinweis anzeigen

Die Flächennormalen zeigen nach außen; das Feld ist radial nach innen.

Lernziel: Flussvorzeichen und lokale Feldrichtung lesen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Radialfeld und Deckelnormale sind senkrecht; auf dem Mantel entscheidet die radiale Komponente.
$\Phi=\int\mathbf E\cdot\hat{\mathbf n}\,\mathrm dA$ Auf beiden Deckeln stehen Feld und Normale senkrecht aufeinander, daher sind ihre Flüsse null.
Auf dem Mantel zeigt das Feld entgegen der äußeren Normalen, also ist der Fluss negativ.
Der Feldbetrag bleibt positiv; die negative Komponente trägt das Vorzeichen in Gauß’ Gesetz.

\Phi_{\rm caps}=0,\qquad\Phi_{\rm side}=2\pi r\ell E_r=\frac{\lambda\ell}{\varepsilon_0}<0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine Lösung integriert das unendliche Linienfeld bis ins Unendliche und setzt dort V=0. Danach wird ein endlicher Absolutwert behauptet. Wo liegt der Fehler?

Hinweis anzeigen

Betrachte das Integral einer inversen Abstandsfunktion.

Lernziel: Eine falsche Potentialreferenz erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Der Ansatz für Potentialdifferenzen ist richtig, aber das Integral zum unendlichen Referenzpunkt divergiert für λ≠0.
Deshalb ist diese Referenz nicht zulässig.
Wähle stattdessen einen positiven endlichen Radius r₀.
Der Logarithmus des Radienverhältnisses ist endlich und dimensionslos; messbare Unterschiede sind unabhängig von der additiven Potentialkonstante.

\Delta V=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac r{r_0}

[2]

Transfer · Vertiefen

Ein uniformer Stab wird in seiner Mittelebene bei $r=0.10\,\mathrm m$ untersucht. Wie groß muss seine halbe Länge a mindestens sein, damit das unendliche Modell um höchstens 1 % des endlichen Feldes zu hoch liegt?

Hinweis anzeigen

Nutze den relativen Fehler mit dem endlichen Feld als Bezugsgröße.

Lernziel: Eine quantitative Näherungsgrenze aus dem endlichen Modell ableiten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\sqrt{1+\left(\frac ra\right)^2}-1\le0.01$ .
Nach Quadrieren der positiven Seiten folgt a≥0,70535 m, also Gesamtlänge mindestens etwa 1,411 m.
Die Ladungsdichte kürzt sich für λ≠0 heraus.
Die Grenze gilt nur in der Mittelebene einer uniformen Linie und enthält keinen Einfluss weiterer Körper.

\begin{aligned}\frac ra&\le\sqrt{1.01^2-1}\\a&\ge\frac{0.10\,\mathrm m}{\sqrt{1.01^2-1}}\approx0.70535\,\mathrm m\end{aligned}

[2]

Das solltest du mitnehmen

Zylindersymmetrie liefert ein radiales Feld. Sein Betrag enthält |λ|; die signierte radiale Komponente enthält λ.
Die Deckelflüsse verschwinden wegen der tangentialen Feldrichtung, nicht weil das Feld auf den Deckeln null wäre.
Bei einer realen endlichen Linie kontrolliere Endabstände und den Nenner deiner relativen Fehlerangabe.

[1][2]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Radiale Vorzeichen, Gauß-Zylinder, endliche Stabkorrektur und Potentialbezug mit zwei kontrollierten Beispielen und fünf Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/elektrisches-feld-unendliche-linienladung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung

Was beschreibt das elektrische Feld einer unendlichen Linienladung physikalisch?+

Die Formel beschreibt das radiale elektrische Feld einer gleichmäßig geladenen unendlichen Linie im Vakuum. Der Abstand wird senkrecht zur Linie gemessen, die Ladungsdichte bezeichnet Ladung pro Länge. Ihr Vorzeichen bestimmt die Richtung: positive Ladung nach außen, negative nach innen. Der Betrag nimmt invers mit dem Abstand ab, weil der Fluss bei festgelegter Zylinderlänge über einen linear wachsenden Mantel verteilt wird. Ein doppelter Abstand halbiert deshalb den Betrag. Die signierte Komponente $E_r=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ darf nicht mit dem stets nichtnegativen Feldbetrag verwechselt werden. Die unendliche Gesamtlänge ist eine Modellannahme, keine Messgröße eines realen Drahtes.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum elektrischen Feld einer unendlichen Linienladung?+

Lege zunächst fest, ob Betrag oder radiale Komponente gesucht ist. Für die vorhandenen Eingaben $\lambda=2.0\,\mathrm{\mu C\,m^{-1}}$ und $r=1.0\,\mathrm{cm}$ setzt man den Radius als 0,010 Meter und die Ladungsdichte als zwei Millionstel Coulomb pro Meter ein. Das ergibt etwa 3,60 Millionen Volt pro Meter nach außen. Kontrolliere die inverse Abstandsabhängigkeit: Bei zwei Zentimetern folgt die Hälfte. Eine negative Ladungsdichte gleicher Größe hätte denselben Betrag, aber die umgekehrte Richtung. Abschließend muss die Geometrie geprüft werden; bei einem kurzen Stab oder nahe einem Ende ist ein richtig eingesetzter Zahlenwert keine genaue Beschreibung des realen Feldes.

Welche Annahmen und Grenzen hat das Feld einer unendlichen Linienladung?+

Die ideale Linie ist unendlich lang, gleichmäßig geladen und wird im elektrostatischen Vakuummodell betrachtet. Der Beobachtungspunkt muss außerhalb der Linie liegen. Für einen uniformen endlichen Stab ist die Näherung besonders in der Mittelebene bei kleinem Abstand gegenüber der halben Stablänge brauchbar. Der Korrekturfaktor a geteilt durch die Wurzel aus a²+r² erlaubt dort eine quantitative Prüfung. Außerhalb der Mittelebene treten zusätzliche axiale Komponenten auf. Reale leitende Stäbe müssen außerdem keine uniforme Ladungsdichte haben. Drahtdurchmesser, andere Leiter und Dielektrika verändern die Modellbedingungen; insbesondere beschreibt die Linienformel nicht das feldfreie Innere eines leitenden Körpers im elektrostatischen Gleichgewicht.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Feld einer unendlichen Linienladung?+

Die Ladungsdichte hat die Einheit Coulomb pro Meter, ε₀ Farad pro Meter und r Meter. Daraus folgt Volt pro Meter für das Feld. Verwechsele Nanocoulomb nicht mit Mikrocoulomb: Dieser Unterschied verändert das Ergebnis um den Faktor tausend. Auch ein Radius in Zentimetern muss vor dem Einsetzen umgerechnet werden. Die Dimension allein entdeckt kein falsches Ladungsvorzeichen; dazu benötigt man die radial festgelegte Richtung. Ein zusätzlicher Trendtest vergleicht zwei Radien bei gleicher Dichte. Für das endliche Modell prüft man außerdem, dass $\frac a{\sqrt{a^2+r^2}}$ zwischen null und eins liegt und die unendliche Näherung den Betrag daher überschätzt.

Wann kombiniere ich das Feld einer unendlichen Linienladung mit einer weiteren Beziehung?+

Mit $\mathbf F=q_{\rm t}\mathbf E$ erhält man die Kraft auf eine hinreichend kleine Testladung, deren Einfluss auf die ursprüngliche Verteilung vernachlässigt wird. Mit dem radialen Feldintegral erhält man Potentialdifferenzen zwischen zwei positiven endlichen Radien. Dafür gehört das dimensionslose Radienverhältnis in den Logarithmus; ein Nullpotential im Unendlichen ist bei der unendlichen Linie nicht möglich. Soll die Qualität einer Drahtnäherung beurteilt werden, kombiniere das Gauß-Ergebnis mit der Coulomb-Integration des uniformen endlichen Stabes. Dabei müssen Ladungsverteilung und Beobachtungspunkt übereinstimmen. Eine zusätzliche Formel liefert keine Rechtfertigung, eine leitende reale Oberfläche ohne Prüfung als uniforme Linie anzusetzen.

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Welche Formel beschreibt Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung?

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Wie stellst du E = |λ|/(2πε₀r) nach Linienladungsdichte um?

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Welcher typische Fehler passiert bei E = |λ|/(2πε₀r)?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §6.3: Applying Gauss’s Law

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

P = U \cdot I

Elektrische Leistung

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

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FSRS vs. SM-2

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