Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Für y′+a(t)y=r(t) ist μ(t)=e^{∫a(t)dt}. Die linke Seite wird dann (μy)′. So kann man direkt integrieren, statt die Gleichung zu erraten. Bei konstantem a ist μ=e^{at}. Die Multiplikation mit e^(at) funktioniert, weil Produktregel und Gleichung dieselben Terme enthalten: (e^(at)y)′=e^(at)(y′+ay). Danach integrierst du nur noch die rechte Seite. Das Verfahren lässt sich mit μ=e^(∫a(t)dt) auch auf variable Koeffizienten erweitern. Der Anfangswert gehört zum Zeitpunkt t=0 in diesem Beispiel. Für einen Start bei t=t₀ verschiebst du die Anfangsbedingung entsprechend; die eindeutige Lösung bleibt durch denselben Integrationsschritt bestimmt.

Die Differentialgleichung legt den Verlauf nur bis auf eine Integrationskonstante fest. Ein Wert wie y(0)=y₀ wählt genau eine Kurve aus dieser Familie aus. In einem physikalischen Modell entspricht er dem gemessenen Anfangszustand. Bei einer linearen DGL erster Ordnung genügt ein Anfangswert, um die Integrationskonstante zu fixieren, sofern die Koeffizienten stetig sind. Zwei unterschiedliche Anfangswerte erzeugen zwei verschiedene Lösungen derselben Gleichung. In Modellen verhindert eine klare Angabe von Startzeit und Startzustand Mehrdeutigkeit. Die Lösung ist eindeutig, weil die Gleichung linear ist und die Koeffizienten hier stetig sind. Bei unstetigen Eingaben rechnest du abschnittsweise und passt den Zustand an den Sprungstellen stetig an.

Für a>0 klingt der homogene Anteil e^(−at) ab. Nach t=1/a bleibt davon der Anteil e^(−1)≈36,8 % übrig. Ein größeres a bedeutet schnellere Annäherung an den stationären Wert r/a. Die Zeitkonstante beschreibt eine e-Faltung, nicht die vollständige Dauer des Vorgangs. Nach drei Zeitkonstanten ist der Abklinganteil nur noch etwa fünf Prozent, nach fünf weniger als ein Prozent. Bei negativem a wächst der homogene Anteil stattdessen exponentiell; das System ist dann instabil. Ein negativer Koeffizient a würde die Stabilitätsaussage umkehren. Prüfe deshalb das Vorzeichen im Modell, bevor du eine exponentielle Annäherung an den stationären Zustand behauptest.

Die allgemeine Lösung lautet y=e^(−at)(C+∫e^(at)r(t)dt). Man multipliziert r(t) mit dem integrierenden Faktor, integriert und teilt zurück. Der Anfangswert bestimmt C. Bei konstantem r reduziert sich der Ausdruck auf r/a+Ce^(−at). Für einen variablen Eingang bleibt das Prinzip gleich, aber der stationäre Wert r/a gilt dann nicht allgemein. Die Integraldarstellung sammelt die vergangenen Eingaben, gewichtet mit der exponentiellen Systemantwort. Damit wird sichtbar, dass der aktuelle Zustand von der gesamten Anregungsgeschichte abhängt. Die Integrationskonstante wird durch den Anfangswert gesetzt, nicht durch die rechte Seite allein. Bei jeder konkreten Lösung müssen daher Differentialgleichung und Startbedingung separat erfüllt sein.

Leite y(t) ab und setze sowohl y′ als auch y in die ursprüngliche Gleichung ein. Die Gleichung muss für alle t gelten, nicht nur am Anfang. Danach separat den Anfangswert prüfen. Diese direkte Rücksubstitution findet oft Vorzeichenfehler im Exponentialterm. Eine gute Prüfung kontrolliert auch den Grenzfall t→∞. Für a>0 und konstantes r muss die Lösung gegen r/a streben, weil dann y′ gegen null geht und die Gleichung ay=r übrig bleibt. Stimmt dieser Grenzwert nicht, liegt oft ein Fehler im Vorzeichen oder in der Partikularlösung vor. Für a>0 verschwindet der Anfangsanteil langfristig, während ein konstanter Eingang den Endwert festlegt. Dieser Grenzwert ist eine schnelle Plausibilitätskontrolle für die Rechnung.