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Die Substitutionsregel ersetzt eine zusammengesetzte innere Funktion durch eine neue Variable und ihr passendes Differential.
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Formel
Mathematische Variablen; bei bestimmten Integralen werden die Grenzen mit u=g(x) transformiert.
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Substituierte innere Funktion | abhängig von g | |
| g′(x) dx | Differentialfaktor der inneren Funktion | Einheit von u |
| Äußere Integrandfunktion nach der Substitution | Integrand |
\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\quad u=g(x)Die Regel ist die Umkehrung der Kettenregel: Für eine Stammfunktion F′=f gilt (F∘g)′=f(g(x))g′(x). Deshalb wird u=g(x) gesetzt und du=g′(x)dx ersetzt. Bei einem bestimmten Integral müssen auch die Grenzen von x nach u umgerechnet werden oder nach dem Rücktausch in x stehen. Eine Substitution ist nur dann hilfreich, wenn der Differentialfaktor tatsächlich im Integranden enthalten ist.
Setze u=g(x), wenn der Faktor g′(x) im Integranden enthalten ist. Bei bestimmten Integralen müssen die Grenzen transformiert werden; die resultierende Stammfunktion durch Ableiten prüfen.
Die Substitution ist die Kettenregel rückwärts.
Bestimmtes Integral mit neuen Grenzen
Die neue Grenze ist jeweils das Bild der alten Grenze unter u=g(x).
Berechne ∫01 2x e^(x2) dx mit u=x2.
u=x2, du=2x dx; die Grenzen werden 0 und 1.
Damit ∫01eᵘdu=e−1≈1,718.
Probe: Eine Stammfunktion in x ist e^(x2), deren Randwertdifferenz ebenfalls e−1 ist.
u=g(x) setzen, aber g′(x)dx nicht passend ersetzen.
Schreibe du=g′(x)dx explizit hin, bevor du den Integranden umschreibst.
Formelcluster
Die Umkehrung der Kettenregel ergänzt Grundintegrale und partielle Integration.
Berechne ∫2x cos(x2) dx. Setze u=x2 und du=2x dx. Dann wird ∫cos(u) du=sin(u)+C=sin(x2)+C. Probe: Die Ableitung von sin(x2) ist 2x cos(x2), also der ursprüngliche Integrand.
Zusammengesetzte Integranden vereinfachen, Flächen berechnen und Stammfunktionen systematisch aus der Kettenregel ableiten.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Integrationsregel der Substitution (∫f(g(x))g′(x) dx = ∫f(u) du).
Aufgabe
Berechne ∫01 2x e^(x2) dx mit u=x2.
Rechenweg
u=x2, du=2x dx; die Grenzen werden 0 und 1.
Damit ∫01eᵘdu=e−1≈1,718.
Probe: Eine Stammfunktion in x ist e^(x2), deren Randwertdifferenz ebenfalls e−1 ist.
Suche nach einer inneren Funktion g(x), deren Ableitung als Faktor danebensteht. Bei 2x cos(x2) ist x2 die innere Funktion und 2x ihr Differentialfaktor. Dann wird der Integrand zu cos(u)du. Wenn der Faktor fehlt oder nur kompliziert angenähert werden kann, löst die einfache Substitution das Integral nicht direkt; eventuell braucht man eine andere Methode. Bei einem bestimmten Integral gehören die angepassten Grenzen zum Variablenwechsel. Eine kurze Gegenprobe durch Ableiten verhindert Vorzeichen- und Faktorfehler. Die Regel ist besonders hilfreich, wenn innere Ableitung und Integrand gemeinsam auftreten.
Die Kettenregel differenziert F(g(x)) zu F′(g(x))g′(x). Beim Integrieren erkennt man f(g(x))g′(x) als genau diese Ableitung, wenn F′=f gilt. Deshalb ist eine Stammfunktion F(g(x)). Die Probe ist unmittelbar: Leite das Ergebnis ab und prüfe, dass sowohl die äußere Funktion als auch der Faktor g′(x) wieder erscheinen. Bei einem bestimmten Integral gehören die angepassten Grenzen zum Variablenwechsel. Eine kurze Gegenprobe durch Ableiten verhindert Vorzeichen- und Faktorfehler. Die Regel ist besonders hilfreich, wenn innere Ableitung und Integrand gemeinsam auftreten. Ein Beispiel ist ∫cos(u)du=sin(u)+C; die Rücksubstitution setzt u=g(x) wieder ein.
Setze u=g(x) auch an den Grenzen ein: x=a wird u=g(a), x=b wird u=g(b). Das Integral steht dann vollständig in u und kann ohne Rücktausch ausgewertet werden. Alternativ darfst du nach dem Integrieren in x zurückwechseln und die ursprünglichen Grenzen nutzen. Verwende nie eine Mischung aus u-Ausdruck und x-Grenzen. Bei einem bestimmten Integral gehören die angepassten Grenzen zum Variablenwechsel. Eine kurze Gegenprobe durch Ableiten verhindert Vorzeichen- und Faktorfehler. Die Regel ist besonders hilfreich, wenn innere Ableitung und Integrand gemeinsam auftreten. Das ist besonders übersichtlich, wenn g(a) und g(b) leicht berechenbar sind.
Die Ersetzung du=g′(x)dx ist der Teil, der die Änderungsrate der inneren Funktion in die neue Variable überträgt. Ohne sie stimmt die Flächenskalierung nicht. Bei ∫2x cos(x2)dx wird 2x dx zu du; würde man nur x2 durch u ersetzen und dx stehen lassen, entstünde kein Integral in u und ein falscher Zahlenfaktor. Bei einem bestimmten Integral gehören die angepassten Grenzen zum Variablenwechsel. Eine kurze Gegenprobe durch Ableiten verhindert Vorzeichen- und Faktorfehler. Die Regel ist besonders hilfreich, wenn innere Ableitung und Integrand gemeinsam auftreten.
Leite die Stammfunktion ab und vergleiche jeden Faktor mit dem ursprünglichen Integranden. Für e^(x2) ist die Ableitung 2x e^(x2), daher löst sie genau ∫2x e^(x2)dx. Bei bestimmten Integralen kannst du zusätzlich das Resultat mit eingesetzten Grenzen prüfen. Diese beiden Kontrollen finden häufige Fehler durch fehlende innere Ableitungen oder vergessene Grenzen. Bei einem bestimmten Integral gehören die angepassten Grenzen zum Variablenwechsel. Eine kurze Gegenprobe durch Ableiten verhindert Vorzeichen- und Faktorfehler. Die Regel ist besonders hilfreich, wenn innere Ableitung und Integrand gemeinsam auftreten.
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Wie stellst du ∫f(g(x))g′(x) dx = ∫f(u) du nach Bestimmtes Integral mit neuen Grenzen um?
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Welcher typische Fehler passiert bei ∫f(g(x))g′(x) dx = ∫f(u) du?
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