Physik · Kinetische Gastheorie

Thermische RMS-Geschwindigkeit von Gasmolekülen

Q: Was beschreibt der quadratische Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit physikalisch?

Die RMS-Geschwindigkeit ist die Wurzel aus dem mittleren Quadrat der thermischen Geschwindigkeitsbeträge: $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$. Sie verbindet die Verteilung mit ihrer mittleren translatorischen Energie, weil $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac12mc_{\mathrm{rms}}^2$ gilt. Im klassischen Gleichgewicht folgt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$. Das ist nicht der gewöhnliche Durchschnitt ⟨c⟩ und auch nicht die mittlere Vektorgeschwindigkeit, die im ruhenden Gas null ist. Für die Maxwell-Verteilung liegt crms oberhalb der mittleren und der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit. Gemeint sind Geschwindigkeiten relativ zum lokalen Gasruhesystem. Eine gemeinsame Strömung kann die Labor-RMS-Größe erhöhen, ohne dieselbe thermische Temperaturerhöhung zu bedeuten. Die Probengröße fällt bei diesem Kennwert aus der Gleichung heraus.

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zum quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit?

Für $M=0{,}032\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=400\,\mathrm K$ ergibt $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ etwa 558,384 m/s. Prüfe unabhängig über $m=\frac M{N_{\mathrm A}}$: $\frac12mc_{\mathrm{rms}}^2$ muss $\frac32k_{\mathrm B}T=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ ergeben. Im Maxwell-Modell sind $c_{\mathrm{mp}}\simeq455{,}918\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $\langle c\rangle\simeq514{,}449\,\mathrm{m\,s^{-1}}$; die Reihenfolge $c_{\mathrm{mp}}<\langle c\rangle<c_{\mathrm{rms}}$ muss stimmen. Kontrolliere außerdem $\frac{c_{\mathrm{rms}}}{c_{\mathrm{mp}}}=\sqrt{\frac32}$. Das Ergebnis hängt nicht davon ab, ob die Probe ein Mol oder eine andere Stoffmenge enthält. Prüfe vor einer Temperaturbestimmung aus gemessenen Geschwindigkeiten, ob eine mittlere Strömung abgezogen wurde. Eine unbereinigte Labor-RMS-Größe würde sonst einen zu großen thermischen Wert liefern. Ein schwereres Teilchen braucht bei gleicher Energie ein kleineres Geschwindigkeitsquadrat.

Q: Welche Annahmen und Grenzen gelten für den quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit?

Die Temperaturformel setzt klassische nichtrelativistische Translation im thermischen Gleichgewicht voraus. Die Geschwindigkeit wird relativ zur mittleren Gasbewegung ausgewertet. Quantendegeneration oder stark wechselwirkende dichte Systeme können eine andere Verteilung benötigen. Außerhalb des Gleichgewichts sind die drei Komponentenmomente nicht unbedingt gleich. In einem Gemisch gilt die passende Teilchen- oder molare Masse für jede Gasart gesondert; eine durchschnittliche Masse liefert nicht automatisch ihre jeweiligen RMS-Werte. Die Formeln für wahrscheinlichste und arithmetisch mittlere Geschwindigkeit benötigen zusätzlich die Maxwell-Boltzmann-Verteilung. crms bleibt eine statistische Größe und legt weder die Geschwindigkeit jedes Moleküls noch die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Schallwelle fest.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit?

In der Teilchenform gehört m in kg pro Molekül; in der molaren Form gehört M in kg/mol. Ein Wert von 32 g/mol wird deshalb zu 0,032 kg/mol. $\frac{RT}{M}$ hat die Einheit $\mathrm{J\,kg^{-1}}=\mathrm{m^2\,s^{-2}}$, erst die Wurzel ergibt m/s. Ein unkonvertierter Einsatz von 32 statt 0,032 macht die Geschwindigkeit um $\sqrt{1000}$ zu klein. Temperatur steht in Kelvin. Bei gleicher Gasart skaliert crms mit $\sqrt T$; bei gleicher T skaliert es mit $\frac1{\sqrt M}$. Eine zehnmal schwerere Gasart besitzt daher nur $\frac1{\sqrt{10}}$ der RMS-Geschwindigkeit, aber dieselbe mittlere translatorische Energie pro Teilchen.

Q: Wann kombiniere ich den quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit mit einer weiteren Beziehung?

Für eine Temperaturmessung stelle $T=\frac{Mc_{\mathrm{rms}}^2}{3R}$ um. Bei $M=0{,}040\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und thermischem $c_{\mathrm{rms}}=600\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ergibt sich $T\simeq577{,}307\,\mathrm K$. Für einen Druck kombiniere crms mit $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$ im isotropen idealen Gas. Für strömende Proben benutze $\mathbf v=\mathbf u+\mathbf c$ und $\langle v^2\rangle=u^2+\langle c^2\rangle$, um gemeinsame Bewegung abzuziehen. Beispielsweise ergeben $u=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=300\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ die Labor-RMS-Größe 316,228 m/s, nicht 400 m/s. Die Energiegleichung verwendet weiterhin den thermischen Wert 300 m/s. Soll die arithmetische mittlere Geschwindigkeit gesucht sein, benötigst du deren eigenes Maxwell-Moment statt einer bloßen Umbenennung von crms. Im Gemisch wertest du jede Gasart mit ihrer eigenen Masse aus.

Die RMS-Geschwindigkeit ist die Quadratwurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat eines idealen Gasmoleküls.

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Formel

Berechnen

v_{rms} = \frac{3 k _{B} T}{m}

v in m/s; kB in J/K; T in K; m in kg pro Molekül.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
vrms	Wurzel des mittleren thermischen Geschwindigkeitsquadrats relativ zum lokalen Gasstrom	m/s
$kB$	Boltzmann-Konstante	J/K
$T$	absolute Temperatur	K
$m$	Masse eines einzelnen Moleküls	kg

LaTeX

v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}

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Normierte Maxwell-Dichte. Maximum bei x gleich 1, mittlerer Betrag bei 1,1284 und RMS bei 1,2247. Ihre eng benachbarten tatsächlichen Positionen sind durch getrennte Beschriftungslinien zugeordnet. — Drei verschiedene Kennwerte derselben Maxwell-Verteilung im ruhenden Gleichgewicht: cmp ist der wahrscheinlichste Betrag, ⟨c⟩ der arithmetische Mittelwert, crms die Wurzel des zweiten Moments. Normierte Dichte g(x) = 4x²exp(−x²)/√π mit x = c/cmp.

RMS-Geschwindigkeit von Gasmolekülen berechnen

Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit eines Gases aus Temperatur und Masse ausrechnen, dazu die wahrscheinlichste und die mittlere Geschwindigkeit nach Maxwell.

Rechenmodell

Gesucht

Molare Masse M

Molare Masse der Gasart aus dem Periodensystem, z. B. 28 g/mol für Stickstoff N₂.

Absolute Temperatur T

Temperatur des Gases, z. B. 300 K; °C rechnet der Rechner selbst in Kelvin um.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach crms, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach crms umstellen
$c_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- M = 28 g/mol = 0,028 kg/mol
$\sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31446\cdot 300}{0{,}028}}=516{,}963$
3. Ergebnis
crms = 517 m/s

Ergebnis: RMS-Geschwindigkeit der Wärmebewegung crms

crms = 517 m/s

Mit M = 28 g/mol und T = 300 K ergibt sich crms = 517 m/s.

So rechnest du schneller

Vierfache Temperatur, doppelte Geschwindigkeit: c ist proportional zu √T. Bei gleicher Temperatur ist ein 16-mal schwereres Molekül nur ein Viertel so schnell.
Reihenfolge merken: wahrscheinlichste < mittlere < RMS-Geschwindigkeit, im Verhältnis √2 : √(8/π) : √3. Für Stickstoff bei 300 K etwa 422, 476 und 517 m/s.

Annahmen und Grenzen

Verdünntes klassisches nichtrelativistisches ideales Gas im thermischen Gleichgewicht mit positiver absoluter Temperatur; drei translatorische Freiheitsgrade, keine relevante Quantendegeneration oder Wechselwirkungsenergie. Thermische Bewegung relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung. Nicht die gesamte innere Energie mehratomiger Moleküle und keine Temperatur eines einzelnen Teilchens. Die gegebene Masse gehört zu derselben einzelnen Gasart; keine gemittelte Gemischmasse. Geschwindigkeit ist thermisch, gemeinsame Strömung bereits abgezogen.

Herleitung & Hintergrund

Die Temperaturformel gilt für klassische Gleichgewichtsbewegung relativ zum lokalen Gasruhessystem. Mit $m=\frac M{N_{\mathrm A}}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ ist $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ , für jede Probengröße. Verwende $M$ in kg/mol. RMS ist die Wurzel des mittleren Quadrats, nicht arithmetisches Mittel oder wahrscheinlichster Betrag. Eine gemeinsame Strömung muss vor der Temperaturbestimmung herausgerechnet werden.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Klassisches nichtrelativistisches ideales Gas im thermischen Gleichgewicht. RMS bezieht sich auf thermische Geschwindigkeiten relativ zum lokalen Gasstrom. m ist Teilchenmasse; M in kg/mol gilt für jede Probengröße. Andere Maxwell-Kennwerte sind eigenständige Größen.

Herleitung in Schritten

Das zweite Geschwindigkeitsmoment aus der translatorischen Energie bestimmen und erst danach die Wurzel ziehen.

1Werte thermische Beträge relativ zur mittleren Gasbewegung aus und definiere $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$ .
2Drei klassische Translationsanteile liefern $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ .
3Denselben Energiemittelwert schreibt man als $\frac12m\langle c^2\rangle$ .
4Gleichsetzen ergibt $\langle c^2\rangle=\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}$ .
5Die positive Wurzel ergibt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}$ , einen Betrag.
6Mit $m=\frac M{N_{\mathrm A}}$ und $R=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}$ folgt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ . Verwende kg/mol; die Probengröße ist beliebig.
7Arithmetischer Mittelwert und Dichtemaximum sind andere Kennwerte und benötigen ihre eigenen Verteilungsmomente.

Umstellen

Absolute Temperatur

T=\frac{m v_{\mathrm{rms}}^2}{3k_{\mathrm B}}

m ist die Masse eines Moleküls; v_rms bezeichnet hier die thermische Größe relativ zur lokalen Gasbewegung, keine unbereinigte Labor-RMS-Geschwindigkeit.

Aufgabenvariante

Stickstoffmodell im Gasruhessystem: molare Masse 0,0280 kg/mol, Temperatur 300 K. Berechne den thermischen RMS-Wert und nenne seine Bedeutung.

Für das Stickstoffmodell mit $M=0{,}0280\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ bei 300 K gilt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\simeq517\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Der Wert ist thermisch im Gasruhessystem und unabhängig von der Probengröße.

Typische Fehler

Molare Masse mit der Boltzmann-Konstante kombinieren oder Laborströmung als Wärmebewegung deuten.

Teilchenmasse passt zu $k_{\mathrm B}$ , molare Masse zu $R$ . Für die Temperatur gilt der thermische RMS-Wert relativ zur lokalen Gasbewegung.

Klausurkontext

Molekülgeschwindigkeiten aus Temperatur und molarer Masse abschätzen.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Das zweite Geschwindigkeitsmoment verknüpft Temperatur, translatorische Energie und Gasdruck; Mittelwert und Dichtemaximum sind andere Kennwerte.

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

pV = 1/3 Nm⟨v²⟩

Druck aus der kinetischen Gastheorie

U = 3/2 nRT

Innere Energie eines einatomigen idealen Gases

Rechenbeispiel

Für das Stickstoffmodell mit $M=0{,}0280\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ bei 300 K gilt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\simeq517\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Der Wert ist thermisch im Gasruhessystem und unabhängig von der Probengröße.

Anwendungsgebiete

Molekülgeschwindigkeiten aus Temperatur und molarer Masse abschätzen.

Rechenbeispiel: Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit (vrms = √(3kBT/m)).

1
Aufgabe
Stickstoffmodell im Gasruhessystem: molare Masse 0,0280 kg/mol, Temperatur 300 K. Berechne den thermischen RMS-Wert und nenne seine Bedeutung.
Rechenweg
1. Für das Stickstoffmodell mit $M=0{,}0280\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ bei 300 K gilt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\simeq517\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
2. Der Wert ist thermisch im Gasruhessystem und unabhängig von der Probengröße.

Die Formel verstehen und anwenden

Wie fasst man viele verschiedene Molekülgeschwindigkeiten zu einer einzigen Zahl zusammen? Für die mittlere kinetische Energie brauchst du das mittlere Geschwindigkeitsquadrat. Der RMS-Wert entsteht durch Quadrieren, Mitteln und anschließendes Wurzelziehen. Im klassischen Gleichgewicht liefert die Temperatur dafür $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}$ . Du unterscheidest diesen Energiemaßstab vom gewöhnlichen Mittelwert, vom häufigsten Betrag und von gemeinsamer Strömung.

Erst quadrieren, dann mitteln, dann die Wurzel

c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle c^2\rangle}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}

c ist die Geschwindigkeit relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung. Die obere Schreibweise vrms meint diesen thermischen Betrag.[1]

Die Reihenfolge ist entscheidend. Für die drei Beträge 100, 200 und 300 m/s ergibt gewöhnliches Mitteln 200 m/s. Beim RMS-Verfahren werden zuerst die Quadrate gemittelt; die anschließende Wurzel liefert etwa 216,025 m/s. Schnelle Teilchen beeinflussen den Energiemittelwert stärker. Diese drei Werte sind eine illustrative Stichprobe, keine Maxwell-Verteilung und kein Beweis einer Gleichgewichtstemperatur.

\begin{aligned}\overline c&=\frac{100+200+300}{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=200\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{100^2+200^2+300^2}{3}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\&\simeq216.025\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}

Ein Mittelwert der Beträge ist nicht die Wurzel aus dem Quadratmittel.

Energie liefert das zweite Moment

\begin{aligned}\frac12m\langle c^2\rangle&=\frac32k_{\mathrm B}T\\\langle c^2\rangle&=\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}\\c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}\end{aligned}

Drei translatorische Freiheitsgrade im klassischen Gleichgewicht liefern den Faktor 3.[2]

Beginne mit der mittleren translatorischen Energie im klassischen Gleichgewicht. Dividiere durch $\frac m2$ , um das mittlere Geschwindigkeitsquadrat zu erhalten. Erst die Wurzel liefert wieder eine Geschwindigkeit. Bei isotropem Gleichgewicht tragen die drei Komponenten gleich viel zum Quadratmittel bei. Ihr Vektormittel ist trotzdem null. Die Formel behauptet weder identische momentane Teilchengeschwindigkeiten noch eine Bewegungsrichtung für ein bestimmtes Molekül.[1]

\begin{aligned}\langle c_x^2\rangle=\langle c_y^2\rangle=\langle c_z^2\rangle&=\frac{k_{\mathrm B}T}{m}\\\langle\mathbf c\rangle&=0\end{aligned}

Im isotropen ruhenden Gleichgewicht sind die Komponentenmittelwerte null, ihre zweiten Momente jedoch positiv.[5]

Wie verwendet man Teilchenmasse oder molare Masse und stellt nach Temperatur um?

\begin{aligned}m&=\frac M{N_{\mathrm A}}\\R&=N_{\mathrm A}k_{\mathrm B}\\c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\end{aligned}

Die molare Form gilt für jede Probengröße; sie verlangt nicht genau ein Mol. M muss in kg/mol eingesetzt werden.[6]

Welche Masse ist gegeben? Für ein einzelnes Teilchen verwendest du $m$ mit $k_{\mathrm B}$ . Für die molare Masse verwendest du $M$ mit $R$ . Ein Modellwert von 32 g/mol wird zu 0,032 kg/mol umgerechnet. Der Quotient $\frac{RT}{M}$ hat die Einheit J/kg, also Quadratmeter pro Quadratsekunde. Wer 32 statt 0,032 einsetzt, verliert den Faktor $\sqrt{1000}$ in der Geschwindigkeit. Die Masse der gesamten Probe gehört nicht in die Einzelteilchenformel.

\begin{aligned}T&=\frac{Mc_{\mathrm{rms}}^2}{3R}\\M&=\frac{3RT}{c_{\mathrm{rms}}^2}\end{aligned}

Diese Umstellungen beziehen sich auf ein klassisches Gleichgewicht und die thermische RMS-Geschwindigkeit derselben Gasart.[1]

Drei charakteristische Beträge unterscheiden

\begin{aligned}c_{\mathrm{mp}}&=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\\\langle c\rangle&=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\\c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\end{aligned}

Diese drei Werte gehören zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung in drei Raumdimensionen.[3]

Für die Maxwell-Verteilung sind drei verschiedene Kennwerte sinnvoll. $c_{\mathrm{mp}}$ liegt am Maximum der Betragsdichte. $\langle c\rangle$ ist das gewöhnliche Mittel ihrer Beträge. $c_{\mathrm{rms}}$ stammt aus dem zweiten Moment und ist am größten: $c_{\mathrm{mp}}<\langle c\rangle<c_{\mathrm{rms}}$ . Alle sind positiv, auch wenn das Gas als Ganzes ruht. Die angegebenen Temperaturformeln setzen eine Maxwell-Gleichgewichtsverteilung voraus; die Definition des RMS-Werts selbst ist auch für andere Stichproben möglich.[3]

Bild ansehen: drei Geschwindigkeitskennwerte

Drei Kennwerte derselben Verteilung

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Eigene Maxwell-Modellkurven für 0,032 kg/mol. Bei 400 K sind die Werte etwa 455,92, 514,45 und 558,38 m/s. Die Kurven zeigen Kennwerte, keine einzelnen Molekülbahnen.[3]

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Drei vollständige Rechnungen für thermische und Labor-RMS-Geschwindigkeit

Alle drei Rechnungen setzen klassische Gleichgewichtsbewegung voraus. Die dritte enthält ausdrücklich eine zusätzliche mittlere Strömung; deshalb wird vor der Temperaturbestimmung deren Beitrag vom Laborquadrat abgezogen.[1][7]

Drei Kennwerte eines Modellgases

Gegeben: $M=0{,}032\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ , $T=400\,\mathrm K$ ; klassisches ideales Gas im ruhenden Gleichgewicht.
Gesucht: Bestimme cmp, ⟨c⟩ und crms.

Ansatz: Für das klassische ideale Gas im ruhenden Gleichgewicht gelten drei verschiedene Kennwerte derselben Geschwindigkeitsbetragsverteilung. Temperatur und Molmasse werden identisch eingesetzt, die unterschiedlichen Faktoren dürfen nicht vertauscht werden.
$\begin{aligned}c_{\mathrm{mp}}&=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\\{}\langle c\rangle&=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\\{}c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\end{aligned}$
Molare RMS-Form verwenden.
$c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3(8.31446261815324)(400)}{0.032}}\approx558.384\,\mathrm{m/s}$
Die anderen Kennwerte aus ihren jeweiligen Momenten bestimmen.
$\begin{aligned}c_{\mathrm{mp}}&\approx455.918\,\mathrm{m/s}\\{} \langle c\rangle&\approx514.449\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$

Ergebnis: Der wahrscheinlichste Betrag ist etwa 455,92 m/s, der gewöhnliche Durchschnitt 514,45 m/s und die RMS-Größe 558,38 m/s.

Kontrolle: Mit $m=\frac M{N_A}$ liefert $\frac12m c_{\mathrm{rms}}^2$ genau $\frac32k_BT=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ . $\frac{c_{\mathrm{rms}}}{c_{\mathrm{mp}}}=\sqrt{\frac32}\approx1{,}224745$ prüft beide Geschwindigkeiten unabhängig.

Temperatur aus thermischer RMS-Messung

Gegeben: $M=0{,}040\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ ; thermisches $c_{\mathrm{rms}}=600\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ im lokalen Ruhesystem, klassische Gleichgewichtsverteilung.
Gesucht: Bestimme T und kontrolliere über Teilchenenergie.

Ansatz: Die gemessene RMS-Größe ist thermisch im lokalen Ruhesystem. Löse die Gleichgewichtsbeziehung nach Kelvin-Temperatur und prüfe anschließend die Teilchenenergie mit der aus der Molmasse bestimmten Masse.
$\begin{aligned}T&=\frac{Mc_{\mathrm{rms}}^2}{3R}\\{}\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle&=\frac12\frac M{N_A}c_{\mathrm{rms}}^2\end{aligned}$
Nach T umstellen.
$T=\frac{(0.040)(600)^2}{3(8.31446261815324)}\approx577.3073\,\mathrm K$
Teilchenmasse einsetzen und Energie berechnen.
$\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac12\frac{0.040}{N_{\mathrm A}}(600)^2=\frac{7200}{N_{\mathrm A}}\,\mathrm J$

Ergebnis: Das Modell ergibt T≈577,31 K, etwa 304,16 °C. Die 600 m/s dürfen keine unbereinigte Labor-RMS-Größe eines strömenden Gases sein.

Kontrolle: Multiplikation der Teilchenenergie mit $N_A$ ergibt 7200 Joule pro Mol. $\frac32RT$ liefert denselben Wert. Erneutes Einsetzen der Temperatur ergibt 600 Meter pro Sekunde.

Strömung aus einem Laborwert herausrechnen

Gegeben: Klassisches ideales Modellgas, molare Masse 0,0280 kg/mol. Gemessener Labor-RMS-Geschwindigkeitsbetrag 650 m/s; lokale gemeinsame Gasgeschwindigkeit 250 m/s. Isotrope thermische Verteilung relativ zur Gasbewegung.
Gesucht: Thermischen RMS-Wert und die Gleichgewichtstemperatur bestimmen.

Ansatz: Die Quadrate addieren sich. Deshalb den gemeinsamen Anteil vom Laborquadrat abziehen, dann die Temperatur aus dem thermischen Anteil berechnen.
$\begin{aligned}c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{v_{\mathrm{rms,lab}}^2-u^2}\\T&=\frac{Mc_{\mathrm{rms}}^2}{3R}\end{aligned}$
Erst die Geschwindigkeitsgrößen einsetzen.
$c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{650^2-250^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=600\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
Molare Masse und Gaskonstante verwenden.
$T=\frac{0.0280\cdot600^2}{3\cdot8.31446261815324}\,\mathrm K\simeq404.115\,\mathrm K$

Ergebnis: Der thermische RMS-Wert ist 600 m/s; die Temperatur beträgt etwa 404,12 K oder 130,97 °C.

Kontrolle: $\sqrt{250^2+600^2}=650$ rekonstruiert den Laborwert. Direkt 650 m/s einzusetzen würde die gemeinsame Bewegungsenergie als Wärmebewegung deuten. Ein Laborwert kleiner als 250 m/s wäre unter den angegebenen Annahmen bereits inkonsistent.

Laborbewegung vom thermischen Anteil trennen

\begin{aligned}\mathbf v&=\mathbf u+\mathbf c\\\langle\mathbf c\rangle&=0\\v_{\mathrm{rms,lab}}^2&=u^2+c_{\mathrm{rms}}^2\end{aligned}

u ist die lokale mittlere Strömung. Das Kreuzglied verschwindet durch $\langle\mathbf c\rangle=0$ .[4][7]

Einen gemessenen Labor-RMS-Wert darfst du nicht ungeprüft in die Temperaturformel einsetzen. Eine gemeinsame Geschwindigkeit $u$ erhöht sein Quadrat zusätzlich zur thermischen Bewegung. Ziehe daher zuerst diesen Beitrag ab. Auch die Schallgeschwindigkeit ist etwas anderes: Sie beschreibt die Ausbreitung kleiner Druckstörungen und braucht eine thermodynamische Prozessannahme. In einem Gemisch besitzt jede Gasart bei gemeinsamer Temperatur ihre eigene massenabhängige Verteilung. Die mittlere translatorische Energie pro Molekül verwendet weiterhin allein den thermischen Anteil relativ zum lokalen Gasstrom.[4][3][7]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Modellgas hat $M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=300\,\mathrm K$ . Bestimme crms.

Hinweis anzeigen

Molare Form mit kg/mol verwenden.

Lernziel: Thermische RMS-Größe berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Im lokalen Gasruhessystem gilt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ ; $M$ steht in kg/mol.
$c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3R\cdot300\,\mathrm K}{0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}}\approx611{,}678688\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ .
Die molare translatorische Energie beträgt $\frac12M c_{\mathrm{rms}}^2\approx3741{,}50818\,\frac{\mathrm J}{\mathrm{mol}}$ .

c_{\mathrm{rms}}\approx611.679\,\mathrm{m/s}

Transfer · Anwenden

Bei unveränderter Gasart wird die absolute Temperatur vervierfacht. Wie ändern sich alle drei Maxwell-Kennwerte?

Hinweis anzeigen

Jeder Kennwert ist proportional √T.

Lernziel: Maxwell-Geschwindigkeiten bei Temperaturänderung skalieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Alle drei Maxwell-Kennwerte enthalten bei fester Masse den Faktor $\sqrt T$ .
Bei $T_2=4T_1$ wird er doppelt so groß.
Deshalb verdoppeln sich wahrscheinlichster Betrag, mittlerer Betrag und RMS-Wert.
Die mittlere translatorische Energie ist proportional zu $T$ und vervierfacht sich.

Kontrolle: Die Verhältnisse zwischen den drei Kennwerten bleiben konstant.

\frac{c_2}{c_1}=2

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine gleichförmige Strömung hat $u=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=300\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Bestimme die Labor-RMS-Größe.

Hinweis anzeigen

Addiere Quadrate, keine Beträge.

Lernziel: Laborströmung von thermischem Anteil trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $v_{\mathrm{rms,lab}}=\sqrt{u^2+c_{\mathrm{rms}}^2}$ .
Die unten eingesetzten Quadrate ergeben etwa 316,228 m/s.
Die Temperaturformel verwendet weiterhin den thermischen Wert 300 m/s.
Die Beträge einfach zu 400 m/s zu addieren ist falsch, weil der gemischte Term im Ensemble verschwindet.

Kontrolle: Das Quadrat des Ergebnisses rekonstruiert die Summe der beiden Eingangsquadrate.

v_{\mathrm{rms,lab}}=\sqrt{100^2+300^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\simeq316.227766\,\mathrm{m\,s^{-1}}

Interpretieren · Anwenden

Vier gleich schwere Teilchen bewegen sich eindimensional mit Geschwindigkeiten −3, −1, +1 und +3 m/s. Dies ist eine illustrative Stichprobe, kein vollständiges Maxwell-Gas. Bestimme mittlere Vektorgeschwindigkeit, mittleren Geschwindigkeitsbetrag und RMS; welcher Wert repräsentiert die mittlere kinetische Energie?

Hinweis anzeigen

Erst bei RMS quadrieren, mitteln und die Wurzel ziehen.

Lernziel: Quadratmittel aus einer diskreten Stichprobe verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Vorzeichen heben sich im Vektormittel auf.
Der mittlere Betrag beträgt 2 m/s, das Quadratmittel der Geschwindigkeiten 5 Quadratmeter pro Quadratsekunde und RMS etwa 2,23607 m/s.
Die mittlere Energie verwendet dieses Quadratmittel, nicht das Quadrat des gewöhnlichen Mittels.
Null im Vektormittel bedeutet deshalb keine verschwindende Teilchenenergie.

\begin{aligned}\overline v&=0,&\overline{|v|}&=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\{}v_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{9+1+1+9}{4}}=\sqrt5\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\{}\langle E\rangle&=\frac12m\langle v^2\rangle\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Für ein ideales Gas mit $M=0{,}028\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=300\,\mathrm K$ setzt jemand M in die Teilchenform mit kB ein. Welcher Parameter passt zu kB, welcher zu R? Gib die korrekte Geschwindigkeit mit $R=8{,}314462618\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ an.

Hinweis anzeigen

Die beiden Formeln unterscheiden sich durch die Avogadro-Konstante.

Lernziel: Molare und einzelne Teilchenmasse nicht mischen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zur molaren Masse gehört die molare Gaskonstante.
Zur Boltzmann-Konstante gehört die Masse eines Teilchens, erhalten durch Division der Molmasse durch die Avogadro-Konstante.
Korrekt entstehen etwa 516,963 m/s.
Die falsche Kombination lässt eine zusätzliche Moleinheit unter der Wurzel zurück und ist schon dimensional kein Geschwindigkeitsbetrag.

\begin{aligned}m&=\frac M{N_A},&R&=N_Ak_B\\{}c_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\approx516.963\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}

[1]

Keine universelle Geschwindigkeitsformel

Die Temperaturformel beschreibt klassische nichtrelativistische Translation im thermischen Gleichgewicht. Relevante Quantendegeneration, stark wechselwirkende dichte Systeme oder Richtungsanisotropie verlangen eine passende andere Beschreibung. Für ein Gemisch ist eine gemittelte molare Masse nicht automatisch der richtige Parameter: Jede Art hat bei derselben Temperatur ihren eigenen RMS-Wert.[5]

Der RMS-Wert kennzeichnet ein Ensemble. Er behauptet nicht, dass jedes Molekül genau so schnell ist oder mit diesem Betrag auf eine Wand trifft. Wandtreffende Teilchen werden durch den Normalanteil ihrer Bewegung und den Teilchenfluss gewichtet. Eine Druckherleitung muss diese Auswahl berücksichtigen; sie darf das Gas nicht durch identische Pfeile mit nur einer Geschwindigkeit ersetzen.[1]

Kurz zusammengefasst

RMS bedeutet: erst quadrieren, dann mitteln, zuletzt die Wurzel ziehen. Im klassischen Gas verbindet dieses Maß die mittlere translatorische Energie mit der Temperatur. Teilchenmasse passt zur Boltzmann-Konstante, molare Masse zur Gaskonstante. Trenne thermische Bewegung von gemeinsamer Strömung und verwechsle RMS weder mit dem gewöhnlichen Mittel noch mit der Schallgeschwindigkeit.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Teilchen-/Molmassenwahl und Temperaturumstellung durch Frageüberschrift erschlossen; Beispielüberschrift an die drei vorhandenen Rechnungen angepasst und Verteilungs-/Teilchenenergielinks ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Erklärungen überarbeitet; drittes vollständiges Beispiel, eigene quantitative Grafik und kurze Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Aufgaben, Modelle und Quellen erhalten; Formelsatz und Modellbedingungen präzisiert.

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Quanta. Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/rms-geschwindigkeit-gasmolekuel

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

Was beschreibt der quadratische Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit physikalisch?+

Die RMS-Geschwindigkeit ist die Wurzel aus dem mittleren Quadrat der thermischen Geschwindigkeitsbeträge: $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$ . Sie verbindet die Verteilung mit ihrer mittleren translatorischen Energie, weil $\langle E_{\mathrm{tr}}\rangle=\frac12mc_{\mathrm{rms}}^2$ gilt. Im klassischen Gleichgewicht folgt $c_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ . Das ist nicht der gewöhnliche Durchschnitt ⟨c⟩ und auch nicht die mittlere Vektorgeschwindigkeit, die im ruhenden Gas null ist. Für die Maxwell-Verteilung liegt crms oberhalb der mittleren und der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit. Gemeint sind Geschwindigkeiten relativ zum lokalen Gasruhesystem. Eine gemeinsame Strömung kann die Labor-RMS-Größe erhöhen, ohne dieselbe thermische Temperaturerhöhung zu bedeuten. Die Probengröße fällt bei diesem Kennwert aus der Gleichung heraus.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit?+

Für $M=0{,}032\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=400\,\mathrm K$ ergibt $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ etwa 558,384 m/s. Prüfe unabhängig über $m=\frac M{N_{\mathrm A}}$ : $\frac12mc_{\mathrm{rms}}^2$ muss $\frac32k_{\mathrm B}T=8{,}283894\cdot10^{-21}\,\mathrm J$ ergeben. Im Maxwell-Modell sind $c_{\mathrm{mp}}\simeq455{,}918\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $\langle c\rangle\simeq514{,}449\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; die Reihenfolge $c_{\mathrm{mp}}<\langle c\rangle<c_{\mathrm{rms}}$ muss stimmen. Kontrolliere außerdem $\frac{c_{\mathrm{rms}}}{c_{\mathrm{mp}}}=\sqrt{\frac32}$ . Das Ergebnis hängt nicht davon ab, ob die Probe ein Mol oder eine andere Stoffmenge enthält. Prüfe vor einer Temperaturbestimmung aus gemessenen Geschwindigkeiten, ob eine mittlere Strömung abgezogen wurde. Eine unbereinigte Labor-RMS-Größe würde sonst einen zu großen thermischen Wert liefern. Ein schwereres Teilchen braucht bei gleicher Energie ein kleineres Geschwindigkeitsquadrat.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für den quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit?+

Die Temperaturformel setzt klassische nichtrelativistische Translation im thermischen Gleichgewicht voraus. Die Geschwindigkeit wird relativ zur mittleren Gasbewegung ausgewertet. Quantendegeneration oder stark wechselwirkende dichte Systeme können eine andere Verteilung benötigen. Außerhalb des Gleichgewichts sind die drei Komponentenmomente nicht unbedingt gleich. In einem Gemisch gilt die passende Teilchen- oder molare Masse für jede Gasart gesondert; eine durchschnittliche Masse liefert nicht automatisch ihre jeweiligen RMS-Werte. Die Formeln für wahrscheinlichste und arithmetisch mittlere Geschwindigkeit benötigen zusätzlich die Maxwell-Boltzmann-Verteilung. crms bleibt eine statistische Größe und legt weder die Geschwindigkeit jedes Moleküls noch die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Schallwelle fest.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit?+

In der Teilchenform gehört m in kg pro Molekül; in der molaren Form gehört M in kg/mol. Ein Wert von 32 g/mol wird deshalb zu 0,032 kg/mol. $\frac{RT}{M}$ hat die Einheit $\mathrm{J\,kg^{-1}}=\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ , erst die Wurzel ergibt m/s. Ein unkonvertierter Einsatz von 32 statt 0,032 macht die Geschwindigkeit um $\sqrt{1000}$ zu klein. Temperatur steht in Kelvin. Bei gleicher Gasart skaliert crms mit $\sqrt T$ ; bei gleicher T skaliert es mit $\frac1{\sqrt M}$ . Eine zehnmal schwerere Gasart besitzt daher nur $\frac1{\sqrt{10}}$ der RMS-Geschwindigkeit, aber dieselbe mittlere translatorische Energie pro Teilchen.

Wann kombiniere ich den quadratischen Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit mit einer weiteren Beziehung?+

Für eine Temperaturmessung stelle $T=\frac{Mc_{\mathrm{rms}}^2}{3R}$ um. Bei $M=0{,}040\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und thermischem $c_{\mathrm{rms}}=600\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ergibt sich $T\simeq577{,}307\,\mathrm K$ . Für einen Druck kombiniere crms mit $p=\frac13\rho c_{\mathrm{rms}}^2$ im isotropen idealen Gas. Für strömende Proben benutze $\mathbf v=\mathbf u+\mathbf c$ und $\langle v^2\rangle=u^2+\langle c^2\rangle$ , um gemeinsame Bewegung abzuziehen. Beispielsweise ergeben $u=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=300\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ die Labor-RMS-Größe 316,228 m/s, nicht 400 m/s. Die Energiegleichung verwendet weiterhin den thermischen Wert 300 m/s. Soll die arithmetische mittlere Geschwindigkeit gesucht sein, benötigst du deren eigenes Maxwell-Moment statt einer bloßen Umbenennung von crms. Im Gemisch wertest du jede Gasart mit ihrer eigenen Masse aus.

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Welcher typische Fehler passiert bei vrms = √(3kBT/m)?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §2.2: Pressure, Temperature, and RMS Speed

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

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Thermische RMS-Geschwindigkeit von Gasmolekülen

Variablen & Einheiten

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Kinetische Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

Erst quadrieren, dann mitteln, dann die Wurzel

Energie liefert das zweite Moment

Wie verwendet man Teilchenmasse oder molare Masse und stellt nach Temperatur um?

Drei charakteristische Beträge unterscheiden

Drei Kennwerte derselben Verteilung

Drei vollständige Rechnungen für thermische und Labor-RMS-Geschwindigkeit

Drei Kennwerte eines Modellgases

Temperatur aus thermischer RMS-Messung

Strömung aus einem Laborwert herausrechnen

Laborbewegung vom thermischen Anteil trennen

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Modellgas hat M=0,020 kg mol−1M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}M=0,020kgmol−1 und T=300 KT=300\,\mathrm KT=300K. Bestimme crms.

Bei unveränderter Gasart wird die absolute Temperatur vervierfacht. Wie ändern sich alle drei Maxwell-Kennwerte?

Eine gleichförmige Strömung hat u=100 m s−1u=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}u=100ms−1 und thermisches crms=300 m s−1c_{\mathrm{rms}}=300\,\mathrm{m\,s^{-1}}crms​=300ms−1. Bestimme die Labor-RMS-Größe.

Keine universelle Geschwindigkeitsformel

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Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit prüfungssicher behalten

Ein Modellgas hat $M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=300\,\mathrm K$ . Bestimme crms.

Eine gleichförmige Strömung hat $u=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und thermisches $c_{\mathrm{rms}}=300\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Bestimme die Labor-RMS-Größe.