Physik · Kinetische Gastheorie

Druck aus der kinetischen Gastheorie

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zum Druck aus der kinetischen Gastheorie?

Für $N=2{,}00\cdot10^{22}$, $m=6{,}64\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $c_{\mathrm{rms}}=900\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $V=0{,}0060\,\mathrm{m^3}$ erhältst du $pV=35{,}856\,\mathrm J$ und $p=5976\,\mathrm{Pa}$. Kontrolliere über $\rho=\frac{Nm}{V}\approx0{,}0221333\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$. Eine zweite Kontrolle nutzt die translatorische Gesamtenergie $E_{\mathrm{tr}}=\frac12Nmc_{\mathrm{rms}}^2=53{,}784\,\mathrm J$; daraus muss $pV=\frac23E_{\mathrm{tr}}$ folgen. Prüfe, ob die Geschwindigkeit thermisch und die Verteilung isotrop ist. Bei einem mehratomigen Gas darfst du diese translatorische Energie nicht ungeprüft mit der ganzen inneren Energie gleichsetzen. Auch ein Manometer-Überdruck muss vor der idealen Gasgleichung in absoluten Druck umgerechnet werden. Das angegebene Volumen muss außerdem tatsächlich das zugängliche Gasvolumen sein.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Druck aus der kinetischen Gastheorie?

$Nm\langle c^2\rangle$ hat die Einheit $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}=\mathrm J$; daher ist pV eine Energiegröße. Division durch V in m³ ergibt $\mathrm{J\,m^{-3}}=\mathrm{Pa}$. In der Dichteform liefert kg/m³ mal m²/s² ebenfalls Pa. Quadriere $c_{\mathrm{rms}}$ wirklich; seine direkte Multiplikation mit der Masse wäre ein Impuls und nicht die benötigte Größe. Ein Beispiel mit $N=10^{23}$, $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ und $c_{\mathrm{rms}}=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ergibt $pV=387{,}5\,\mathrm J$. Bei $V=0{,}010\,\mathrm{m^3}$ folgt $p=38{,}75\,\mathrm{kPa}$. Verdoppeltes Volumen bei unveränderter Teilchenzahl und thermischer Verteilung halbiert p. Vierfaches $c_{\mathrm{rms}}$ bei gleicher Dichte würde p dagegen versechzehnfachen. Die Massendichte gehört zur gesamten Gasprobe; die Teilchenmasse gehört zu einem einzelnen Teilchen. Verwechsle diese beiden Größen beim Einsetzen nicht.

Q: Wann kombiniere ich den Druck aus der kinetischen Gastheorie mit einer weiteren Beziehung?

Kombiniere die Impulsflussform mit $\frac12m\langle c^2\rangle=\frac32k_BT$, um $pV=Nk_BT=nRT$ zu erhalten. Dadurch wird aus der Geschwindigkeitsverteilung eine thermische Zustandsgleichung. In einem idealen Gemisch bei gemeinsamer T trägt jede Gasart $p_s=\frac{N_sk_BT}{V}$ bei; die Partialdrücke addieren sich. Für 1,20·10²² und 0,80·10²² Teilchen bei 320 K in 0,0040 m³ sind die Beiträge 13,254 und 8,836 kPa, zusammen 22,090 kPa. Ihre Massen werden bei bekannter gemeinsamer T nicht benötigt. Für innere Energie gilt $U=\frac32pV$ nur beim passenden einatomigen Modell; für mehratomige Gase bleibt es die translatorische Summe.

Der Gasdruck lässt sich als Impulsübertrag der ungeordneten Molekülbewegung auf die Gefäßwände verstehen.

FortgeschrittenUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Ansehen kostenlos · Karteikarten oder Multiple-Choice-Test · übernehmen ab Essential

Formel

Berechnen

p V = \frac{1}{3} N m ⟨ v^{2} ⟩

p in Pa; V in m³; N Molekülzahl; m in kg; ⟨v²⟩ in m²/s².

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$p$	absoluter thermischer Gasdruck	Pa
$V$	Gasvolumen	m³
$N$	Zahl der Moleküle derselben Gasart	dimensionslos
$m$	Masse eines Moleküls	kg
⟨v²⟩	mittleres thermisches Geschwindigkeitsquadrat relativ zum lokalen Gasstrom	m²/s²

LaTeX

pV=\frac{1}{3}Nm\langle v^2\rangle

QUANTA STUDYquanta-study.de

Ein Teilchen trifft eine ruhende rechte Wand. Die Normalkomponente cx kehrt ihr Vorzeichen um, die tangentiale Komponente cy bleibt gleich. Die Wand erhält positiven x-Impuls 2mcx. — Elastische Wandstöße übertragen normalen Impuls. Der Faktor 1/3 entsteht erst im isotropen statistischen Mittel, nicht aus der Geometrie eines einzelnen Stoßes. Geschwindigkeiten beziehen sich auf das lokale Gasruhesystem.

Gasdruck mit kinetischer Gastheorie berechnen

Druck eines idealen Gases aus Dichte und RMS-Geschwindigkeit der Teilchen ausrechnen oder umgekehrt, auch aus Teilchenzahl, Teilchenmasse und Volumen.

Rechenmodell

Gesucht

Massendichte des Gases ρ

Masse pro Volumen des Gases, z. B. 1,2 kg/m³ für Luft bei Raumtemperatur.

RMS-Geschwindigkeit der Teilchen cᵣ_ms

Quadratisch gemittelte Teilchengeschwindigkeit ohne Wind oder Strömung, z. B. 500 m/s für Luft.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach p, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach p umstellen
$p=\frac{\rho c_{\mathrm{rms}}^2}3$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$\frac{1{,}2\cdot 500\cdot 500}3$
3. Ergebnis
p = 100 kPa

Ergebnis: Gasdruck p (absolut)

p = 100 kPa

Mit ρ = 1,2 kg/m³ und cᵣ_ms = 500 m/s ergibt sich p = 100 kPa.

So rechnest du schneller

Überschlag für Luft: Dichte 1,2 kg/m³ und c ≈ 500 m/s ergeben p = 1,2 · 500² : 3 = 100 000 Pa, also etwa den Luftdruck von 1 bar.
Doppelte Teilchengeschwindigkeit, vierfacher Druck: p wächst mit c². Doppelt so viele Teilchen im gleichen Volumen verdoppeln den Druck nur.

Annahmen und Grenzen

Klassisches nichtrelativistisches ideales Gas mit isotroper thermischer Bewegung; vernachlässigbare Wechselwirkungsbeiträge. Geschwindigkeit relativ zur lokalen mittleren Strömung. Ergebnis ist absoluter thermischer Druck, kein Überdruck, gerichteter Impulsfluss oder allgemeiner Druck einer anisotropen Verteilung. Positive Gasdichte und thermische RMS-Geschwindigkeit.

Herleitung & Hintergrund

Eine elastische Wandreflexion überträgt den doppelten normalen Teilchenimpuls. Die mittlere Impulsflussbilanz liefert $p_x=\frac{Nm\langle c_x^2\rangle}{V}$ ; Isotropie ergibt den Faktor 1/3. Die obere Schreibweise v meint thermische Bewegung relativ zum lokalen Gasstrom, und p ist absoluter Druck. Im klassischen idealen Gleichgewicht führt Gleichverteilung zu $pV=Nk_BT$ . Gerichtete Strömung und anisotrope Verteilungen brauchen gesonderte Komponentenbilanzen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Klassisches ideales Gas mit isotroper thermischer Verteilung und vernachlässigbaren Wechselwirkungsbeiträgen. Die Wandherleitung verwendet elastische Reflexion an einer ruhenden Wand. p ist absoluter Druck; c=v−u. Bei Anisotropie sind Normaldruckkomponenten gesondert nötig.

Herleitung in Schritten

Impulsübertrag pro Wandstoß und Stoßhäufigkeit verbinden; Isotropie begründet den Faktor 1/3.

1Eine ruhende Wand senkrecht zur x-Richtung betrachten; L ist der Abstand zur gegenüberliegenden Wand.
2Ein elastischer Stoß kehrt die Normalgeschwindigkeit um; die Wand erhält $2m|c_x|$ Impuls.
3Im Boxmodell ist die Rückkehrzeit $\frac{2L}{|c_x|}$ ; der mittlere Kraftbeitrag ist $\frac{mc_x^2}{L}$ . Bei null Normalgeschwindigkeit ist der Beitrag null.
4Teilchenbeiträge summieren und durch Fläche A teilen: $p_x=\frac{Nm\langle c_x^2\rangle}{AL}$ , mit $AL=V$ .
5Isotropie liefert $\langle c_x^2\rangle=\frac13\langle c^2\rangle$ ; deshalb gilt $pV=\frac13Nm\langle c^2\rangle$ .
6Mit $m\langle c^2\rangle=3k_BT$ folgt $pV=Nk_BT=nRT$ . Geschwindigkeit relativ zur mittleren Gasbewegung verwenden; gerichteten Impulsfluss gesondert behandeln.

Umstellen

Druck

p=\frac{Nm\langle v^2\rangle}{3V}

Der hier mit v bezeichnete Geschwindigkeitsanteil ist thermisch relativ zur mittleren Gasströmung: $\vec c=\vec v_{\mathrm{lab}}-\vec u$ . Das Mittel der Quadrate ist $\langle c^2\rangle=c_{\mathrm{rms}}^2$ , nicht das Quadrat der arithmetischen mittleren Schnelligkeit.

Aufgabenvariante

Berechne die Größe mit den Beispielwerten zur Beziehung „Druck aus der kinetischen Gastheorie“.

Für $N=1{,}0\cdot10^{23}$ , $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=500\,\mathrm{m/s}$ ergibt $pV=\frac13Nm c_{\mathrm{rms}}^2=387{,}5\,\mathrm J\approx388\,\mathrm J$ .
In $V=0{,}010\,\mathrm{m^3}$ folgt $p=38{,}75\,\mathrm{kPa}\approx38{,}8\,\mathrm{kPa}$ .

Typische Fehler

Einheiten oder Voraussetzungen aus der Formelbeschreibung übergehen: p in Pa; V in m³; N Molekülzahl; m in kg; ⟨v²⟩ in m²/s².

Einheiten vor dem Einsetzen angleichen und Gültigkeitsbereich prüfen; erst dann runden.

Klausurkontext

Makroskopischen Druck aus mikroskopischer Teilchenbewegung interpretieren.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Verwandte Beziehungen: innere-energie-einatomiges-idealgas, mittlere-kinetische-energie-molekuel, rms-geschwindigkeit-gasmolekuel.

U = 3/2 nRT

Innere Energie eines einatomigen idealen Gases

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

vrms = √(3kBT/m)

Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

Rechenbeispiel

Für $N=1{,}0\cdot10^{23}$ , $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=500\,\mathrm{m/s}$ ergibt $pV=\frac13Nm c_{\mathrm{rms}}^2=387{,}5\,\mathrm J\approx388\,\mathrm J$ . In $V=0{,}010\,\mathrm{m^3}$ folgt $p=38{,}75\,\mathrm{kPa}\approx38{,}8\,\mathrm{kPa}$ .

Anwendungsgebiete

Makroskopischen Druck aus mikroskopischer Teilchenbewegung interpretieren.

Rechenbeispiel: Druck aus der kinetischen Gastheorie

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Druck aus der kinetischen Gastheorie (pV = 1/3 Nm⟨v²⟩).

1
Aufgabe
Berechne die Größe mit den Beispielwerten zur Beziehung „Druck aus der kinetischen Gastheorie“.
Rechenweg
1. Für $N=1{,}0\cdot10^{23}$ , $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=500\,\mathrm{m/s}$ ergibt $pV=\frac13Nm c_{\mathrm{rms}}^2=387{,}5\,\mathrm J\approx388\,\mathrm J$ .
2. In $V=0{,}010\,\mathrm{m^3}$ folgt $p=38{,}75\,\mathrm{kPa}\approx38{,}8\,\mathrm{kPa}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Gasdruck entsteht durch Impulsübertrag auf eine Wand. Das Geschwindigkeitsquadrat in der Formel misst deshalb die ungeordnete Bewegung, und der Faktor 1/3 verteilt sie im isotropen Gleichgewicht auf drei Raumrichtungen. So führt die mikroskopische Stoßbilanz zur makroskopischen idealen Gasgleichung.

Viele einzelne Stöße ergeben einen messbaren Druck

Ein einzelnes Gasteilchen stößt nur kurz gegen eine Wand. Sehr viele Teilchen treffen sie zu verschiedenen Zeiten und übertragen dabei Impuls. Der zeitlich gemittelte Impulsstrom ergibt eine Kraft; geteilt durch die Wandfläche entsteht der Druck. Die kinetische Gastheorie übersetzt deshalb eine mikroskopische Bewegung in eine makroskopische Messgröße.[1][3]

Zwei Effekte arbeiten zusammen: Mehr Masse pro Volumen vergrößert den Impulsstrom, schnellere zufällige Bewegung vergrößert ihn quadratisch. Der Mittelwert der Geschwindigkeitsquadrate zählt beide Bewegungsrichtungen positiv. Der mittlere Geschwindigkeitsvektor kann dagegen null sein, obwohl das Gas einen großen Druck besitzt.[1]

Wir betrachten ein verdünntes klassisches ideales Gas und elastische Wandstöße. Für einen einzigen thermischen Druck müssen die zweiten Geschwindigkeitsmomente in allen Richtungen gleich sein. In den folgenden Aufgaben siehst du auch, was ohne diese Isotropie übrig bleibt und warum eine gemeinsame Strömung gesondert behandelt wird.[1][4]

Impulsstrom wird zu Druck

\begin{aligned}&pV=\frac13Nm\langle c^2\rangle\\&p=\frac13\rho\langle c^2\rangle\\&\rho=\frac{Nm}{V}\end{aligned}

p ist absoluter thermischer Druck; c ist die Geschwindigkeit relativ zur lokalen Gasströmung. N ist die Teilchenzahl.[1]

Druck hat die Einheit $\mathrm{Pa}=\mathrm{N\,m^{-2}}$ ; pV hat die Einheit Joule. ρ bezeichnet die Massendichte, nicht die Zahlendichte N/V. Die Formel beschreibt einen isotropen Druck, keinen beliebigen gerichteten Strahl gegen eine Wand. ⟨c²⟩ ist der Mittelwert der Quadrate, nicht das Quadrat der mittleren Beträge.

Die thermische RMS-Geschwindigkeit ist die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat. Verwende daher $\langle c^2\rangle=c_{\mathrm{rms}}^2$ ; die arithmetische mittlere Schnelligkeit ist eine andere statistische Größe. Die Dichteform verbindet dieses thermische Quadrat mit der Masse pro Gasvolumen.[1]

Ein Stoß und seine Wiederholungszeit

Betrachte zunächst ein Teilchen in einer rechteckigen Modellbox der Länge L entlang x und der Wandfläche A senkrecht dazu. Die Wand ruht. Ein elastischer Stoß kehrt cx um, während tangentiale Komponenten erhalten bleiben. Die Wand erhält den Impuls 2m|cx|. Für erneutes Treffen derselben Wand muss das Teilchen hin und zurück laufen.[3]

\begin{aligned}&\Delta t=\frac{2L}{|c_x|}\\&\overline F_x=\frac{2m|c_x|}{\Delta t}=\frac{mc_x^2}{L}\\&p_x=\frac{Nm\langle c_x^2\rangle}{AL}\end{aligned}

Summation und Zeitmittel führen zur Normaldruckkomponente; $AL=V$ . Das Boxmodell erläutert die Impulsbilanz.[3]

Für $c_x=0$ trifft das Teilchen diese Wand nicht; sein Beitrag ist ebenfalls null. In einem realen Gas verändern Zwischenstöße einzelne Flugwege. Die Gleichgewichts-Impulsflussbilanz bleibt der passende statistische Zusammenhang, solange das ideale klassische Modell zutrifft.[1]

Woher genau der Faktor 1/3 kommt

\begin{aligned}\langle c_x^2\rangle&=\langle c_y^2\rangle=\langle c_z^2\rangle\\&=\frac13\langle c^2\rangle\\pV&=\frac13Nm\langle c^2\rangle\end{aligned}

Isotropie setzt gleiche zweite Momente voraus, nicht gleiche momentane Komponenten jedes Teilchens.[1]

Die vorausgesetzte volle Isotropie liefert zusätzlich verschwindende Kreuzmomente wie $\langle c_xc_y\rangle=0$ . Gleiche drei diagonale Momente allein würden den gleichen Normaldruck für beliebige gedrehte Wandorientierungen noch nicht beweisen. Damit ist p für jede Wandorientierung gleich. Bei einer anisotropen Verteilung bleiben $p_x=\rho\langle c_x^2\rangle$ und die analogen Komponenten verschieden. Der ungeprüfte Ersatz durch ein Drittel des Gesamtquadrats würde dann nur einen Mittelwert der Diagonalkomponenten bilden und nicht den tatsächlichen Normaldruck einer bestimmten Wand liefern.[3]

Die Brücke zur idealen Gasgleichung

\begin{aligned}\frac12m\langle c^2\rangle&=\frac32k_{\mathrm B}T\\pV&=Nk_{\mathrm B}T=nRT\end{aligned}

Gleichverteilung verbindet den mechanischen Druck mit der thermischen Temperatur.[2]

\begin{aligned}&pV=\frac23E_{\mathrm{tr,tot}}\\&c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3p}{\rho}}\\&N=\frac{3pV}{m\langle c^2\rangle}\end{aligned}

Etr,tot zählt die translatorische Energie aller Teilchen. Für ein mehratomiges Gas ist das nicht unbedingt die gesamte innere Energie.[1]

In einem idealen Gemisch bei gemeinsamer T addieren sich die Impulsbeiträge der Gasarten: $p_s=\frac{N_sk_BT}{V}$ und $p=\sum_s p_s$ . Unterschiedliche Massen ergeben unterschiedliche Geschwindigkeiten, aber keine andere Energie $\frac32k_BT$ pro Teilchen bei gleicher Temperatur. Mehr Teilchen pro Volumen bedeuten einen entsprechend größeren Partialdruck.[1]

Das ideale Gasgesetz beschreibt dieselbe Gleichgewichtszustandsbeziehung mit Temperatur statt Geschwindigkeitsquadrat. Die mikroskopische Herleitung erklärt dabei, woher der Druck stammt; sie erweitert den Gültigkeitsbereich nicht auf dichte reale Gase oder gerichtete Strahlen.[1][2]

Drei Beispiele vom Teilchenmodell zum Messwert

Druck aus Teilchenzahl und RMS-Größe

Gegeben: $N=2{,}00\cdot10^{22}$ , $m=6{,}64\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $c_{\mathrm{rms}}=900\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , $V=0{,}0060\,\mathrm{m^3}$ . Klassisches isotropes ideales Gas; Geschwindigkeit relativ zur mittleren Gasbewegung.
Gesucht: Bestimme pV, p und Etr,tot.

Ansatz: Im isotropen Modell gilt $pV=\frac13Nm c_{\mathrm{rms}}^2$ ; die translatorische Energie ist $E_{\mathrm{tr,tot}}=\frac12Nm c_{\mathrm{rms}}^2$ . RMS quadrieren und Impulsfluss berechnen.
$pV=\tfrac13(2.00\times10^{22})(6.64\times10^{-27})(900)^2=35.856\,\mathrm J$
Durch Volumen teilen.
$p=\frac{35.856}{0.0060}=5976\,\mathrm{Pa}$
Gesamte translatorische Energie separat bestimmen.
$E_{\mathrm{tr,tot}}=\tfrac12Nm c_{\mathrm{rms}}^2=53.784\,\mathrm J$

Ergebnis: Der absolute Druck ist 5,976 kPa. pV ist 35,856 J, die gesamte translatorische Energie 53,784 J.

Kontrolle: Die Dichte $\rho=\frac{Nm}{V}\approx0{,}0221333\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ergibt $p=\frac{\rho c_{\mathrm{rms}}^2}{3}=\frac{\rho\cdot900^2}{3}\,\mathrm{m^2\,s^{-2}}=5976\,\mathrm{Pa}$ . Außerdem ist pV genau zwei Drittel von 53,784 J.

Zwei Gasarten mit gemeinsamem T

Gegeben: $T=320\,\mathrm K$ , $V=0{,}0040\,\mathrm{m^3}$ . Teilchenzahlen: $N_A=1{,}20\cdot10^{22}$ , $N_B=0{,}80\cdot10^{22}$ . A und B bezeichnen hier die Gasarten, nicht die Avogadro-Konstante. Ideales Gemisch im Gleichgewicht.
Gesucht: Bestimme beide Partialdrücke und den Gesamtdruck.

Ansatz: Für das ideale Gemisch bei gemeinsamem T gilt je Gasart $p_i=\frac{N_i k_{\mathrm B}T}{V}$ , anschließend $p=p_A+p_B$ . Jede Gasart trägt ihren eigenen Teilchenzahlanteil bei.
$p_A=\frac{(1.20\times10^{22})k_{\mathrm B}(320)}{0.0040}=13254.2304\,\mathrm{Pa}$
Zweiten Anteil berechnen und addieren.
$\begin{aligned}p_B&=8836.1536\,\mathrm{Pa}\\{} p&=p_A+p_B=22090.384\,\mathrm{Pa}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Partialdrücke betragen etwa 13,254 und 8,836 kPa; zusammen 22,090 kPa. Teilchenmassen werden bei bekanntem gemeinsamem T nicht benötigt.

Kontrolle: $\frac{p_A}{p_B}=1{,}5$ stimmt mit dem Verhältnis der Teilchenzahlen überein. Die direkte Rechnung mit $N_{\mathrm{tot}}=2{,}00\cdot10^{22}$ liefert denselben Gesamtdruck.

Die Teilchenform und die Dichteform sind dieselbe Impulsbilanz. Der folgende Vergleich prüft beide Rechenwege anhand identischer Eingangswerte.[1][2]

Teilchenzahl oder Dichte: dieselbe Druckrechnung

Gegeben: Ein isotropes Modellgas enthält $N=1{,}00\cdot10^{23}$ Teilchen mit $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . $V=0{,}0100\,\mathrm{m^3}$ , thermische RMS-Geschwindigkeit $c_{\mathrm{rms}}=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Gesucht: Gesucht sind Massendichte und Druck; beide Druckformen sollen übereinstimmen.

Ansatz: Die Gesamtmasse aus Teilchenzahl und Einzelmasse bestimmen und durch das Volumen teilen. Dann den isotropen thermischen Druck berechnen.
$\begin{aligned}M_{\mathrm{gas}}&=Nm\\\rho&=\frac{Nm}{V}\\p&=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2\end{aligned}$
Einsetzen: Der Geschwindigkeitswert wird quadriert, nicht vor dem Mitteln vorzeichenabhängig aufsummiert.
$\begin{aligned}M_{\mathrm{gas}}&=(1.00\cdot10^{23})(4.65\cdot10^{-26})\,\mathrm{kg}\\&=0.00465\,\mathrm{kg}\\\rho&=\frac{0.00465\,\mathrm{kg}}{0.0100\,\mathrm{m^3}}=0.465\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\\p&=\frac13(0.465)(500^2)\,\mathrm{Pa}\\&=38750\,\mathrm{Pa}=38.75\,\mathrm{kPa}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Massendichte ist 0,465 kg/m³, der Druck 38,75 kPa.

Kontrolle: Kontrolle über die Teilchenform: $pV=\frac13Nm c_{\mathrm{rms}}^2=387{,}5\,\mathrm J$ . Division durch 0,0100 m³ liefert denselben Druck. Der passende translatorische Energieinhalt ist $E_{\mathrm{tr}}=\frac32pV=581{,}25\,\mathrm J$ ; bei mehratomigen Teilchen ist das nicht automatisch ihre gesamte innere Energie.

Druckarten und Bezugssystem nennen

Ein Manometer kann den Überdruck gegenüber der Umgebung anzeigen. Vor $pV=Nk_BT$ musst du daraus den absoluten Druck bilden: $p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{gauge}}+p_{\mathrm{ambient}}$ . Ein Druck von null in dieser idealen Gasgleichung bedeutet kein lediglich mit der Umgebung ausgeglichenes Gefäß.[1]

Bei gerichteter Strömung zerlege $\vec v=\vec u+\vec c$ . Die thermische Normalspannung benutzt das zweite Moment von c. Der zusätzliche gerichtete Impulsfluss $\rho u_x^2$ gehört zur Strömungsbilanz und darf nicht pauschal als thermodynamischer Gleichgewichtsdruck eingesetzt werden. Stau- oder Stoßvorgänge brauchen zusätzliche Rand- und Prozessbedingungen.[3]

Druck wächst mit dem Quadrat der thermischen Geschwindigkeit

QUANTA STUDYquanta-study.de

Bei unveränderter Massendichte

\rho=0{,}80\,\mathrm{kg\,m^{-3}}

liefert die Kurve den Druck für jede thermische RMS-Geschwindigkeit. Der Wert bei 450 m/s ist 54,0 kPa wie in Aufgabe 1. Eine Verdopplung der Geschwindigkeit vervierfacht den Druck, wenn die Dichte wirklich konstant bleibt. Gerichtete Strömung ist nicht eingezeichnet.[1]

Kostenlos mit Quanta-Konto. Dein Download bleibt nach der Registrierung bereit.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein isotropes Modellgas hat $\rho=0{,}80\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und die thermische RMS-Geschwindigkeit $c_{\mathrm{rms}}=450\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Berechne den Druck.

Hinweis anzeigen

Dichteform $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$ verwenden.

Lernziel: Isotropen Gasdruck aus Massendichte und thermischer RMS-Geschwindigkeit berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Das Quadrat der thermischen RMS-Geschwindigkeit mit der Dichte multiplizieren und durch drei teilen.
Der Druck beträgt 54,0 kPa.

Kontrolle: Die Einheiten ergeben $\mathrm{kg\,m^{-3}}\cdot\mathrm{m^2\,s^{-2}}=\mathrm{Pa}$ . Das Ergebnis bezeichnet thermischen Druck; eine gemeinsame Strömung gehört nicht in dieses Geschwindigkeitsquadrat.

\begin{aligned}p&=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2\\&=\frac{(0.80)(450^2)}3\,\mathrm{Pa}\\&=54000\,\mathrm{Pa}=54.0\,\mathrm{kPa}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Dasselbe geschlossene starre Gefäß wird von 300 auf 450 K erwärmt. Wie ändern sich Druck und thermische RMS-Geschwindigkeit?

Hinweis anzeigen

N und V bleiben gleich, die Gasart ebenfalls.

Lernziel: Unterschiedliche Temperaturabhängigkeiten von Druck und Geschwindigkeit vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei unveränderter Gasart und Teilchenzahldichte wächst der Druck proportional zur Temperatur.
Die RMS-Geschwindigkeit wächst nur mit deren Quadratwurzel.

Kontrolle: Ihr Quadrat wächst um denselben Faktor 1,5 wie der Druck; die Geschwindigkeit selbst wächst nur um etwa 22,5 Prozent.

\begin{aligned}\frac{p_2}{p_1}&=\frac{T_2}{T_1}=\frac{450}{300}=1.50\\\frac{c_{\mathrm{rms},2}}{c_{\mathrm{rms},1}}&=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=\sqrt{1.50}\\&\approx1.224745\end{aligned}

Transfer · Vertiefen

Eine anisotrope Modellverteilung hat $\rho=1\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $\langle c_x^2\rangle=90000\,\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ , $\langle c_y^2\rangle=\langle c_z^2\rangle=40000\,\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ . Bestimme $p_x$ , $p_y$ und $p_z$ .

Hinweis anzeigen

Komponentenform benutzen; Isotropie ist ausdrücklich nicht gegeben.

Lernziel: Richtungsabhängige Druckkomponenten statt einer isotropen Vereinfachung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für jede Richtung die zugehörige Normaldruckkomponente berechnen.
Die isotrope Vereinfachung ist hier nicht erlaubt.
Der Mittelwert aller drei Komponenten beträgt etwa 56,67 kPa, beschreibt aber keinen der tatsächlichen Wandnormaldrücke.

Kontrolle: Die stärkere Bewegung in x-Richtung ergibt den größten Normaldruck. Eine einzige Gleichgewichtstemperatur wird für diese Verteilung nicht vorausgesetzt.

\begin{aligned}p_x&=\rho\langle c_x^2\rangle=90000\,\mathrm{Pa}=90\,\mathrm{kPa}\\p_y=p_z&=\rho\langle c_y^2\rangle=40\,\mathrm{kPa}\\\frac{p_x+p_y+p_z}{3}&=\frac{90+40+40}{3}\,\mathrm{kPa}\\&\approx56.67\,\mathrm{kPa}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Zwei klassische ideale Gase haben die gleiche Teilchenzahldichte und Temperatur. Die Masse eines Moleküls in Gas B ist viermal so groß wie in Gas A. Beide Geschwindigkeitsverteilungen sind isotrop im jeweiligen Ruhesystem des Gases. Vergleiche den Druck und die thermische RMS-Geschwindigkeit. Kann aus dem langsameren Gas allein auf kleineren Druck geschlossen werden?

Hinweis anzeigen

Bei gleichem T ist die mittlere translatorische Energie pro Teilchen gleich. In der Druckformel ändern sich sowohl Massendichte als auch das mittlere Geschwindigkeitsquadrat.

Lernziel: Gleichen Druck trotz unterschiedlicher thermischer Molekülgeschwindigkeiten begründen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zuerst aus gleicher thermischer Energie das Verhältnis der Geschwindigkeitsquadrate ableiten.
Gas B hat ein Viertel des mittleren Quadrats und die halbe RMS-Geschwindigkeit.
Seine Massendichte ist bei gleicher Teilchenzahldichte viermal so groß.
In der Druckformel kompensieren sich beide Faktoren; die Drücke sind gleich.

Kontrolle: Auch die ideale Form $p=\frac NVk_BT$ enthält keine Teilchenmasse.

\begin{aligned}\frac{c_{\mathrm{rms},B}}{c_{\mathrm{rms},A}}&=\sqrt{\frac{m_A}{m_B}}=\frac12\\\frac{\rho_B}{\rho_A}&=4\\\frac{p_B}{p_A}&=\frac{\rho_B\langle c_B^2\rangle}{\rho_A\langle c_A^2\rangle}=4\cdot\frac14=1\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Vertiefen

Ein isotropes ideales Gas hat Massendichte 1,2 kg/m³ und thermische RMS-Geschwindigkeit 500 m/s. Im Labor strömt es zusätzlich gleichförmig mit 100 m/s. Eine Lösung setzt das Labor-Mittelquadrat $(500\,\mathrm{m/s})^2+(100\,\mathrm{m/s})^2$ in $p=\frac13\rho\langle c^2\rangle$ ein und erhält 104 kPa. Bestimme den thermischen Druck und erkläre den Fehler. Gesucht ist nicht der Stau- oder Impulsstromdruck einer Wandströmung.

Hinweis anzeigen

In dieser Druckgleichung ist c die Geschwindigkeit relativ zur mittleren Strömung. Eine gemeinsame Drift muss vorher abgezogen werden.

Lernziel: Bulkbewegung nicht als thermischen Druck in das Teilchengeschwindigkeitsquadrat aufnehmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Das gegebene thermische Geschwindigkeitsquadrat ohne Driftbeitrag verwenden.
Der richtige Druck beträgt 100 kPa; die behaupteten 104 kPa enthalten 4 kPa aus einer unzulässigen Vermischung der Bezugssysteme.

Kontrolle: Ein Wechsel in ein mitströmendes Inertialsystem ändert den thermischen Druck nicht. Bulk-Impulsfluss ist eine zusätzliche gerichtete Größe und darf nicht pauschal isotrop durch drei verteilt werden.

\begin{aligned}\vec c&=\vec v-\vec u\\p&=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2=\frac13(1.2)(500^2)\,\mathrm{Pa}=100\,000\,\mathrm{Pa}\\\Delta p_{\mathrm{wrong}}&=\frac13\rho u^2=4000\,\mathrm{Pa}\end{aligned}

[1][3]

Die Modellbox ist kein jedes Gas erfassendes Gesetz

Die einfache Form setzt nichtrelativistische klassische Teilchen, vernachlässigbare Wechselwirkungsbeiträge und isotrope thermische Bewegung voraus. Das Wandmodell benutzt elastische Reflexion an einer ruhenden Wand. Reale Gase bei hoher Dichte können zusätzliche Beiträge zum Druck besitzen; Quantengase benötigen andere statistische Beziehungen.[4]

Für ein Gemisch ohne bekannte gemeinsame Gleichgewichtstemperatur werden die Beiträge mit den jeweiligen Teilchenmassen und zweiten Geschwindigkeitsmomenten getrennt summiert. Beispiel 3 führt den früheren zusätzlichen Zahlenfall vollständig vor: Die Druckrechnung über Teilchenzahl und die Rechnung über Massendichte müssen übereinstimmen.[1]

Das Wichtigste für die nächste Rechnung

Isotrop und im Ruhesystem des Gases gilt $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$ . Der Faktor ein Drittel verteilt das mittlere Quadrat auf drei Richtungen. Teilchenmasse, Dichte und Geschwindigkeit gehören zum selben Gaszustand. Ohne Isotropie benutzt du die einzelnen Normaldruckkomponenten; eine gemeinsame Drift ist kein zusätzlicher thermischer Beitrag.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Fachlich passende Verbindungen ergänzt; vorhandene Herleitungen, Rechnungen, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Erklärungen und Lernübergänge ausgearbeitet, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein eigenes quantitatives Diagramm ergänzt; Voraussetzungen und Rechenwege präzisiert.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Druck aus der kinetischen Gastheorie. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/kinetische-gastheorie-druck

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Druck aus der kinetischen Gastheorie

Was beschreibt der Druck aus der kinetischen Gastheorie physikalisch?+

Die Formel beschreibt den absoluten thermischen Druck als Impulsübertrag ungeordnet bewegter Teilchen auf eine ruhende Wand: $pV=\frac13Nm\langle c^2\rangle$ . N zählt Teilchen, m ist ihre Masse und c wird relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung gemessen. Ein elastischer Stoß kehrt die normale Geschwindigkeitskomponente um; die Wand erhält den entsprechenden Impuls. Die vorausgesetzte Isotropie macht die zweiten Momente in drei Raumrichtungen gleich; daraus folgt der Faktor ein Drittel. Gerichtete Strömung ist damit nicht automatisch thermodynamischer Druck. Mit $\rho=\frac{Nm}{V}$ lautet die Dichteform $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$ . Das mittlere Quadrat darf nicht durch das Quadrat der arithmetisch mittleren Geschwindigkeit ersetzt werden.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Druck aus der kinetischen Gastheorie?+

Für $N=2{,}00\cdot10^{22}$ , $m=6{,}64\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $c_{\mathrm{rms}}=900\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $V=0{,}0060\,\mathrm{m^3}$ erhältst du $pV=35{,}856\,\mathrm J$ und $p=5976\,\mathrm{Pa}$ . Kontrolliere über $\rho=\frac{Nm}{V}\approx0{,}0221333\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$ . Eine zweite Kontrolle nutzt die translatorische Gesamtenergie $E_{\mathrm{tr}}=\frac12Nmc_{\mathrm{rms}}^2=53{,}784\,\mathrm J$ ; daraus muss $pV=\frac23E_{\mathrm{tr}}$ folgen. Prüfe, ob die Geschwindigkeit thermisch und die Verteilung isotrop ist. Bei einem mehratomigen Gas darfst du diese translatorische Energie nicht ungeprüft mit der ganzen inneren Energie gleichsetzen. Auch ein Manometer-Überdruck muss vor der idealen Gasgleichung in absoluten Druck umgerechnet werden. Das angegebene Volumen muss außerdem tatsächlich das zugängliche Gasvolumen sein.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für den Druck aus der kinetischen Gastheorie?+

Das einfache Modell setzt klassische nichtrelativistische Teilchen, vernachlässigbare Wechselwirkungsbeiträge und isotrope thermische Bewegung voraus. Die anschauliche Wandherleitung verwendet elastische Reflexion an einer ruhenden Wand. Bei anisotroper Verteilung bleibt $p_x=\rho\langle c_x^2\rangle$ richtungsabhängig; der Faktor 1/3 ist dann für eine bestimmte Wand nicht gerechtfertigt. Ein gerichteter Strahl oder zusätzliche Strömung braucht eine Impulsflussbilanz mit passendem Bezugssystem. Dichte reale Gase und Quantengase können andere Druckbeziehungen benötigen. In Gemischen müssen die Beiträge unterschiedlicher Gasarten getrennt summiert werden, solange keine gemeinsame Gleichgewichtstemperatur bekannt ist. Der angegebene p-Wert ist absoluter Druck, kein automatisch gegen die Umgebung gemessener Überdruck.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Druck aus der kinetischen Gastheorie?+

$Nm\langle c^2\rangle$ hat die Einheit $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}=\mathrm J$ ; daher ist pV eine Energiegröße. Division durch V in m³ ergibt $\mathrm{J\,m^{-3}}=\mathrm{Pa}$ . In der Dichteform liefert kg/m³ mal m²/s² ebenfalls Pa. Quadriere $c_{\mathrm{rms}}$ wirklich; seine direkte Multiplikation mit der Masse wäre ein Impuls und nicht die benötigte Größe. Ein Beispiel mit $N=10^{23}$ , $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ und $c_{\mathrm{rms}}=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ergibt $pV=387{,}5\,\mathrm J$ . Bei $V=0{,}010\,\mathrm{m^3}$ folgt $p=38{,}75\,\mathrm{kPa}$ . Verdoppeltes Volumen bei unveränderter Teilchenzahl und thermischer Verteilung halbiert p. Vierfaches $c_{\mathrm{rms}}$ bei gleicher Dichte würde p dagegen versechzehnfachen. Die Massendichte gehört zur gesamten Gasprobe; die Teilchenmasse gehört zu einem einzelnen Teilchen. Verwechsle diese beiden Größen beim Einsetzen nicht.

Wann kombiniere ich den Druck aus der kinetischen Gastheorie mit einer weiteren Beziehung?+

Kombiniere die Impulsflussform mit $\frac12m\langle c^2\rangle=\frac32k_BT$ , um $pV=Nk_BT=nRT$ zu erhalten. Dadurch wird aus der Geschwindigkeitsverteilung eine thermische Zustandsgleichung. In einem idealen Gemisch bei gemeinsamer T trägt jede Gasart $p_s=\frac{N_sk_BT}{V}$ bei; die Partialdrücke addieren sich. Für 1,20·10²² und 0,80·10²² Teilchen bei 320 K in 0,0040 m³ sind die Beiträge 13,254 und 8,836 kPa, zusammen 22,090 kPa. Ihre Massen werden bei bekannter gemeinsamer T nicht benötigt. Für innere Energie gilt $U=\frac32pV$ nur beim passenden einatomigen Modell; für mehratomige Gase bleibt es die translatorische Summe.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Druck aus der kinetischen Gastheorie":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Druck aus der kinetischen Gastheorie?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du pV = 1/3 Nm⟨v²⟩ nach Druck um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei pV = 1/3 Nm⟨v²⟩?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §2.2: Pressure, Temperature, and RMS Speed

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta