Physik · Strömungsmechanik

Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömung

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zur Kontinuitätsgleichung?

Für Wasser gleicher Dichte und stationären Durchfluss von $A_1=4{,}0\,\mathrm{cm^2}$ bei $\bar v_1=2{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ zu $A_2=1{,}0\,\mathrm{cm^2}$ folgt $\bar v_2=\frac{A_1\bar v_1}{A_2}=8{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Zur Probe rechnest du beide Flächen in Quadratmeter um: 4,0 × 10⁻⁴ beziehungsweise 1,0 × 10⁻⁴ m². Beide Produkte $A\bar v$ ergeben 8,0 × 10⁻⁴ m³/s oder 0,80 L/s. Bei $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ sind das 0,80 kg/s. Diese Rechnung benutzt Flächen, keine Durchmesser. Ein halbierter Kreisrohrdurchmesser viertelt die Fläche und vervierfacht unter denselben Bedingungen die Geschwindigkeit. Die Probe bestätigt die Bilanz; sie berechnet noch keinen Pumpendruck.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei Kontinuitätsgleichung?

Der Volumenstrom $Q=A\bar v$ besitzt $\mathrm{m^2}\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm s}$. Multiplikation mit ρ in kg/m³ ergibt den Massenstrom in kg/s. 1 cm² entspricht 10⁻⁴ m², weil auch der Zentimeterfaktor quadriert wird; 1 L entspricht 10⁻³ m³. Bei 18 L/min wird zunächst durch 60 geteilt: $Q=0{,}00030\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$. Durch 3,0 cm² ergibt sich $\bar v=1{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Prüfe anschließend $\frac QA$ sowie $\rho Q$ auf ihre jeweiligen Einheiten. Bei einer Rohrverengung kann die Geschwindigkeit nur aus einem Flächenverhältnis folgen, wenn die Dichten gleich sind. Eine gezeichnete Rohrhöhe liefert ohne Querschnittsform noch keine vollständige Fläche.

Die stationäre Massenbilanz verbindet Dichte, Querschnitt und mittlere Normalgeschwindigkeit an einem Einlass und einem Auslass.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

ρ_{1} A_{1} v_{1} = ρ_{2} A_{2} v_{2}

$\rho A\bar v_n$ in kg/s; A in m²; v in m/s; ρ in kg/m³.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$ρ₁,ρ₂$	über den jeweiligen Querschnitt gleichmäßige lokale Fluiddichte	kg/m³
$A₁,A₂$	Querschnittsfläche normal zur Strömungsrichtung	m²
$v₁,v₂$	mittlere normale Geschwindigkeitskomponente am jeweiligen Querschnitt	m/s

LaTeX

\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2

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Kreisrohr mit halbiertem Durchmesser: breite linke Rohrhöhe80 und rechte40 Zeichnungseinheiten. Mittlere Geschwindigkeit rechts ist vierfach, mit vierfach langen Pfeilen. Durchmesser und konstante Volumenströme sind markiert. — Gleiche Dichte, stationärer Durchfluss und Kreisquerschnitte: D₁ = 2D₂ bedeutet A₁ = 4A₂ und v̄₂ = 4v̄₁. Die Geschwindigkeits-Pfeile sind im Verhältnis 1:4 gezeichnet; Q₁ = Q₂.

Kontinuitätsgleichung berechnen

Volumenstrom, Fließgeschwindigkeit oder Querschnitt in einem Rohr ausrechnen, für stationäre Strömung ohne Abzweig, bei Gasen auch mit verschiedener Dichte.

Rechenmodell

Gesucht

Dichte am Einlass ρ₁

Dichte am Einlass, z. B. 1000 kg/m³ für Wasser; bei Flüssigkeiten meist gleich wie am Auslass.

Einlassfläche A₁

Querschnittsfläche am Einlass, z. B. 4 cm².

Geschwindigkeit am Einlass v₁

Mittlere Fließgeschwindigkeit am Einlass, z. B. 2 m/s.

Dichte am Auslass ρ₂

Dichte am Auslass; bei Wasser wieder 1000 kg/m³, bei Gasen kann sie sich ändern.

Auslassfläche A₂

Querschnittsfläche an der Engstelle oder am Auslass, z. B. 1 cm².

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Geschwindigkeit am Auslass v₂

v₂ = 8 m/s

Mit ρ₁ = 1000 kg/m³, A₁ = 4 cm², v₁ = 2 m/s, ρ₂ = 1000 kg/m³ und A₂ = 1 cm² ergibt sich v₂ = 8 m/s.

Rechenweg · umstellen nach v₂, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach v₂ umstellen
$v_2=\frac{\rho_1A_1v_1}{\rho_2A_2}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- A₁ = 4 cm² = 0,0004 m²
- A₂ = 1 cm² = 0,0001 m²
$\frac{1000\cdot 0{,}0004\cdot 2}{1000\cdot 0{,}0001}=8$
3. Ergebnis
v₂ = 8 m/s

So rechnest du schneller

Bei gleicher Dichte gilt A₁ · v₁ = A₂ · v₂: Ist der Querschnitt viermal kleiner, fließt das Wasser viermal schneller.
Halber Durchmesser heißt ein Viertel der Fläche, also vierfache Geschwindigkeit. Durchmesser deshalb immer erst mit A = π · d² / 4 in eine Fläche umrechnen.

Annahmen und Grenzen

Stationär, ein Einlass und ein Auslass, kein Speicherterm oder Nebenstrom; je Querschnitt einheitliche vorgegebene positive Dichte und mittlerer Normalgeschwindigkeitsbetrag. Positive Flächen; keine Zustandsgleichung oder Energiebilanz. Verschiedene Dichten werden nicht gekürzt.

Herleitung & Hintergrund

Für einen festen Rohrabschnitt gilt Änderung gespeicherter Masse = Zufluss minus Abfluss. Stationär ohne zusätzliche Anschlüsse folgt $\rho_1A_1\bar v_1=\rho_2A_2\bar v_2$ . Bei über jeden Querschnitt gleichmäßiger Dichte sind v̄ die mittleren normalen Geschwindigkeitskomponenten. Nur bei $\rho_1=\rho_2$ darf die Dichte gekürzt werden. Reibungsfreiheit ist für diese Massenbilanz nicht erforderlich.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Stationär mit einem Einlass und einem Auslass ohne Massenspeicherung oder weitere Anschlüsse. $\rho A\bar v_n$ verlangt querschnittsgleichmäßige Dichte; $A\bar v_n$ konstant zusätzlich gleiche Dichten. Bei variierenden Profilen $\int_A\rho\vec v\cdot\hat{\vec n}\,\mathrm dA$ , bei Speicheränderung vollständige Bilanz verwenden.

Herleitung in Schritten

Massenerhaltung für einen festen Rohrabschnitt führt auf gleiche ein- und austretende Massenströme.

1Wähle einen festen Abschnitt mit genau einem Einlass und einem Auslass.
2Bilanziere gespeicherte Masse: $\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}=\dot m_{\mathrm{ein}}-\dot m_{\mathrm{aus}}$ .
3Bei stationärer Strömung ist $\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}=0$ ; beide positiven Anschlussströme sind gleich.
4Bei querschnittsgleichmäßiger Dichte gilt $\dot m=\rho A\bar v_n$ mit gemittelter normaler Komponente.
5Setze ein: $\rho_1A_1\bar v_1=\rho_2A_2\bar v_2$ ; lokale Gasdichten nicht unbesehen kürzen.
6Nur bei $\rho_1=\rho_2>0$ folgt $A_1\bar v_1=A_2\bar v_2=Q$ .

Umstellen

Geschwindigkeit im engeren Rohr

v_2=\frac{\rho_1 A_1 v_1}{\rho_2 A_2}

Nur bei $\rho_1=\rho_2$ vereinfacht sich dies zu $\bar v_2=\frac{A_1\bar v_1}{A_2}$ . Beide Flächen und Dichten müssen positiv sein.

Aufgabenvariante

Ein inkompressibles Fluid strömt mit 1,5 m/s durch 6 cm² und danach durch 2 cm². Bestimme v₂.

$A_1v_1=A_2v_2$ .
Daher $v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1=\frac62\cdot1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}=4{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Typische Fehler

Die allgemeine Dichteformel auf kompressible Gase anwenden, als sei ρ konstant.

Bei unterschiedlichen Dichten beide Zustandswerte mitführen: $\rho_1A_1\bar v_1=\rho_2A_2\bar v_2$ .

Klausurkontext

Rohrverengungen, Düsen und Kombination mit Bernoulli für Druck- und Geschwindigkeitsfragen.

Formelcluster

Strömungsmechanik

Massenerhaltung ist die Grundlage der stationären Rohrbilanz.

p + ½ρv² + ρgh = const.

Bernoulli-Gleichung

ρ = m/V

Dichte

F_A = ρ·V·g

Auftriebskraft (Archimedes)

Rechenbeispiel

Wasser strömt stationär mit $v_1=2{,}0\,\mathrm{m/s}$ durch $A_1=4{,}0\,\mathrm{cm^2}$ und verengt sich auf $A_2=1{,}0\,\mathrm{cm^2}$ . Bei gleicher Dichte gilt $v_2=\frac{A_1v_1}{A_2}=8{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Probe: $A_1v_1=A_2v_2=8{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}$ .

Anwendungsgebiete

Rohrverengungen, Düsen, Volumen- und Massenstrom sowie als Voraussetzung für Bernoulli-Aufgaben.

Rechenbeispiel: Kontinuitätsgleichung der Strömung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Kontinuitätsgleichung der Strömung (ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂).

1
Aufgabe
Ein inkompressibles Fluid strömt mit 1,5 m/s durch 6 cm² und danach durch 2 cm². Bestimme v₂.
Rechenweg
1. $A_1v_1=A_2v_2$ .
2. Daher $v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1=\frac62\cdot1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}=4{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Wenn durch ein Rohr jede Sekunde dieselbe Wassermasse fließt, muss sie eine engere Stelle schneller passieren. Diese Idee führt zur Kontinuitätsgleichung. Du lernst zuerst, Masse pro Zeit von Volumen pro Zeit zu unterscheiden; danach kommen Rohrdurchmesser, ein Gas mit veränderlicher Dichte und ein sich füllender Tank hinzu.

Welche Masse die Grenze passiert

Stelle dir vor, du sammelst das austretende Wasser zehn Sekunden lang in einem Gefäß. Das gesammelte Volumen geteilt durch die Zeit ist der Volumenstrom. Wie viel Masse das ist, sagt erst die Dichte. Diese Unterscheidung verhindert, dass du bei Gasen fälschlich gleiche Volumenströme annimmst.[1]

Wähle einen festen Rohrabschnitt mit einem Einlass und einem Auslass. Dichte ρ bezeichnet die Masse pro lokalem Volumen. Der Massenstrom ṁ ist die Masse, die pro Zeit eine Querschnittsfläche passiert, in kg/s. Der Volumenstrom Q zählt dagegen lokales Volumen pro Zeit, in m³/s. Ein Massenstrom von 1 kg/s ist nicht ohne eine Dichteangabe zugleich ein Volumenstrom von 1 L/s.[1]

\begin{aligned}&\dot m=\rho A\overline v_n\\&Q=A\overline v_n\end{aligned}

Für gleichmäßige Dichte über den Querschnitt ist v̄n die gemittelte normale Geschwindigkeitskomponente.[1]

Die Geschwindigkeitskomponente muss normal zur Fläche gewählt werden. Eine tangentiale Bewegung entlang der Messfläche transportiert keine Masse durch sie. In einem geraden Rohr werden die Querschnitte gewöhnlich senkrecht zur mittleren Fließrichtung gelegt. Das v der Kurzform ist dann die Querschnittsmittelgeschwindigkeit, nicht unbedingt die Geschwindigkeit in der Rohrmitte.[1]

Wie folgt die stationäre Kontinuitätsgleichung aus Massenerhaltung?

Für den gewählten festen Abschnitt ist die Änderung seiner enthaltenen Masse gleich Zufluss minus Abfluss. Quellen, weitere Anschlüsse und Leckagen wären zusätzliche Bilanzterme. Bei stationärer Strömung bleibt die gespeicherte Masse konstant. Für genau einen Einlass und einen Auslass müssen deshalb die positiven ein- und austretenden Massenströme gleich sein.[2]

\begin{aligned}\frac{\mathrm dM_{\mathrm{CV}}}{\mathrm dt}&=\dot m_{\mathrm{in}}-\dot m_{\mathrm{out}}=0\\\rho_1A_1\overline v_1&=\rho_2A_2\overline v_2\end{aligned}

Die stationäre Zweiquerschnittsform verlangt keine Massenansammlung zwischen den Flächen.[1]

Die Herleitung benutzt Massenerhaltung und ein passendes Strömungsmodell. Sie verlangt keine reibungsfreie Bewegung. In einem realen Rohr mit Druckverlust kann dieselbe stationäre Massenbilanz weiterhin gelten. Reibung verändert die Energie- und Impulsbilanz, erzeugt aber im gewöhnlichen Rohrmodell keine zusätzliche Fluidmasse.[1]

Wann gilt gleicher Volumenstrom und wann muss die Dichte mitgeführt werden?

\rho_1=\rho_2>0\quad\Longrightarrow\quad A_1\overline v_1=A_2\overline v_2=Q

Bei gleicher Dichte ist auch der Volumenstrom gleich.[1]

Die Vereinfachung passt häufig zu Wasser bei moderaten Zustandsänderungen, ist aber keine automatische Garantie für jede Flüssigkeit. Bei Gasen können Temperatur- und Druckänderungen die Dichte deutlich verändern. Dann bleibt ṁ konstant, während $Q=\frac{\dot m}{\rho}$ von Ort zu Ort verschieden sein kann. Eine kleinere Fläche allein bestimmt deshalb bei veränderlicher Dichte das Geschwindigkeitsverhältnis noch nicht.[1]

\frac{\overline v_2}{\overline v_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{A_1}{A_2}

Eine Verdichtung kann den Geschwindigkeitseffekt einer Querschnittsverengung verändern.[1]

Flächen, Durchmesser und Einheiten

\begin{aligned}&A=\frac\pi4D^2\\&\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2\end{aligned}

Für Kreisrohre ist das Flächenverhältnis das Quadrat des Durchmesserverhältnisses.[1]

Halber Durchmesser bedeutet ein Viertel der Fläche. Bei gleicher Dichte und gleichem Massenstrom vervierfacht sich dann die mittlere Geschwindigkeit. Für einen ebenen Spalt mit unveränderter Breite wäre ein Halbieren der Höhe dagegen nur eine Halbierung der Fläche. Eine Skizzenhöhe ist deshalb ohne Querschnittsform keine vollständige Flächenangabe.[1]

$1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ ; $1\,\mathrm L=10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ . Für L/min werden sowohl Liter als auch Minuten umgerechnet. Die Einheit von $\rho A\bar v_n$ ist $\left(\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\right)\mathrm{m^2}\left(\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\right)=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}$ . Beim Umstellen nach v₂ müssen ρ₂ und A₂ positiv sein; eine geschlossene Nullfläche kann nicht mit derselben endlichen Durchflussrechnung behandelt werden. Die Massendichte verbindet den lokalen Volumenstrom mit dem Massenstrom.[1]

Beispiel: Wasser durch eine Verengung

Volumenstrom und Geschwindigkeit gemeinsam prüfen

Gegeben: Stationäres Wasser mit $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ; $D_1=30\,\mathrm{mm}$ , $D_2=15\,\mathrm{mm}$ , $\bar v_1=0{,}80\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Keine weiteren Anschlüsse.
Gesucht: Bestimme v̄₂, Q und ṁ.

Ansatz: Bei stationärem Fluss gleicher Dichte ist $Q=A_1\bar v_1=A_2\bar v_2$ , mit $A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}$ und $\dot m=\rho Q$ . Das Kreisflächenverhältnis aus den Durchmessern berechnen.
$\begin{aligned}\frac{A_1}{A_2}&=\left(\frac{30}{15}\right)^2=4\\{} \overline v_2&=4\cdot0.80=3.20\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$
Die größere Fläche in SI-Einheiten auswerten und mit ihrer mittleren Geschwindigkeit multiplizieren.
$Q=\frac\pi4(0.030)^2\cdot0.80=0.00018\pi\,\mathrm{m^3/s}\approx5.65487\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}$
Mit der Dichte zum Massenstrom wechseln; für L/min beide Umrechnungsfaktoren verwenden.
$\begin{aligned}\dot m&=\rho Q\approx0.565487\,\mathrm{kg/s}\\{} Q&\approx33.9292\,\mathrm{L/min}\end{aligned}$

Ergebnis: $\bar v_2=3{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; Q ≈ 0,5655 L/s; ṁ ≈ 0,5655 kg/s.

Kontrolle: Die kleine Fläche $A_2=\frac{\pi(0{,}015\,\mathrm m)^2}{4}$ mal $3{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ergibt denselben Q. In 10 s passieren etwa 5,655 L beide Querschnitte. Die passende Druckdifferenz ist damit noch nicht bestimmt.

Eine zweite direkte Flächenprobe: 4,0 cm² bei 2,0 m/s und 1,0 cm² am Ausgang ergeben $\bar v_2=8{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $Q=8{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$ . Beide Rechnungen setzen gleiche Dichte und einen unveränderten Volumenstrom voraus. Sie bestimmen keine Pumpenleistung. Die Bernoulli-Gleichung ergänzt unter ihren eigenen Voraussetzungen eine mechanische Energiebilanz, mit der Druckänderungen untersucht werden können.[1][3]

Halber Durchmesser, vierfache Geschwindigkeit

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Wasserbeispiel mit unverändertem Volumenstrom und gleicher Dichte. Der Durchmesser steht auf einer aufsteigenden Achse: Größere Rohre benötigen für denselben Volumenstrom kleinere Mittelgeschwindigkeiten.[1]

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Beispiel: Dichteänderung im Gasmodell

Gleicher Massenstrom, anderer Volumenstrom

Gegeben: Stationäres Modell: $\rho_1=1{,}20\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ , $A_1=25\,\mathrm{cm^2}$ , $\bar v_1=6{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; $\rho_2=1{,}80\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $A_2=10\,\mathrm{cm^2}$ . Dichten sind vorgegebene Zustandswerte.
Gesucht: Berechne ṁ, v̄₂ und beide Volumenströme.

Ansatz: Bei unterschiedlichen Dichten bleibt $\dot m=\rho_1A_1\bar v_1=\rho_2A_2\bar v_2$ erhalten; $Q_i=\frac{\dot m}{\rho_i}$ muss nicht gleich sein. Einlassfläche umrechnen und den Massenstrom bestimmen.
$\dot m=1.20\cdot25\cdot10^{-4}\cdot6.0=0.0180\,\mathrm{kg/s}$
Den Massenstrom am Auslass nach Geschwindigkeit auflösen.
$\overline v_2=\frac{0.0180}{1.80\cdot10\cdot10^{-4}}=10.0\,\mathrm{m/s}$
Beide lokalen Volumenströme separat berechnen.
$\begin{aligned}Q_1&=0.0150\,\mathrm{m^3/s}\\{} Q_2&=0.0100\,\mathrm{m^3/s}\end{aligned}$

Ergebnis: $\bar v_2=10{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; $\dot m=0{,}0180\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ bleibt gleich, Q sinkt von 15 auf 10 L/s.

Kontrolle: Kontrolle: $\rho_1Q_1=\rho_2Q_2=0{,}0180\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ . Wer die Dichte fälschlich kürzt, erhält 15 m/s am Ausgang und den unpassenden Massenstrom $0{,}0270\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ . Die Bilanz ist damit verletzt.

Diese Rechnung prüft die Massenbilanz für vorgegebene Zustände. Sie beweist nicht, dass diese Zustände in einer passiven Düse tatsächlich gemeinsam entstehen. Dafür werden zusätzlich Energie, Impuls, Zustandsgleichung und gegebenenfalls technische Arbeit benötigt.[1]

Vertiefung: Speicherung, Verzweigungen und Profile

\frac{\mathrm dM_{\mathrm{CV}}}{\mathrm dt}=\sum\dot m_{\mathrm{in}}-\sum\dot m_{\mathrm{out}}

Mehrere Anschlüsse werden mit ihren Richtungen gezählt; bei Füllung bleibt der linke Term erhalten.[1]

Ein Tank mit 5 kg/s Zufluss und 3 kg/s Abfluss gewinnt 2 kg pro Sekunde. Obwohl Masse erhalten bleibt, sind Ein- und Auslassströme nicht gleich: Die gespeicherte Masse ändert sich. Bei einem stationären Abzweig teilen sich dagegen die Massenströme so, dass ihre Summe stimmt. Eine Leckage ist ein weiterer Auslass, keine Ausnahme von Massenerhaltung.[1]

Vertiefung anzeigen: Massenstrom mit einem Flächenintegral

\dot m=\int_A\rho\,\vec v\cdot\vec n\,\mathrm dA

n⃗ ist die gewählte Einheitsnormale der Querschnittsfläche. Das Integral liefert den gerichteten Massenstrom und berücksichtigt örtliche Dichte- und Normalgeschwindigkeitsänderungen. In der Einlass-/Auslassbilanz werden daraus die passenden positiven Beträge gebildet.[1]

Wenn die Dichte über die Fläche variiert, ist das Produkt einer separat gemittelten Dichte und Geschwindigkeit nicht automatisch gleich dem Mittelwert ihres Produkts. Bei konstantem ρ darf es vor das Integral gezogen werden. Turbulente zeitliche Mittelungen verlangen ebenfalls eine passende Behandlung der Schwankungen. Die Kontinuität ersetzt weder eine Druckbilanz noch die Prüfung der realen Durchflussbedingungen.[1]

Fünf Aufgaben mit kontrollierten Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Bei stationärer Strömung gleicher Dichte durch ein Kreisrohr ohne Abzweige halbiert sich der Durchmesser. Die mittlere Normalgeschwindigkeit am Einlass ist $\bar v_1=1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Bestimme $\bar v_2$ .

Hinweis anzeigen

Zuerst das Flächenverhältnis bilden.

Lernziel: Durchmesseränderung quadratisch in das Geschwindigkeitsverhältnis übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Stationäre Strömung ohne Nebenanschlüsse und bei gleicher Dichte verlangt $A_1\bar v_1=A_2\bar v_2$ .
Für Kreisrohre zählt das Quadrat des Durchmesserverhältnisses.
Die Fläche wird geviertelt.
Daher $\bar v_2=4\cdot1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}=6{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: $\frac{A_1}{4}\cdot6{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}=A_1\cdot1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

\overline v_2=\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2\overline v_1=6.0\,\mathrm{m/s}

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

2. 18 L/min passieren 3,0 cm². Wie groß ist die Mittelgeschwindigkeit?

Hinweis anzeigen

Liter in Kubikmeter, Minuten in Sekunden und Quadratzentimeter in Quadratmeter umrechnen.

Lernziel: Volumenstrom- und Flächeneinheiten zur mittleren Geschwindigkeit umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der Volumenstrom ist Querschnitt mal mittlere Normalgeschwindigkeit, also $\bar v=\frac QA$ .
Beide Eingaben zuerst in SI-Einheiten umrechnen.
$Q=\frac{18\cdot10^{-3}}{60}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}=3{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$ .
$A=3{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ .
Damit ist $\bar v=\frac QA=1{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; Rückrechnung $A\bar v$ ergibt wieder 18 L/min.

\overline v=\frac QA=1.0\,\mathrm{m/s}

Transfer · Anwenden

3. Ein stationärer Abzweig erhält 0,90 kg/s. Ein Auslass führt 0,35 kg/s. Der andere hat $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $A=2{,}0\,\mathrm{cm^2}$ . Bestimme seine Geschwindigkeit.

Hinweis anzeigen

Erst die fehlende Masse pro Zeit bilanzieren, dann durch ρA teilen.

Lernziel: Eine Verzweigungsbilanz zuerst mit Massenströmen, dann mit Geschwindigkeit lösen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Am stationären Abzweig muss die Summe der austretenden Massenströme dem eintretenden Massenstrom entsprechen.
Für den zweiten Auslass gilt danach $\bar v_2=\frac{\dot m_2}{\rho A}$ .
Der zweite Auslass führt $\dot m_2=0{,}55\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ .
Damit ist Kontrolle: $(0{,}35+1000\cdot2{,}0\cdot10^{-4}\cdot2{,}75)\,\mathrm{kg\,s^{-1}}=0{,}90\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ .

\begin{aligned}\dot m_2&=(0.90-0.35)\,\mathrm{kg\,s^{-1}}=0.55\,\mathrm{kg\,s^{-1}}\\\bar v_2&=\frac{\dot m_2}{\rho A}\\&=\frac{0.55}{1000\cdot2.0\cdot10^{-4}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\&=2.75\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

In einem stationären Rohrabschnitt ohne Nebenanschluss strömt Gas mit $\rho_1=2{,}0\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $Q_1=0{,}030\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$ hinein. Am Ausgang beträgt die Dichte $\rho_2=1{,}5\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ . Bestimme Q₂. Ein Diagramm zeichnet den Ausgangs-Volumenstrom größer als den Eingangsstrom: Verletzt das die Massenerhaltung? Die angegebenen Zustände sind für diese Bilanz vorgegeben.

Hinweis anzeigen

Bilanziere den Massenstrom. Gleicher Massenstrom benötigt bei kleinerer Dichte mehr Volumen je Sekunde.

Lernziel: Dichteänderung als Ursache unterschiedlicher Volumenströme bei konstantem Massenstrom erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Den eingehenden Massenstrom berechnen und am Ausgang durch dessen Dichte teilen.
Es bleiben 0,060 kg/s Massenstrom, während der Volumenstrom auf 0,040 m³/s steigt.
Das Diagramm verletzt die Massenerhaltung nicht.

Kontrolle: Ausgangsdichte mal Ausgangsvolumenstrom ergibt wieder 0,060 kg/s. Die Bilanz allein belegt nicht, dass diese Zustände ohne weitere technische Randbedingungen realisiert werden.

\begin{aligned}\dot m&=\rho_1Q_1=(2.0)(0.030)\,\mathrm{kg/s}=0.060\,\mathrm{kg/s}\\Q_2&=\frac{\dot m}{\rho_2}=\frac{0.060\,\mathrm{kg/s}}{1.5\,\mathrm{kg/m^3}}=0.040\,\mathrm{m^3/s}\\\rho_2Q_2&=\rho_1Q_1\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Tank enthält anfangs 5 kg Flüssigkeit. Während 20 s fließen konstant 0,30 kg/s hinein und 0,10 kg/s hinaus; weitere Anschlüsse fehlen. Eine Lösung erklärt die Daten wegen ungleicher Massenströme für unmöglich und setzt beide Ströme gleich. Bestimme die Endmasse und die Voraussetzung, die in dieser Lösung fehlt.

Hinweis anzeigen

Massenerhaltung erlaubt Speicherung im Tank. Gleichheit der Zu- und Abflüsse folgt erst bei unveränderter gespeicherter Masse.

Lernziel: Bei instationärer Speicherung die vollständige Kontrollvolumenbilanz verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Differenz der Massenströme als zeitliche Massenzunahme ansetzen und über die angegebene Zeit integrieren.
Der Tank gewinnt 4 kg und enthält anschließend 9 kg.
Die fehlerhafte Lösung setzt ohne Begründung stationäre Speicherung voraus.

Kontrolle: Insgesamt kommen 6 kg hinzu und 2 kg heraus; 5+6−2 ergibt dieselbe Endmasse.

\begin{aligned}\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}&=\dot m_{\mathrm{in}}-\dot m_{\mathrm{out}}=0.20\,\mathrm{kg/s}\\M_f&=M_i+(\dot m_{\mathrm{in}}-\dot m_{\mathrm{out}})\Delta t\\&=5\,\mathrm{kg}+(0.20\,\mathrm{kg/s})(20\,\mathrm s)=9\,\mathrm{kg}\end{aligned}

[2]

Das Wichtigste im Überblick

Lege die Systemgrenze fest und zähle alle Anschlüsse. Ohne Massenspeicherung sind Zufluss und Abfluss gleich. Verwende mittlere Normalgeschwindigkeiten und die jeweiligen Dichten; kürze die Dichte nur bei gleichen Werten. Durchmesser gehen über die Kreisfläche quadratisch ein.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Stationäre Massenbilanz und Dichtevoraussetzung in Frageüberschriften hervorgehoben; Absatzverbindungen zu Massendichte und bedingter Bernoulli-Energiebilanz ergänzt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernübergänge verständlicher gefasst; vorhandene Aufgabenlösungen geprüft und präzisiert, mathematische Textstellen gesetzt und eine eigene quantitative Artikelgrafik ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Kontinuitätsgleichung der Strömung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/kontinuitaetsgleichung-stroemung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Kontinuitätsgleichung der Strömung

Was beschreibt die Kontinuitätsgleichung physikalisch?+

Die Kontinuitätsgleichung ist eine Massenbilanz für einen gewählten Rohrabschnitt. Bei stationärer Strömung mit genau einem Einlass und einem Auslass bleibt dessen enthaltene Masse konstant; ein- und austretende Massenströme sind gleich. Für über jeden Querschnitt gleichmäßige Dichte lautet die Kurzform $\rho_1A_1\bar v_1=\rho_2A_2\bar v_2$ . Die Geschwindigkeit ist dabei der Mittelwert der normalen Komponente, nicht zwingend der Wert in der Rohrmitte. Bei gleicher Dichte darfst du diese kürzen: Dann bleibt auch $Q=A\bar v$ konstant. Bei veränderlicher Gasdichte kann der Volumenstrom dagegen wechseln, obwohl der Massenstrom gleich bleibt. Die Gleichung bestimmt allein weder Druck noch Temperatur; dafür sind weitere Zustands- und Energiebilanzen erforderlich.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Kontinuitätsgleichung?+

Für Wasser gleicher Dichte und stationären Durchfluss von $A_1=4{,}0\,\mathrm{cm^2}$ bei $\bar v_1=2{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ zu $A_2=1{,}0\,\mathrm{cm^2}$ folgt $\bar v_2=\frac{A_1\bar v_1}{A_2}=8{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Zur Probe rechnest du beide Flächen in Quadratmeter um: 4,0 × 10⁻⁴ beziehungsweise 1,0 × 10⁻⁴ m². Beide Produkte $A\bar v$ ergeben 8,0 × 10⁻⁴ m³/s oder 0,80 L/s. Bei $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ sind das 0,80 kg/s. Diese Rechnung benutzt Flächen, keine Durchmesser. Ein halbierter Kreisrohrdurchmesser viertelt die Fläche und vervierfacht unter denselben Bedingungen die Geschwindigkeit. Die Probe bestätigt die Bilanz; sie berechnet noch keinen Pumpendruck.

Welche Annahmen und Grenzen hat die Kontinuitätsgleichung?+

Die Zweiquerschnittsform setzt einen stationären Abschnitt ohne zusätzliche Anschlüsse oder Massenansammlung voraus. Die allgemeinere Bilanz bleibt auch bei einem füllenden Tank gültig: 5 kg/s hinein und 3 kg/s hinaus bedeuten 2 kg/s gespeicherte Massenzunahme. Bei Abzweigen werden alle passenden Anschlussströme addiert. Reibung verhindert Massenerhaltung nicht; sie verändert die Energie- und Druckbilanz. Für die vereinfachte Form $\rho A\bar v_n$ muss die Dichte über den jeweiligen Querschnitt gleichmäßig sein. Variieren Dichte und Geschwindigkeit gemeinsam, wird ihr Produkt über die Fläche integriert; getrennte Mittelwerte reichen im Allgemeinen nicht. Ein Modell mit vorgegebenen Gasdichten beweist außerdem noch nicht, dass eine passive Düse diese Zustände tatsächlich erzeugen kann.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei Kontinuitätsgleichung?+

Der Volumenstrom $Q=A\bar v$ besitzt $\mathrm{m^2}\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm s}$ . Multiplikation mit ρ in kg/m³ ergibt den Massenstrom in kg/s. 1 cm² entspricht 10⁻⁴ m², weil auch der Zentimeterfaktor quadriert wird; 1 L entspricht 10⁻³ m³. Bei 18 L/min wird zunächst durch 60 geteilt: $Q=0{,}00030\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$ . Durch 3,0 cm² ergibt sich $\bar v=1{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Prüfe anschließend $\frac QA$ sowie $\rho Q$ auf ihre jeweiligen Einheiten. Bei einer Rohrverengung kann die Geschwindigkeit nur aus einem Flächenverhältnis folgen, wenn die Dichten gleich sind. Eine gezeichnete Rohrhöhe liefert ohne Querschnittsform noch keine vollständige Fläche.

Wann kombiniere ich die Kontinuitätsgleichung mit einer weiteren Beziehung?+

Kontinuität liefert die Massenbilanz, während Bernoulli unter seinen eigenen Voraussetzungen eine mechanische Energiebilanz entlang einer Stromlinie liefert. Erst gemeinsam lassen sich beispielsweise Geschwindigkeit und Druck in einer idealisierten Rohrverengung verbinden. In realen Anlagen kommen Reibungsverluste, Pumpenarbeit oder kompressible Zustandsänderungen hinzu. Für ein Gas kann eine Zustandsgleichung die lokale Dichte mit Druck und Temperatur verknüpfen; diese Größen folgen nicht bereits aus $\rho A\bar v_n$ . Bei einem Tank mit Abzweig brauchst du außerdem die zeitabhängige Speicherbilanz statt nur zweier gleichgesetzter Ströme. Wähle deshalb zuerst die Systemgrenze, zähle die Anschlüsse und definiere die Referenzrichtungen. Prüfe danach jede ergänzende Gleichung anhand ihrer eigenen Voraussetzungen.

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Wie stellst du ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂ nach Geschwindigkeit im engeren Rohr um?

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Welcher typische Fehler passiert bei ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂?

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §14.5: Fluid Dynamics

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\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

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Vertiefung: Speicherung, Verzweigungen und Profile

Fünf Aufgaben mit kontrollierten Lösungen

Bei stationärer Strömung gleicher Dichte durch ein Kreisrohr ohne Abzweige halbiert sich der Durchmesser. Die mittlere Normalgeschwindigkeit am Einlass ist vˉ1=1,5 m s−1\bar v_1=1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}vˉ1​=1,5ms−1. Bestimme vˉ2\bar v_2vˉ2​.

2. 18 L/min passieren 3,0 cm2. Wie groß ist die Mittelgeschwindigkeit?

3. Ein stationärer Abzweig erhält 0,90 kg/s. Ein Auslass führt 0,35 kg/s. Der andere hat ρ=1000 kg m−3\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}ρ=1000kgm−3 und A=2,0 cm2A=2{,}0\,\mathrm{cm^2}A=2,0cm2. Bestimme seine Geschwindigkeit.

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Bei stationärer Strömung gleicher Dichte durch ein Kreisrohr ohne Abzweige halbiert sich der Durchmesser. Die mittlere Normalgeschwindigkeit am Einlass ist $\bar v_1=1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Bestimme $\bar v_2$ .

2. 18 L/min passieren 3,0 cm². Wie groß ist die Mittelgeschwindigkeit?

3. Ein stationärer Abzweig erhält 0,90 kg/s. Ein Auslass führt 0,35 kg/s. Der andere hat $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $A=2{,}0\,\mathrm{cm^2}$ . Bestimme seine Geschwindigkeit.