Konfidenzintervall und Standardfehler des Mittelwerts

Der Standardfehler des Mittelwerts ist s/√n. Er schätzt, wie stark x̄ von Stichprobe zu Stichprobe schwanken würde. Er ist nicht die Standardabweichung einzelner Messwerte: Diese ist s. Viermal so viele Beobachtungen halbieren den Standardfehler ungefähr, weil √n im Nenner steht. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung einzelner Messwerte um ihren Mittelwert. Der Standardfehler beschreibt dagegen die Streuung des geschätzten Mittelwerts, wenn die Stichprobe wiederholt würde. Beide haben dieselbe Einheit, beantworten aber unterschiedliche Fragen und dürfen in Bericht oder Fehlerbalken nicht verwechselt werden.

Wenn σ der Population unbekannt ist, wird s aus derselben Stichprobe geschätzt. Diese zusätzliche Unsicherheit macht die Randbereiche breiter als bei bekannter σ. Die t-Verteilung berücksichtigt das und nähert sich mit wachsendem n der Normalverteilung an. Bei kleinen Stichproben ist ihr Quantil deshalb deutlich größer als 1,96. Die t-Verteilung hat bei kleinen Freiheitsgraden schwerere Ränder, weil s selbst zufällig geschätzt wurde. Mit wachsendem n wird diese Zusatzunsicherheit kleiner und das t-Quantil nähert sich dem Normalquantil. Darum verwendet man nicht pauschal 1,96, besonders nicht bei sehr kleinen Stichproben.

Würden viele vergleichbare Stichproben gezogen und jeweils nach derselben Methode ein Intervall berechnet, enthielten ungefähr 95 % dieser Intervalle den festen Populationsmittelwert. Das konkrete Intervall enthält ihn entweder oder nicht. 95 % ist die Langzeitabdeckung des Verfahrens, keine nachträgliche Wahrscheinlichkeit für den Parameter. Das Konfidenzniveau beschreibt, wie zuverlässig die Konstruktionsmethode über viele Wiederholungen ist. Nach Beobachtung der Daten ist das Intervall fest. Eine bayessche Wahrscheinlichkeit für den Parameter würde ein anderes Modell und eine explizite Priorverteilung benötigen; die beiden Interpretationen sind nicht austauschbar.

Die Halbbreite ist t·s/√n. Bei unverändertem s und Niveau sinkt sie ungefähr um den Faktor √2, wenn n verdoppelt wird. Für eine halb so breite Unsicherheit benötigt man daher ungefähr die vierfache Stichprobe. Mehr Daten helfen, aber systematische Messfehler werden dadurch nicht beseitigt. Die Quadratwurzel erklärt den abnehmenden Zusatznutzen weiterer Messungen. Eine vierfach größere Stichprobe halbiert bei ähnlicher Streuung ungefähr den Standardfehler. Das setzt jedoch unabhängige Beobachtungen voraus: Wiederholte Messungen derselben Person oder korrelierte Zeitpunkte liefern weniger neue Information als gleich viele unabhängige Fälle.

Sie setzt unabhängige Beobachtungen und ein sinnvolles Mittelwertmodell voraus. Bei Zeitreihen mit Autokorrelation, stark schiefen kleinen Stichproben oder dominierenden Ausreißern kann der Standardfehler irreführend sein. Bei bekannten Populationsstreuungen verwendet man stattdessen ein z-Intervall; bei Anteilen braucht man ein Intervall für eine Binomialproportion. Prüfe vor dem Rechnen das Studiendesign und ein Diagramm der Daten. Ein extremer Ausreißer kann x̄ und s stark verschieben; Abhängigkeiten lassen den Standardfehler zu klein erscheinen. Bei deutlicher Schiefe und kleinem n helfen robuste Methoden oder ein geeignetes Bootstrap-Verfahren, sofern dessen Annahmen passen.