Stehende Welle auf einer Saite

Auf einer gezupften Saite laufen Störungen zu den Enden und werden reflektiert. Überlagern sich passende gegenläufige Wellen, bleiben bestimmte Stellen immer in Ruhe, während andere auf und ab schwingen. „Stehend“ beschreibt dieses ortsfeste Muster. Es bedeutet nicht, dass jedes Saitenstück stillsteht oder dass die beiden beteiligten Wellen aufgehört haben zu laufen.[1]

Du solltest Wellenlänge als räumlichen Abstand und Periode als Zeit eines vollständigen Zyklus unterscheiden können. Für eine ideale homogene Saite mit zwei festen Enden zählen wir anschließend halbe Wellenlängen zwischen den Enden. Die Modenzahl beginnt bei eins. Innere Knoten zählen ohne die beiden ohnehin festen Endpunkte.[1]

L ist die schwingende Länge zwischen zwei ideal festen Befestigungen, nicht die gesamte Länge einer aufgewickelten Saite. Für die Querbewegung gilt $y(0,t)=y(L,t)=0$ zu jeder Zeit. Ein Knoten bleibt an seinem Ort mit Auslenkung null; ein Bauch hat die größte lokale Schwingungsamplitude einer Mode.[1]

Die Zahl n zählt Halbwellen auf L. In der Grundmode $n=1$ liegt ein Bauch zwischen den Endknoten. Die zweite Mode hat zwei Bäuche und zusätzlich einen inneren Knoten; im Allgemeinen besitzt Mode n genau n Bäuche und $n-1$ innere Knoten. Die zwei Endknoten werden beim Zählen ausdrücklich getrennt.

Die Summe folgt aus der trigonometrischen Additionsformel. Der räumliche Faktor $\sin(kx)$ bleibt fest, während $\cos(\omega t)$ die gemeinsame Zeitentwicklung liefert. $y(0,t)=0$ ist damit erfüllt. Für $y(L,t)=0$ zu allen Zeiten muss $\sin(kL)=0$ sein, also $kL=n\pi$. Eine einzelne Momentaufnahme mit beiden Enden zufällig bei null genügt als Randbedingung nicht.

Die räumlichen Knoten wandern nicht entlang der Saite. Die Teilwellen laufen aber weiterhin gegenläufig mit v. Die Beschreibung „Geschwindigkeit der stehenden Welle“ ist daher missverständlich: v in fn ist die Laufgeschwindigkeit ihrer Komponenten, nicht eine Geschwindigkeit der festen Knoten.

Die Wellengleichung verbindet Wellenlänge und Frequenz der laufenden Teilwellen über c = λ·f. Für die Saite heißt diese Laufgeschwindigkeit hier v; die festen Knoten selbst bewegen sich nicht mit v.[1]

Innerhalb eines Knotenintervalls schwingen alle Punkte gleichphasig. Im benachbarten Intervall wechselt das Vorzeichen des Ortsfaktors $\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, deshalb bewegen sich die Punkte dort in entgegengesetzter Richtung. Ist $\cos(\omega_nt)=0$, durchquert die gesamte Saite gleichzeitig die Nulllinie. Dauerhafte Knoten bleiben trotzdem nur die Stellen, deren Ortsfaktor zu jeder Zeit null ist.

Die größte Bauchamplitude dieser Überlagerung beträgt $2A$. An einem beliebigen Ort beträgt die Amplitude dagegen $2A\left|\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right|$. Ein Sensor am Knoten misst im Idealmodell keine Querbewegung, obwohl die gleiche Mode anderswo deutlich schwingt. Deshalb kann ein schwaches Sensorsignal auch an einer ungünstigen Messposition liegen. Ebenso kann der Ort der Anregung beeinflussen, welche Moden stark angeregt werden.

Bei festem n und unveränderten FT und μ verdoppelt eine halbierte schwingende Länge die Frequenz. Vierfache Zugkraft verdoppelt die Frequenz bei gleichem L und μ. Wird nur die Auslenkungsamplitude vergrößert, verschiebt das lineare ideale Modell die Eigenfrequenzen nicht. Reale Spannung kann bei großer Auslenkung jedoch zunehmen.

Für $L=0{,}75\,\mathrm m$ und $v=120\,\mathrm{m/s}$ erhältst du $f_1=80\,\mathrm{Hz}$. Die zweite Mode besitzt $\lambda_2=L=0{,}75\,\mathrm m$, $f_2=160\,\mathrm{Hz}$ und einen inneren Knoten in der Mitte. Die Grundmode hat dagegen $\lambda_1=2L=1{,}50\,\mathrm m$. Beim Vergleich der beiden Formen solltest du deshalb immer die Modenzahl mitnennen.

Die Wellengeschwindigkeit auf einer gespannten Saite verknüpft Zugkraft und lineare Massendichte. Verwende dabei die Größen im betrachteten gespannten Zustand; die folgende Eigenmodenrechnung setzt diese Laufgeschwindigkeit als konstant voraus.[2]

Eine reine stehende Welle aus zwei gleich starken Gegenläufern hat im idealen Modell keinen zeitlich gemittelten Nettoenergiefluss entlang der Saite. Das bedeutet nicht, dass keine Energie vorhanden ist. Saitenelemente besitzen kinetische Energie und die verformte gespannte Saite speichert potentielle Energie; diese Anteile wechseln im Verlauf einer Periode.[3]

Ein realer Resonator verliert Energie. Eine anhaltende Schwingung benötigt deshalb eine Energiezufuhr, die diese Verluste ausgleicht. Die beobachtete Form kann eine dominante stehende Mode zeigen, ohne dass jede reale Komponente exakt gleich stark ist. „Stehend“ allein beweist weder Verlustfreiheit noch eine bestimmte Energie oder Amplitude.

Bei einem ideal freien Ende ist die transversale Kraft null; im einfachen flexiblen Modell entspricht das einer verschwindenden Steigung. Eine fest-frei gespannte Saite besitzt dann nur ungerade Viertelwellen: $\lambda_j=\frac{4L}{2j-1}$, $f_j=\frac{(2j-1)v}{4L}$. Eine reale freie Befestigung muss physikalisch zur aufrechterhaltenen Spannung passen; das ist ein anderes Randwertproblem als beide Enden fest.

Für Luftsäulen betreffen die Randbedingungen je nach Darstellung Druck oder Teilchenbewegung; ein Druckknoten ist kein Bewegungsknoten. Übertrage die Saitenzeichnung deshalb nicht ungeprüft auf ein Rohr. Saitenbiegesteifigkeit, große Steigungen, veränderliche μ, nachgiebige Befestigungen und Verluste können die ideale harmonische Folge ebenfalls verändern.[1]

Die Modenfrequenz beschreibt die ganze Saite; ein Sensor misst nur seinen Ort. Mit dem folgenden Ortsfaktor lässt sich bestimmen, wo eine Mode sichtbar ist und wo sie keine Querbewegung zeigt.[1][2]

Prüfe zuerst die Endbedingungen. Bei zwei festen Enden passen n halbe Wellenlängen auf die Saite: n Bäuche, $n-1$ innere Knoten. Ortsfaktor und Zeitfaktor beschreiben unterschiedliche Eigenschaften. Eine gerade Momentaufnahme löscht die örtlichen Knoten und Bäuche nicht aus.[1][2]