Physik · Schwingungen

Freie gedämpfte harmonische Schwingung

Q: Was beschreibt β?

$\beta=\frac b{2m}$ beschreibt die exponentielle Abklingrate der Hüllkurve eines linear-viskos gedämpften freien Schwingers. β hat die Einheit s⁻¹, während der Widerstandskoeffizient b die Einheit kg/s besitzt. Nach der Zeit 1/β beträgt die Hüllkurve noch den Anteil 1/e ihres Anfangswerts; nach ln 2/β ist sie halbiert. β allein sagt nicht, ob eine Schwingung auftritt: Dafür muss β mit $\omega_0=\sqrt{\frac km}$ verglichen werden. Bei $\beta<\omega_0$ besteht Unterdämpfung. Aus dem Verhältnis gleichartiger Spitzen im Abstand Td erhält man β = ln(|x₁/x₂|)/Td; Sensoroffset und Spitzenzuordnung müssen dabei stimmen.

Q: Warum ist ω_d kleiner als die ungedämpfte Frequenz?

Für den freien linear gedämpften Schwinger entstehen aus $r^2+2\beta r+\omega_0^2=0$ die komplexen Wurzeln $-\beta\pm i\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$. Ihr Imaginärteil ist ωd. Bei positiver Unterdämpfung ist daher $\omega_d<\omega_0$; im Grenzfall $\beta\to0$ stimmen beide überein. Bei $\omega_0=5\,\mathrm{rad/s}$ und $\beta=1\,\mathrm{s^{-1}}$ gilt $\omega_d=\sqrt{24}\,\mathrm{rad/s}\approx4{,}899\,\mathrm{rad/s}$. Die Abnahme ist bei schwacher Dämpfung klein, bei Annäherung an die kritische Grenze nicht mehr. Die Frequenz eines stationär angetriebenen Systems ist dagegen die Antriebsfrequenz Ω; eine Resonanzfrequenz der Auslenkung darf ebenfalls nicht automatisch mit ωd gleichgesetzt werden. Entscheidend ist deshalb, ob du eine freie Abklingkurve, eine stationäre erzwungene Bewegung oder die höchste Antwortamplitude einer Frequenzmessung auswertest.

Q: Wann schwingt das System noch?

Ein freier linear-viskoser Schwinger besitzt einen oszillierenden Anteil, wenn $\beta 0$; $\beta=0$ ist der ungedämpfte Grenzfall. Bei $\beta=\omega_0$ lautet die kritische Lösung $(C+Dt)e^{-\omega_0t}$. Bei größerem β besteht sie aus zwei reellen abklingenden Exponentialanteilen. Diese Fälle haben keine wiederholte freie Schwingungsperiode. Ein einzelner Nulldurchgang kann durch passende Anfangsgeschwindigkeit trotzdem auftreten. Bei $m=0{,}80\,\mathrm{kg}$ und $k=20\,\mathrm{N/m}$ ist $b_{\mathrm{crit}}=2\sqrt{mk}=8{,}00\,\mathrm{kg/s}$. Ein periodischer äußerer Antrieb kann auch außerhalb der Unterdämpfung eine stationäre periodische Antwort erzeugen. Prüfe daher vor einer Periodenberechnung die freie Bewegungsgleichung und die Dämpfungsgrenze; eine Antriebsperiode allein belegt keine unterkritische Eigenschwingung.

Q: Wie finde ich die Zeit bis die Amplitude halbiert ist?

Setze für die exponentielle Hüllkurve $A(t)=A_0e^{-\beta t}$ den Quotienten A(t)/A₀ = 1/2. Logarithmieren liefert t = ln 2/β, sofern $\beta>0$ ist und das lineare Abklingmodell gilt. Bei $\beta=0{,}40\,\mathrm{s^{-1}}$ sind das ungefähr 1,733 s; Rückeinsetzen ergibt e⁻⁰·⁶⁹³¹⁴⁷ = 1/2. Gemeint ist die Hüllkurve, nicht die momentane Auslenkung x(t), die schon früher durch null gehen kann. Gleichartige Spitzen folgen demselben exponentiellen Verhältnis. Bei wechselnder Dämpfung, trockener Reibung oder dauerhaftem Antrieb gilt diese Halbierungsrechnung nicht ungeprüft. Für Energie ist die genaue momentane Abnahme ebenfalls nicht allgemein dieselbe einfache Exponentialform.

Die freie unterkritische Bewegung eines linear-viskos gedämpften Schwingers besitzt eine exponentielle Hüllkurve und die gedämpfte Eigenkreisfrequenz $\omega_d=\sqrt{\frac km-\beta^2}$ .

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Formel

Berechnen

x (t) = A_{0} e^{- βt} cos (ω_{d} t + φ)

x und A₀ in m · β in s⁻¹ · ωd in rad/s · t in s · φ in rad (dimensionslos) · b in kg/s · k in N/m

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$x(t)$	Auslenkung zum Zeitpunkt t	m
$A₀$	Anfangsamplitude der Hüllkurve	m
$β$	Dämpfungsrate b/(2m)	s⁻¹
$ω_{\mathrm{d}}$	gedämpfte Kreisfrequenz	rad/s
$φ$	Phasenwinkel	rad

LaTeX

x(t)=A_0 e^{-\beta t}\cos(\omega_d t+\varphi)

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Gedämpfte Kosinuskurve zwischen zwei exponentiellen Hüllkurven. A₀ bezeichnet das anfängliche Hüllkurvenmaß; die Auslenkung und ihre tatsächlichen Extrema werden von der Phase beeinflusst. — Unterkritisch gedämpftes lineares Modell mit gewählter Phase null. Die Hülle ±A₀e⁻ᵝᵗ fällt exponentiell; die gezeichnete Bewegung startet nicht aus Ruhe. Die momentane Gesamtenergie ist nicht allgemein E₀e⁻²ᵝᵗ.

Gedämpfte Schwingung berechnen

Auslenkung zu jedem Zeitpunkt, Periode, Halbwertszeit der Amplitude oder Dämpfungsgrad eines Federschwingers ausrechnen, wenn die Reibung proportional zur Geschwindigkeit ist.

Rechenmodell

Masse m

Masse des schwingenden Körpers, z. B. 0,8 kg an einer Schraubenfeder.

Federkonstante k

Federkonstante, also Kraft pro Meter Dehnung, z. B. 20 N/m für eine weiche Feder.

N/m

Dämpfungskonstante b

Dämpfungskonstante b der Bremskraft F = −b · v, z. B. 1,6 kg/s; 0 heißt ohne Dämpfung.

Anfangsauslenkung x₀

Auslenkung beim Start t = 0 mit Vorzeichen, z. B. 4 cm; die Seite, zu der du ziehst, zählt positiv.

Anfangsgeschwindigkeit v₀

Geschwindigkeit beim Start mit Vorzeichen; 0 m/s, wenn du die Masse aus der Ruhe loslässt.

Zeit t

Zeit seit dem Start, z. B. 2 s.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Auslenkung x

x = -0,5444 cm

Mit m = 0,8 kg, k = 20 N/m, b = 1,6 kg/s, x₀ = 4 cm, v₀ = 0 m/s und t = 2 s ergibt sich x = -0,5444 cm.

Rechenweg · umstellen nach x, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach x umstellen
$x=e^{-\beta t}\left[x_0\cos(\omega_dt)+\frac{v_0+\beta x_0}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right]$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- x₀ = 4 cm = 0,04 m
$e^{-1\cdot 2}\left[0{,}04\cdot\cos(4{,}89898\cdot 2)+\frac{0+1\cdot 0{,}04}{4{,}89898}\cdot\sin(4{,}89898\cdot 2)\right]=-0{,}00544368$
3. Ergebnis
x = -0,5444 cm

So rechnest du schneller

Erst den Fall prüfen: ζ = b / (2 · √(m · k)). Nur bei ζ < 1 schwingt der Körper und hat eine Periode; ab ζ = 1 gibt es keine Periode mehr.
Schwache Dämpfung ändert die Periode kaum: Td = T₀ / √(1 − ζ²). Bei ζ = 0,2 ist sie nur rund 2 % länger als ohne Dämpfung.

Annahmen und Grenzen

Freie lineare viskose Bewegung mit ζ<1 und t≥0; x₀ und v₀ sind signierte Werte an t=0 relativ zur Gleichgewichtslage. Der Modus setzt keine Nullphase und keine Ruhefreigabe stillschweigend voraus. Für kritische und überdämpfte Bewegung nicht anwendbar.

Herleitung & Hintergrund

Für lineare Rückstellung und viskosen Widerstand gilt $m\ddot x+b\dot x+kx=0$ mit $\beta=\frac b{2m}$ . Bei $\beta<\omega_0=\sqrt{\frac km}$ lautet die Lösung $x=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega_dt+\varphi)$ , $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ . A₀ und φ müssen zu x₀ und v₀ passen; A₀ ist das anfängliche Hüllkurvenmaß, nicht grundsätzlich die Anfangsauslenkung. Kritische und überkritische Lösungen besitzen keinen wiederholten oszillierenden Anteil, können je nach Anfangsgeschwindigkeit aber einmal die Nulllage kreuzen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Freie eindimensionale lineare Bewegung um ein stabiles Gleichgewicht mit konstanten m, k und viskosem b. Die Kosinusform mit reellem ωd gilt ausschließlich für $0<\beta<\omega_0$ ; bei $\beta=0$ ergibt sich der ungedämpfte Grenzfall. Kritische und überkritische Dämpfung erfordern andere Lösungen. Kein äußerer Antrieb und keine trockene oder quadratische Reibung im Modell.

Herleitung in Schritten

Die charakteristische Gleichung des linearen freien Schwingers trennt die Dämpfungsregime und liefert die exponentielle Hüllkurve.

1Miss x vom Gleichgewicht und setze lineare Kräfte −kx und −bẋ bei konstanten m > 0, $k>0$ und b > 0 voraus.
2Newton ergibt $m\ddot x+b\dot x+kx=0$ . Definiere $\beta=\frac b{2m}$ und $\omega_0^2=\frac km$ .
3Setze $x=Ce^{rt}$ ein: $r^2+2\beta r+\omega_0^2=0$ hat $r=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$ .
4Bei $\beta<\omega_0$ sind die Wurzeln $-\beta\pm i\omega_d$ mit $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ . Nur dieses Regime besitzt einen freien oszillierenden Anteil.
5Die reelle Lösung lautet $x=e^{-\beta t}(C\cos\omega_dt+D\sin\omega_dt)$ , wobei $C=x_0$ und $D=\frac{v_0+\beta x_0}{\omega_d}$ .
6Mit $A_0=\sqrt{C^2+D^2}$ und passender Phase folgt $x=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega_dt+\varphi)$ . $A(t)=A_0e^{-\beta t}$ ist die Hüllkurve.
7Für $\beta=\omega_0$ gilt $x=(C+Dt)e^{-\omega_0t}$ ; für $\beta>\omega_0$ gibt es zwei reelle abklingende Exponentialanteile und keine freie Schwingungsperiode.

Umstellen

Hüllkurve aus Anfangshüllkurve und Abklingrate

A(t)=A_0e^{-\beta t}

Unterkritische Dämpfung eines linearen Feder-Masse-Systems mit konstanten m, b und k.

Aufgabenvariante

m=0,50 kg, b=1,0 kg/s und k=8,0 N/m. Bestimme β und ω_d.

Für m=0,50 kg, b=1,0 kg/s und k=8,0 N/m ist $\beta=\frac{b}{2m}=1{,}0\,\mathrm{s^{-1}}$ und $\omega_d=\sqrt{16-1}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}=\sqrt{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\approx3{,}87\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Nach $t=\ln2\,\mathrm s$ ist die Hüllkurve $A_0e^{-\ln2}=\frac{A_0}{2}$ .

Probe: $m\omega_d^2+\frac{b^2}{4m}=k$ ergibt $0{,}5\cdot15+0{,}5=8\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ .

Typische Fehler

Ungedämpfte Eigenfrequenz ω₀ mit ω_d verwechseln.

Dämpfung verringert die Kreisfrequenz: $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ , und die Amplitude sinkt mit $e^{-\beta t}$ .

Klausurkontext

Schockabsorption, Abklingkurven, Resonanz und reale mechanische Schwinger.

Formelcluster

Reale Schwingungen

Die Hüllkurve beschreibt Energieverlust, während die Kosinuskomponente die verbleibende periodische Bewegung trägt.

T = 2π·√(m/k)

Federpendel (Schwingungsdauer)

T = 2π·√(l/g)

Fadenpendel (Schwingungsdauer)

T = 2π·√(L·C)

Thomsonsche Schwingungsgleichung

Rechenbeispiel

Für m = 0,50 kg, b = 1,0 kg/s und k = 8,0 N/m gilt $\beta=\frac b{2m}=1{,}0\,\mathrm{s^{-1}}$ und $\omega_d=\sqrt{\frac km-\beta^2}=\sqrt{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\approx3{,}87298\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Die Periode ist $T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx1{,}62231\,\mathrm s$ . Nach $t=\frac{\ln2}{\beta}\approx0{,}693147\,\mathrm s$ ist die Hüllkurve halbiert. Probe: $m\omega_d^2+\frac{b^2}{4m}=0{,}5\cdot15+0{,}5=8\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ .

Anwendungsgebiete

Feder-Masse-Systeme in Flüssigkeiten, Stoßdämpfer, Abklingmessungen und Bestimmung von Dämpfungsparametern.

Rechenbeispiel: Gedämpfte harmonische Schwingung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Gedämpfte harmonische Schwingung (x(t) = A₀ e^(−βt) cos(ωdt+φ)).

1
Aufgabe
m=0,50 kg, b=1,0 kg/s und k=8,0 N/m. Bestimme β und ω_d.
Rechenweg
1. Für m=0,50 kg, b=1,0 kg/s und k=8,0 N/m ist $\beta=\frac{b}{2m}=1{,}0\,\mathrm{s^{-1}}$ und $\omega_d=\sqrt{16-1}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}=\sqrt{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\approx3{,}87\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
2. Nach $t=\ln2\,\mathrm s$ ist die Hüllkurve $A_0e^{-\ln2}=\frac{A_0}{2}$ .
Probe: $m\omega_d^2+\frac{b^2}{4m}=k$ ergibt $0{,}5\cdot15+0{,}5=8\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Dämpfung verkleinert freie Ausschläge und kann Schwingungen vollständig verhindern. Das lineare Feder-Masse-Modell unterscheidet Schwingfall, kritische Dämpfung und Überdämpfung. Anfangswerte und gemessene Spitzen zeigen, welche Zeitfunktion und welche Periode tatsächlich passen.

Warum eine Schwingung kleiner wird

Eine Masse an einer Feder kann mehrfach über die Gleichgewichtslage hinausschwingen und dabei immer kleinere Ausschläge erreichen. Reibung entzieht ihrer Bewegung Energie. Wir betrachten hier eine ganz bestimmte Reibung: Die bremsende Kraft ist proportional zur momentanen Geschwindigkeit und entgegengesetzt gerichtet. Dieses Modell erlaubt eine überprüfbare Zeitfunktion.[1]

Du brauchst Federkraft, Newtons Kraftgesetz sowie die Unterscheidung zwischen Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Die Dämpfung entscheidet zunächst, ob überhaupt eine freie Schwingung entsteht. Erst im Schwingfall ist eine gedämpfte Periode sinnvoll. Eine von außen erzwungene Schwingung gehört zu einer anderen Bewegungsgleichung.[1]

Welche Gleichung beschreibt eine freie gedämpfte Schwingung?

x misst die Auslenkung von einem stabilen Gleichgewicht. Eine lineare Rückstellkraft −kx und eine viskose Widerstandskraft −bẋ wirken auf die konstante Masse m. Wir setzen m > 0, $k>0$ und b > 0 voraus; eine äußere Antriebskraft fehlt. Die Widerstandskraft wirkt gegen die momentane Geschwindigkeit, nicht grundsätzlich gegen x. Bei negativem v ist sie positiv. Eine konstante Gewichtskraft kann in einer vertikalen linearen Federanordnung durch Verschieben des Gleichgewichts aufgenommen werden. Das Federpendel ohne Reibung ist der Grenzfall dieses Modells bei verschwindender Dämpfung.[1]

\begin{aligned}m\ddot x+b\dot x+kx&=0\\{} \beta&=\frac b{2m}\\{} \omega_0&=\sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}

β hat die Einheit s⁻¹; b hat $\mathrm{kg\,s^{-1}}=\mathrm{N\,s\,m^{-1}}$ . ω₀ ist die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz.

Wann treten Schwingfall, kritische Dämpfung und Kriechfall auf?

Nach Division durch m lautet die Gleichung $\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0$ . Mit dem Ansatz $x=Ce^{rt}$ entsteht $r^2+2\beta r+\omega_0^2=0$ . Die Wurzeln $r=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$ bestimmen die Form der Bewegung. Das dimensionslose Dämpfungsverhältnis $\zeta=\frac{\beta}{\omega_0}$ vergleicht Widerstand mit dem natürlichen Zeitmaß.

\begin{aligned}\beta&<\omega_0\\x&=e^{-\beta t}(C\cos\omega_dt+D\sin\omega_dt)\\\omega_d&=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\end{aligned}

Unterdämpfung besitzt einen oszillierenden Anteil mit abnehmender Hüllkurve.[1]

\beta=\omega_0:\quad x=(C+Dt)e^{-\omega_0t}

Bei kritischer Dämpfung entsteht keine wiederholte Sinusschwingung.

\begin{aligned}\beta&>\omega_0\\x&=Ce^{r_+t}+De^{r_-t}\\r_\pm&=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\end{aligned}

Überdämpfung besitzt zwei negative reelle Abklingraten.

Für kritische und überkritische Dämpfung ist keine freie Schwingungsperiode definiert. Je nach Anfangsgeschwindigkeit kann trotzdem ein einmaliger Nulldurchgang auftreten; „keine Schwingung“ bedeutet nicht „kein Überschwingen für jede Anfangsbedingung“. Bei sehr großem β nähert sich die langsame Wurzel $-\frac{\omega_0^2}{2\beta}$ : Mehr Widerstand kann die Rückkehr verlangsamen. Die Aussage vom schnellen kritischen Rücklauf benötigt einen festgelegten Vergleich der Anfangsbedingungen.

Anfangsbedingungen statt unpassender Startphase

\begin{aligned}C&=x_0\\D&=\frac{v_0+\beta x_0}{\omega_d}\\A_0&=\sqrt{C^2+D^2}\end{aligned}

Diese Form gilt im unterkritischen Regime und erfüllt $x(0)=x_0$ sowie $\dot x(0)=v_0$ .

\begin{aligned}x&=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega_dt+\varphi)\\C&=A_0\cos\varphi\\D&=-A_0\sin\varphi\end{aligned}

Die Phase muss zu C und D passen; A₀ ist das anfängliche Hüllkurvenmaß.

Wer $x=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega_dt)$ ohne Phase verwendet, legt $v_0=-\beta A_0$ fest. Das ist kein Loslassen aus der Ruhe. Für $v_0=0$ und $x_0>0$ ist D positiv und die Phase negativ. A₀ kann größer als x₀ sein, obwohl der Start ein tatsächliches Auslenkungsmaximum ist. Diese Unterscheidung verhindert, dass eine Hüllkurvenbeschriftung versehentlich als gemessene Startauslenkung gelesen wird.

Freigabe aus Ruhe innerhalb der Hüllkurve

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Zum ersten Beispiel: Die Anfangsbedingung

v_0=0

verlangt auch einen Sinusanteil. Die Hüllkurve beginnt bei

A_0\approx40{,}825\,\mathrm{mm}

, oberhalb der Anfangsauslenkung. Sie ist eine Schranke, keine Folge aller tatsächlichen Spitzen.[1]

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Wie schnell halbiert sich die Hüllkurve und was messen die Spitzen?

\begin{aligned}A(t)&=A_0e^{-\beta t}\\T_d&=\frac{2\pi}{\omega_d}\\\tan(\omega_dt+\varphi)&=-\frac\beta{\omega_d}\end{aligned}

Die letzte Gleichung folgt aus $\dot x=0$ und kennzeichnet tatsächliche Extrema.

Die Kurve bleibt zwischen ±A(t), berührt diese Grenzen aber im Allgemeinen nicht an ihren Auslenkungsmaxima: Auch die Hüllkurve bewegt sich. Gleichartige Spitzen auf derselben Seite liegen um Td auseinander. Weil die Amplitude dabei abnimmt, ist x(t + Td) nicht gleich x(t); Td ist die Wiederholungszeit der Phase, nicht eine strenge Periodizität der ganzen Bewegung.

\begin{aligned}\delta&=\ln\frac{|x_n|}{|x_{n+1}|}=\beta T_d\\{} t_{1/2}&=\frac{\ln2}{\beta}\end{aligned}

xn und xn+1 sind gleichartige, aufeinanderfolgende Spitzen; benachbarte Spitzen mit wechselndem Vorzeichen liegen nur Td/2 auseinander.

Für N volle Spitzenabstände lässt sich $\beta=\frac{\ln\!\left|\frac{x_1}{x_{N+1}}\right|}{NT_d}$ verwenden. Spitzen müssen relativ zum gleichen Gleichgewicht ausgewertet werden. Ein Offset nahe der Rauschgrenze macht Verhältnisse instabil; veränderte Dämpfung oder Coulomb-Reibung liefern keine konstante exponentielle Abnahme. Das logarithmische Dekrement fasst das Verhältnis gleichartiger Spitzen als dimensionslose Abnahme pro vollständigem Phasenzyklus zusammen.

Energieverlust ohne falsche Exponentialgleichheit

\begin{aligned}E&=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2\\\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}&=\dot x(m\ddot x+kx)=-b\dot x^2\le0\end{aligned}

Die dissipierte Leistung ist bẋ²; die mechanische Energie kann ohne Antrieb nicht steigen.

Die exakte momentane Energie ist im Allgemeinen nicht einfach $E(0)e^{-2\beta t}$ . Geschwindigkeit und Auslenkung besitzen wegen des zusätzlichen Ableitungsterms verschiedene Phasenbeiträge. Bei demselben Phasenstand nach Td werden jedoch x und v beide mit $e^{-\beta T_d}$ multipliziert; deshalb gilt exakt $E(t+T_d)=E(t)e^{-2\beta T_d}$ . Bei schwacher Dämpfung beschreibt eine zyklusgemittelte exponentielle Energiekurve die langsame Entwicklung näherungsweise.

Beispiel: gedämpftes Loslassen aus der Ruhe

Die passende Phase und Hüllkurve berechnen

Gegeben: m = 0,800 kg, k = 20,0 N/m, b = 1,60 kg/s, x₀ = +0,0400 m, $v_0=0$ .
Gesucht: Regime, Td, vollständige Lösung und Hüllkurvenhalbierungszeit.

Ansatz: Zuerst Regime prüfen, dann beide Anfangswerte in die freie Lösung einbauen.
$\begin{aligned}\beta&=\frac b{2m},&\omega_0&=\sqrt{\frac km}\\\omega_d&=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\\C&=x_0,&D&=\frac{v_0+\beta x_0}{\omega_d}\end{aligned}$
Die Kraftbilanz wird zunächst in die Standardform gebracht; im folgenden Schritt werden die Werte eingesetzt.
$\begin{aligned}m\ddot x+b\dot x+kx&=0\\\beta&=\frac{b}{2m}\\\omega_0&=\sqrt{\frac km}\\\omega_d&=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\quad(\beta<\omega_0)\end{aligned}$
Parameter und Regime bestimmen.
$\begin{aligned}\beta&=1.00\,\mathrm{s^{-1}}\\{} \omega_0&=5.00\,\mathrm{rad/s}\\{} \omega_d&=\sqrt{24}=4.89898\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}$
Anfangswerte in C und D einsetzen.
$\begin{aligned}C&=0.0400\,\mathrm m\\{} D&=\frac{0.0400}{\sqrt{24}}=0.00816497\,\mathrm m\end{aligned}$
Hüllkurvenmaß und Phase bestimmen.
$\begin{aligned}A_0&=0.0408248\,\mathrm m\\{} \varphi&=-\arctan(\frac{D}{C})=-0.201358\,\mathrm{rad}\end{aligned}$
Zeitmaß und Halbierung berechnen.
$\begin{aligned}T_d&=\frac{2\pi}{\sqrt{24}}=1.28255\,\mathrm s\\{} t_{1/2}&=\frac{\ln2}{\beta}=0.693147\,\mathrm s\end{aligned}$

Ergebnis: Die Bewegung ist unterkritisch gedämpft. Mit Zeit in Sekunden lautet die Lösung $x(t)=e^{-t}\left(0{,}0400\cos(\sqrt{24}\,t)+0{,}00816497\sin(\sqrt{24}\,t)\right)\,\mathrm m$ .

Kontrolle: Bei t = 0 folgt x = 0,0400 m und $v=-\beta C+\omega_dD=0$ . A₀ ist etwa 2,06 % größer als x₀. Das Energiederivat ist am ruhenden Start null, was eine überall exakte Kurve $E(0)e^{-2\beta t}$ bereits ausschließt.

Beispiel: Parameter aus gleichartigen Spitzen

Ein Abklingexperiment rekonstruieren

Gegeben: Zwei aufeinanderfolgende positive Maxima relativ zum Gleichgewicht: 15,0 mm und 9,00 mm; Abstand 1,20 s. Bewegte Masse 0,600 kg. Linear-viskoses Modell.
Gesucht: β, ωd, ω₀, b und k bestimmen sowie nächste Spitze vorhersagen.

Ansatz: Die beiden gleichseitigen Spitzen liegen eine gedämpfte Periode auseinander.
$\begin{aligned}\delta&=\ln\frac{X_1}{X_2}\\\beta&=\frac\delta{T_d}\\\omega_d&=\frac{2\pi}{T_d}\\b&=2m\beta,&k&=m(\omega_d^2+\beta^2)\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$\begin{aligned}\delta&=\ln\frac{x_n}{x_{n+1}}\\\beta&=\frac{\delta}{T_d}\\\omega_d&=\frac{2\pi}{T_d}\\\omega_0^2&=\omega_d^2+\beta^2\\b&=2m\beta\\k&=m\omega_0^2\end{aligned}$
Dekrement und Abklingrate aus dem Verhältnis bestimmen.
$\begin{aligned}\delta&=\ln(\frac{15}{9})=0.510826\\{} \beta&=\frac{\delta}{1.20}=0.425688\,\mathrm{s^{-1}}\end{aligned}$
Kreisfrequenzen aus dem Spitzenabstand berechnen.
$\begin{aligned}\omega_d&=\frac{2\pi}{1.20}=5.23599\,\mathrm{rad/s}\\{} \omega_0&=\sqrt{\omega_d^2+\beta^2}=5.25326\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}$
Mit bekannter Masse Dämpfung und Steifigkeit gewinnen.
$\begin{aligned}b&=2m\beta=0.510826\,\mathrm{kg/s}\\{} k&=m\omega_0^2=16.5581\,\mathrm{N/m}\end{aligned}$

Ergebnis: β ≈ 0,426 s⁻¹, b ≈ 0,511 kg/s und k ≈ 16,6 N/m; die nächste positive Spitze beträgt 5,40 mm.

Kontrolle: $e^{-\beta T_d}=0{,}600$ reproduziert $\frac9{15}$ und liefert $9\cdot0{,}600=5{,}40\,\mathrm{mm}$ . $\zeta\approx0{,}0810<1$ bestätigt Unterdämpfung. Spitzenmessung allein liefert ohne bekannte Masse nur $\frac bm$ und $\frac km$ , nicht b und k getrennt.

Freie Bewegung, Antrieb und Modellgrenzen

Vertiefung anzeigen: Antrieb und Resonanz

Bei einem äußeren sinusförmigen Antrieb F₀cos(Ωt) steht diese Kraft auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung. Nach Abklingen des freien Anteils schwingt die lineare stationäre Antwort mit Ω. ω₀, ωd und Ω sind deshalb drei verschiedene Größen. Die Resonanzfrequenz der Auslenkungsamplitude ist zusätzlich $\Omega_R=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}$ , wenn $\beta<\frac{\omega_0}{\sqrt2}$ ; bei stärkerer Dämpfung liegt kein Maximum bei positiver Frequenz vor. Andere Messgrößen können andere Resonanzbedingungen haben.[2]

Vertiefung anzeigen: Resonanzbedingung herleiten

Minimiere für $\Omega>0$ den quadrierten Nenner $D(\Omega)=(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2$ . Seine Ableitung ist $D\prime(\Omega)=4\Omega(\Omega^2-\omega_0^2+2\beta^2)$ . Ein inneres Amplitudenmaximum besteht daher nur bei $\Omega^2=\omega_0^2-2\beta^2>0$ ; sonst liegt das größte Amplitudenmaß am statischen Grenzpunkt $\Omega=0$ . Diese präzise Peakbedingung folgt hier durch eigene Differentiation der belegten Amplitudenformel.

Formel ansehen: stationäre Antriebsantwort

A_{\mathrm{steady}}(\Omega)=\frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2}}

Stationäre Auslenkungsamplitude unter harmonischem Antrieb; nicht die freie Abklinghüllkurve.[2]

Das Abklingmodell benötigt konstante lineare Steifigkeit und einen Widerstand proportional zu v. Trockene Reibung, quadratischer Luftwiderstand, Anschläge und nichtlineare Federn können eine andere Hüllkurve und amplitudenabhängige Frequenz erzeugen. In Messdaten müssen Sensoroffset, Spitzenabstände, Aufhängungsbewegung und gegebenenfalls mehrere überlagerte Moden geprüft werden. Ein schön exponentieller Ausschnitt beweist allein weder eine einzige Mode noch konstante Parameter.

Ruhelage erreichen: kritisch oder überdämpft?

Mehr Dämpfung kann die langsame Rückkehr im überdämpften Regime verstärken. Der folgende Vergleich verwendet dieselbe Feder, Masse und Freigabe aus Ruhe, damit die unterschiedliche Bewegung allein aus dem Dämpfungskoeffizienten folgt.[1]

Ruhelage erreichen: kritisch oder überdämpft?

Gegeben: Zwei freie lineare Oszillatoren haben jeweils m=1,0 kg, k=4,0 N/m, x₀=0,030 m und v₀=0. Nur b unterscheidet sich: 4,0 kg/s oder 5,0 kg/s. Die Auslenkung wird vom jeweiligen Gleichgewicht gemessen; kein Antrieb.
Gesucht: Regime und Zeitfunktionen bestimmen; Auslenkungen nach 1,0 s vergleichen.

Ansatz: Die charakteristische Gleichung und beide Anfangswerte bestimmen die Konstanten.
$\begin{aligned}\omega_0&=\sqrt{\frac km}=2\,\mathrm{s^{-1}}\\b_{\mathrm{crit}}&=2\sqrt{mk}=4\,\mathrm{kg/s}\\x_{\mathrm{crit}}(t)&=(C+Dt)e^{-\omega_0t}\end{aligned}$
Kritisch gedämpft gilt $C=x_0$ und $D=2x_0$ , damit die Anfangsgeschwindigkeit null ist. Für b=5 sind die Wurzeln −1 und −4 pro Sekunde.
$\begin{aligned}x_{\mathrm{crit}}(t)&=(0.030\,\mathrm m)\left(1+2\,\mathrm{s^{-1}}t\right)e^{-(2\,\mathrm{s^{-1}})t}\\x_{\mathrm{over}}(t)&=(0.040\,\mathrm m)e^{-(1\,\mathrm{s^{-1}})t}\\&\quad-(0.010\,\mathrm m)e^{-(4\,\mathrm{s^{-1}})t}\\x_{\mathrm{crit}}(1\,\mathrm s)&\approx0.0121802\,\mathrm m\\x_{\mathrm{over}}(1\,\mathrm s)&\approx0.0145320\,\mathrm m\end{aligned}$

Ergebnis: Für diese Freigabe aus Ruhe liegt der kritische Fall nach 1 s näher am Gleichgewicht. Beide Verläufe bleiben positiv und schwingen nicht. Ein größerer Dämpfungskoeffizient bedeutet hier keine schnellere Rückkehr.

Kontrolle: Beide erfüllen $x(0)=0{,}030\,\mathrm m$ und $v(0)=0$ . Im überdämpften Fall gilt $v(t)=(0{,}040\,\mathrm{m/s})[e^{-(4\,\mathrm{s^{-1}})t}-e^{-(1\,\mathrm{s^{-1}})t}]$ , für positive Zeiten negativ. Der Vergleich gilt für diese Freigabe aus Ruhe; andere Anfangsgeschwindigkeiten brauchen eine eigene Auswertung.

Fünf gelöste Aufgaben

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

m = 0,50 kg, k = 8,0 N/m, b = 1,0 kg/s. Bestimme Regime und ωd.

Hinweis anzeigen

Vergleiche β mit ω₀, bevor die Wurzel ausgewertet wird.

Lernziel: Dämpfungsregime vor Frequenzberechnung prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$\beta=1\,\mathrm{s^{-1}}$ und $\omega_0=4\,\mathrm{rad/s}$ .
Daher Unterdämpfung und $\omega_d=\sqrt{15}\,\mathrm{rad/s}\approx3{,}87298\,\mathrm{rad/s}$ ; $T_d\approx1{,}62231\,\mathrm s$ .

\begin{aligned}\beta&=\frac b{2m}=\frac{1.0}{1.0}\,\mathrm{s^{-1}}=1\,\mathrm{s^{-1}}\\\omega_0&=\sqrt{\frac km}=4\,\mathrm{rad/s}\\\omega_d&=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\sqrt{15}\,\mathrm{rad/s}\\T_d&=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx1.62231\,\mathrm s\end{aligned}

Umstellen · Anwenden

$\beta=0{,}40\,\mathrm{s^{-1}}$ . Wie lange dauert eine Verringerung der Hüllkurve auf 10 %?

Hinweis anzeigen

Löse $e^{-\beta t}=0{,}10$ .

Lernziel: Hüllkurven-Abklingzeit logarithmisch bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$t=\frac{\ln10}{0{,}40}\,\mathrm s\approx5{,}75646\,\mathrm s$ .
Rückeinsetzen ergibt $e^{-2{,}302585}=0{,}10$ .
Das ist keine Forderung $x=0{,}10x_0$ zu diesem Zeitpunkt.

\begin{aligned}\frac{A(t)}{A_0}&=e^{-\beta t}=0.10\\t&=-\frac{\ln(0.10)}\beta=\frac{\ln10}{0.40}\,\mathrm s\\&\approx5.75646\,\mathrm s\end{aligned}

Umstellen · Anwenden

$m=0{,}80\,\mathrm{kg}$ und $k=20\,\mathrm{N/m}$ . Welche b-Grenze trennt Unter- und Überdämpfung?

Hinweis anzeigen

Kritisch bedeutet $\beta=\omega_0$ .

Lernziel: Kritischen Dämpfungskoeffizienten bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

bkrit = 2√(mk) = 8,00 kg/s.
Darunter schwingt der freie Anteil, bei Gleichheit ist er kritisch gedämpft, darüber überdämpft.
Für b = 1,60 kg/s ist ζ = 0,20.

\begin{aligned}\beta_{\mathrm{crit}}&=\omega_0\\\frac{b_{\mathrm{crit}}}{2m}&=\sqrt{\frac km}\\b_{\mathrm{crit}}&=2\sqrt{mk}=2\sqrt{0.80\cdot20}\,\mathrm{kg/s}\\&=8.00\,\mathrm{kg/s}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Ein frei bewegliches lineares Feder-Masse-Modell hat m=1 kg, k=4 N/m, b=6 kg/s, ohne Antrieb. Bestimme β, ω₀ und die beiden charakteristischen Wurzeln. Was bedeutet eine negative Zahl unter dem Ausdruck für ωd² für eine vermeintliche Periodenmessung?

Hinweis anzeigen

Zuerst das Regime prüfen; negative ωd² bedeutet hier keine reelle Schwingungsfrequenz.

Lernziel: Reelle Zerfallsraten ohne freie Schwingungsperiode deuten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\beta=3\,\mathrm{s^{-1}}$ übersteigt $\omega_0=2\,\mathrm{rad/s}$ : Überdämpfung.
Die Wurzeln $(-3\pm\sqrt5)\,\mathrm{s^{-1}}$ sind beide negativ; die freie Lösung ist eine Summe zweier Exponentialterme.
Eine freie Schwingungsperiode ist nicht definiert.

Kontrolle: Beide Wurzeln erfüllen $r^2+6r+4=0$ . Je nach Anfangsbedingungen ist ein einzelner Nulldurchgang möglich; daraus folgt noch keine periodische Schwingung.

\begin{aligned}r_+&=(-3+\sqrt5)\,\mathrm{s^{-1}}\approx-0.763932\,\mathrm{s^{-1}}\\r_-&=(-3-\sqrt5)\,\mathrm{s^{-1}}\approx-5.236068\,\mathrm{s^{-1}}\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Für $\beta=1\,\mathrm{s^{-1}}$ , $\omega_d=2\,\mathrm{rad/s}$ , $x_0=0{,}020\,\mathrm m$ , v₀=0 wird $x(t)=(0{,}020\,\mathrm m)e^{-\beta t}\cos(\omega_dt)$ vorgeschlagen. Prüfe v(0) und korrigiere den Sinuskoeffizienten der freien Lösung.

Hinweis anzeigen

Auch die Ableitung der Exponentialhülle trägt zu v(0) bei.

Lernziel: Anfangsgeschwindigkeit bei einer gedämpften Cosinuslösung tatsächlich prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für $x=e^{-\beta t}[C\cos(\omega_dt)+D\sin(\omega_dt)]$ gilt $v(0)=-\beta C+\omega_dD$ .
Der vorgeschlagene $D=0$ liefert −0,020 m/s statt null.
Mit $C=0{,}020\,\mathrm m$ muss $D=0{,}010\,\mathrm m$ sein.

Kontrolle: Beide Anfangsbedingungen sind dann erfüllt. Die Hüllkurvenamplitude $\sqrt{C^2+D^2}\approx0{,}0223607\,\mathrm m$ ist deshalb nicht einfach x₀; Anfangsauslenkung und Hüllkurvenparameter sind verschiedene Größen.

\begin{aligned}D&=\frac{v_0+\beta x_0}{\omega_d}=0.010\,\mathrm m\\v(0)&=-\beta C+\omega_dD=-0.020+0.020=0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}

[1]

Kurz zusammengefasst

Prüfe das Regime, bevor du eine Periode berechnest. Beide Anfangswerte bestimmen die freie Lösung. Die exponentielle Hüllkurve begrenzt die Auslenkung, ist aber nicht selbst die Bewegung. Energieabnahme und Auslenkungsabnahme sind verschiedene Größen; ein Antrieb bringt eine zusätzliche Frequenz und Kraft ins Modell.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften für freie Bewegung, Dämpfungsfälle und Hüllkurve präzisiert; Absatzverbindungen zum ungedämpften Federpendel und logarithmischen Dekrement ergänzt.
1. Oktober 2026Regime und Anfangswerte schrittweise erklärt; kritischen und überdämpften Ruhe-Start verglichen und passende Bewegung mit Hüllkurven dargestellt. Beide alten Beispiele und fünf Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Gedämpfte harmonische Schwingung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/gedaempfte-harmonische-schwingung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Gedämpfte harmonische Schwingung

Was beschreibt β?+

$\beta=\frac b{2m}$ beschreibt die exponentielle Abklingrate der Hüllkurve eines linear-viskos gedämpften freien Schwingers. β hat die Einheit s⁻¹, während der Widerstandskoeffizient b die Einheit kg/s besitzt. Nach der Zeit 1/β beträgt die Hüllkurve noch den Anteil 1/e ihres Anfangswerts; nach ln 2/β ist sie halbiert. β allein sagt nicht, ob eine Schwingung auftritt: Dafür muss β mit $\omega_0=\sqrt{\frac km}$ verglichen werden. Bei $\beta<\omega_0$ besteht Unterdämpfung. Aus dem Verhältnis gleichartiger Spitzen im Abstand Td erhält man β = ln(|x₁/x₂|)/Td; Sensoroffset und Spitzenzuordnung müssen dabei stimmen.

Warum ist ω_d kleiner als die ungedämpfte Frequenz?+

Für den freien linear gedämpften Schwinger entstehen aus $r^2+2\beta r+\omega_0^2=0$ die komplexen Wurzeln $-\beta\pm i\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ . Ihr Imaginärteil ist ωd. Bei positiver Unterdämpfung ist daher $\omega_d<\omega_0$ ; im Grenzfall $\beta\to0$ stimmen beide überein. Bei $\omega_0=5\,\mathrm{rad/s}$ und $\beta=1\,\mathrm{s^{-1}}$ gilt $\omega_d=\sqrt{24}\,\mathrm{rad/s}\approx4{,}899\,\mathrm{rad/s}$ . Die Abnahme ist bei schwacher Dämpfung klein, bei Annäherung an die kritische Grenze nicht mehr. Die Frequenz eines stationär angetriebenen Systems ist dagegen die Antriebsfrequenz Ω; eine Resonanzfrequenz der Auslenkung darf ebenfalls nicht automatisch mit ωd gleichgesetzt werden. Entscheidend ist deshalb, ob du eine freie Abklingkurve, eine stationäre erzwungene Bewegung oder die höchste Antwortamplitude einer Frequenzmessung auswertest.

Wann schwingt das System noch?+

Ein freier linear-viskoser Schwinger besitzt einen oszillierenden Anteil, wenn $\beta<\omega_0$ gilt, gleichwertig $b^2<4mk$ . Für eine tatsächlich gedämpfte Schwingung ist zusätzlich $\beta>0$ ; $\beta=0$ ist der ungedämpfte Grenzfall. Bei $\beta=\omega_0$ lautet die kritische Lösung $(C+Dt)e^{-\omega_0t}$ . Bei größerem β besteht sie aus zwei reellen abklingenden Exponentialanteilen. Diese Fälle haben keine wiederholte freie Schwingungsperiode. Ein einzelner Nulldurchgang kann durch passende Anfangsgeschwindigkeit trotzdem auftreten. Bei $m=0{,}80\,\mathrm{kg}$ und $k=20\,\mathrm{N/m}$ ist $b_{\mathrm{crit}}=2\sqrt{mk}=8{,}00\,\mathrm{kg/s}$ . Ein periodischer äußerer Antrieb kann auch außerhalb der Unterdämpfung eine stationäre periodische Antwort erzeugen. Prüfe daher vor einer Periodenberechnung die freie Bewegungsgleichung und die Dämpfungsgrenze; eine Antriebsperiode allein belegt keine unterkritische Eigenschwingung.

Wie finde ich die Zeit bis die Amplitude halbiert ist?+

Setze für die exponentielle Hüllkurve $A(t)=A_0e^{-\beta t}$ den Quotienten A(t)/A₀ = 1/2. Logarithmieren liefert t = ln 2/β, sofern $\beta>0$ ist und das lineare Abklingmodell gilt. Bei $\beta=0{,}40\,\mathrm{s^{-1}}$ sind das ungefähr 1,733 s; Rückeinsetzen ergibt e⁻⁰·⁶⁹³¹⁴⁷ = 1/2. Gemeint ist die Hüllkurve, nicht die momentane Auslenkung x(t), die schon früher durch null gehen kann. Gleichartige Spitzen folgen demselben exponentiellen Verhältnis. Bei wechselnder Dämpfung, trockener Reibung oder dauerhaftem Antrieb gilt diese Halbierungsrechnung nicht ungeprüft. Für Energie ist die genaue momentane Abnahme ebenfalls nicht allgemein dieselbe einfache Exponentialform.

Was ist der Unterschied zwischen Amplitude und Auslenkung?+

Die Auslenkung x(t) ist eine gerichtete Position relativ zum Gleichgewicht und kann positiv, negativ oder null sein. Die nichtnegative Hüllkurve $A(t)=A_0e^{-\beta t}$ begrenzt den Betrag, während der Kosinus die schnelle Phasenbewegung beschreibt. Bei Unterdämpfung gilt $|x(t)|\le A(t)$ . Tatsächliche Extrema erfüllen $\tan(\omega_dt+\varphi)=-\frac\beta{\omega_d}$ und liegen deshalb im Allgemeinen nicht an den Hüllkurvenberührungen. A₀ ist außerdem nicht stets x₀: Bei Loslassen aus der Ruhe ist eine passende negative Phase nötig. Für $x_0=0{,}0400\,\mathrm m$ , $\beta=1\,\mathrm{s^{-1}}$ und $\omega_d=\sqrt{24}\,\mathrm{rad/s}$ ergibt sich $A_0\approx0{,}040825\,\mathrm m$ . Beim Vergleichen zweier Maxima muss außerdem dieselbe Phasenlage gewählt werden; die Hüllkurve und die momentane Position beantworten verschiedene Messfragen.

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Wie stellst du x(t) = A₀ e^(−βt) cos(ωdt+φ) nach Hüllkurve aus Anfangshüllkurve und Abklingrate um?

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Welcher typische Fehler passiert bei x(t) = A₀ e^(−βt) cos(ωdt+φ)?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Volume 1, §15.5: Damped Oscillations

Weitere Formeln: Schwingungen und Wellen

c = \lambda \cdot f

Wellengleichung (c = λ·f)

f_B = f_Q \cdot \frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q}

Dopplereffekt (Akustik)

\lambda_n=\frac{2L}{n}, \quad f_n=\frac{n v}{2L}

Stehende Welle auf einer beidseitig festen Saite

I=\frac{P}{A},\quad\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)

Schallintensität

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Aktiver Abruf

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Energieverlust ohne falsche Exponentialgleichheit

Beispiel: gedämpftes Loslassen aus der Ruhe

Die passende Phase und Hüllkurve berechnen

Beispiel: Parameter aus gleichartigen Spitzen

Ein Abklingexperiment rekonstruieren

Freie Bewegung, Antrieb und Modellgrenzen

Ruhelage erreichen: kritisch oder überdämpft?

Ruhelage erreichen: kritisch oder überdämpft?

Fünf gelöste Aufgaben

m = 0,50 kg, k = 8,0 N/m, b = 1,0 kg/s. Bestimme Regime und ωd.

β=0,40 s−1\beta=0{,}40\,\mathrm{s^{-1}}β=0,40s−1. Wie lange dauert eine Verringerung der Hüllkurve auf 10 %?

m=0,80 kgm=0{,}80\,\mathrm{kg}m=0,80kg und k=20 N/mk=20\,\mathrm{N/m}k=20N/m. Welche b-Grenze trennt Unter- und Überdämpfung?

Ein frei bewegliches lineares Feder-Masse-Modell hat m=1 kg, k=4 N/m, b=6 kg/s, ohne Antrieb. Bestimme β, ω0 und die beiden charakteristischen Wurzeln. Was bedeutet eine negative Zahl unter dem Ausdruck für ωd2 für eine vermeintliche Periodenmessung?

Kurz zusammengefasst

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$\beta=0{,}40\,\mathrm{s^{-1}}$ . Wie lange dauert eine Verringerung der Hüllkurve auf 10 %?

$m=0{,}80\,\mathrm{kg}$ und $k=20\,\mathrm{N/m}$ . Welche b-Grenze trennt Unter- und Überdämpfung?

Ein frei bewegliches lineares Feder-Masse-Modell hat m=1 kg, k=4 N/m, b=6 kg/s, ohne Antrieb. Bestimme β, ω₀ und die beiden charakteristischen Wurzeln. Was bedeutet eine negative Zahl unter dem Ausdruck für ωd² für eine vermeintliche Periodenmessung?